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學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)秒殺數(shù)學(xué)
第一章函數(shù)
專題2參變分離與定海神針
傳統(tǒng)的函數(shù)模型重難點,無非不就是恒成立和零點分布問題,現(xiàn)在說到二次函數(shù),涉及參數(shù)和變量的問題,
參與變,到底是分還是不分呢?什么情況下分離好,什么情況下不分離好呢
先看一個問題,就是參數(shù)的位置,到底是在二次項,還是在一次項,常數(shù)項?還是多處出現(xiàn),這個問題值
得探討
第一講軸動區(qū)間定和軸定區(qū)間動
口訣:軸在區(qū)間內(nèi),頂點定;軸在區(qū)間外,單調(diào)定
例1若函數(shù)f(x)=8x2-2kx-7在門1,5]上為單調(diào)函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是()
A.(
B.[40,+∞)
8]∪[40,+∞)
解:由于對稱軸為直線x=,區(qū)間為[,5,故根據(jù)口訣:軸在區(qū)間外,單調(diào)定,則可知道1或者2
故選C
例2已知函數(shù)y=x2-4x+5在閉區(qū)間[0,m上有最大值5,最小值1,則m的取值范圍是()
C.[0,2]
例3已知f(x)=x2-x+9,若對任意x∈[,5],不等式f(x)≥0恒成立,則實數(shù)t的最大值為
例4(2020·寶安區(qū)校級月考):設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+1
(1)已知函數(shù)g(x)=
loge(x)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍
(2)已知方程f(x)=0有兩個實數(shù)根x1,x2,且x1,x2∈(0,2),求實數(shù)a的取值范圍
解:(1)根據(jù)題意可得f(x)>0對R恒成立,即△=a2-4<0,-2f(0)>0(恒成立)
>0→a>
(2)法一(定海神針卡根):如圖
綜上可得-f(-)≤0→a22或a≤-2
2→-4例4法一圖
例4法二圖
法二(參變分離):根據(jù)題意得:-a=x+-在區(qū)間(0,2)有兩根,其幾何意義是y=-a與y=x+-在區(qū)間(0,2)
有兩個交點,如圖所示,當(dāng)2≤-a<3時,滿足題意,注意到-a=2時,原方程有兩個相等的實根,故
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第一章函數(shù)
第二講參變分離型
第一類:恒成立與能成立類型之同號型
我們規(guī)定,當(dāng)決定拋物線開口符號的a與恒成立(能成立)的符號一致時,即ax2+bx+c≥0(a>0),此類
型題目基本上都是分類討論復(fù)雜,參變分離簡單,還要說明一點就是參數(shù)盡量為一次
例5:(2020長沙市月考)已知不等式1-21+a4<0對一切x∈[.+∞)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍
是
解:1-2+4·4<0可化為a2
)2,令t=2,由x∈[1.+∞),得t∈(0
則a<-12+2t,-12+2t=-(t-1)2+1在(0,上遞增,當(dāng)t=時-t2+2取得最大值為,t=0時,函數(shù)
取得最小值為0,所以∝≤0.實數(shù)a的取值范圍是:(-∞,0].故答案為:(-∞,0
例6:(2019·嘉興期末)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+2
)當(dāng)a=3時,解不等式f(x)<0;
(Ⅱ〕)當(dāng)x∈[,2]時,f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍
例7:(2019·浙江期中)已知函數(shù)f(x)=ax2+x+1+a
(I)若函數(shù)y=f(x)+x有唯一的零點,求a的值;
(Ⅱ)設(shè)a>0,若對任意的x∈[,2],不等式2x≤f(x)恒成立,求a的取值范圍
例8:(2019定州市期中)已知函數(shù)f(x)=x2-mx+2m-4m∈R
(1)當(dāng)m=1時,求不等式f(x)≥0的解集
(2)當(dāng)x>2時,不等式f(x)≥-1恒成立,求m的取值范圍
例9:(2020·順德區(qū)期末)設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+mx
(I)若對任意實數(shù)m∈[0,1,f(x)>0恒成立,求實數(shù)x的取值范圍
(Ⅱ)若存在x∈[-3,4],使得f(x)≤-4成立,求實數(shù)m的取值范圍
第二類:零點分布之兩零點分布在同一區(qū)間型
次函數(shù)的兩個零點位于同一區(qū)間或者在某個區(qū)間存在零點時,參變分離轉(zhuǎn)化為區(qū)間的值域或者交點問題,
顯然事半功倍
例10(2019·豐城市校級月考):已知f(x)=x2+2mx+3m+4.
(1)若m=-1且x∈[0,3],求f(x)的單調(diào)區(qū)間
(2)當(dāng)m為何值時,f(x)有2個零點,且均比-1大
解:(1)由題意,可知:當(dāng)m=-1時,f(x)=x2-2x+1.此時,二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x=1,且開口

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