資源簡介

新淮高級中學高三數學調研卷
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：160分）
一、填空題：本題共14個小題，每題5分，滿分70分.
1．已知集合，，則 ▲ .
2．已知函數，則曲線在點處的切線在y軸上的截距為 ▲ .
3．某水產養殖場利用100個網箱養殖水產品，收獲時測量各箱水產品的產量（單位：kg），其頻率分布直方圖如圖所示，則該養殖場有 ▲ .個網箱產量不低于50 kg．

4．從中選個不同的數字組成一個兩位數，這個兩位數是偶數的概率為 ▲ .
5．函數的定義域是 ▲ .
6．已知復數滿足，則 ▲ .
7．已知等比數列的前n項和為Sn，前n項積為Tn，若，則a1的值為 ▲ .
8．已知雙曲線的離心率為2，且它的一個焦點到一條漸近線的距離為，則雙曲線的標準方程是 ▲ .
9．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E，F分別為邊BC，CD的中點．沿圖中虛線折起，使B，C，D三點重合，則圍成的幾何體的體積為 ▲ .

10．如圖是某算法的程序框圖，則程序運行后輸出的結果是 ▲ .

11．在梯形中，∥，，是線段上的動點，若，則的取值范圍是 ▲ .
12．已知定義在上的奇函數滿足，當時，，則方程在區間上所有的實數解之和為 ▲ .
13．設，且，則 ▲ .
14．已知函數，其中為自然對數的底數，若存在實數滿足，且，則的取值范圍為 ▲ .
二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（本題14分）在中，角，，的對邊分別是，，，，且.
（1）求的大小；
（2）若的面積為，求的周長.




16．（本題14分）如圖所示，在四棱柱中，，，.
（1）求證：
（2）若為線段的中點，求證：.






17．（本題14分）已知橢圓的左右焦點坐標為 ，且橢圓經過點。
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設點是橢圓上位于第一象限內的動點，分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求四邊形的面積．
18．（本題16分）某小區內有一塊以為圓心半徑為20米的圓形區域.廣場，為豐富市民的業余文化生活，現提出如下設計方案：如圖，在圓形區域內搭建露天舞臺，舞臺為扇形區域，其中兩個端點，分別在圓周上；觀眾席為梯形內且在圓外的區域，其中，，且，在點的同側.為保證視聽效果，要求觀眾席內每一個觀眾到舞臺處的距離都不超過60米.設.
（1）求的長（用表示）；
（2）對于任意，上述設計方案是否均能符合要求？




19．（本題16分） 設.
（1）討論的單調性；
（2）設有兩個極值點，若過兩點的直線與軸的交點在曲線上，求的值.










20.（本題16分） 已知正項數列中，，點在拋物線上．數列中，點在經過點，以為方向向量的直線上．
（Ⅰ）求數列，的通項公式；
（Ⅱ）若，問是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）對任意的正整數，不等式成立，求正數的取值范圍．




第二部分（加試部分）
（總分40分，加試時間30分鐘）
注意事項：
答卷前，請考生務必將自己的學校、姓名、考試號等信息填寫在答卷上規定的位置．解答過程應寫在答題卷的相應位置，在其它地方答題無效．
21．（A） [選修4-2:矩陣與變換](本小題滿分10分)
已知點在變換T：作用后，再繞原點逆時針旋轉，得到點．若點的坐標為，求點A的坐標．














（B）[選修4-4:坐標系與參數方程]（本小題滿分10分）
在極坐標系中，直線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線的參數方程為（為參數），求直線與曲線的交點P的直角坐標.










22．（本小題滿分10分）
高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數目都比上一排多一個，一排中各個釘子恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘的正中央．從入口處放入一個直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩釘的間隙，又碰到下一排鐵釘．如此繼續下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球．
（1）理論上，小球落入4號容器的概率是多少？
（2）一數學興趣小組取3個小球進行試驗，設其中落入4號容器的小球個數為X，求X的分布列與數學期望．


23．（本小題滿分10分）
已知數列滿足．
（1）求的值；
（2）對任意正整數，小數點后第一位數字是多少？請說明理由．



新淮高級中學高三數學調研卷
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：160分）
一、填空題：本題共14個小題，每題5分，滿分70分.
1．已知集合，，則__________.
【答案】
【解析】集合，，．
2．已知函數，則曲線在點處的切線在y軸上的截距為________.
【答案】
【解析】由，得，所以，又，所以切點為，
所以切線方程為，即，令，得，所以切線在y軸上的截距為-2.
3．某水產養殖場利用100個網箱養殖水產品，收獲時測量各箱水產品的產量（單位：kg），其頻率分布直方圖如圖所示，則該養殖場有______個網箱產量不低于50 kg．

【答案】82
【解析】由頻率分布直方圖，可知不低于50kg的頻率為：（0.040+0.070+0.042+0.012）×5＝0.82，所以網箱個數：0.082×100＝82.
4．從中選個不同的數字組成一個兩位數，這個兩位數是偶數的概率為________．
【答案】
【解析】列舉法：12，21，13，31，23，32，一共6種可能，其中偶數2種，概率為
5．函數的定義域是____________.
【答案】
【解析】
解得且即函數的定義域為.
6．已知復數滿足，則________.
【答案】
【解析】因為，所以，所以.
7．已知等比數列的前n項和為Sn，前n項積為Tn，若，則a1的值為_________.
【答案】1.
【解析】由已知，S3＝，則，所以.又，所以，.
8．已知雙曲線的離心率為2，且它的一個焦點到一條漸近線的距離為，則雙曲線的標準方程是 .
【答案】

【解析】由已知得，一條漸近線方程為，根據焦點到漸近線距離，則，故雙曲線的標準方程是.
9．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E，F分別為邊BC，CD的中點．沿圖中虛線折起，使B，C，D三點重合，則圍成的幾何體的體積為_____.

【答案】
【解析】以為折痕，折疊這個正方形，使點重合于一點，得到一個四面體，如圖所示．

∵在折疊過程中，始終有，，即 ，，所以．
四面體的底面積為：，高為
∴四面體的體積：.
10．如圖是某算法的程序框圖，則程序運行后輸出的結果是______.

【答案】27
【解析】s=0,n=1,s=(0+1)×1=1，n=1+1=2，不滿足條件n>3，執行循環體；
s=(1+2)×2=6，n=1+2=3，不滿足條件n>3，執行循環體；
s=(6+3)×3=27，n=1+3=4，滿足條件n>3，退出循環體，
則輸出結果為：27
11．在梯形中，∥，，是線段上的動點，若，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】設,則所以
12．已知定義在上的奇函數滿足，當時，，則方程在區間上所有的實數解之和為_____．
【答案】
【解析】由題意，方程在區間上所有的零點，轉化為函數與的交點的橫坐標，又由定義在上的奇函數滿足，，所以函數的周期為，
畫出函數的圖象，如圖所示，

則函數的圖象關于點對稱，根據圖象可得，函數的圖象共有4個交點，它們關于點對稱，所以函數在區間所有的實數解之和為.
13．設，且，則______．
【答案】
【解析】
，
故tan，又=故，則.
14．已知函數，其中為自然對數的底數，若存在實數滿足，且，則的取值范圍為_____．
【答案】
【解析】因為，所以，所以
令


所以
所以的取值范圍為
二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．在中，角，，的對邊分別是，，，，且.
（1）求的大小；
（2）若的面積為，求的周長.
【解析】（1）因為，由正弦定理可得：
，整理得，………………………………………………（2分）
∴，解得.……………………………………………………………（4分）
又，所以，即， ………………………………………（6分）
∴.………………………………………………………………………（7分）
（2）由（1）知，，…………………………………………………………………………（8分）
∴，解得.…………………………………………………………………（10分）
由余弦定理，得，即.…………………（13分）
∴的周長為.…………………………………………………………………………………（14分）
16．如圖所示，在四棱柱中，，，.

（1）求證：
（2）若為線段的中點，求證：.
【解析】（1）因為，所以BD是線段AC的垂直平分線.
所以................................................................................................................................2分
又，，
所以...............................................................................................................5分
因為，所以................................................................................6分
（2）連結AE.
因為，
所以......................................................................................7分
因為E為BC的中點，所以
所以.
所以.
因為，，所以........................9分
在棱柱中，四邊形為平行四邊形，所以............10分
因為，，所以，.......................11分
（注意：證兩次線面平行共3分）
又，所以..........................13分
因為......................................................................14分
17．已知橢圓的左右焦點坐標為 ，且橢圓經過點．

(1)求橢圓的標準方程；
(2)設點是橢圓上位于第一象限內的動點，分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求四邊形的面積．
【解析】(1)因為橢圓焦點坐標為 ，且過點，
所以，所以，..............................................................................（3分）
從而，
故橢圓的方程為．.....................................................................................................................（6分）
(2)設點，，，
因為，且三點共線，所以，解得，
所以， .......................................................................................................（8分）
同理得， ......................................................................................................................（10分）
因此， ....................................................................................................（12分）
因為點在橢圓上，所以，即，
代入上式得：．...........................................................................（14分）
18．某小區內有一塊以為圓心半徑為20米的圓形區域.廣場，為豐富市民的業余文化生活，現提出如下設計方案：如圖，在圓形區域內搭建露天舞臺，舞臺為扇形區域，其中兩個端點，分別在圓周上；觀眾席為梯形內且在圓外的區域，其中，，且，在點的同側.為保證視聽效果，要求觀眾席內每一個觀眾到舞臺處的距離都不超過60米.設.

（1）求的長（用表示）；
（2）對于任意，上述設計方案是否均能符合要求？
【解析】（1）過點作垂直于，垂足為
在直角三角形中，，
所以，因此 ………………………………………………………（4分）
（2）由圖可知，點處的觀眾離點最遠
在三角形中，由余弦定理可知
……………………………………………………………（6分）


．……………………………………（10分）
因為，所以當，即時，
＝800＋1600，………………………………………………………………………………（14分）
又＝800＋1600
所以
答：觀眾席內每一個觀眾到舞臺處的距離都不超過米．
故對于任意，上述設計方案均能符合要求．…………………………………………………………（16分）
19．（本題16分） 已知
（1）討論的單調性；
（2）設有兩個極值點，若過兩點的直線與軸的交點在曲線上，求的值.
解:........................................................................................................(1分)
①當時，，且僅當時，..................................................................(3分)
所以是上的增函數
②當時，有兩根，，
當時，，在上是增函數..............................(4分)
當時，，在上是減函數...(5分)
當時，，在上是增函數..............................(6分)
（2）由題意是方程的兩根，
故有， ..................................................................................(7分)
因此：
.......................................................................................................................(8分)
同理：
因此直線的方程為：......................................................................................................(10分)
設直線與軸的交點為，則......................................................................................(12分)

............................................................................................................(14分)
由題設知，點在曲線上，故
解得......................................................................................................................(16分)

20. 已知正項數列中，，點在拋物線上．數列中，點在經過點，以為方向向量的直線上．
（Ⅰ）求數列，的通項公式；
（Ⅱ）若，問是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）對任意的正整數，不等式成立，求正數的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）將點代入拋物線得：
數列是等差數列．
，即..............................................................................................（2分）
為直線的方向向量直線的斜率，直線的方程為
在直線上．................................................................................................（4分）
（Ⅱ）由題
①當是偶數時，是奇數，即，....................（6分）
②當是奇數時，是偶數，即（舍去）.（8分）
故存在唯一的符合條件.
（Ⅲ）由題 ，即..........................................（10分）
設，
則
.........................................（14分）
，即數列是遞增數列．
...................................................................................................（16分）



第二部分（加試部分滿分40分）
21．（A）解：設，則在變換T下的坐標為，又繞原點逆時針旋轉對應的矩陣為，……………………………………………………………………………………………………(4分)
所以，得，解得
所以點A的坐標為．………………………………………………………………………………(10分)
（B）解：直線的直角坐標方程為．
由方程可得，又因為，所以．
所以曲線的普通方程為……………………………………………………………(6分)
將直線的方程代入曲線方程中，得，解得，或（舍去）
所以直線與曲線的交點P的直角坐標為．……………………………………………………(10分)
22．解：（1）記“小球落入4號容器”為事件，若要小球落入4號容器，則在通過的四層中有三層需要向右，一層向左．
∴…………… ………… …………… ………………… ……………… ……………(3分)
（2）落入4號容器的小球個數X的可能取值為0,1,2,3．
∴，，
∴X的分布列為
0 1 2 3

…………………………………(7分)
…………………………… ……… …………… ………(9分)
答：落入4號容器的小球個數X的數學期望為．……………………………… ……… ……… ……(10分)
23．解：（1），，………………2分
（2）小數點后第一位數字均為5，小數點后第一位數字為6................................………………（3分）
下證：對任意正整數，均有
注意到
故對任意正整數，有 ………………………………………………………………（5分）
下用數學歸納法證明：對任意正整數，有
①當時，有，命題成立；
②假設當時，命題成立，即
則當時，
∵
∴∴
∴時，命題也成立；
綜合①②，任意正整數，．
由此，對正整數，，此時小數點后第一位數字均為6．
所以小數點后第一位數字均為5，當時，小數點后第一位數字均為6．……(10分)











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