資源簡介

重要公式
代數部分
一．數與式
1. 2. 3.
4.,特別地，
5. 6.
=
2.分母有理化
①
②
3.非負數的算術平方根
例：的算術平方根是
4.（1）①分式有意義，分母不為0,例如：要使有意義，則；
②如果分子分母中有開平方，則分子根號下的式子必須≥0，分母根號下的式子必須＞0，
例如：要使有意義，則3x+12≥0 解得x＞2
2x-4＞0
（2）要使分式值為0，必須保證分子為0的同時分母不為0.
例如：的值為0，則，解得x=3
二．一元二次方程
1.一元二次方程求根公式：
2.根與系數的關系（韋達定理）：
若一元二次方程的兩根分別為，則

3.△的作用
△ 一元二次方程 二次函數
＞0 有兩個不同的實數根 與x軸有兩個不同的交點
＝0 有兩個相等的實數根 與x軸只有一個不同的交點
＜0 無實數根 x軸無交點
三．函數
1.一次函數的圖像和性質：
名稱 K、b的符號 圖像 經過象限 增減性
一次函數y=kx+b(k≠0，b≠0) k＞0 b＞0 一、二、三 y隨x的增大而增大
b＜0 一、三、四
k＜0 b＞0 一、二、四 y隨x的增大而減小
b＜0 二、三、四
正比例函數y=kx(k≠0)【是特殊的一次函數】 k＞0 一、三 y隨x的增大而增大
k＜0 二、四 y隨x的增大而減小


2.（1）反比例函數的圖像和性質
反比例函數
k的符號 k>0 k<0
圖像
性質 ①x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0；②當k>0時，函數圖象的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內，y隨x 的增大而減小. ①x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0；②當k<0時，函數圖象的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內，y隨x 的增大而增大.
對稱性 ①的圖象是軸對稱圖形，對稱軸為或②的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點（0，0）； ③(k≠0)在同一坐標系中的圖象關于x軸對稱，也關于y軸對稱．
（2）反比例函數中反比例系數的幾何意義
①過雙曲線(k≠0) 上任意一點作x軸、y軸的垂線段，所得矩形(如圖)面積為.
②過雙曲線(k≠0) 上任意一點作任一坐標軸的垂線段，連接該點和原點，所得三角形（如圖）的面積為．
③雙曲線(k≠0) 同一支上任意兩點、與原點組成的 三角形（如圖）的面積=直角梯形的面積．
（3）正比例函數如果與反比例函數相交,交點坐標關于原點對稱.（即：若正比例函數y=x與反比例函數y=相交于A(，)，B（，）兩點，則點A與點B關于原點對稱.
3.二次函數的圖像和性質
(1)頂點式的圖像和性質
a的符號 圖像特征 函數性質
開口向上，圖像有最低點（頂點），頂點（h,k）； 當x=h時，函數有最小值k.
是軸對稱圖形； 對稱軸是直線x=h；
在對稱軸的左邊，圖像從左至右呈下降趨勢； 當x＜h時，y隨x增大而減小；
在對稱軸的右邊，圖像從左至右呈上升趨勢； 當x＞h時，y隨x增大而增大；
開口向下，圖像有最高點（頂點），頂點（h,k）； 當x=h時，函數有最大值k.
是軸對稱圖形； 對稱軸是直線x=h；
在對稱軸的左邊，圖像從左至右呈上升趨勢； 當x＜h時，y隨x增大而增大；
在對稱軸的右邊，圖像從左至右呈下降趨勢； 當x＞h時，y隨x增大而減小.
可知拋物線【】可由向右平移個單位，再向上平移個單位得到. 平移規律：左加右減，上加下減.
（2）一般式的圖像和性質
a的符號 圖像特征 函數性質
開口向上，圖像有最低點(頂點)，頂點（,）； 當x=時，函數有最小值.
是軸對稱圖形； 對稱軸是直線x=；
在對稱軸的左邊，圖像從左至右呈下降趨勢； 當x＜時，y隨x增大而減小；
在對稱軸的右邊，圖像從左至右呈上升趨勢； 當x＞時，y隨x增大而增大；
開口向下，圖像有最高點（頂點），頂點（,）； 當x=時，函數有最大值.
是軸對稱圖形； 對稱軸是直線x=；
在對稱軸的左邊，圖像從左至右呈上升趨勢； 當x＜時，y隨x增大而增大；
在對稱軸的右邊，圖像從左至右呈下降趨勢. 當x＞時，y隨x增大而減小.
二次函數的圖象與各項系數之間的關系
（1）二次項系數
① 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；
②當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．
即|a|越大，拋物線開口越小；|a|越小，拋物線開口越大.
【注：拋物線形狀相同，指的是|a|相同】
（2）一次項系數
在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．（左同右異 b為0對稱軸為y軸）
注意：當對稱軸在y軸左側時，a與b同號（即ab>0）；當對稱軸在y軸右側時，a與b異號（即ab＜0）.
（3）常數項
①當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正；
②當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為；
③當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負．
總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．
四．二次函數與一元二次方程的關系：
一元二次方程ax?+bx+c=0是二次函數y=ax?+bx+c當函數值y=0時的特殊情況.
當△＜0時，圖象與x軸沒有交點.
①當a＞0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有y＞0；
②當a＜0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有y＜0．
函數的平移（平移對一次函數來說不改變一次項系數k，對二次函數來說不改變二次項系數a）
1.圖像的平移和圖像上點的平移（一樣）：左減右加，上加下減.
2.解析式的平移：左加右減，上加下減.
①一般式的平移：如將二次函數向右平移m(m＞0)個單位，再向下平移n（n＞0）個單位，得到
②頂點式的平移：如將二次函數向右平移m(m＞0)個單位，再向下平移n（n＞0）個單位，得到
五．二次函數圖像的三大變換（平移、軸對稱、旋轉）
拋物線解析式常見的三種形式
名稱 解析式 使用范圍
一般式 （a≠0） 已知任意三點
頂點式 （a≠0） 已知頂點（h,k）及另一點
交點式 （a≠0） 已知與x軸的兩個交點（）、（）及另一個點
2.二次函數拋物線簡單的圖形變換
（1）頂點式【（a≠0）】
名稱 a 頂點（h，k）
平移 a (h， k)↓ ↓左加右減 上加下減
對稱 關于x軸對稱 -a (h，-k)
關于y軸對稱 a (-h，k)
關于原點對稱 -a (-h，-k)
旋轉（繞頂點旋轉180°） -a (h，k)
（2）一般式【（a≠0）】
①平移：如將二次函數向右平移m(m＞0)個單位，再向下平移n（n＞0）個單位，得到
②對稱
名稱 a、b、c的變化
關于x軸對稱 a→-a; b→-b; c→-c
關于y軸對稱 a→不變；b→-b；c→不變
關于原點對稱 a→-a；b→不變；c→-c
注：無論是平移、軸對稱還是旋轉，最好先把二次函數化成頂點式，然后再根據需要進行求解.
五．兩點間距離公式
A()，B()是平面直角坐標系中的兩點，那么A、B兩點的距離為：
|AB|=
六．兩點關于一條直線對稱：即這兩點的連線被該直線垂直平分.
已知點A和A'關于直線對稱，則AA'被直線垂直平分.
七．已知直線和直線，
若，則
八．三點共線，且中間的點是中點，則中間點的橫坐標=，中間點的縱坐標= 【圖形旋轉180°后求點的坐標常用到】
若A()，B()，M()共線，且M為線段AB的終點，則有
十．平均數、中位數、眾數
平均數
（1）算術平均數：一般地，對于n個數那么
（2）加權平均數：，其中分別表示出現的次數，.
中位數：將n個數據按從小到大（或從大到小）的順序排列，如果n是奇數，則中間位置的數是中位數；如果n是偶數，則中間兩個數的平均數是中位數.
眾數：一組數據中出現次數最多的數據，可能不唯一.(也就是眾數可能不止一個)
十一．方差和標準差
方差： 【其中，是樣本數據，是樣本容量，是樣本平均數】
標準差（S）：是方差的算術平方根
無論是方差還是標準差,都可以反映數據的波動性，越大，數據越不穩定；越小，數據越穩定.
十二．一元一次不等式組解集的表示方法
十三．列表法或畫樹狀圖求隨機事件的概率
1.利用樹狀圖法求隨機事件發生的概率，需備具兩個條件：
（1）兩步或兩步以上試驗的事件發生的概率，且各種情況出現的總次數不是很大；
（2）一次試驗中，各種結果發生的可能性相等．
2.利用列表法求隨機事件發生的概率
（1）涉及兩步試驗的隨機事件發生的概率，且各種情況出現的總次數不是很大；
（2）一次試驗中，各種結果發生的可能性相等．
列表法注意事項
不放回實驗：所列表格對角線上無數據；
放回實驗：所列表格對角線上有數據.
注：列表或畫圖時，要注意不能遺漏任何一種等可能的結果，也不能重復列舉．
游戲公平是否公平：看游戲雙方獲勝的機會是否相等.
3.用頻率估計概率：當試驗次數足夠大時,頻率將穩定在一個常數附近，此時可以用這個穩定的數值估計事件發生的概率.
幾何部分
一．三角形
1.三角形的面積公式：
①（a是三角形的底，h是底所對應的高）
②(其中，三個角為∠A，∠B，∠C，對邊分別為a，b，c)
③
④（為高所在邊的中位線）
⑤ （海倫公式）【其中，三個角為∠A，∠B，∠C，對邊分別為a，b，c，】
⑥(其中，R是外接圓半徑)
注：邊長為a的等邊三角形的面積
2.三角形的四心：
（1）重心：三角形三條中線的交點叫做三角形重心.
性質：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1
②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等.
(2)外心
三角形三邊的垂直平分線的交點，稱為三角形外心.
過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心即三角形外心，外心到三頂點距離相等. 這個三角形叫做這個圓的內接三角形. 三角形有且只有一個外接圓.
(3)內心
三角形內心為三角形三條內角平分線的交點.
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心即是三角形內心，內心到三角形三邊距離相等.這個三角形叫做圓的外切三角形.三角形有且只有一個內切圓.
（4）垂心
三角形三邊上的三條高或其延長線交于一點，稱為三角形垂心.
銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角的頂點；鈍角三角形的垂心在三角形外.三角形只有一個垂心.
（5）直角三角形
性質1:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.若∠BAC=90°，則AB?+AC?=BC?（勾股定理)
性質2:在直角三角形中，兩個銳角互余.若∠BAC=90°，則∠B+∠C=90°
性質3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（即直角三角形的外心位于斜邊的中點，外接圓半徑）.
性質4:直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.(等積法)
性質5:如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：
（1）AD?=BD·DC； （2）AB?=BD·BC；（3）AC?=CD·BC
性質6:在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.
（5）三角形全等證明方法：
一般三角形：SSS、SAS、ASA、AAS； Rt三角形：SSS、SAS、ASA、AAS、HL
（6）三角形相似
相似三角形的判定方法:
一般三角形 直角三角形
基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線,所截得的三角形與原三角形相似.
①兩角對應相等;（AA）②兩邊對應成比例,且夾角相等;（SAS）③三邊對應成比例.(SSS) ①一個銳角對應相等;②兩條邊對應成比例:a. 兩直角邊對應成比例;b. 斜邊和一直角邊對應成比例.(HL)
黃金分割：如圖,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果,那么稱線段AB被點C黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的比叫做黃金比.
相似三角形的性質
①相似三角形的對應角相等；
②相似三角形的對應邊成比例；
③相似三角形的對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?4246210.htm" \t "http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?_blank?)；
④相似三角形的周長比等于相似比；
⑤相似三角形的面積比等于相似比的平方.
※全等三角形是相似三角的特例,這時相似比等于1. 【注意:證兩個相似三角形,與證兩個全等三角形一樣,應把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.】
基本類型
（7）比例的基本性質
比例的基本性質是.
將其進行變形，可以得到如下比例式：
①；②；③
合比性質：如果；
等比性質：如果；
【如果】
（8）平行線分線段成比例
基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.
如圖：雖然圖（1）和圖(2)是兩種形式，但是結論是相同的.
用數學表達式表示為：
(簡記為：)； (簡記為：)； (簡記為：)；(簡記為：)
推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例.
（9）位似圖形
①定義：兩個多邊形不僅相似 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?subview?/?533861?/?8068145.htm" \t "http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?_blank?)，而且對應頂點的連線相交于一點，并且對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?777411.htm" \t "http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?_blank?).
②性質
a.位似 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?1101680.htm" \t "http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?_blank?)圖形的任意一對對應點與位似中心 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?785535.htm" \t "http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?_blank?)在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?4246210.htm" \t "http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?_blank?)；
b.位似圖形對應線段的比等于相似比；
c.位似圖形的對應角都相等；
d.位似圖形對應點連線的交點是位似中心；
e.位似圖形面積的比等于相似比的平方；
f.位似圖形高、周長的比都等于相似比；
g.位似圖形對應邊互相平行或在同一直線上.
③給出一個圖形和位似中心 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?785535.htm" \t "http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?_blank?)，在位似中心的兩側各有一個符合要求的圖形，最好做兩個.
例如：如何把三角形ABC放大為原來的2倍?
二．三角函數
1.正弦值（sin）= 余弦值（cos）= 正切值（tan）=
【坡度或坡比即坡角的正切值】
2.特殊角的三角函數值表
名稱 0° 30° 45° 60° 90°
sinα 0 1
cosα 1 0
tanα 0 1 不存在
3.圖形記憶法：
三．四邊形
（1）平行四邊形的對角線分成的四個三角形面積相等；
（2）對角線互相垂直的四邊形面積等于對角線乘積的一半；
（3）一般平行四邊形與特殊平行四邊形的關系：
①平行四邊形+一個角是直角=矩形
平行四邊形+對角線相等=矩形
②平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形
平行四邊形+對角線互相垂直=菱形
③平行四邊形+一組鄰邊相等+一個角等于90°=正方形
平行四邊形+對角線相等且互相垂直=正方形
四．多邊形的性質
多邊形 內角和定理 n邊形的內角和=（n-2）×180°（n≥3）
外角和定理 n邊形的外角和=360°
對角線 過n（n≥3）邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線
正多邊形 內角 每個內角=
對稱軸 n條
五．圓
（1）圓的內接四邊形對角互補. 圓的內接平行四邊形是矩形.
（2）圓的內接四邊形中，面積和周長最大的四邊形均是正方形；【注：四邊形的四個角是任意度數時】
（3）圓的外切四邊形對邊之和相等；圓的外切平行四邊形是菱形.
（4）弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.
（與圓相切的直線，同圓內弦相交所形成的夾角叫做弦切角）
弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角度數的一半.等于它所夾的弧的圓周角度數.
（5）弧的度數等于該弧所對的圓心角的度數；
☆☆尺規作圖：若要作60°的角，必須先做等邊三角形，再作該等邊三角形的外接圓.
（6）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
垂徑定理推論
推論一：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦,并且平.
推論二：弦的垂直平分線經過圓心,并且平分這條弦所對的弧.
推論三：平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦,并且平分這條弦所對的另一條弧.
推論四：在同圓或者等圓中,兩條平行弦所夾的弧相等.
（7）切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等.
（8）圓外一點與圓上任意一點的距離：
AO-r≤PA≤AO+r(A為⊙O外一點，r為⊙O半徑，P為⊙O上任意一點)
（9）與圓有關的計算
弧長公式：①圓的周長:C=2πR ②弧長：
面積公式：①圓的面積： ②扇形的面積=

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