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直線方程問題的類型與解法
大家知道，直線方程問題是近幾年高考的熱點內(nèi)容之一，可以這樣毫不夸張地說，每年高考試卷中，圓錐曲線的大題基本上都會涉及到直線方程的相關(guān)內(nèi)容。縱觀近幾年高考試卷，歸結(jié)起來直線方程問題主要包括：①直線的傾斜角和斜率；②直線方程的求法等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答思路與方法也各不相同。那么在具體解答直線方程問題時，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷準確地解答問題呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、直線y=x+1的傾斜角為（
）
A
B
C
D
【解析】
1、【知識點】①直線方程的定義與常見形式；②確定一般式直線方程斜率的基本方法；③直線傾斜角的定義與性質(zhì)；④正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)。
【解題思路】運用確定一般式直線方程斜率的基本方法，結(jié)合問題條件求出直線的斜率，利用正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出直線的傾斜角理科得出選項。
【詳細解答】設(shè)直線的傾斜角為，直線y=x+1，
k=tan=，≤＜，=，C正確，選C；
2、已知直線l的傾斜角為，且≤＜，直線L的斜率的取值范圍是（
）
A
〔0，+∞）
B
（-∞，+∞）
C
（-1，+∞）
D
（-∞，-1）∪〔0，+∞）
【解析】
【知識點】①直線傾斜角的定義與性質(zhì)；②已知直線傾斜角求直線斜率的方法；③正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)。
【解題思路】運用已知直線傾斜角求直線斜率的方法，正切
y
函數(shù)的圖像與性質(zhì)，問題條件求出直線斜率的取值范圍，就
1
可得出選項。
【詳細解答】直線L的傾斜角為，且≤＜，
0
x
函數(shù)y=tanx，x[，）的圖像如圖所示，由圖
-1
k=tan的取值范圍為（-∞，-1）∪〔0，+∞），D正確，選D。
3、直線l經(jīng)過A（2，1），B（1，）（mR）兩點，那么直線L的傾斜角的取值范圍
是（
）
A
0≤＜
B
0≤≤或＜＜
C
0≤≤
D
≤＜或＜＜
【解析】
【知識點】①直線傾斜角的定義與性質(zhì)；②已知直線上兩點的坐標，求直線斜率的基本方法；
③求函數(shù)值域的基本方法，④正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)。
【解題思路】運用已知直線上兩點的坐標，求直線斜率的基本方法，結(jié)合問題條件得到直線斜率關(guān)于參數(shù)m的函數(shù)，根據(jù)求函數(shù)值域的基本方法求出直線斜率的取值范圍，利用正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定直線傾斜角的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】直線l經(jīng)過A（2，1），B（1，）兩點，
k=tan=
=1-，mR，
k=tan=1-1，
0≤≤或＜＜，B正確，選B。
4、已知直線PQ的斜率為-，將直線繞點P順時針旋轉(zhuǎn)所得直線的斜率是（
）
A
0
B
C
D
-
【解析】
【知識點】①直線傾斜角的定義與性質(zhì)；②已知直線傾斜角，求直線斜率的基本方法；③已知直線斜率，確定直線傾斜角的基本方法；④直線繞定點旋轉(zhuǎn)的定義與性質(zhì)。
【解題思路】運用已知直線斜率，確定直線傾斜角的
y
基本方法確定直線旋轉(zhuǎn)前的傾斜角，根據(jù)直線繞定點
旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定直線旋轉(zhuǎn)后的傾斜角，利用已知直線
傾斜角，求直線斜率的基本方法求出直線的斜率就可
O
P
x
得出選項。
【詳細解答】直線PQ的斜率為-，直線PQ的傾斜角為，設(shè)直線PQ與X軸相較于點P，如圖當直線PQ繞點P順時針旋轉(zhuǎn)時，直線P的傾斜角為，
k=tan=，C正確，選C。
5、如果直線l沿X軸負方向平移3個單位，再沿Y軸正方向平移1個單位后又回到原來的位置，求直線l的斜率k；
【解析】
【知識點】①直線方程的定義與常見形式；②直線平移的定義與性質(zhì)；③待定系數(shù)法及運用。
【解題思路】不失一般性設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，運用直線平移的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到平移后直線的方程，利用待定系數(shù)法的基本方法得到關(guān)于k，b的方程組，求解方程組就可求出k的值。
【詳細解答】不失一般性設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，=k(x+3)+b+1=kx+3k+b+1=
kx+b，3k+b+1=b，k=-。
6、已知兩點A（-1，-5），B（3，-2），直線L的傾斜角是直線AB的傾斜角的一半，求直線L的斜率k；
【解析】
【知識點】①已知直線上兩點坐標，求直線斜率的基本方法；②三角函數(shù)二倍角公式及運用。
【解題思路】運用已知直線上兩點坐標，求直線斜率的基本方法，結(jié)合問題條件求出直線AB的斜率，利用三角函數(shù)二倍角公式得到關(guān)于直線l斜率k的方程，求解方程，結(jié)合問題條件就可求出k的值。
【詳細解答】設(shè)直線l的傾斜角為，
A（-1，-5），B（3，-2），直線AB的斜率為
=，k=tan，直線L的傾斜角是直線AB的傾斜角的一半，=，
3+8k-3=0，k=-3或k=，<<，
k=。
7、設(shè)M（2，-5），N（-3,，2），直線L過點P（1，1），若L與線段MN有交點，則斜率k的取值范圍是多少？傾斜角的取值范圍是多少？
【解析】
【知識點】①已知直線上兩點坐標，求直線斜率的基本方法；②過定點的直線與相等相交的定義與性質(zhì)；③正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)。
【解題思路】運用已知直線上兩點坐標，求直線斜率的基本方法，結(jié)合問題條件分別求出直線PM，PN的斜率，利用定點的直線與相等相交的性質(zhì)，結(jié)合正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)就可求出直線l斜率的取值范圍，從而得出直線k傾斜角的取值范圍。
【詳細解答】如圖，直線PM，PN的斜率分別
N（-3，2）y
為：=-6，=-，直線L過點P（1，
P（1，1）
1），且與線段MN有交點，k-6或k-，
0
x
直線l傾斜角的取值范圍是[0，arctan(-6)]
[
arctan(-)，）。
8、已知函數(shù)f(x)=asinx-bcosx的圖像的一條對稱軸方程是x=，求直線ax-by+c=0的傾斜角的正切值；
【解析】
【知識點】①三角函數(shù)輔助角公式及運用；②正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)；③求直線方程一般式斜率的基本方法。
【解題思路】運用三角函數(shù)輔助角公式，結(jié)合問題條件得到正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦型函數(shù)處理的基本方法，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出的值，利用求直線方程一般式斜率的基本方法就可求出直線傾斜角的正切值。
【詳細解答】設(shè)直線ax-by+c=0的傾斜角為，f(x)=asinx-bcosx=sin(x-)（tan=）的圖像的一條對稱軸方程是x=，
x-=k+
，=-
k-(k
Z），
tan==tan(-
k-)=-tan=-1，
tan=k==-1，直線ax-by+c=0的傾斜角為的正切值為-1。
10、設(shè)直線L的方程為2x+By-1=0，傾斜角為。
（1）試將的正切值表示為B的函數(shù)；
（2）若＜＜，試求B的取值范圍；
（3）若B∈（-∞，-2）∪（2，+∞），求的取值范圍。
【解析】
【知識點】①求直線方程一般式斜率的基本方法；②已知直線傾斜角，求直線斜率的基本方法；③已知直線斜率，求直線傾斜角的基本方法；④求函數(shù)值域的基本方法。
【解題思路】（1）運用求直線方程一般式斜率的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出直線傾斜角正切值關(guān)于B的函數(shù)；（2）運用已知直線傾斜角，求直線斜率的基本方法，結(jié)合問題條件求出直線斜率的取值范圍，根據(jù)直線斜率公式就可求出B的取值范圍；（3）利用求函數(shù)值域的基本方法，結(jié)合（1）的函數(shù)式求出直線斜率的取值范圍，從而就可求出直線傾斜角的取值范圍。
【詳細解答】（1）直線l的斜率k=
tan=-
，直線傾斜角的正切值表示為B的函數(shù)是tan=-
；（2）＜＜，
k=
tan=-
的取值范圍為（-，-
）（，+
），B的取值范圍為（-2，0）（0，）；（3）
B∈（-∞，-2）∪（2，+∞），
k=
tan=-
的取值范圍為（-1，0）（0，1），直線l傾斜角
的取值范圍為（0，）（，）。
『思考問題1』
（1）【典例1】是與直線傾斜角，直線斜率相關(guān)的問題，解答這類問題需要理解直線傾斜角的定義，掌握求直線斜率的公式和基本方法；
（2）直線的傾斜角是X軸繞直線與X軸的交點（條件是直線與X軸相交）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時轉(zhuǎn)動的最小正角，求傾斜角的取值范圍的基本方法是：①根據(jù)問題條件，運用求直線斜率的基本方法求出直線斜率的取值范圍；②利用正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)確定直線傾斜角的取值范圍；
（3）直線的傾斜角有兩個特殊情況：①直線與X軸平行或重合時，傾斜角=0；②直線與Y軸平行或重合時，傾斜角=；
（4）已知直線的傾斜角，求直線的斜率可直接運用公式k=tan，但應(yīng)注意這個故事的條件是；
（5）在求直線的斜率時，應(yīng)根據(jù)題給的條件選用恰當?shù)墓胶头椒ǎＳ们笾本€斜率的基本方法有：①已知直線傾斜角，運用公式k=tan（）；②已知直線上兩點的坐標A（，），B（，），運用公式k=（0）；③已知直線的方向向量
=（m，n），運用公式k=
（n0）；④已知直線的一般式方程Ax+By+C=0，運用公式k=-
（B0）。
〔練習1〕解答下列問題：
1、直線x+3y+1=0的傾斜角是（
）
A
B
C
D
2、直線2x-y-2=0繞它與Y軸的交點逆時針方向旋轉(zhuǎn)所得的直線方程是（
）
A
-x+2y-4=0
B
x+2y-4=0
C
-x+2y+4=0
D
x+2y-4=0
3、若點A(2，-3)是直線x+y+=0和x+y+=0(==1)的公共點，則相異兩點（，）和（，）所確定的直線方程是（
）
A
2x-3y+1=0
B
3x-2y+1=0
C
2x-3y-1=0
D
3x-2y-1=0
4、過點P（-1,2），且方向向量為=（-1,2）的直線方程是（
）
A
2x+y=0
B
x-2y+5=0
C
x-2y=0
D
x+2y-5=0
5、直線Ax+By+C=0的傾斜角是，則A=（
）
A
B
B
-B
C
B
D
-B
6、設(shè)點A（-2，3），B（-3，2），若直線y=ax+2與線段AB有公共點，則a的取值范圍是
；
7、已知直線L的方向向量是=（-1,
），求直線L的斜率與傾斜角；
8、方程（x-2a）(2x+ay-2)=0表示什么曲線？如果是直線，求直線的斜率和傾斜角。
【典例2】解答下列問題：
1、過點（3，1）且與直線x-2y-3=0垂直的直線方程是（
）
A
2x+y-7=0
B
x+2y-5=0
C
x-2y-1=0
D
2x-y-5=0
【解析】
【知識點】①直線點斜式方程及運用；②求直線一般式方程斜率的基本方法；③兩條直線垂直的充分必要條件。
【解題思路】運用求直線一般式方程斜率的基本方法，結(jié)合問題條件求出已知直線的斜率，根據(jù)兩條直線垂直的充分必要條件求出所求直線的斜率，利用直線的點斜方程就可求出所求直線的方程。
【詳細解答】設(shè)直線x-2y-3=0的斜率為，所求直線的斜率為，=-=，所求直線與直線x-2y-3=0垂直，.=-1，=-2，過點（3，1）且與直線x-2y-3=0垂直的直線方程是：y-1=-2(x-3)，即2x+y-7=0，A正確，選A。
2、過,點P（1，1）的直線將圓形區(qū)域分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線方程為（
）
A
x+y-2=0
B
y-1=0
C
x-y=0
D
x+3y-4=0
【解析】
【知識點】①直線點斜式方程及運用；②圓的定義與性質(zhì)；③兩條直線垂直的充分必要條件。
【解題思路】運用圓的性質(zhì)，兩條直線垂直的充分必要條件，結(jié)合問題條件求出所求直線的斜率，利用直線的點斜方程就可求出所求直線的方程。
【詳細解答】如圖，設(shè)過點P（1，1）和點（0，0）直線
y
的斜率為，所求直線的斜率為，==1，.
=-1，=-1，過,點P（1，1）的直線將圓形區(qū)域
x
分為兩部分，使得這兩部分的面積之差
最大，則該直線方程為：y-1=-(x-1)，即x+y-2=0，A正確，選A。
3、直線L經(jīng)過點P（3,0），且它夾在兩直線：2x-y-2=0與：x+y+3=0之間的線段AB恰好被點P平分，求直線L的方程；
【解析】
【知識點】①直線點斜式方程及運用；②求兩條直線交點坐標的基本方法；③線段中點的定義與性質(zhì)。
【解題思路】運用求兩條直線交點坐標的基本方法，結(jié)合問題條件求出所求直線已知兩條直線的交點坐標，根據(jù)線段中點的性質(zhì)求出所求直線的斜率，利用直線的點斜方程就可求出所求直線的方程。
A
【詳細解答】如圖，設(shè)所求直線的斜率為k，
y
直線l過點P（3，0），直線l的方程為：kx-y
-3k=0，由
kx-y-3k=0，
kx-y-3k=0，得A（，
0
1
2
3
x
2x-y-2=0，
x+y+3=0，），B
（，），線段AB恰好被點P平分，
B
+=0，k=0或k=，k=0時，與題意不符應(yīng)舍去，
k=，直線l的方程為：4x-5y-12=0。
4、已知點P到兩個定點M(-1，0)，N(1，0)距離的比為，點N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程；
【解析】
【知識點】①直線點斜式方程及運用；②兩點之間的距離的定義與性質(zhì)；③點到直線的距離的定義與性質(zhì)；④余弦定理及運用；②正切的和角公式及運用。
【解題思路】設(shè)直線PN的斜率為，如圖，運用直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出AMN的值，根據(jù)余弦定理，結(jié)合問題條件得到關(guān)于|PN|的方程，求解方程求出|PN|的值，從而求出tanMPN的值，由正切的和和角公式求出的值，利用直線的點斜式方程就可求出直線PN的方程。
【詳細解答】設(shè)直線PN的斜率為，如圖，點N
y
P
到直線
PM的距離為1，|MN|=2，
|NA|=1，MA
A
N=，AMN=，點P到兩個定點M(-1，
M
0
N
x
0)，N(1，0)距離的比為，|PN|=4+2|PN|-22|PN|，
|PN|=(+1)，
sinMPN===，tanMPN=2-，=
tan（MPN+AMN）==1，直線PN的方程為：x-y-1=0。
5、已知兩直線x+y+1=0和x+y+1=0的交點為P（2，3），求過兩點（，）和（，）（≠）的直線方程；
【解析】
【知識點】①直線兩點式方程及運用；②兩條直線交點的定義與性質(zhì)。
【解題思路】運用求直線一般式方程斜率的基本方法，結(jié)合問題條件求出已知直線的斜率，根據(jù)兩條直線垂直的充分必要條件求出所求直線的斜率，利用直線的點斜方程就可求出所求直線的方程。
【詳細解答】兩直線x+y+1=0和x+y+1=0的交點為P（2，3），2+3+1=0，
2+3+1=0，2（-）+3（-）=0，=-，
y-=-(x-)，3y-3
=-2x+2=0，過兩點（，）和（，）（≠）的直線方程為：2x+3y+1=0。
6、過點M（1，-2）作直線L，使點B（2，1）到直線L的距離等于1，求直線L的方程；
【解析】
【知識點】①直線點斜式方程及運用；②點到直線的距離公式及運用。
【解題思路】設(shè)直線l的斜率為k，運用點到直線的距離公式，結(jié)合問題條件求出所求直線的斜率，利用直線的點斜方程就可求出所求直線的方程。
【詳細解答】設(shè)直線l的斜率為k，直線l過點M（1，-2），直線l的方程為：y+2=k（x-1），kx-y-k-2=0，點B（2，1）到直線,l的距離等于1，=1，
K=，直線l的方程是：4x-3y-10=0。
7、直線L過點M（2，1），且分別于X軸、Y軸正半軸相交于A、B兩點，O為坐標原點。
（1）當?shù)拿娣e最小時，求直線L的方程；
（2）當|MA|.|MB|最小時，求直線L的方程。
【解析】
【知識點】①直線點斜式方程及運用；②三角形面積公式及運用；③兩點之間距離公式及運用；④求函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，運用三角形的面積公式，結(jié)合問題條件得到面積關(guān)于參數(shù)a，b的表示式，根據(jù)求函數(shù)最值的基本方法求出a，b的值就可求出所求直線的方程；（2）運用兩點之間的距離公式，結(jié)合問題條件得到|MA|.|MB|關(guān)于參數(shù)a，b的表示式，根據(jù)求函數(shù)最值的基本方法求出a，b的值就可求出所求直線的方程。
【詳細解答】（1）如圖，設(shè)直線AB的斜率為k，
y
直線AB過點M（2，1），直線AB的方程為：y-1
=k(x-2)，kx-y-2k+1=0，A（2-，0），B（0，
B
M(2，1)
1-2k），=|OA|.|OB|=（2-）（1-2k）=
0
A
x
（4-4k-）2+22+4=6，當且僅當-4k=-，即k=時，等號成立，
k<0，k=-，當?shù)拿娣e最小時，直線l的方程為：x-2y+1=0；（2）|MA|.|MB|
=.=2=22=4，當且僅當=-
，即k=1時，等號成立，k<0，k=-1，當|MA|.|MB|最小時，直線l的方程為：x-y-1=0。
8、已知的三個頂點為A（-3，0），B（2，1），C（-2，3），求：
（1）邊BC所在的直線方程；
（2）BC邊上中線AD的直線方程；
（3）BC邊上的垂直平分線DE的方程。
【解析】
【知識點】①直線兩點式方程及運用；②直線點斜式方程及運用；③已知直線上兩點的坐標，求直線斜率的基本方法；④三角形一邊中線的定義與性質(zhì)；⑤三角形一邊垂直平分線的定義與性質(zhì)。
【解題思路】（1）如圖，運用直線兩點式方程，結(jié)合問題條件就可求出邊BC所在直線的方程；（2）運用三角形一邊中線的性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出線段BC中點D的坐標，利用直線兩點式方程可求出邊BC中線AD所在直線的方程；（3）運用三角形一邊垂直平分線的性質(zhì)求出線段BC中點D的坐標和直線DE的斜率k，利用直線點斜式方程就可求出BC邊上垂直平分線DE所在直線的方程。
y
【詳細解答】（1）如圖，
B（2，1），C（-2，3），
C（-2，3）
直線BC的方程為：=，x+2y-4=0，
D
B(2，1)
邊BC所在的直線方程是：x+2y-4=0；（2）
B（2，
A
（-3，0）
0
x
1），C（-2，3），D是邊BC的中點，點D（0，2），
E
直線AD的方程為：=，2x-3y+6=0，
BC邊上中線AD的直線方程是：2x-3y+6=0；（3）直線BC的斜率==-，直線DE垂直直線BC，.k=-1，
k=2，由（2）知，點D（0，2），直線DE的方程為：y-2=2(x-0)，2x-y+2=0，
BC邊上的垂直平分線DE的方程是：2x-y+2=0。
『思考問題2』
（1）【典例2】是求直線方程的問題，解答這類問題需要理解直線方程的定義，掌握求直線方程的基本方法；
（2）求直線方程的常用方法有：①直接法；②間接法；
（3）直接法是根據(jù)題給條件，選擇恰當?shù)闹本€方程形式，依據(jù)相應(yīng)直線方程形式求出直線方程；
（4）間接法是根據(jù)直線在題給條件中所具有的某些性質(zhì)，先設(shè)出方程（含參數(shù)或待定系數(shù)），再由題給條件求出參數(shù)或待定系數(shù)，然后求出直線方程；
（5）常見的直線系方程：①過定點P(，)的直線系方程：A（x-）+B(y-)=0
(+0)或y-=k(x-)和x=；②平行已知直線：Ax+By+C=0的直線系方程：Ax+By+=0（C）；③垂直已知直線：Ax+By+C=0的直線系方程：Bx-Ay+=0（C）；
④過已知直線：x+y+=0與x+y+=0的交點的直線系方程：x+y++（x+y+）=0（不包括直線x+y+=0）。
〔練習2〕解答下列問題：
1、一條中線被兩條直線：4x+y+6=0與：3x-5y-6=0截得的線段中點恰好是坐標原點，求這條直線的方程；
2、過點M(-1,2)作中線L，使點A(-3,4)和B（1，-2）到中線L的距離相等，求中線L的方程；
3、一條直線經(jīng)過P（3,2），并且分別滿足下列條件，求直線方程：
（1）傾斜角是直線x-4y+3=0的傾斜角的2倍；
（2）與X、Y軸的正半軸相交于A、B兩點，且的面積最小（O為坐標原點）；
4、已知的三個頂點為A（-3-2,0），B（3,1），C（-1,3），求：
（1）邊BC所在的直線方程；
（2）BC邊上的高AD的直線方程；
（3）BC邊上的垂直平分線DE的方程。
【典例3】解答下列問題：
1、已知直線l過點A（1，1），B（-1，3），則直線l的傾斜角為（
）
A
B
C
或
D
或
【解析】
【知識點】①已知直線上兩點的坐標，求直線斜率的基本方法；②已知直線斜率，求直線傾斜角的基本方法。
【解題思路】設(shè)直線l的斜率為k，傾斜角為，運用已知直線上兩點的坐標，求直線斜率的基本方法，結(jié)合問題條件求出直線l的斜率，利用已知直線斜率，求直線傾斜角的基本方法就可求出所求直線的傾斜角。
【詳細解答】設(shè)直線l的斜率為k，傾斜角為，k=
=-1，直線l的傾斜角為，
B正確，選B。
2、直線x-y-2018=0的傾斜角等于（
）
A
B
C
D
不存在
【解析】
【知識點】①已知直線一般式方程，求直線斜率的基本方法；②已知直線斜率，求直線傾斜角的基本方法。
【解題思路】設(shè)直線l的斜率為k，傾斜角為，運用已知直線一般式方程，求直線斜率的基本方法，結(jié)合問題條件求出直線l的斜率，利用已知直線斜率，求直線傾斜角的基本方法就可求出所求直線的傾斜角。
【詳細解答】設(shè)直線l的斜率為k，傾斜角為，
k=-
=，直線l的傾斜角為，
B正確，選B。
3、已知直線x+ky-2-2k=0恒過定點A，若點A在直線mx-y+2n=0(m＞0，n＞0)上，則+的最小值為（
）
A
B
18
C
9
D
25
【解析】
【知識點】①確定直線所過定點的基本方法；②點在直線上的定義與性質(zhì)；③基本不等式及運用。
【解題思路】運用確定直線所過定點的基本方法，結(jié)合問題條件求出點A的坐標，根據(jù)點在一張直線上的性質(zhì)得到關(guān)于m，n的等式，利用基本不等式就可求出+的最小值。
【詳細解答】令y=2，
x+2k-2-2k=0，x=2，點A（2，2），點A在直線mx-y+2n=0上，2m-2+2n=0，m+n=1，
m＞0，n＞0，+=（+）（m+n）=4+
+
+9=13++13+213+26=25，D正確，選D。
4、已知三角形的三個頂點A（-5，0），B（3，-3），C（0，2）。
（1）求線段AB的垂直平分線的方程；
（2）求ABC的面積。
【解析】
【知識點】①已知直線上兩點的坐標，求直線斜率的基本方法；②線段中點的定義與性質(zhì)；③直線點斜式方程及運用；③兩條直線垂直的充分必要條件；④兩點之間的距離公式及運用；⑤點到直線的距離公式及運用；⑥三角形面積公式及運用。
【解題思路】（1）設(shè)直線AB的斜率為k，線段AB垂直平分線的斜率為，線段AB的中點為D，運用已知直線上兩點的坐標，求直線斜率的基本方法，結(jié)合問題條件求出直線AB的斜率，從而求出線段AB垂直平分線的斜率，根據(jù)線段中點的性質(zhì)求出點D的坐標，利用直線點斜式方程就可求出線段AB垂直平分線的方程；（2）運用兩點之間的距離公式，點到直線的距離公式求出|AB|和邊AB上的高，利用三角形的面積公式通過運算就可求出ABC的面積。
【詳細解答】（1）設(shè)直線AB的斜率為k，線段AB垂直平分線的斜率為，線段AB的中點為D，
k==-，k.
=-1，=，點D是線段AB的中點，點D（-1，-），線段AB垂直平分線的方程為：y+=(x+1)，16x-6y+7=0；（2）直線AB的方程為：3x+8y+15=0，|AB|==，==，
==。
5、已知直線l：2x-3y+1=0，點A（-1，-2），求：
（1）過點A（-1，-2）且與直線l平行的直線m的方程；
（2）點A關(guān)于直線l的對稱點的坐標。
【解析】
【知識點】①直線系方程的定義與性質(zhì)；②求直線系方程的基本方法；③軸對稱的定義與性質(zhì)；④求已知點關(guān)于已知直線對稱點坐標的基本方法。
【解題思路】（1）運用直線系方程的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到直線l含參數(shù)t的方程，根據(jù)直線l過點A得到關(guān)于參數(shù)t的方程，求解方程求出參數(shù)t的值就可求出直線l的方程；（2）設(shè)（x，y），運用軸對稱的性質(zhì)，結(jié)合問題得到關(guān)于x，y的方程組，求解方程組求出x，y的值就可求出點的坐標。
【詳細解答】（1）直線l：2x-3y+1=0，直線m與直線l平行，直線m的方程為：2x-3y+t=0，
直線m過點A（-1，-2），-2+6+t=0，t=4，直線m的方程是：2x-3y+4=0；（2）設(shè)（x，y），點A關(guān)于直線l的對稱點為，2-3+1=0，
x=，
=-1，
y=，
點的坐標為（-，）。
『思考問題3』
（1）【典例3】是近幾年考試的常見問題，解答這類問題需要分辨清楚問題涉及哪些基本知識點，再運用相關(guān)知識點取解析解答；
（2）直線問題歸結(jié)起來主要包括：①求直線斜率或直線傾斜角的問題；②求直線方程的問題兩種類型，解答問題時應(yīng)該首先甄別問題屬于哪種類型，然后運用解答該類問題的基本方法實施解答。
〔練習3〕解答下列問題：
1、垂直于直線y=x+1且與圓=1相切與第一象限的直線方程是（
）
A
x+y-
=0
B
x+y+1=0
C
x+y-1=0
D
x+y+
=0
2、已知直線l過圓+=4的圓心，且與直線x+y+1=0垂直，則l的方程是（
）
A
x+y-
2=0
B
x-y+2=0
C
x+y-3=0
D
x-y+
3=0
3、已知點A的坐標為（4,1），將OA繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)至OB，則點B的縱坐標為（
）
A
B
C
D
4、在平面直角坐標系中，曲線C：
x=2+
t
(t為參數(shù))的普通方程為
；
y=1+t
5、已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A（0，0），B（1，7），C（6，2），D（5，-5）。
（1）求經(jīng)過點B且與直線x-2y+1=0垂直的直線方程；
（2）試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明。
6、已知直線l：kx-y+1+2k=0(kR)，直線l交X軸負半軸于點A，角Y軸正半軸于點B。
（1）記ABO的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程；
（2）直線l過定點M，求|MA||MB|的最小值。
P(1，1)
O

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