資源簡介

《集合》
一
相關知識點
1．集合的有關概念
(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．
(2)集合與元素的關系：若a屬于集合A，記作a∈A；若b不屬于集合A，記作b?A.
(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法．
(4)常見數集的記法
集合
自然數集
正整數集
整數集
有理數集
實數集
符號
N
N
(或N＋)
Z
Q
R
2．集合間的基本關系
表示
關系　　
文字語言
記法
集合間的基本關系
子集
集合A中任意一個元素都是集合B中的元素
A?B或B?A
真子集
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A
AB或BA
相等
集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，集合B中的每一個元素也都是集合A中的元素
A?B且B?A?A＝B
空集
空集是任何集合的子集
??A
空集是任何非空集合的真子集
?B且B≠?
3.集合的子集、真子集的個數
含有n(n∈N
)個元素的集合有2n個子集，有2n－1個非空子集，有2n－1個真子集，有2n－2個非空真子集．
4.集合的基本運算
表示
運算　　
文字語言
符號語言
圖形語言
記法
交集
屬于A且屬于B的元素組成的集合
{x|x∈A且x∈B}
A∩B
并集
屬于A或屬于B的元素組成的集合
{x|x∈A或x∈B}
A∪B
補集
全集U中不屬于A的元素組成的集合
{x|x∈U，x?A}
?UA
5.集合基本運算的常見性質
(1)A∩A＝A，A∩?＝?.
(2)A∪A＝A，A∪?＝A.
(3)A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A.
(4)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?.
《命題及其關系、充分條件與必要條件》
一
相關知識點
1．命題：可以判斷真假，用文字或符號表述的語句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題．
2．四種命題及其相互關系
(1)四種命題間的相互關系
(2)四種命題的真假關系
①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；
②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關系．
3．充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件
p?q且qp
p是q的必要不充分條件
pq且q?p
p是q的充要條件
p?q
p是q的既不充分也不必要條件
pq且qp
4．充分條件、必要條件的兩個結論
(1)若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件；
(2)若p是q的充分不必要條件，則﹁q是﹁p的充分不必要條件．
5．充分條件、必要條件與集合的關系
p成立的對象構成的集合為A，q成立的對象構成的集合為B
p是q的充分條件
A?B
p是q的必要條件
B?A
p是q的充分不必要條件
AB
p是q的必要不充分條件
BA
p是q的充要條件
A＝B
《簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞》
一
相關知識點
1.簡單的邏輯聯結詞
(1)常用的簡單的邏輯聯結詞有“且”“或”“非”．
(2)命題p且q，p或q，﹁p的真假判斷
p
q
p且q
p或q
﹁p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.常用結論
（1）含有邏輯聯結詞的命題真假的判斷規律：
p或q：有真則真；
p且q：有假則假；
p與﹁p：真假相反．
（2）含一個量詞的命題的否定的規律是“改量詞，否結論”．
（3）命題p且q的否定是“﹁p或﹁q”；命題p或q的否定是“﹁p且﹁q”．
3．全稱量詞與全稱命題
(1)“所有”“每一個”“任何”“任意一條”“一切”都是在指定范圍內，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞．
(2)含有全稱量詞的命題，叫作全稱命題．
4．存在量詞與特稱命題
(1)“有些”“至少有一個”“有一個”“存在”都有表示個別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞．
(2)含有存在量詞的命題，叫作特稱命題．
5．全稱命題和特稱命題的否定
命題
命題的否定
任意x∈M，p(x)
存在x∈M，﹁p(x)
存在x∈M，p(x)
任意x∈M，﹁p(x)
《函數及其表示》
一
相關知識點
1．函數與映射的概念
函數
映射
兩集合A，B
設A，B是兩個非空的數集
設A，B是兩個非空的集合
對應關系f：A→B
如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應
如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應
名稱
稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數
稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射
記法
y＝f(x)，x∈A
對應f：A→B
2.函數的有關概念
(1)函數的定義域、值域：在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．顯然，值域是集合B的子集．
(2)函數的三要素：定義域、值域和對應關系．
(3)相等函數：如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數相等，這是判斷兩函數相等的依據．
二、定義域相關知識點
1．常見基本初等函數定義域的基本要求
(1)分式函數中分母不等于零．
(2)偶次根式函數的被開方式大于或等于0.
(3)一次函數、二次函數的定義域均為R.
(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin
x，y＝cos
x的定義域均為R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域為(0，＋∞)．
(7)y＝tan
x的定義域為.
2．方法技巧：
（1）根據具體的函數解析式求定義域的策略
已知解析式的函數，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求解時只要根據函數解析式列出自變量滿足的不等式(組)，得出不等式(組)的解集即可．
（2）求抽象函數的定義域的策略
(1)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域．
3．求函數定義域應注意的問題
(1)不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發生變化；
(2)定義域是一個集合，要用集合或區間表示，若用區間表示數集，不能用“或”連接，而應該用并集符號“∪”連接．　　
《函數的單調性與最值》
一
相關知識點
1．函數的單調性
(1)增、減函數
增函數
減函數
定義
在函數y＝f(x)的定義域內的一個區間A上，如果對于任意兩個數x1，x2∈A
當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就稱函數y＝f(x)在區間A上是增加的，有時也稱函數y＝f(x)在區間A上是遞增的
當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就稱函數y＝f(x)在區間A上是減少的，有時也稱函數y＝f(x)在區間A上是遞減的
(2)單調區間和函數的單調性
①如果函數y＝f(x)在區間A上是增加的或是減少的，那么稱A為單調區間．
②如果函數y＝f(x)在定義域的某個子集上是增加的或是減少的，那么就稱函數y＝f(x)在這個子集上具有單調性．
(3)單調函數
如果函數y＝f(x)在整個定義域內是增加的或是減少的，我們分別稱這個函數為增函數或減函數，統稱為單調函數．
2．函數的最值
前提
函數y＝f(x)的定義域為D
條件
(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；
(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；
(2)對于任意x∈D，都有f(x)≤M
(2)對于任意x∈D，都有f(x)≥M
結論
M為最大值
M為最小值
求函數最值的五種常用方法及其思路
(1)單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值．
(2)圖像法：先作出函數的圖像，再觀察其最高點、最低點，求出最值．
(3)基本不等式法：先對解析式變形，具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值．
(4)導數法：先求導，然后求出在給定區間上的極值，最后結合端點值，求出最值．
(5)換元法：對比較復雜的函數可通過換元轉化為熟悉的函數，再用相應的方法求最值．
3．函數單調性常用結論
(1)對任意x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0?f(x)在D上是增函數，＜0?f(x)在D上是減函數．
(2)對勾函數y＝x＋(a＞0)的增區間為(－∞，－]和[，＋∞)，
減區間為[－，0)和(0，]．
(3)在區間D上，兩個增函數的和仍是增函數，兩個減函數的和仍是減函數．
(4)復合函數f(g(x))的單調性與函數y＝f(u)和u＝g(x)的單調性的關系是“同增異減”．
《函數的奇偶性和周期性》
一
奇偶性相關知識點
1．奇函數、偶函數的概念
(1)圖像關于原點對稱的函數叫作奇函數．
(2)圖像關于y軸對稱的函數叫作偶函數．
2．判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件
(1)
定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；
(2)
判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系：
若f(－x)＝－f(x)，則這個函數是奇函數；
若f(－x)＝f(x)，則這個函數是偶函數
3．函數奇偶性的常用結論
(1)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函數在關于原點對稱的兩個區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的兩個區間上有相反的單調性．
(3)如果奇函數y＝f(x)在原點有定義，則f(0)＝0.
(4)在公共定義域內有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．
二
周期性相關知識點
1．周期函數：對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．
2．最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期．
3．函數周期性的三個常用結論
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a.(a>0).
(4)偶函數y＝f(x)滿足f(x＋a)＝f(－x＋a)，則T＝2a.(a>0).
(5)奇函數y＝f(x)滿足f(x＋a)＝f(－x＋a)，則T＝4a.(a>0).
《二次函數與冪函數》
一
相關知識點
1．冪函數的定義
形如y＝xα(α∈R)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α為常數．對于冪函數，只討論α＝1,2,3，，－1時的情形．
2．五種冪函數的圖象
3．五種冪函數的性質
函數
性質
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定義域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調性
增
x∈[0，＋∞)時，增；x∈(－∞，0]時，減
增
增
x∈(0，＋∞)時，減；x∈(－∞，0)時，減
4．冪函數y＝xα(α∈R)的圖像特征
(1)冪函數的圖像一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至于是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性．
(2)冪函數的圖像過定點(1,1)，如果冪函數的圖像與坐標軸相交，則交點一定是原點．
(3)當α＞0時，y＝xα在[0，＋∞)上為增加的；當α＜0時，y＝xα在(0，＋∞)上為減少的．
《指數與指數函數》
一
相關知識點
1．根式
(1)根式的概念：若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N
.式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．
(2)a的n次方根的表示；xn＝a?
2．有理數指數冪
冪的有關概念
正分數指數冪：a＝(a＞0，m，n∈N
，且n＞1)
負分數指數冪：a＝＝(a＞0，m，n∈N
，且n＞1)
0的正分數指數冪等于_0_，0的負分數指數冪無意義
有理數指數冪的性質
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
3．指數函數的圖象
函數
y＝ax(a>0，且a≠1)
0a>1
圖象
圖象特征
在x軸上方，過定點(0,1)
當x逐漸增大時，圖象逐漸下降
當x逐漸增大時，圖象逐漸上升
（1）畫指數函數圖象的三個關鍵點
畫指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0,1)，.
（2）指數函數的圖象與底數大小的比較
如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b.
由此我們可得到以下規律：在y軸右(左)側圖象越高(低)，其底數越大．
4．指數函數的性質
函數
y＝ax(a>0，且a≠1)
0a>1
性質
定義域
R
值域
(0，＋∞)
單調性
在R上是減函數
在R上是增函數
函數值變化規律
當x＝0時，y＝1
當x<0時，y>1；
當x>0時，0當x<0時，0當x>0時，y>1
《對數與對數函數》
一
相關知識點
1．對數的概念、性質及運算
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數，logaN叫做對數式
性質
對數式與指數式的互化：ax＝N?x＝logaN
loga1＝0，logaa＝1，＝N，logaab＝b
運算法則
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
2．重要公式
(1)換底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；
(2)logab＝，推廣logab·logbc·logcd＝logad.
(3)logmbn＝logab
3．對數函數的圖象
函數
y＝logax，a>1
y＝logax,0圖象
圖象特征
在y軸右側，過定點(1,0)
當x逐漸增大時，圖象是上升的
當x逐漸增大時，圖象是下降的
（1）底數的大小決定了圖象相對位置的高低
不論是a＞1還是0＜a＜1，在第一象限內，自左向右，圖象對應的對數函數的底數逐漸變大，
如圖，0在x軸上側，圖象從左到右相應的底數由小變大；在x軸下側，圖象從右到左相應的底數由小變大．
（2）指數函數與對數函數的關系
指數函數y＝ax(a>0且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱．
4．對數函數的性質
函數
y＝logax(a>0，且a≠1)
a>1
0性質
定義域
(0，＋∞)
值域
R
單調性
在(0，＋∞)上是增函數
在(0，＋∞)上是減函數
函數值變化規律
當x＝1時，y＝0
當x>1時，y>0；
當0當x>1時，y<0；當00
《函數的圖像及其應用》
一
相關知識點
1．利用描點法畫函數圖象的流程
2．利用圖象變換法作函數的圖象
(1)平移變換
①y＝f(x)
y＝f(x－a)；
②
y＝f(x)
y＝f(x)＋b.
(2)伸縮變換
①y＝f(x)的圖像
y＝f(ax)的圖像；
②y＝f(x)的圖像
y＝af(x)的圖像．
(3)對稱變換
①y＝f(x)的圖像y＝－f(x)的圖像；
②y＝f(x)的圖像y＝f(－x)的圖像；
③y＝f(x)的圖像y＝－f(－x)的圖像；
④y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖像y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖像．
(4)翻折變換
①y＝f(x)的圖像y＝|f(x)|的圖像；
②y＝f(x)的圖像y＝f(|x|)的圖像
二
常用結論
1．一個函數圖像的對稱關系
(1)函數f(x)滿足關系f(a＋x)＝f(b－x)，則f(x)的圖像關于直線x＝對稱；
特別地，當f(a＋x)＝f(a－x)時，函數f(x)的圖像關于直線x＝a對稱．
(2)函數f(x)滿足關系f(a＋x)＝－f(b－x)，則f(x)的圖像關于點對稱．
2．兩個函數圖像的對稱關系
(1)函數y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖像關于直線x＝a對稱．
(2)函數y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖像關于點(a，b)中心對稱．
另解：(1)關于點(a,0)對稱
①若兩個函數f(x)與g(x)的圖像關于(a,0)對稱，則有f(x)＝－g(2a－x)．
②函數y＝f(x)的圖像關于(a,0)對稱，則有f(x)＝－f(2a－x)
(2)關于直線x＝a對稱
①函數f(x)的圖像關于直線x＝a對稱，則有f(a＋x)＝f(a－x)或f(2a－x)＝f(x)
②若兩個函數f(x)與g(x)的圖像關于直線x＝a對稱，則有g(x)＝f(2a－x)
③偶函數f(x)的圖像關于直線x＝a對稱，則函數f(x)是周期為2a的周期函數
④奇函數g(x)的圖像關于直線x＝a對稱，則函數g(x)是周期為4a的周期函數
《函數與方程》
一
相關知識點
1．函數的零點
(1)函數零點的定義：把函數y＝f(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數的零點．
(2)幾個等價關系
方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點．
(3)函數零點的判定(零點存在性定理)
如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．
注意點：函數零點的兩個易錯點
(1)函數的零點不是點，是方程f(x)＝0的實根．
(2)函數零點的存在性定理只能判斷函數在某個區間上的變號零點，而不能判斷函數的不變號零點，而且連續函數在一個區間的端點處函數值異號是這個函數在這個區間上存在零點的充分不必要條件．
《導數的概念及運算》
一
相關知識點
1．導數與導函數的概念
(1)函數y＝f(x)在x＝x0處的導數
稱函數y＝f(x)在x0點的瞬時變化率為函數y＝f(x)在點x0處的導數，用f
′(x0)表示，
記作f
′(x0)＝
.
(2)導數的幾何意義
函數f(x)在點x0處的導數f
′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處的切線的斜率．相應地，切線方程為y－f(x0)＝f
′(x0)(x－x0)．
(3)函數f(x)的導函數
如果一個函數f(x)在區間(a，b)上的每一點x處都有導數，導數值記為f
′(x)：
f
′(x)＝
，則f
′(x)是關于x的函數，稱f
′(x)為f(x)的導函數，通常也簡稱為導數．
2．導數公式表
函數
導函數
函數
導函數
y＝c(c是常數)
y′＝0
y＝sin
x
y′＝cos
x
y＝xα(α是實數)
y′＝αxα－1
y＝cos
x
y′＝－sin
x
y＝ax
(a＞0，a≠1)
y′＝axln
a；特別地(ex)′＝ex
y＝tan
x
y′＝
y＝logax
(a＞0，a≠1)
y′＝；特別地(ln
x)′＝
y＝cot
x
y′＝－
3.導數的運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f
′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f
′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
《導數與函數的單調性》
一
相關知識點
1.函數f(x)在某個區間(a，b)內的單調性與f′(x)的關系
(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個區間上是單調遞增．
(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個區間上是單調遞減．
(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區間內是常數．
2．利用導數判斷函數單調性的一般步驟
(1)求f′(x)．
(2)在定義域內解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
(3)根據結果確定f(x)的單調性及單調區間．
3．常用結論
（1）在某區間內f
′(x)>0(f
′(x)<0)是函數f(x)在此區間上為增(減)函數的充分不必要條件．
（2）可導函數f(x)在(a，b)上是增(減)函數的充要條件是：對任意x∈(a，b)，都有f
′(x)≥0(f
′(x)≤0)，且f
′(x)在(a，b)的任何子區間內都不恒為零．
《利用導數研究函數的極值》
一
相關知識點
1、導數與函數的極值
(1)函數的極大值與導數的關系
x
(a，x0)
極大值點x0
(x0，b)
f′(x)
＋
0
－
y＝f(x)
↗
極大值
↘
圖示
(2)函數的極小值與導數的關系
x
(a，x0)
極小值點x0
(x0，b)
f′(x)
－
0
＋
y＝f(x)
↘
極小值
↗
圖示
2、注意：(1)極值點不是點，若函數f(x)在x1處取得極大值，則x1為極大值點，極大值為f(x1)；在x2處取得極小值，則x2為極小值點，極小值為f(x2)．極大值與極小值之間無確定的大小關系．
(2)極值一定在區間內部取得，有極值的函數一定不是單調函數．
(3)f′(x0)＝0是x0為f(x)的極值點的必要而非充分條件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點．
《利用導數研究函數的最值》
一
相關知識點
1、在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
2、若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值．
3、求函數f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟
(1)求函數在(a，b)內的極值．
(2)求函數在區間端點的函數值f(a)，f(b)．
(3)將函數f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．
《任意角和弧度制、任意角的三角函數》
一
角的相關知識點
1．定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形．
2．角的分類
3．終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合：
S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
4．象限角及終邊相同的角
(1)要使角β與角α的終邊相同，應使角β為角α與π的偶數倍(不是整數倍)的和．
(2)注意銳角(集合為{α|0°<α<90°})與第一象限角(集合為{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z})的區別，銳角是第一象限角，僅是第一象限角中的一部分，但第一象限角不一定是銳角．
5．象限角的兩種判斷方法
(1)圖象法：在直角坐標系中作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．
(2)轉化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．
6．求或nθ(n∈N
)所在象限的方法
(1)將θ的范圍用不等式(含有k，且k∈Z)表示．
(2)兩邊同除以n或乘以n.
(3)對k進行討論，得到或nθ(n∈N
)所在的象限．
二
弧度制的定義和公式
(1)定義：在以單位長為半徑的圓中，單位長度的孤所對的圓心角為1弧度的角，它的單位符號是rad，讀作弧度．正角的弧度數是正數，負角的弧度數是負數，零角的弧度數是0.
(2)公式
角α的弧度數公式
|α|＝(弧長用l表示)
角度與弧度的換算
①1°＝
rad；②1
rad＝°
弧長公式
弧長l＝|α|r
扇形面積公式
S＝lr＝|α|r2
三
任意角的三角函數
三角函數
正弦
余弦
正切
定義
設α是一個任意角，它的終邊任意一點坐標P(x，y)，那么
y叫作α的正弦，記作sin
α
x叫作α的余弦，記作cos
α
y/x叫作α的正切，記作tan
α
各象限符號
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函數線
有向線段MP為正弦線
有向線段OM為余弦線
有向線段AT為正切線
注：三角函數值在各象限的符號規律：一全正、二正弦、三正切、四余弦（全是天才）．　　
4.任意角的三角函數的定義(推廣)
設P(x，y)是角α終邊上異于頂點的任一點，其到原點O的距離為r，
則sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝(x≠0)．
《同角三角函數的基本關系與誘導公式》
一
同角三角函數基本關系相關知識點
1．同角三角函數的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商數關系：tan
α＝.
2．同角三角函數基本關系式的應用技巧
技巧
解讀
適合題型
切弦互化
主要利用公式tan
θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan
θ化成正切
表達式中含有sin
θ，cos
θ與tan
θ
“1”的變換
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sin
θ±cos
θ)2?2sin
θcos
θ＝tan
表達式中需要利用“1”轉化
和積轉換
利用關系式(sin
θ±cos
θ)2＝1±2sin
θcos
θ進行變形、轉化
表達式中含有sin
θ±cos
θ或sin
θcos
θ
3．利用“切弦互化”的技巧
(1)弦化切：把正、余弦化成切的結構形式，統一為“切”的表達式，進行求值．常見的結構有：①sin
α，cos
α的二次齊次式(如asin2α＋bsin
αcos
α＋ccos2α)的問題常采用“切”代換法求解；②sin
α，cos
α的齊次分式的問題常采用分式的基本性質進行變形．
(2)切化弦：利用公式tan
α＝，把式子中的切化成弦．一般單獨出現正切、余切的時候，采用此技巧．　　
二
三角函數誘導公式相關知識點
組序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin
α
－sin
α
sin
α
cos
α
cos_α
余弦
cos
α
－cos
α
cos
α
－cos_α
sin
α
－sin
α
正切
tan
α
tan
α
－tan
α
－tan_α
cot
α
－cot
α
口訣
函數名不變，符號看象限
函數名改變，符號看象限
口訣：“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數倍、偶數倍，變與不變指函數名稱是否變化
三
同角三角函數的基本關系式的幾種變形
(1)(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α.
(2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos
α)(1－cos
α)．
(3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin
α)(1－sin
α)．
(4)sin
α＝tan
αcos
α.
《和差角、倍角與三角恒等變換》
一
相關知識點
1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin
αcos
β±cos
αsin
β；
(2)cos(α±β)＝cos
αcos
β?sin
αsin
β；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin
2α＝2sin
αcos
α；
(2)cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan
2α＝.
二
常用結論
1．公式T(α±β)的變形：
(1)tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)；
(2)tan
α－tan
β＝tan(α－β)(1＋tan
αtan
β)．
2．降冪公式：
(1)sinαcosα=sin2α；
(2)
sin2α＝；
(3)
cos2α＝．
3．公式逆用：
(1)sin＝cos；
(2)sin＝cos；
(3)sin＝cos.
4．輔助角公式
asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ)
（其中sin
φ＝，cos
φ＝，tan
φ＝）
特別的：sin
α±cos
α＝sin；sin
α±cos
α＝2sin；sin
α±cos
α＝2sin.
《三角函數的圖像與性質》
一
相關知識點
1．用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
正弦函數y＝sin
x，x∈[0,2π]圖像五個關鍵點：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函數y＝cos
x，x∈[0,2π]圖像五個關鍵點：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像與性質
函數
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
圖像
定義域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
周期為2π
周期為2π
周期為π
奇偶性
奇函數
偶函數
奇函數
單調性
遞增區間：，
k∈Z，
遞減區間：
，
k∈Z
遞增區間：
[2kπ－π，2kπ]，
k∈Z，
遞減區間：
[2kπ，2kπ＋π]，
k∈Z
遞增區間
，
k∈Z
對稱性
對稱中心
(kπ，0)，k∈Z
對稱中心
，k∈Z
對稱中心
，k∈Z
對稱軸
x＝kπ＋(k∈Z)
對稱軸
x＝kπ(k∈Z)
3．對稱與周期相關結論
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期．
(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．
4．奇偶性相關結論
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則
①f(x)為偶函數的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)；②f(x)為奇函數的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，則
①f(x)為奇函數的充要條件：φ＝kπ＋，k∈Z；②f(x)為偶函數的充要條件：φ＝kπ，k∈Z.
《y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及三角函數模型的簡單應用》
一
相關知識點
1．函數y＝Asin(ωx＋φ)的有關概念
y＝Asin(ωx＋φ)
振幅
周期
頻率
相位
初相
(A>0，ω>0)
A
T＝
f＝＝
φ
2.用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖
用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示：
ωx＋φ
2π
x
－
－
－
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.由函數y＝sin
x的圖象變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法
4.圖像變換的相關結論
(1)函數y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖像平移的規律：“左加右減，上加下減”．
(2)y＝sin
ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移個單位長度而非φ個單位長度．
(3)函數y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z確定；對稱中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z確定其橫坐標．
《正、余弦定理，三角形中的幾何計算》
一
相關知識點
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
內容
＝＝＝2R
(其中R是△ABC外接圓的半徑)
a2＝b2＋c2－2bccos
A；
b2＝a2＋c2－2accosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC　
變形形式
(1)a＝2Rsin
A，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
(2)sin
A＝；sin
B＝；sin
C＝；
(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
(4)asin
B＝bsin
A，bsin
C＝csin
B，asin
C＝csin
A；
(5)＝2R
cos
A＝；
cos
B＝；
cos
C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關系式
a＝bsin
A
bsin
A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的個數
一解
兩解
一解
一解
3．三角形中常用的面積公式
(1)S＝ah(h表示邊a上的高)；
(2)S＝bcsin
A＝acsinB＝absin
C＝；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形的內切圓半徑)．
4．在△ABC中，常有以下結論
(1)
三角形內角和定理：∠A＋∠B＋∠C＝π，變形：＝－
(2)sin
A＝sin(B＋C)，cos
A＝－cos(B＋C)，tan
A＝－tan(B＋C)；
(3)sin＝cos
；(4)cos＝sin
.
(4)
在三角形中大邊對大角，大角對大邊．A>B?a>b?sin
A>sin
B?cos
A(5)sin
2A＝sin
2B?A＝B或A＋B＝.
(6)三角形射影定理：a＝bcos
C＋ccos
B；b＝acos
C＋ccos
A；c＝acos
B＋bcos
A．
(7)tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
A·tan
B·tan
C.
(8)合比定理：＝＝2R.
(9)在銳角三角形中①A＋B>；②若A＝，則《解三角形的實際應用舉例》
一
相關知識點
1．仰角和俯角
在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖①)．
2．方位角和方向角
(1)方位角：從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．
方位角θ的范圍是0°≤θ＜360°
(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°等．
3．坡角與坡度
坡角：坡面與水平面所成的二面角叫作坡角(如圖③，角θ為坡角．)
坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖③，i為坡度)．
③
《平面向量的概念及線性運算》
一
相關知識點
1．平面向量的概念
名稱
定義
備注
向量
既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)
平面向量是自由向量，平面向量可自由平移
零向量
長度為0的向量；其方向是任意的
記作0
單位向量
長度等于1個單位的向量
非零向量a的單位向量為±
平行向量
方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量
0與任一向量平行或共線
相等向量
長度相等且方向相同的向量
兩向量只有相等或不等，不能比較大小
相反向量
長度相等且方向相反的向量
0的相反向量為0
2．向量的線性運算
向量運算
定義
法則(或幾何意義)
運算律
加法
求兩個向量和的運算
交換律：
a＋b＝b＋a；
結合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求a與b的相反向量－b的和的運算
a－b＝a＋(－b)
數乘
求實數λ與向量a的積的運算
|λa|＝|λ||a|，當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ＜0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0
λ(μ
a)＝(λ
μ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
平面向量的線性運算：應用平面向量的加法、減法和數乘運算的法則即可．
(1)加法的三角形法則要求“首尾相接”，加法的平行四邊形法則要求“起點相同”；
(2)減法的三角形法則要求“起點相同”且差向量指向“被減向量”；
(3)數乘運算的結果仍是一個向量，運算過程可類比實數運算
3．平面向量共線定理
向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa.
(1)向量共線的充要條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數法和方程思想的運用．
(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線．
(3)直線的向量式參數方程：A，P，B三點共線?＝(1－t)·＋t
(O為平面內任一點，t∈R)．
平面向量共線定理的3個應用
證明向量共線
對于非零向量a，b，若存在實數λ，使a＝λb，則a與b共線
證明三點共線
若存在實數λ，使＝λ，與有公共點A，則A，B，C三點共線
求參數的值
利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數的值
4．向量的中線公式及三角形的重心
(1)向量的中線公式：若P為線段AB的中點，O為平面內一點，則＝(＋)．
(2)三角形的重心：
已知平面內不共線的三點A，B，C，＝(＋＋)?G是△ABC的重心．
特別地，＋＋＝0?P為△ABC的重心．
(3)＝x＋y(x，y為實數)，若點A，B，C共線，則x＋y＝1.
《平面向量基本定理及坐標表示》
一
相關知識點
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，存在唯一一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
2．平面向量的坐標表示
在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，該平面內的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，把有序數對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)．
3．平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0.
5．常用結論
(1)若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
(2)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，則a∥b?＝.
(3)已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點坐標為；已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為
《平面向量的數量積與平面向量應用舉例》
一
相關知識點
1.向量的夾角
(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．
(2)范圍：設θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.
(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．
2．平面向量的數量積
(1)射影的定義
設θ是a與b的夾角，則|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的射影，|a|cos
θ叫作向量a在b方向上的射影．
(2)平面向量的數量積
定義
設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數量|a||b|·cos
θ叫作a與b的數量積，記作a·b
投影
|a|cos
θ叫作向量a在b方向上的投影，
|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的投影
幾何
意義
數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘積
注意：(1)數量積a·b也等于b的長度|b|與a在b方向上的投影|a|cos
θ的乘積，這兩個投影是不同的．
(2)a在b方向上的投影也可以寫成，投影是一個數量，可正可負也可為0，它的符號取決于θ角的范圍．
3．向量數量積的性質
設a，b是兩個非零向量，e是單位向量，α是a與e的夾角，于是我們就有下列數量積的性質：
(1)e·a＝a·e＝|a||e|cos
α＝|a|cos
α.
(2)a⊥b?a·b＝0.
(3)a，b同向?a·b＝|a||b|；
a，b反向?a·b＝－|a||b|.
特別地a·a＝|a|2＝a2或|a|＝.
(4)若θ為a，b的夾角，則cos
θ＝.
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
(6)
(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；
4．平面向量數量積的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·λ(b)(結合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
5．平面向量數量積的性質及其坐標表示
設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
結論
幾何表示
坐標表示
模
|a|＝
|a|＝
數量積
a·b＝|a||b|cos
θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夾角
cos
θ＝
cos
θ＝
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|與|a||b|的關系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|
≤·
常用結論
1．兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；
2．兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．
《數列的概念與簡單表示》
一
相關知識點
1．數列的定義
按照一定順序排列的一列數稱為數列．數列中的每一個數叫做這個數列的項，數列中的每一項都和它的序號有關，排在第一位的數稱為這個數列的第1項(通常也叫做首項)．
2．數列的通項公式
如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．
3．數列的分類
分類標準
類型
滿足條件
按項數分類
有窮數列
項數有限
無窮數列
項數無限
按項與項間的大小關系分類
遞增數列
an＋1>an
其中n∈N
遞減數列
an＋1常數列
an＋1＝an
按其他標準分類
有界數列
存在正數M，使|an|≤M
擺動數列
從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項
4．數列的遞推公式
如果已知數列{an}的第1項(或前幾項)，且任何一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個式子來表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么這個式子叫做數列{an}的遞推公式．
5．Sn與an的關系
已知數列{an}的前n項和為Sn，則an＝這個關系式對任意數列均成立．
Sn與an關系問題的求解思路：根據所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．
《等差數列及其前n項和》
一
相關知識點
1．等差數列的有關概念
(1)定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列．符號表示為an＋1－an＝d(n∈N
，d為常數)．
(2)等差中項：數列a，A，b成等差數列的充要條件是A＝，其中A叫做a，b的等差中項．
2．等差數列的有關公式
(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項和公式：Sn＝na1＋d＝.
3．等差數列的常用性質
(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N
)．
(2)若{an}為等差數列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N
)．
(3)若{an}是等差數列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N
)是公差為md的等差數列．
(4)若{an}，{bn}是等差數列，則{pan＋qbn}也是等差數列
(5)數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N
)也是等差數列，公差為m2d.
(6)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇見S奇，S偶時可分別運用性質及有關公式求解．
(7)若{an}，{bn}均為等差數列且其前n項和為Sn，Tn，則＝.
(8)若{an}是等差數列，則也是等差數列，其首項與{an}首項相同，公差是{an}的公差的.
(9)若等差數列{an}的項數為偶數2n，則
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd，＝.
(10)若等差數列{an}的項數為奇數2n＋1，則
①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；
②＝.
二
等差數列的常用結論
1．等差數列前n項和的最值
在等差數列{an}中，若a1＞0，d＜0，則Sn有最大值，即所有正項之和最大，若a1＜0，
d＞0，則Sn有最小值，即所有負項之和最小．
2．等差數列的前n項和公式與函數的關系：Sn＝n2＋n.
數列{an}是等差數列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)．
《等比數列及其前n項和》
一
相關知識點
1．等比數列的有關概念
(1)定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(不為零)，那么這個數列就叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為＝q.
(2)等比中項：如果a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數列?G2＝ab.
2．等比數列的有關公式
(1)通項公式：an＝a1qn－1.
(2)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N
)．
(2)前n項和公式：Sn＝
3．等比數列的有關性質
(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N
.特別地，若2s＝p＋r，則apar＝a，其中p，s，r∈N
.對有窮等比數列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
(2)若數列{an}，{bn}(項數相同)是等比數列，則{ban}，，{a}，{an·bn}，，{pan·qbn}和仍然是等比數列．(其中b，p，q是非零常數)
(3)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，公比為qm(k，m∈N
)．
(4)當q≠－1或q＝－1且k為奇數時，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比數列，其公比為qk.
(5)若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，，，…成等比數列．
4．等比數列的有關結論
(1)
“G2＝ab”是“a，G，b成等比數列”的必要不充分條件．
(2)若q≠0，q≠1，則Sn＝k－kqn(k≠0)是數列{an}成等比數列的充要條件，此時k＝.
5．等比數列{an}的單調性
(1)滿足或時，{an}是遞增數列．
(2)滿足或時，{an}是遞減數列．
(3)當時，{an}為常數列．
(4)當q<0時，{an}為擺動數列．
6．與等比數列前n項和Sn相關的幾個結論
(1)項的個數的“奇偶”性質：等比數列{an}中，公比為q.
①若共有2n項，則S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1項，則S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)，＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm?qn＝(q為公比)．
《數列求和》
一
相關知識點
1．公式法
(1)等差數列的前n項和公式：Sn＝＝na1＋d；
(2)等比數列的前n項和公式：Sn＝
2．分組轉化法
把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解．
3．裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
4．錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，這個數列的前n項和可用錯位相減法求解．
5．倒序相加法
如果一個數列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解．
6．并項求和法
一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5
050.
二
相關結論
1．一些常見的數列前n項和公式：
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1).
(4)12＋22＋…＋n2＝.
2．常用的裂項公式
(1)＝；特例：＝－；
(2)＝＝；
(3)＝－；
(4)loga＝loga(n＋1)－logan.
《不等式的性質及一元二次不等式》
一
相關知識點
1．比較兩個實數大小的方法
(1)作差法(2)作商法
2．不等式的基本性質
性質
性質內容
特別提醒
對稱性
a>b?b?
傳遞性
a>b，b>c?a>c
?
可加性
a>b?a＋c>b＋c
?
可乘性
?ac>bc
注意c的符號
?ac同向可加性
?a＋c>b＋d
?
同向同正可乘性
?ac>bd>0
?
可乘方性
a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)
可開方性
a>b>0?>(n∈N，n≥2)
a，b同為正數
3．一元二次不等式
（1）三個“二次”之間的關系
判別式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有兩個相異實根x1，x2(x1＜x2)
有兩個相等實根x1＝x2＝－
沒有實數根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|xx2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
（2）不等式ax2＋bx＋c>0
(<0)恒成立的條件
(1)不等式ax2＋bx＋c>0對任意實數x恒成立?或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0對任意實數x恒成立?或
4．不等式的一些常用性質
（1）有關分數的性質
若a＞b＞0，m＞0，則(1)＜；＞(b－m＞0)；(2)＞；＜(b－m＞0)．
（2）有關倒數的性質
①a>b，ab>0?<；②a<0b>0,0；④05．簡單的分式不等式
(1)≥0?(2)＞0?
《二元一次不等式(組)
與簡單的線性規劃問題》
一
相關知識點
1．二元一次不等式(組)表示的平面區域
不等式
表示區域
Ax＋By＋C＞0
直線Ax＋By＋C＝0某一側的所有點組成的平面區域
不包括邊界直線
Ax＋By＋C≥0
包括邊界直線
不等式組
各個不等式所表示平面區域的公共部分
2.確定二元一次不等式(組)表示平面區域的步驟
（1）確定二元一次不等式表示的平面區域位置的方法
把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示為y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，則平面區域為直線Ax＋By＋C＝0的上方；若y＜kx＋b，則平面區域為直線Ax＋By＋C＝0的下方．
（2）利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區域：
對于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，則有
①當B(Ax＋By＋C)>0時，區域為直線Ax＋By＋C＝0的上方；
②當B(Ax＋By＋C)<0時，區域為直線Ax＋By＋C＝0的下方．
（3）相關結論：
點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線Ax＋By＋C＝0的兩側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直線Ax＋By＋C＝0同側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.
3．線性規劃中的基本概念
名稱
意義
約束條件
由變量x，y組成的不等式(組)
線性約束條件
由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)
目標函數
關于x，y的函數解析式，如z＝2x＋3y等
線性目標函數
關于x，y的一次函數解析式
可行解
滿足線性約束條件的解(x，y)
可行域
所有可行解組成的集合
最優解
使目標函數取得最大值或最小值的可行解
線性規劃問題
在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題
4.簡單線性規劃問題的圖解法
在確定線性約束條件和線性目標函數的前提下，用圖解法求最優解的步驟概括為“畫、移、求、答”．即
5．求線性目標函數最值應注意的問題
求二元一次函數z＝ax＋by(ab≠0)的最值，將函數z＝ax＋by轉化為直線的斜截式：
y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值，應注意以下兩點：
(1)若b>0，則截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值．
(2)若b<0，則截距取最大值時，z取最小值；截距取最小值時，z取最大值．
非線性目標函數最值問題的常見類型及求法
距離平方型
目標函數為z＝(x－a)2＋(y－b)2時，可轉化為可行域內的點(x，y)與點(a，b)之間的距離的平方求解
斜率型
對形如z＝(ac≠0)型的目標函數，可利用斜率的幾何意義來求最值，即先變形為z＝·的形式，將問題化為求可行域內的點(x，y)與點連線的斜率的倍的取值范圍、最值等
點到直線距離型
對形如z＝|Ax＋By＋C|型的目標函數，可先變形為z＝·的形式，將問題化為求可行域內的點(x，y)到直線Ax＋By＋C＝0的距離的倍的最值
《基本不等式》
一
相關知識點
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．
2．幾個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；
(2)a＋b≥2(a>0，b>0)．
(3)＋≥2(a，b同號且不為零)；
(4)ab≤
(a，b∈R)；
(5)≤(a，b∈R)．2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)．
(6)≥≥ab(a，b∈R)．
(7)≥≥≥(a>0，b>0)．
以上不等式等號成立的條件均為a＝b.
3．算術平均數與幾何平均數
設a>0，b>0，則a，b的算術平均數為，幾何平均數為，基本不等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．
4．利用基本不等式求最值問題
已知x>0，y>0，則：
(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y時，x＋y有最小值是2.(簡記：積定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)
5．重要不等式鏈
若a≥b＞0，則a≥≥≥≥≥b.
《空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖》
一
相關知識點
1．簡單旋轉體的結構特征
(1)圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉得到；
(2)圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉得到；
(3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到；
(4)球可以由半圓或圓繞直徑旋轉得到．
2．旋轉體的形成
幾何體
旋轉圖形
旋轉軸
圓柱
矩形
任一邊所在的直線
圓錐
直角三角形
任一直角邊所在的直線
圓臺
直角梯形
垂直于底邊的腰所在的直線
球
半圓
直徑所在的直線
注意：(1)球是以半圓面為旋轉對象的，而不是半圓．
(2)要注意球面上兩點的直線距離、球面距離以及在相應的小圓上的弧長三者之間的區別與聯系．
3．簡單多面體的結構特征
(1)棱柱的側棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形；
(2)棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共點的三角形；
(3)棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形．
4.多面體的結構特征
注意：(1)棱柱的所有側面都是平行四邊形，但側面都是平行四邊形的幾何體卻不一定是棱柱．
(2)棱臺的所有側面都是梯形，但側面都是梯形的幾何體卻不一定是棱臺．
(3)注意棱臺的所有側棱相交于一點．
5．正棱柱、正棱錐的結構特征
(1)正棱柱：側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側棱垂直于底面，側面是矩形．
(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．
6．直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規則：
①在已知圖形中建立直角坐標系xOy，畫直觀圖時，它們分別對應x′軸和y′軸，兩軸交于點O′，使∠x′O′y′＝45°，它們確定的平面表示水平平面；
②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸和y′軸的線段；
③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的.
7．斜二測畫法中的“三變”與“三不變”
“三變”
“三不變”
8．常用結論
直觀圖與原圖形面積的關系：S直觀圖＝S原圖
，
即：(1)S直觀圖＝S原圖形．(2)S原圖形＝2S直觀圖．
9．三視圖
(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．
(2)三視圖的畫法
①基本要求：長對正，高平齊，寬相等．
②畫法規則：正側一樣高，正俯一樣長，側俯一樣寬；看不到的線畫虛線.
10．常見旋轉體的三視圖
(1)球的三視圖都是半徑相等的圓．
(2)水平放置的圓錐的正視圖和側視圖均為全等的等腰三角形．
(3)水平放置的圓臺的正視圖和側視圖均為全等的等腰梯形．
(4)水平放置的圓柱的正視圖和側視圖均為全等的矩形．
《空間圖形的基本關系與公理》
一
相關知識點
1．空間圖形的公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
2．公理2的三個推論
推論1：經過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；
推論2：經過兩條相交直線有且只有一個平面；
推論3：經過兩條平行直線有且只有一個平面．
3．共面、共線、共點問題的證明方法
(1)證明點或線共面問題的兩種方法：
①納入平面法：首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；
②輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．
(2)證明點共線問題的兩種方法：
①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；
②直接證明這些點都在同一條特定直線上．
(3)證明線共點問題的常用方法：
先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．
4．空間中兩直線的位置關系
(1)空間中兩直線的位置關系：
5．異面直線所成的角
(1)定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
(2)范圍：.
6．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
等角定理的引申
(1)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向相同或相反，則這兩個角相等．
(2)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向一個邊相同，一個邊相反，則這兩個角互補．
7．空間中直線與平面、平面與平面的位置關系
(1)空間中直線與平面的位置關系
位置關系
圖形表示
符號表示
公共點
直線a在平面α內
a?α
有無數個公共點
直線在平面外
直線a與平面α平行
a∥α
沒有公共點
直線a與平面α斜交
a∩α＝A
有且只有一個公共點
直線a與平面α垂直
a⊥α
(2)空間中兩個平面的位置關系
位置關系
圖形表示
符號表示
公共點
兩平面平行
α∥β
沒有公共點
兩平面相交
斜交
α∩β＝l
有一條公共直線
垂直
α⊥β且
α∩β＝a
8．唯一性定理
(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．
(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．
《直線、平面平行的判定與性質》
一
相關知識點
1．直線與平面平行的判定定理和性質定理
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
平面外一條直線與此平面內的一條
直線平行，則該直線與此平面平行
(線線平行?線面平行)
l∥a，a?α，l?α
?l∥α
性質定理
一條直線與一個平面平行，則過這條
直線的任一平面與此平面的交線與
該直線平行(線面平行?線線平行)
l∥α，l?β，
α∩β＝b?l∥b
2．平面與平面平行的判定定理和性質定理
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(線面平行?面面平行)
a∥β，b∥β，a∩b＝P，
a?α，b?α?α∥β
性質定理
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
3．常用結論
(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.
(2)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b．
(3)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
(4)三種平行關系的轉化：
《直線、平面垂直的判定與性質》
一
相關知識點
1．直線和平面垂直的定義
直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．
2．直線與平面垂直的判定定理與性質定理
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
?l⊥α
性質定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行
?a∥b
3．直線與平面所成的角
(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個平面所成的角．
(2)線面角θ的范圍：.
4．方法與技巧
證明直線與平面垂直的方法
(1)定義法：若一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，則這條直線垂直于這個平面(不常用)；
(2)判定定理(常用方法)；
(3)若兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面(客觀題常用)；
(4)若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則它必垂直于另一個平面(客觀題常用)；
(5)若兩平面垂直，則在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面(常用方法);
(6)若兩相交平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的交線垂直于第三個平面(客觀題常用)．　　
5．直線與平面垂直的五個結論
(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內的任意直線.
(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．
(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．
(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．
(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．
6．二面角的有關概念
(1)二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：過二面角棱上的任一點，在兩個半平面內分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角α的范圍：.
7．平面與平面垂直
(1)平面與平面垂直的定義：兩個平面相交，
如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
(2)平面與平面垂直的判定定理與性質定理：
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直
?α⊥β
性質定理
兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直
?l⊥α
(3)面面垂直判定的兩種方法與一個轉化
兩種方法
(1)面面垂直的定義；
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)
一個轉化
在已知兩個平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化．在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直
8．三種垂直關系的轉化
《空間幾何體的表面積、體積》
一
相關知識點
1．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱
圓錐
圓臺
側面展開圖　
側面積公式　
S圓柱側＝2πrl
S圓錐側＝πrl
S圓臺側＝π(r1＋r2)l
2．空間幾何體的表面積與體積公式
名稱
幾何體　　
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側＋2S底
V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側＋S底
V＝Sh
臺體(棱臺和圓臺)
S表面積＝S側＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
3．求表面積與體積的常用方法
(1)割補法
割補法是割法與補法的總稱．補法是把不規則(不熟悉的或復雜的)幾何體延伸或補成規則的(熟悉的或簡單的)幾何體，把不完整的圖形補成完整的圖形．割法是把復雜的(不規則的)幾何體切割成簡單的(規則的)幾何體．割與補是對立統一的，是一個問題的兩個相反方面．割補法無論是求解體積問題還是求解空間角(或空間距離)以及證明垂直或平行關系都有簡化解題過程、開闊思維的優點．
(2)等積法
等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數值．
4．多面體的內切球與外接球常用的結論
(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，
①若球為正方體的外接球，則R＝a；
②若球為正方體的內切球，則
r＝；
③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a．
(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則R＝．
(3)設正四面體的棱長為a，則它的高為a，內切球半徑r＝a，外接球半徑R＝a，外接球與內切球的半徑之比為3∶1.
《直線的傾斜角與斜率、直線的方程》
一
相關知識點
1.平面直角坐標系中的基本公式
(1)兩點的距離公式：
已知平面直角坐標系中的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則d(A，B)＝|AB|＝.
(2)中點公式：已知平面直角坐標系中的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，點M(x，y)是線段AB的中點，
則x＝，y＝.
2．直線的傾斜角
(1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫作直線l的傾斜角．
(2)規定：當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0．
(3)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)．
3．斜率公式
(1)定義式：直線l的傾斜角為α，則斜率k＝tanα．
(2)坐標式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝．
4．直線方程的五種形式
名稱
方程
適用范圍
點斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x軸的直線
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x軸的直線
兩點式
＝
不含直線x＝x1(x1≠x2)
和直線y＝y1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面內所有直線都適用
5．常用結論
直線的傾斜角α和斜率k之間的對應關系：
(1)直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，二者的關系具體如下：
斜率k
k＝tan
α＞0
k＝0
k＝tan
α＜0
不存在
傾斜角α
銳角
0°
鈍角
90°
(2)在分析直線的傾斜角和斜率的關系時，要根據正切函數k＝tan
α的單調性，如圖所示：
(1)α取值在內，由0增大到時，k由0增大并趨向于正無窮大；
(2)α取值在內，由增大到π(α≠π)時，k由負無窮大增大并趨近于0.
《兩條直線的位置關系與距離公式》
一
相關知識點
1．兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l1∥l2?k1＝k2.
②當直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.
(2)兩條直線垂直
①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設為k1，k2，則有l1⊥l2?k1·k2＝－1.
②當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2.
2．兩直線平行或重合的充要條件
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要條件是A1B2－A2B1＝0，A1C2≠A2C1.重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0，A1C2＝A2C．
3．兩直線垂直的充要條件
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0．
4．兩條直線的交點的求法
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數)，則l1與l2的交點坐標就是方程組的解．
5．三種距離公式
(1)平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝.
(2)點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
(3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝.
6．常用結論
(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為：
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
7．與對稱問題相關的兩個結論
(1)點P(x，y)關于點A(a，b)的對稱點為P′(2a－x，2b－y)．
即：點P(x，y)關于A(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿足
注：直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱問題來解決
(2)設點P(x0，y0)關于直線y＝kx＋b的對稱點為P′(x′，y′)，
則有可求出x′，y′.
即：點A(a，b)關于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點A′(m，n)，則有
注：直線關于直線的對稱可轉化為點關于直線的對稱問題來解決
《圓的方程》
一
相關知識點
1．圓的定義及方程
定義
平面內與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)
標準方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圓心(a，b)，半徑r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
(D2＋E2－4F＞0)
圓心，
半徑
2.點與圓的位置關系
點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系：
(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圓內，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
3.常用結論
(1)圓心為坐標原點，半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2.
(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
(3)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件　
《直線與圓、圓與圓的位置關系》
一
相關知識點
1．判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法
(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系．
dr?相離．
(2)代數法：
2．圓與圓的位置關系
設兩個圓的半徑分別為R，r，R＞r，圓心距為d，則兩圓的位置關系可用下表來表示：
位置關系
相離
外切
相交
內切
內含
幾何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜
d＜R＋r
d＝R－r
0≤d＜R－r
代數特征
無實數解
一組實數解
兩組實數解
一組實數解
無實數解
公切線條數
4
3
2
1
0
3．兩圓相交常用結論
圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時：
?1?將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；
?2?兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；
?3?x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ?x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2?＝0表示過兩圓交點的圓系方程?不包括C2?.　
4．圓的切線方程常用結論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
(3)切線長
①從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一點M(x0，y0)引圓的兩條切線，
切線長為
.
②兩切點弦長：利用等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點M與圓心的距離d與
兩切點弦長b的積，即b＝.
5．圓的弦問題
直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：
(1)幾何法：因為半弦長、弦心距d、半徑r構成直角三角形，所以由勾股定理得L
＝2.
(2)代數法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：
|AB|＝|x1－x2|＝
|y1－y2|.
6．過直線Ax＋By＋C＝0和圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0?D2＋E2－4F＞0?交點的圓系方程
為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ?Ax＋By＋C?＝0.,　
《橢圓》
一
相關知識點
1．橢圓的定義
把平面內到兩個定點F1，F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的集合叫作橢圓．這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數．
(1)當2a>|F1F2|時，P點的集合是橢圓；
(2)當2a＝|F1F2|時，P點的集合是線段；
(3)當2a<|F1F2|時，P點不存在．
2．橢圓的標準方程和幾何性質
標準方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
圖形
性
質
范圍
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標軸，對稱中心：(0,0)
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長軸A1A2的長為2a，短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝，e∈(0,1)
a，b，c
的關系
c2＝a2－b2
3．常用結論
i．點P(x0，y0)和橢圓的位置關系
(1)點P(x0，y0)在橢圓內?＋＜1.
(2)點P(x0，y0)在橢圓上?＋＝1.
(3)點P(x0，y0)在橢圓外?＋＞1.
ii．焦點三角形
橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，
∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓＋＝1(a＞b＞0)中：
(1)當r1＝r2時，即點P的位置為短軸端點時，θ最大；
(2)S＝b2tan
＝c|y0|，當|y0|＝b時，即點P的位置為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc.
(3)
S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin
θ，當|y0|＝b，即P為短軸端點時，S△PF1F2取最大值為bc.
(4)焦半徑公式：|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos
θ.
(6)a－c≤|PF1|≤a＋c.
(7)焦點三角形的周長為2(a＋c)．
(8)過點P(x0，y0)的切線方程為＋＝1.
(9)橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構成直角三角形，其中a是斜邊長，a2＝b2＋c2.
(10)已知過焦點F1的弦AB，則△ABF2的周長為4a.
4．橢圓中點弦的斜率公式
若M(x0，y0)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y軸)的中點，則有kAB·kOM＝－，
即kAB＝－.
5．弦長公式：直線與圓錐曲線相交所得的弦長
(1)|AB|＝|x1－x2|＝
＝|y1－y2|＝(k為直線斜率)．
(2)焦點弦(過焦點的弦)：最短的焦點弦為通徑長，最長為
2a.
《直線與橢圓的位置關系》
一
相關知識點
1．直線與橢圓位置關系的判斷
直線與橢圓方程聯立方程組，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(這里的系數A一定不為0)，
設其判別式為Δ：
(1)Δ>0?直線與橢圓相交；(2)Δ＝0?直線與橢圓相切；(3)Δ<0?直線與橢圓相離．
2．弦長公式
(1)若直線y＝kx＋b與橢圓相交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則|AB|＝|x1－x2|＝
＝|y1－y2|.＝
(k為直線斜率)
(2)焦點弦(過焦點的弦)：最短的焦點弦為通徑長，最長為
2a.
3．注意點
(1)解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規思路是先把直線方程與橢圓方程聯立，應用根與系數的關系（韋達定理），解決相關問題．涉及中點弦的問題時用“點差法”解決，往往會更簡單．記住必須檢驗．
(2)利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式．
《雙曲線》
一
相關知識點
1．雙曲線的定義
(1)平面內到兩定點F1，F2的距離之差的絕對值等于常數(大于零且小于|F1F2|)的點的集合叫作雙曲線．這兩個定點F1，F2叫作雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a>0，c>0.
①當2a<|F1F2|時，M點的軌跡是雙曲線；
②當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡是兩條射線；
③當2a>|F1F2|時，M點不存在．
2．雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
圖形
性
質
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性
對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)
實、虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．三種常見雙曲線方程的設法
(1)若已知雙曲線過兩點，焦點位置不能確定，可設方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(2)當已知雙曲線的漸近線方程bx±ay＝0，求雙曲線方程時，可設雙曲線方程為b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．
(3)與雙曲線－＝1有相同的漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0)．
(4)已知雙曲線－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)，求其漸近線的方程，只需把λ改寫為0整理即可．
4．雙曲線中的幾個常用結論
(1)焦點到漸近線的距離為虛半軸長b.
(2)實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫作等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝.
(3)雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關系)．
(4)過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為.
(5)過雙曲線焦點F1的弦AB與雙曲線交在同支上，則AB與另一個焦點F2構成的△ABF2的周長為4a＋2|AB|.
(6)焦點三角形面積：S＝b2cot
《拋物線》
一
相關知識點
1．拋物線的定義
平面內與一個定點F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點的集合叫作拋物線．點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線．
2．拋物線的標準方程與幾何性質
標準
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
方程
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形
頂點
O(0,0)
對稱軸
y＝0
x＝0
焦點
F
F
F
F
離心率
e＝1
準線方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半徑
(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
3．常用結論
1．y2＝ax(a≠0)的焦點坐標為，準線方程為x＝－.
2．F的距離|PF|＝x0＋，也稱為拋物線的焦半徑．
4．焦點弦的常用結論
以拋物線y2＝2px(p＞0)為例，設AB是拋物線的過焦點的一條弦(焦點弦)，F是拋物線的焦點，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在準線上的射影為A1，B1，則有以下結論：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ為直線AB的傾斜角)，
其中：拋物線的通徑長為2p，通徑是最短的焦點弦；
(3)＋＝為定值；
(4)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；
(5)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切；
(6)以A1B1為直徑的圓與直線AB相切，切點為F，∠A1FB1＝90°；
(7)A，O，B1三點共線，B，O，A1三點也共線．
(8)
《曲線與方程》
一
相關知識點
1．曲線與方程
一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數解建立了如下關系：
(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解.
(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫作曲線的方程，這條曲線叫作方程的曲線.
2．求動點軌跡方程的一般步驟
(1)建立適當的坐標系，用有序實數對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標．
(2)寫出適合條件p的點M的集合P＝{M|p(M)}．
(3)用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.
(4)化方程f(x，y)＝0為最簡形式．
(5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上．
3．圓錐曲線的共同特征
圓錐曲線上的點到一個定點的距離與它到一條定直線的距離之比為定值e.
(1)當0＜e＜1時，圓錐曲線是橢圓．
(2)當e＞1時，圓錐曲線是雙曲線．
(3)當e＝1時，圓錐曲線是拋物線．
4．曲線的交點
設曲線C1的方程為F1(x，y)＝0，曲線C2的方程為F2(x，y)＝0，則C1，C2的交點坐標即為方程組的實數解．若此方程組無解，則兩曲線無交點．
《隨機抽樣》
一
相關知識點
1．抽樣調查
(1)抽樣調查：通常情況下，從調查對象中按照一定的方法抽取一部分，進行調查或觀測，獲取數據，并以此對調查對象的某些指標作出推斷，這就是抽樣調查．
(2)總體和樣本：調查對象的全體稱為總體，被抽取的一部分稱為樣本．
(3)抽樣調查與普查相比有很多優點，最突出的有兩點：
①迅速、及時；②節約人力、物力和財力．
2．簡單隨機抽樣
(1)根據實際需要有時需從總體中隨機地抽取一些對象，然后對抽取的對象進行調查．在抽取的過程中，要保證每個個體被抽到的概率相同.這樣的抽樣方法叫作簡單隨機抽樣．
(2)特點：①抽取方式：逐個不放回抽取；②每個個體被抽到的概率相同.
(3)常用方法：抽簽法和隨機數法.
3．分層抽樣
(1)定義：將總體按其屬性特征分成若干類型(有時稱作層)，然后在每個類型中按照所占比例隨機抽取一定的樣本．這種抽樣方法通常叫作分層抽樣，有時也稱為類型抽樣．
(2)分層抽樣的應用范圍：
當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．
(3)在分層抽樣中：＝
4．系統抽樣
系統抽樣是將總體中的個體進行編號，等距分組，在第一組中按照簡單隨機抽樣抽取第一個樣本，然后按分組的間隔(稱為抽樣距)抽取其他樣本．這種抽樣方法也叫等距抽樣或機械抽樣．
4.1．系統抽樣的步驟
假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．
(1)先將總體的N個個體編號.
(2)確定分組間隔K，對編號進行分組，當是整數時，取k＝，當不是整數時，隨機從總體中剔除余數，再取k＝(N′為從總體中剔除余數后的總數)．
(3)在第1組用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(l
≤k)．
(4)按照一定的規則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號(l＋2k)，依次進行下去，直到獲取整個樣本．
5．三種抽樣方法的比較
類別
共同點
各自特點
相互聯系
適用范圍
簡單隨機抽樣
均為不放回抽樣，且抽樣過程中每個個體被抽取的機會相等
從總體中逐個抽取
是后兩種方法的基礎
總體中的個數較少
系統抽樣
將總體均分成幾部分，按事先確定的規則在各部分中抽取
在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣
元素個數很多且均衡的總體抽樣
分層抽樣
將總體分成幾層，分層按比例進行抽取
各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統抽樣
總體由差異明顯的幾部分組成
6．常用結論
(1)不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的．
(2)分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數為該層的個體數乘抽樣比．
(3)系統抽樣入樣個體的編號相差分段間隔k的整數倍．
《統計圖表、用樣本估計總體》
一
相關知識點
1．常用統計圖表
(1)頻率分布表的畫法：
第一步：求極差，決定組數和組距，組距＝；
第二步：分組，通常對組內數值所在區間取左閉右開區間，最后一組取閉區間；
第三步：登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表．
(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖．
橫軸表示樣本數據，縱軸表示，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內的頻率．
(3)頻率分布折線圖和總體密度曲線
①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．
②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數增加，組距減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．
(4)莖葉圖的畫法：
第一步：將每個數據分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；
第二步：將各個數據的莖按大小次序排成一列；
第三步：將各個數據的葉依次寫在其莖的右(左)側．
莖葉圖的優點是可以保留原始數據，而且可以隨時記錄，這對數據的記錄和表示都能帶來方便．
2．樣本的數字特征
(1)眾數：一組數據中出現次數最多的那個數據，叫做這組數據的眾數．
(2)中位數：把n個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數．
(3)平均數：把＝稱為x1，x2，…，xn這n個數的平均數．
(4)標準差與方差：設一組數據x1，x2，x3，…，xn的平均數為，則這組數據的標準差和方差分別是
s＝；
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離
(3)方差與標準差相比，都是衡量樣本數據離散程度的統計量，但方差因為對標準差進行了平方運算，夸大了樣本的偏差程度．
3．常用結論
3.1
頻率分布直方圖中的常見結論
(1)眾數的估計值為最高矩形的中點對應的橫坐標．
(2)平均數的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．
(3)中位數的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的．
(4)頻率分布直方圖中各小矩形的面積之和為1.
3.2
頻率分布直方圖與眾數、中位數與平均數的關系
(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數．
(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．
(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．
3.3
由頻率分布直方圖進行相關計算時，需掌握的兩個關系式
(1)×組距＝頻率．
(2)＝頻率，此關系式的變形為＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數．
3.4
利用頻率分布直方圖估計樣本的數字特征的方法
(1)中位數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等，可以估計中位數的值．
(2)平均數：平均數的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標之和．
(3)眾數：最高的矩形的中點的橫坐標．　　　　
3.5
平均數、方差的公式推廣
(1)若x1，x2，…，xn的平均數為，則mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數是m＋a.
(2)數據x1，x2，…，xn的方差為s2.
①數據x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數據ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.
《變量間的相關關系與統計案例》
一
相關知識點
1．變量間的相關關系
常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是函數關系，另一類是相關關系；與函數關系不同，相關關系是一種非確定性關系．
2．散點圖
以一個變量的取值為橫坐標，另一個變量的相應取值為縱坐標，在直角坐標系中描點，這樣的圖形叫做散點圖．
3．兩個變量的線性相關
(1)正相關：在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關．
(2)負相關：在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關．
(3)線性相關關系、回歸直線
如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫作回歸直線．
4．回歸方程
(1)最小二乘法求回歸直線，使得樣本數據的點到它的距離的平方和最小的方法叫作最小二乘法．
(2)回歸方程：直線方程
＝a＋bx，叫做Y對x的回歸直線方程，b叫做回歸系數．要確定回歸直線方程，只要確定a與回歸系數b.
方程y＝bx＋a是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中a，b是待定參數．
5．回歸分析
(1)定義：對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法．
(2)樣本點的中心
對于一組具有線性相關關系的數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)稱為樣本點的中心．
(3)相關系數
r＝，用它來衡量兩個變量間的線性相關關系．
當r>0時，表明兩個變量正相關；當r<0時，表明兩個變量負相關.
r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強.r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系.通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關性．
重要結論：(1)回歸直線必過樣本點的中心(，)．
(2)當兩個變量的相關系數|r|＝1時，兩個變量呈函數關系．
6．獨立性檢驗
(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．
(2)列聯表：列出的兩個分類變量的頻數表，稱為列聯表．假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數列聯表(稱為2×2列聯表)為
y1
y2
總計
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
總計
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
構造一個隨機變量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．
(3)獨立性檢驗：利用隨機變量來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗．
(4)臨界值附表：
P(χ2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
當χ2>2.706時，有90%的把握說事件A與B有關；
當χ2>3.841時，有95%的把握說事件A與B有關；
當χ2>6.635時，有99%的把握說事件A與B有關；
《數系的擴充與復數的引入》
一
相關知識點
1．復數的有關概念
(1)復數的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的數叫復數，其中a，b分別是它的實部和虛部．
(2)分類：
滿足條件(a，b為實數)
復數的分類
a＋bi為實數?b＝0
a＋bi為虛數?b≠0
a＋bi為純虛數?a＝0且b≠0
a＋bi為非純虛數?a≠0且b≠0
(3)復數相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)復數的模：
向量的模r叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．復數的幾何意義
(1)復數z＝a＋bi
復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R)．
復數z＝a＋bi?a，b∈R?的對應點的坐標為?a，b?，而不是?a，bi?.
(2)復數z＝a＋bi(a，b∈R)
平面向量.
3．復數的運算
(1)復數的加、減、乘、除運算法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)復數加法的運算定律
設z1，z2，z3∈C，則復數加法滿足以下運算律：
①交換律：z1＋z2＝z2＋z1；
②結合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二
常用結論
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N
)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N
)．
(4)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.
《合情推理與演繹推理》
一
相關知識點
1．合情推理
類型
定義
特點
歸納
推理
根據一類事物的部分對象具有某種特征，推出這類事物的全部對象都具有這種特征的推理
由部分到整體、由個別到一般
類比
推理
由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理
由特殊到特殊
合情
推理
歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理
2.歸納推理的一般步驟
(1)通過觀察個別情況發現某些相同性質；
(2)從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想).
3.類比推理的一般步驟
(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性.
(2)用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想).
4．演繹推理
(1)定義：從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理，M是P；
②小前提——所研究的特殊情況，S是M；
③結論——根據一般原理，對特殊情況做出的判斷，所以，S是P.
《直接證明與間接證明》
一
相關知識點
1．直接證明
綜合法
分析法
定義
從命題的條件出發，利用定義、公理、定理及運算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結論，直到完成命題的證明，這樣的思維方法稱為綜合法.
從求證的結論出發，一步一步地探索保證前一個結論成立的充分條件，直到歸結為這個命題的條件，或者歸結為定義、公理、定理等，這樣的思維方法稱為分析法．
思維過程
由因導果
執果索因
證題步驟
P(已知)?P1?P2?…?Pn?Q(結論)
Q(結論)?Q1?Q2?…?Qn?P(已知)
文字語言
因為…，所以…或由…，得…
要證…，只需證…，即證…
特點
從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的必要條件
從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件
符號語言
?
?
2．間接證明
反證法
定義
在證明數學命題時，先假定命題結論的反面成立，在這個前提下，若推出的結果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結論的反面不可能成立，由此斷定命題的結論成立．這種證明方法叫作反證法．
證明
步驟
(1)作出否定結論的假設；
(2)進行推理，導出矛盾；
(3)否定假設，肯定結論．
適用
范圍
(1)否定性命題；
(2)命題的結論中出現“至少”、“至多”、“唯一”等詞語的；
(3)當命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說明，而其逆否命題又是非常容易證明的；
(4)要討論的情況很復雜，而反面情況很少.
3.常見的結論和反設詞
原結論詞
反設詞
原結論詞
反設詞
至少有一個
一個都沒有
對任意x成立
存

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