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計算綜合
小學六年級上學期第一講
小升初綜合測試題二
【注意】本測試包括三道大題，時間120分鐘，滿分150分。
填空題I：（6分×7=42分）
計算：=____________。
三個質數的乘積恰好是它們之和的7倍，那么這三個質數分別是_________、_________、__________。
一個六位數能被9和11整除，去掉這個六位數的首、尾兩個數字。中間的四個數字是2011，那么這個六位數是____________。
從1、2、3、4、5中隨機選取一個數為a，從1、2、3中隨機選取一個數為b，則b大于a的概率是_____________。
蘋果、梨、柿子和桔子四種水果只有630千克，其中蘋果和梨占總重量的，蘋果和柿子占總重量的，蘋果和桔子占總重量的，那么桔子有____________千克。
甲、乙兩車分別從A、B兩城同時出發，相向勻速行駛，原計劃6小時候兩車相遇，但出發后甲車在途中發生故障，修理了2.5小時后才繼續行駛，結果甲車從出發到與乙車相遇經過了7.5小時，那么乙車單獨從B城開到A城需要______________小時。
小明在計算7個正整數的平均數時，他將結果四舍五入保留三位小數后得到287.419，已知這個答案中恰有一位數字是錯誤的，那么這7個正整數的和是_______________。
填空題II；（第11小題12分，其余每題8分，共60分）
若123480乘以一個正整數a，所得乘積是一個正整數的平方，那么a的最小值是___________。
一次拋擲5枚均勻的硬幣，出現“2枚正面朝上和3枚反面朝上”的概率為___________。
如圖，在長方形ABCD中，BC=6，AB=4，
如圖1，若點E為邊AD的中點，則四邊形EFGH的面積為_____________。
如圖2，若△ABF何△CDH的面積之和等于7，則四邊形EFGH的面積為_______________。
某校100名學生參加一次考試，共有5道試題，最后的結果是做對第1，2，3，4，5題的學生人數分別是81，91，85，79，74人，如果做對三道或三道以上的題目定義為“及格”，那么這次考試“及格”的學生最少有_______________人。
設[a]是取整運算，表示不超過a的最大整數，若x使得等式=52成立，則[10x]的值是____________。
一個四位數，能被3整除，且四個數位上的數字中至少有一個數字3，則這樣的四位數共有_______________個。
甲、乙兩船分別在一條河的A、B兩地同時相向而行，甲順流而行，乙逆流而行。相遇時，甲、乙兩船行了相等的航程，相遇后繼續前進，甲到達B地，乙到達A地后，都立即按原來速度返航，兩船第2次相遇時，甲船比乙船少行1千米，如果從第1次相遇到第2次相遇恰好相隔2小時，則河水的流速為每小時_____________千米。
解答題（請寫出詳細解題過程）：（12分×4=48分）
15、甲、乙兩件商品，甲商品的成本是250元，乙商品的成本比甲商品低16%，現有以下三種銷售方案：
①甲商品按30%的利潤率定價，乙商品按40%的利潤率來定價；
②甲、乙都以35%的利潤率定價；
③甲、乙的定價都是310元。
請問：選擇哪種銷售方案最賺錢？這時能贏利多少元？
16、現有三個正方體，它們的棱長分別為a，b，c，且a，b，c均為正整數，已知這三個正方體的表面積（即6個面面積總和）之和為564，求這三個正方體的體積之和。
17、盒子中有形狀大小相同的球8個，其中標號為1的球2個，標號為2的球3個，標號為5的球3個，第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設取到每個球的可能性都相同），記第一次與第二次取到球的標號之和為x。
（I）求隨機變量x的概率分布列；
（II）求隨機變量x的期望EX。
18、（1）請從1，2，3，…，2011中找出1006個數，使得這1006個數中不存在兩個數，其中一個是另一個的倍數。
（2）證明：從1，2，3，…，2011中，任意取出1007個數，其中都存在兩個數，其中一個是另一個的倍數。
CONFIDENTIAL
清華附中數學學校尖子班
2008-2009
2009-06-15
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3【注意】本測試包括三道大題，時間120分鐘，滿分150分。
填空題I：（6分×7=42分）
計算：=____________。
【解析】5－﹙＋＋＋＋﹚
＝5－﹙1－＋－……＋－﹚
＝5－﹙1－﹚
＝
三個質數的乘積恰好是它們之和的7倍，那么這三個質數分別是_________、_________、__________。
【解析】設三個數分別為a、b、c，則有7﹙a＋b＋c﹚＝abc
設a＝7
化簡得c＝1＋
當b＝3時，c＝5
一個六位數能被9和11整除，去掉這個六位數的首、尾兩個數字。中間的四個數字是2011，那么這個六位數是____________。
【解析】設這個數是a2011b，根據能被9整除的特征有
根據能被11整除的特征有
11
當a＝8
b＝6符合條件，所以這個數是820116。
從1、2、3、4、5中隨機選取一個數為a，從1、2、3中隨機選取一個數為b，則b大于a的概率是_____________。
【解析】a＝1時，b＝2、3
共2種；a＝2時，b＝3
1種；總的情況有5×3＝15種，b大于a的概率是
3÷15＝
蘋果、梨、柿子和桔子四種水果只有630千克，其中蘋果和梨占總重量的，蘋果和柿子占總重量的，蘋果和桔子占總重量的，那么桔子有____________千克。
【解析】[5,7,9]＝315
蘋果和梨＝
378千克；蘋果和柿子＝
360千克；
蘋果和桔子
＝
350千克；
﹙378＋360＋350－630﹚÷2＝229
即是蘋果重量，
桔子有350－229＝121
千克。
甲、乙兩車分別從A、B兩城同時出發，相向勻速行駛，原計劃6小時候兩車相遇，但出發后甲車在途中發生故障，修理了2.5小時后才繼續行駛，結果甲車從出發到與乙車相遇經過了7.5小時，那么乙車單獨從B城開到A城需要______________小時。
【解析】設路程為1，甲速度是x，乙速度是y，
6﹙x＋y﹚＝1
﹙7.5－2.5﹚x＋7.5y＝1
解得x＝
y＝
乙從B到A需要1÷＝15小時
小明在計算7個正整數的平均數時，他將結果四舍五入保留三位小數后得到287.419，已知這個答案中恰有一位數字是錯誤的，那么這7個正整數的和是_______________。
【解析】到中只有＝0.，
原來7個整數的和是287×7﹢3＝2012
填空題II；（第11小題12分，其余每題8分，共60分）
若123480乘以一個正整數a，所得乘積是一個正整數的平方，那么a的最小值是___________。
【解析】123480＝×，根據平方數的質因數指數必須是偶數，讓a最小，那么a＝2×5×7＝70
一次拋擲5枚均勻的硬幣，出現“2枚正面朝上和3枚反面朝上”的概率為___________。
【解析】＝
如圖，在長方形ABCD中，BC=6，AB=4，
如圖1，若點E為邊AD的中點，則四邊形EFGH的面積為_____________。
如圖2，若△ABF何△CDH的面積之和等于7，則四邊形EFGH的面積為_______________。
【解析】﹙1﹚連接EG，根據蝴蝶定理S△AEG=24÷3＝8
＝＝
S△EFG＝3×＝1
同理S△EHG＝1
所以四邊形EFGH的面積是2。
﹙2﹚S△BFG+S△CHG=4×6÷2－7＝5
S△BCG＝6
四邊形EFGH面積是12－6－5＝1
某校100名學生參加一次考試，共有5道試題，最后的結果是做對第1，2，3，4，5題的學生人數分別是81，91，85，79，74人，如果做對三道或三道以上的題目定義為“及格”，那么這次考試“及格”的學生最少有_______________人。
【解析】100人中除了及格的就是不及格的，為了讓及格的學生最少，那么讓不及格的人最多，錯3道題的人都是不及格，那么錯題一共有
19﹢9﹢15﹢21﹢26＝90題，90÷3＝30人，這就是不及格的人數，那么及格的有100-30＝70人。
設[a]是取整運算，表示不超過a的最大整數，若x使得等式=52成立，則[10x]的值是____________。
【解析】52÷9＝5.77……，驗證當x＝5.7符合題意，那么[10x]＝57
一個四位數，能被3整除，且四個數位上的數字中至少有一個數字3，則這樣的四位數共有_______________個。
【解析】
甲、乙兩船分別在一條河的A、B兩地同時相向而行，甲順流而行，乙逆流而行。相遇時，甲、乙兩船行了相等的航程，相遇后繼續前進，甲到達B地，乙到達A地后，都立即按原來速度返航，兩船第2次相遇時，甲船比乙船少行1千米，如果從第1次相遇到第2次相遇恰好相隔2小時，則河水的流速為每小時_____________千米。
【解析】從第一次相遇到第二次相遇兩船行駛了2個全程共2小時，那么行駛一個全程的時間是1小時，因為甲乙兩船都在水上，所以它們的合速度等于水靜止時的速度和，甲乙從AB兩地返回到相遇時間是1小時，甲乙兩船速度差是4＝1
＝0.25
千米。
解答題（請寫出詳細解題過程）：（12分×4=48分）
15、甲、乙兩件商品，甲商品的成本是250元，乙商品的成本比甲商品低16%，現有以下三種銷售方案：
①甲商品按30%的利潤率定價，乙商品按40%的利潤率來定價；
②甲、乙都以35%的利潤率定價；
③甲、乙的定價都是310元。
請問：選擇哪種銷售方案最賺錢？這時能贏利多少元？
【解析】①250×0.3＋210×0.4＝159
②﹙250＋210﹚×0.35＝161.5
③310×2－250－210＝160
所以選擇第二種方案最賺錢，盈利161.5元。
16、現有三個正方體，它們的棱長分別為a，b，c，且a，b，c均為正整數，已知這三個正方體的表面積（即6個面面積總和）之和為564，求這三個正方體的體積之和。
【解析】6﹙﹚＝564
＝94
＝94
=94
=764
＝434
三個正方體的體積是434或764.
17、盒子中有形狀大小相同的球8個，其中標號為1的球2個，標號為2的球3個，標號為5的球3個，第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設取到每個球的可能性都相同），記第一次與第二次取到球的標號之和為x。
（I）求隨機變量x的概率分布列；
（II）求隨機變量x的期望EX。
【解析】
p
2
3
4
6
7
10
x
隨機變量x的期望EX＝5.75
18、（1）請從1，2，3，…，2011中找出1006個數，使得這1006個數中不存在兩個數，其中一個是另一個的倍數。
（2）證明：從1，2，3，…，2011中，任意取出1007個數，其中都存在兩個數，其中一個是另一個的倍數。
【解析】（1）從1006到2011共1006個數，沒有一個是另一個的倍數。
﹙2﹚從1到1005中任取一個數，肯定能在1006到2011這1006個數中找到它的倍數。

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