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一、復習提問
1、
極坐標系和直角坐標系有什么區別？學校老師課堂如何講解極坐標參數方程的？
2、
如何把極坐標系轉化為直角坐標系？
答：將極坐標的極點O作為直角坐標系的原點，將極坐標的極軸作為直角坐標系x軸的正半軸。如果點P在直角坐標系下的坐標為，在極坐標系下的坐標為，則有下列關系成立：，，
3、
參數方程表示什么曲線？
4、
圓
的參數方程是什么？
5、
極坐標系的定義是什么？
答：取一個定點，稱為極點，作一水平射線，稱為極軸，在上規定單位長度，這樣就組成了一個極坐標系設OP，又.
和的值確定了，則點的位置就確定了。叫做點的極半徑，叫做點的極角，叫做點的極坐標（規定寫在前，寫在后）。顯然，每一對實數決定平面上一個點的位置.
6、參數方程的意義是什么？
二、題型與方法歸納
1、
題型與考點（1）
（2）
(3)
2、解題方法及步驟
（1）、參數方程與普通方程的互化
化參數方程為普通方程的基本思路是消去參數，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數的）消去法；化普通方程為參數方程的基本思路是引入參數，即選定合適的參數，先確定一個關系（或，再代入普通方程，求得另一關系（或）.一般地，常選擇的參數有角、有向線段的數量、斜率，某一點的橫坐標（或縱坐標）
例1、方程（為參數）表示的曲線是（
）
A.
雙曲線
B.雙曲線的上支
C.雙曲線的下支
D.圓
解析：注意到t與互為倒數，故將參數方程的兩個等式兩邊分別平方，再相減，即可消去含的項，，即有，又注意到
，，即，可見與以上參數方程等價的普通方程為，顯然它表示焦點在軸上，以原點為中心的雙曲線的上支，選B.
練習1、與普通方程等價的參數方程是（
）（為能數）
解析：所謂與方程等價，是指若把參數方程化為普通方程后不但形式一致而且的變化范圍也對應相同，按照這一標準逐一驗證即可破解.
對于化為普通方程為；
對于化為普通方程為；
對于化為普通方程為;
對于化為普通方程為.
而已知方程為顯然與之等價的為.
練習2、設是橢圓上的一個動點，則的最大值是
，最小值為
.
分析：注意到變量的幾何意義，故研究二元函數的最值時，可轉化為幾何問題.若設，則方程表示一組直線，（對于取不同的值，方程表示不同的直線），顯然既滿足，又滿足，故點是方程組的公共解，依題意得直線與橢圓總有公共點，從而轉化為研究消無后的一元二次方程的判別式問題.
解析：令，對于既滿足，又滿足，故點是方程組的公共解，依題意得，由，解得：，所以的最大值為，最小值為.
（2）、極坐標與直角坐標的互化
利用兩種坐標的互化，可以把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，這二者互化的前提條件是（1）極點與原點重合；（2）極軸與軸正方向重合；（3）取相同的單位長度.設點P的直角坐標為，它的極坐標為，則或；若把直角坐標化為極坐標，求極角時，應注意判斷點所在的象限（即角的終邊的位置），以便正確地求出角.
例2、極坐標方程表示的曲線是（
）
A.
圓
B.
橢圓
C.
雙曲線的一支
D.
拋物線
分析：這類問題需要將極坐標方程轉化為普通方程進行判斷.
解析：由，化為直角坐標系方程為，化簡得.顯然該方程表示拋物線，故選D.
練習1、已知直線的極坐標方程為，則極點到該直線的距離是
解析：極點的直角坐標為，對于方程，
可得，化為直角坐標方程為，因此點到直線的距離為
練習2、極坐標方程轉化成直角坐標方程為（
）
A．
B．
C．
D．
分析：極坐標化為直解坐標只須結合轉化公式進行化解.
解析：，，或，因此選C.
練習3、點的直角坐標是，則點的極坐標為（
）
A．
B．
C．
D．
解析：都是極坐標，因此選C.
（3）、參數方程與直角坐標方程互化
例3：已知曲線的參數方程為（為參數），曲線的極坐標方程為．
（1）將曲線的參數方程化為普通方程，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）曲線，是否相交，若相交請求出公共弦的長，若不相交，請說明理由．
解：（1）由得，
∴曲線的普通方程為，
∵，，
∵，，，
∴，即，
∴曲線的直角坐標方程為；
（2）∵圓的圓心為，圓的圓心為，
∴
∴兩圓相交，設相交弦長為，因為兩圓半徑相等，所以公共弦平分線段
∴，
∴，∴公共弦長為
練習1、坐標系與參數方程.
已知曲線C：（為參數，)，
（Ⅰ）將曲線化為普通方程；
（Ⅱ）求出該曲線在以直角坐標系原點為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系下的極坐標方程．
解析：（Ⅰ）
（Ⅱ）
（4）利用參數方程求值域
例題4、在曲線：上求一點，使它到直線：的距離最小，并求出該點坐標和最小距離.
解：直線化成普通方程是，設所求的點為，
則C到直線的距離，
當時，即時，取最小值1
，此時，點的坐標是.
練習1、在平面直角坐標系中，動圓
（）的圓心為
，求的取值范.
解：由題設得（為參數，），
于是，所以.
練習2、已知曲線的極坐標方程是，設直線的參數方程是（為參數）．
（Ⅰ）將曲線的極坐標方程轉化為直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線與軸的交點是，曲線上一動點，求的最大值.
解：（1）曲線的極坐標方程可化為：
又，
，.
所以，曲線的直角坐標方程為：.
（2）將直線的參數方程化為直角坐標方程得：，
令
得即點的坐標為，
又曲線為圓，圓的圓心坐標為，半徑，
則，.
（5）直線參數方程中的參數的幾何意義
例5、已知直線經過點，傾斜角，
①寫出直線的參數方程;
②設與圓相交與兩點，求點到兩點的距離之積.
解
（1）直線的參數方程為，即．
（2）把直線代入，
得，，
則點到兩點的距離之積為．
練習1、求直線（）被曲線所截的弦長.
解：將方程，分別化為普通方程：
，，圓心，半徑為，
圓心到直線的距離，弦長.
（6）、參數方程與極坐標的簡單應用
參數方程和極坐標的簡單應用主要是：求幾何圖形的面積、曲線的軌跡方程或研究某些函數的最值問題.
例6、已知的三個頂點的極坐標分別為，，，
判斷的形狀，并計算其面積.
分析：判斷的形狀，就需要計算三角形的邊長或角，在本題中計算邊長較為容易，不妨先計算邊長.
解析：如圖，對于，，，
又，，由余弦定理得：
，
，同理，，
所以為等腰三角形，又，
所以邊上的高，
.
練習1、如圖，點在直線上移動，等腰的頂角為（，，按順時針方向排列），求點的軌跡方程.
解析：取為極點，正半軸為極軸，建立極坐標系，則直線的極坐標方程為，
設，，因點在直線上，
為等腰三角形，
且，而，，
以及，
，把<2>代入<1>，
得點的軌跡的極坐標方程為：.
三、趁熱打鐵
1．把方程化為以參數的參數方程是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：D
，
，取非零實數，而A，B，C中的的范圍有各自的限制.
2．曲線與坐標軸的交點是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：B，當時，，而，即，得與軸的交點為；
當時，，而，即，得與軸的交點為.
3．直線被圓截得的弦長為（
）
A．
B．
C．
D．
解析：B
，把直線代入
得，
，弦長為
4．若點在以點為焦點的拋物線上，則等于（
）
A．
B．
C．
D．
解析：C
拋物線為，準線為，為到準線的距離，即為.
5．已知曲線上的兩點對應的參數分別為，，那么=_______________。
解析：，
顯然線段垂直于拋物線的對稱軸。即軸，
6．圓的參數方程為，則此圓的半徑為_______________。
解析：
由得
故半徑為5.
7．分別在下列兩種情況下，把參數方程化為普通方程：
（1）為參數，為常數；（2）為參數，為常數；
解：（1）當時，，即；
當時，，
而，即；
（2）當時，，，即；
當時，，，即；
當時，得，即
得，即.
8．過點作傾斜角為的直線與曲線交于點，
求的值及相應的的值.
解：設直線為，代入曲線并整理得
，則，
所以當時，即，的最小值為，此時.
9．參數方程表示什么曲線？
解：顯然，則，
即，
得，即.
四、溫故強化
1．下列在曲線上的點是（
）
A．
B．
C．
D．
解析：B
轉化為普通方程：，當時，.
2．將參數方程化為普通方程為（
）
A．
B．
C．
D．
解析：C
轉化為普通方程：，但是.
3.
若，，則|AB|=___________，___________（其中O是極點）
解析：在極坐標系中畫出點A、B，易得，
在中，由余弦定理得：，
，
所以.
4．直線被圓截得的弦長為______________
解析：
直線為，圓心到直線的距離，弦長的一半為，得弦長為.
5.
直線（t為參數）上任一點P到的距離為__________
解析：所求距離為2|t|（把直線的參數方程化為標準形式）
6.
的軌跡方程為____________。
解析：設，，而，，
由重心坐標公式，得：（為參數），
消參，得點G的軌跡方程為.
7.
若方程的曲線是橢圓，求實數的取值范圍.
解析：將方程兩邊同乘以，化為：，
即，整理得，若方程表示橢圓，
則須滿足：，，.
8.
求橢圓上一點與定點之間距離的最小值.
解析：（先設出點的坐標，建立有關距離的函數關系），設，則到定點的距離為：
，當時，取最小值.
9．在橢圓上找一點，使這一點到直線的距離的最小值.
解析：設橢圓的參數方程為，，
當時，，此時所求點為.
10．求直線和直線的交點的坐標，及點
與的距離.
解析：將代入得，
得，而，得.
10

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