資源簡介

高中數學橢圓的知識總結
1.橢圓的定義：
平面內一個動點P到兩個定點的距離之和等于常數（），這個動點P的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.
注意：若，則動點P的軌跡為線段；若，則動點P的軌跡無圖形.
（1）橢圓：焦點在軸上時（）（參數方程，其中為參數），焦點在軸上時＝1（）。
2.
橢圓的幾何性質：
（1）橢圓（以（）為例）：①范圍：；②焦點：兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；
④離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。⑥
（2）.點與橢圓的位置關系：①點在橢圓外；
②點在橢圓上＝1；③點在橢圓內
3．直線與圓錐曲線的位置關系：
（1）相交：直線與橢圓相交；（2）相切：直線與橢圓相切；
（3）相離：直線與橢圓相離；
如:直線y―kx―1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是_______；
4.焦點三角形（橢圓上的一點與兩焦點所構成的三角形）
5.弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則＝，若分別為A、B的縱坐標，則＝，若弦AB所在直線方程設為，則＝。
6.圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=－；
如（1）如果橢圓弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是
；
（2）已知直線y=－x+1與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：x－2y=0上，則此橢圓的離心率為_______；
（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點關于直線對稱；
特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗！
橢圓知識點的應用
1.如何確定橢圓的標準方程？　　
任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。
確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件；一個定位條件焦點坐標，由焦點坐標的形式確定標準方程的類型。
2.橢圓標準方程中的三個量的幾何意義
　　橢圓標準方程中，三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：，，且。
可借助右圖理解記憶：
　
　
恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。
3．如何由橢圓標準方程判斷焦點位置
橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看，的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。
4．方程是表示橢圓的條件
方程可化為，即，所以只有A、B、C同號，且AB時，方程表示橢圓。當時，橢圓的焦點在軸上；當時，橢圓的焦點在軸上。
5．求橢圓標準方程的常用方法：
　?、俅ㄏ禂捣ǎ河梢阎獥l件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；
②定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據定義確定方程。
6．共焦點的橢圓標準方程形式上的差異
共焦點，則c相同。與橢圓共焦點的橢圓方程可設為，此類問題常用待定系數法求解。
7．判斷曲線關于軸、軸、原點對稱的依據：
①
若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關于軸對稱；
②
若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關于軸對稱；
③
若把曲線方程中的、同時換成、，方程不變，則曲線關于原點對稱。
8．如何求解與焦點三角形△PF1F2（P為橢圓上的點）有關的計算問題？
思路分析：與焦點三角形△PF1F2有關的計算問題時，常考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算解題。
將有關線段，有關角
()結合起來，建立、之間的關系.
9．如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關系？
長軸與短軸的長短關系決定橢圓形狀的變化。離心率，因為，，用表示為。
顯然：當越小時，越大，橢圓形狀越扁；當越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓。
題型1:橢圓定義的運用
例1.已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點若，則______.
例2.如果方程表示焦點在x軸的橢圓，那么實數k的取值范圍是____________.
例3.已知為橢圓上的一點，分別為圓和圓上的點，則的最小值為
題型2：
求橢圓的標準方程
例1、求滿足下列各條件的橢圓的標準方程.
(1)經過兩點；
(2)經過點(2，－3)且與橢圓具有共同的焦點；
(3)一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為－4.
題型3:求橢圓的離心率
例1、中，若以為焦點的橢圓經過點，則橢圓的離心率為
.
例2、過橢圓的一個焦點作橢圓長軸的垂線交橢圓于P，若
為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為
題型4:橢圓的其他幾何性質的運用（范圍、對稱性等）
例1.已知實數滿足,則的范圍為
例2.已知點是橢圓（）上兩點,且,則=
題型5：焦點三角形問題
例1.已知為橢圓的兩個焦點，p為橢圓上的一點，已知為一個直角三角形的三個頂點，且,求的值.
例2.已知為橢圓C:的兩個焦點，在C上滿足的點的個數為
.
例3.已知橢圓的焦點是,且離心率
①
求橢圓的方程;
②
設點P在橢圓上,且,求cos.
題型6:
三角代換的應用
例1.橢圓上的點到直線l:的距離的最小值為___________．
例2.橢圓的內接矩形的面積的最大值為
題型7：直線與橢圓的位置關系的判斷
例1.當為何值時，直線與橢圓相交？相切？相離？
例2.若直線與橢圓恒有公共點，求實數的取值范圍；
題型8：弦長問題
例1.求直線被橢圓所截得的弦長.
例2.已知橢圓的左右焦點分別為F1,F2，若過點P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A,B兩點，求⊿ABF2的面積；
題型9：中點弦問題
例1.
求以橢圓內的點A（2，-1）為中點的弦所在的直線方程。
例2.中心在原點，一個焦點為的橢圓截直線
所得弦的中點橫坐標為，求橢圓的方程．
例3.橢圓與直線
相交于A、B兩點，點C
是AB的中點．若
，OC的斜率為
（O為原點），求橢圓的方程．
鞏固訓練
1.
如圖,橢圓中心在原點,F是左焦點,直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為
2.設為橢圓的兩焦點，P在橢圓上，當面積為1時，的值為
3.橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是
4.
若為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,若,
則此橢圓的離心率為
5.在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2c，以O為圓心，為半徑的圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心率=
．
雙曲線
基本知識點
雙曲線
標準方程（焦點在軸）
標準方程（焦點在軸）
定義
定義：平面內與兩個定點，的距離的差的絕對值是常數（小于）的點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。
范圍
，
，
對稱軸
軸
，軸；實軸長為,虛軸長為
對稱中心
原點
焦點坐標
焦點在實軸上，；焦距：
頂點坐標
（,0）
(,0)
(0,
,)
(0，)
離心率
漸近線方程
共漸近線的雙曲線系方程
（）
（）
直線和雙曲線的位置
雙曲線與直線的位置關系：利用轉化為一元二次方程用判別式確定。二次方程二次項系數為零直線與漸近線平行。相交弦AB的弦長
補充知識點：
等軸雙曲線的主要性質有：
（1）半實軸
(?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?2181338.htm"
\t
"_blank?)長=半虛軸長（一般而言是a=b，但有些地區教材版本不同，不一定用的是a,b這兩個字母）；
（2）其標準方程為，其中；
（3）離心率；
（4）漸近線
(?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?152611.htm"
\t
"_blank?)：兩條漸近線
y=±x
互相垂直；
例題分析：
例1、動點與點與點滿足，則點的軌跡方程為（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
同步練習一:如果雙曲線的漸近線方程為，則離心率為（　?。?br/>Ａ．
Ｂ．
Ｃ．或
Ｄ．
例2、已知雙曲線的離心率為，則的范圍為（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
同步練習二:雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為　　　　?。?br/>例3、設是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為，分別是雙曲線的左、右焦點，若，則的值為　　　　?。?br/>同步練習三:若雙曲線的兩個焦點分別為，且經過點，則雙曲線的標準方程為　　　　。
例4、下列各對曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是（
）
(A)-y2=1和-=1
(B)-y2=1和y2-=1
(C)y2-=1和x2-=1
(D)-y2=1和-=1
同步練習四:已知雙曲線的中心在原點，兩個焦點分別為和，點在雙曲線上且，且的面積為1，則雙曲線的方程為（　?。?br/>Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
例5、與雙曲線有共同的漸近線，且經過點A的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是（
）
（A）8
（B）4
（C）2
（D）1
同步練習五:以為漸近線，一個焦點是F（0，2）的雙曲線方程為_________.
例6、下列方程中，以x±2y=0為漸近線的雙曲線方程是
(A)
同步練習六:雙曲線8kx2-ky2=8的一個焦點是(0，3)，那么k的值是
例7、經過雙曲線的右焦點F2作傾斜角為30°的弦AB，
（1）求|AB|.
（2）F1是雙曲線的左焦點，求△F1AB的周長．
同步練習七過點（0，3）的直線l與雙曲線只有一個公共點，求直線l的方程。
高考真題分析
1.【2012高考新課標文10】等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為（
）
2.【2012高考山東文11】已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為
(A)
　(B)
　　(C)　　(D)
3.【2012高考全國文10】已知、為雙曲線的左、右焦點，點在上，，則
（A）
（B）
（C）
（D）
4.（2011年高考湖南卷文科6)設雙曲線的漸近線方程為則的值為（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
5.【2012高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率為，則的值為
．
拋物線
拋物線
定義
平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。{=點M到直線的距離}
范圍
對稱性
關于軸對稱
關于軸對稱
焦點
(,0)
(,0)
(0,)
(0,)
焦點在對稱軸上
頂點
離心率
=1
準線方程
準線與焦點位于頂點兩側且到頂點的距離相等。
頂點到準線的距離
焦點到準線的距離
焦半徑
焦
點弦
長
焦點弦的幾條性質
以為直徑的圓必與準線相切
若的傾斜角為，則
若的傾斜角為，則
切線方程
1、直線與拋物線的位置關系
　　直線，拋物線，　由　，消y得：
（1）當k=0時，直線與拋物線的對稱軸平行，有一個交點；
（2）當k≠0時，Δ＞0，直線與拋物線相交，兩個不同交點；
Δ=0，
直線與拋物線相切，一個切點；
Δ＜0，直線與拋物線相離，無公共點。
（3）若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線必相切嗎?（不一定）
1、關于直線與拋物線的位置關系問題常用處理方法
直線：
拋物線，
聯立方程法：
設交點坐標為,，則有,以及，還可進一步求出，
在涉及弦長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法，比如
(1)相交弦AB的弦長
或
（2）.
中點,
，
點差法：
設交點坐標為，，代入拋物線方程，得
將兩式相減，可得
（1）在涉及斜率問題時，
（2）在涉及中點軌跡問題時，設線段的中點為，，即，
同理，對于拋物線，若直線與拋物線相交于兩點，點是弦的中點，則有（注意能用這個公式的條件：1）直線與拋物線有兩個不同的交點，2）直線的斜率存在，且不等于零）
P
P
x
y
O
l
F
x
y
O
l
F
l
F
x
y
O
x
y
O
l
F
o
x
F
y
2

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