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專題7嵌套函數與零點問題
嵌套函數成為了最近幾年的熱門考點,以其繞得暈和審題難而著稱,嵌套函數和一些復
雜得分段函數求零點個數也是一種常考題型,零點問題不再是那么簡單的“二分法”就能搞
定了,結合我們之前的二次函數分析法,參變分離和定海神針始終相伴,終究還是看函數的
綜合能力
第一講嵌套函數
在某些情況下,你可能需要將某函數作為另一函數的參數使用,這一函數就是嵌套函數
在函數里面調用另外一個函數,就叫做函數嵌套。如果調用自己本身,就叫做遞歸調用,也叫遞歸嵌套
嵌套函數解析式問題
換元法:將被嵌套的部分換為一個主元t,即求出y=f(t)解析式,屬于通法
待定系數法:將被嵌套部分換成一個常數,最后解出這個常數即可
例1.(2019·北京校級期中)已知函數f(x)在定義域(0,+∞)上是單調函數,若對任意
x∈(0,+∞),都有ff(x)--]=2,則f()的值是()
解:根據題意,得若對任意x∈(0,+∞),都有ff(x)--]=2,得到f(x)--為一個常數
令(x)-x=n,則f()=2,2-n=n,:n=1,1(x)=1+￥x,:f6)=7,故選:C
例2.(2019·江陰市期中)已知定義在(0,+∞)上的函數f(x)為單調函數,且f(f(x)--)=4,
則∫(1)=
解::f(x)為定義在(0.+∞)上的單調函數:∴由f(f(r4得,f(x)-4
f(x)=-+m;∴f(m)=
+m=4;解得m=2;∴:f(1)=4+2=6.故答案為:
例3.(2019·開福區校級月考)已知f(x)是定義在R上的單調函數,滿足ff(x)-c]=1
且f(a)>f(b)>e,若
log,
b+loga=,則a與b的關系是()
B.
b=a
例4.(2019·西湖區校級模擬)已知定義在(O,+∞)上的函數f(x)為單調函數,且
f(x)f(f(x)+-)=2,則f()=
例5.(2018·唐山模擬)已知函數f(x)=a2-logx(a>1)有兩個零點,則實數a的取值范圍
A.(l,e")
B.[2,e)
解:法一:根據題意,函數f(x)=a2-
log
x(a>1)有兩個零點,則函數y=a2與函數y=logx
有2個交點
設g(x)=a2,h(x)=log。x,且兩個函數互為反函數,兩個函數的圖象關于直線y=x對稱
當兩個函數的圖象都與直線y=x相切時,設切點的橫坐標為m,g(x)=a2,則g(x)=alma,
當x=m時,g(m)=a"ha,n(x)=
log,
x,則h(xa
,則有
mina
解可得m=e,a=e;
即當a=e時,兩個函數的圖象只有一個交點,則當a即函數f(x)有2個零點;則實數a的取值范圍是(e);故選:4
法
a>
loga
x→a“>a=x→f((x)>x→f(x)>X→a=emx→xa>加x=lna>
故a>ee.故選:A.利用遞歸嵌套函數,當f(f(x)>x時,一定有f(f(x)>f(x)>x,這
是不動點定理2
法三:同構,參考秒1第五章專題
嵌套函數與不動點問題
不動點:對于函數f(x)(x∈D),我們把方程f(x)=x的解x稱為函數f(x)的不動點,即
y=f(x)與y=x圖像交點的橫坐標
例如:函數f(x)=2x-1有一個不動點為1,函數g(x)=2x2-1的不動點有兩個不動點
證明:因為f(x0)=x0,所以f(f(x0)=f(x0)=x0,故x0也是函數y=f(x)的穩定點
例6:求函數f(x)=2x2-1的穩定點

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