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2009年高考全國百所名校數學壓軸題精選
AAA. 【青島市2009年高三教學統一質量檢測（理）22．】（本小題滿分14分）已知等比數列的前項和為
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設數列滿足，為數列 的前項和，試比較 與 的大小，并證明你的結論．
【解析】：（Ⅰ）由得:時，
………………………2分
是等比數列，，得 ……4分
（Ⅱ）由和得……………………6分
……10分
………………………11分
當或時有，所以當時有
那么同理可得：當時有，所以當時有………………………13分
綜上：當時有；當時有………………………14分
.【皖東十校09屆第一次聯考試卷數學（理）22】已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（I）求橢圓的方程；
（II）設橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（III）設與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足求的取值范圍.
【解析】：（Ⅰ）∵
∵直線相切，
∴ ∴ …………3分
∵橢圓C1的方程是 ………………6分
（Ⅱ）∵MP=MF2，
∴動點M到定直線的距離等于它到定點F1（1，0）的距離，
∴動點M的軌跡是C為l1準線，F2為焦點的拋物線 ………………6分
∴點M的軌跡C2的方程為 …………9分
（Ⅲ）Q（0，0），設
∴
∵
∴
∵，化簡得
∴ ………………11分
∴
當且僅當 時等號成立 …………13分
∵
∴當的取值范圍是……14分
2.【江蘇省姜堰中學高三數學階段調研試卷】（本小題滿分16分）函數其中為常數，且函數和的圖像在其與坐標軸的交點處的切線互相平行
（1）、求函數的解析式
（2）、若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍。
【解析】：（1） ------2
的圖像與坐標軸的交點為，的圖像與坐標軸的交點為
由題意得即， ------3
又
------4
（2）由題意
當時，-------6
令
------7
令 ------9
當時，
單調遞增。
------10
由在上恒成立，
得 ------12
當時， ------13
可得
單調遞增。------14
由在上恒成立，得 ------15
綜上，可知 ------16
3.【湖南省長沙一中2008-2009學年高三第八次月考數學（文科）21．】（本小題滿分13分）如圖，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），點P在BC邊上移動，線段OP的垂直平分線交y軸于點E，點M滿足
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）已知點F（0，），過點F的直線l交點M的軌跡于Q、R兩點，且求實數的取值范圍.
【解析】：（I）依題意，設P（t,2）（－2≤t≤2），M（x，y）.
當t=0時，點M與點E重合，則M=（0，1）；
當t≠0時，線段OP的垂直平分線方程為：
顯然，點（0，1）適合上式 .故點M的軌跡方程為x2=－4(y－1)( －2≤x≤2)
（II）設得x2+4k－2=0.
設Q（x1,y1）、R（x2,y2），則
,.消去x2，得.
解得
4. 【湖北省2009屆高三八校聯考第二次（理）21.】（本小題滿分14分）已知數列中，，，其前項和滿足.令.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若，求證：（）；
（Ⅲ）令（），求同時滿足下列兩個條件的所有的值：①對于任意正整數，都有；②對于任意的，均存在，使得時，.
【解】（Ⅰ）由題意知即……1′
∴
……2′
檢驗知、時，結論也成立，故.…………3′
（Ⅱ）由于
故
.…………6′
（Ⅲ）（ⅰ）當時，由（Ⅱ）知：，即條件①滿足；又，
∴.
取等于不超過的最大整數，則當時，.…9′
（ⅱ）當時，∵，，∴，∴.
∴.
由（ⅰ）知存在，當時，，
故存在，當時，，不滿足條件. …12′
（ⅲ）當時，∵，，∴，∴.
∴.
取，若存在，當時，，則.
∴矛盾. 故不存在，當時，.不滿足條件.
綜上所述：只有時滿足條件，故.…………14′
5.【河南省普通高中2009年高中畢業班教學質量調研考試（文）22.】（本小題滿分12分）已知點A是拋物線y2＝2px（p>0）上一點，F為拋物線的焦點，準線l與x軸交于點K，已知｜AK｜＝｜AF｜，三角形AFK的面積等于8．
（1）求p的值；
（2）過該拋物線的焦點作兩條互相垂直的直線l1，l2，與拋物線相交得兩條弦，兩條弦
的中點分別為G，H.求｜GH｜的最小值．
【解析】：22．解：（Ⅰ）設，
因為拋物線的焦點，
則.……………………………1分
，………2分
，而點A在拋物線上，
.……………………………………4分
又故所求拋物線的方程為.6分
（2）由，得，顯然直線，的斜率都存在且都不為0.
設的方程為，則的方程為.
由 得，同理可得.……………8分
則
=.（當且僅當時取等號）
所以的最小值是8.……………………………………12分
6.【河南省普通高中2009年高中畢業班教學質量調研考試（理）22.】（本小題滿分12分）
已知數列滿足
（1）求；
（2）已知存在實數，使為公差為的等差數列，求的值；
（3）記，數列的前項和為，求證：.
【解析】：22．解：（1），由數列的遞推公式得
，，.……………………………………………………3分
（2）
=
==.……………………5分
數列為公差是的等差數列.
由題意，令，得.……………………7分
（3）由（2）知，
所以.……………………8分
此時=
=，……………………10分
=
>.……………………12分
7.【河北省石家莊市2009年高中畢業班復習教學質量檢測（一）22．】（本題滿分12分）【理科】已知函數
（I）求的極值；
（II）若的取值范圍；
（III）已知
【解析】：（Ⅰ）令得 ……………2分
當為增函數；
當為減函數，
可知有極大值為…………………………..4分
（Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，
設
由（Ⅰ）知，，
……………………８分
（Ⅲ），由上可知在上單調遞增，
①，
同理 ②…………………………..10分
兩式相加得
……………………………………12分
8.【河北省石家莊市2009年高中畢業班復習教學質量檢測（一）22．】（本題滿分12分）【文科】已知橢圓，雙曲線C與已知橢圓有相同的焦點，其兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑的圓相切。
（I）求雙曲線C的方程；
（II）設直線與雙曲線C的左支交于兩點A、B，另一直線l經過點及AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍。
【解析】：（本小題滿分12分）（I）設雙曲線C的焦點為：
由已知，
，　　　　　　　　　……………2分
設雙曲線的漸近線方程為，
依題意，，解得．
∴雙曲線的兩條漸近線方程為．
故雙曲線的實半軸長與虛半軸長相等，設為，則，得，
∴雙曲線C的方程為 　　　　　　　　　　　　……………６分.
（II）由，
直線與雙曲線左支交于兩點，
因此 ………………..９分
又中點為
∴直線的方程為，
令x=0，得，
∵ ∴
∴故的取值范圍是． ………………12分．
9.【東北育才學校2009屆高三第三次模擬考試（文）22.】 (本小題滿分14分)設等比數列{}的前項和，首項，公比.
(Ⅰ)證明：；
(Ⅱ)若數列{}滿足，，求數列{}的通項公式；
(Ⅲ)若，記，數列{}的前項和為，求證：當時，.
【解析】：(Ⅰ) ……2分
而 ……………………………………………3分
所以 …………………………………………4分
(Ⅱ),, ……………………………6分
是首項為,公差為1的等差數列,
,即. ………………………………8分
(Ⅲ) 時, , …………………………9分
相減得
, …………………………12分
又因為,單調遞增,
故當時, . ……………………………………………………14分
10.【東北育才學校2009屆高三第三次模擬考試（理）24.】如右圖（1）所示，定義在區間上的函數，如果滿足：對，常數A，都有成立，則稱函數在區間上有下界，其中稱為函數的下界. （提示：圖(1)、（2）中的常數、可以是正數，也可以是負數或零）
（Ⅰ）試判斷函數在上是否有下界？并說明理由；
（Ⅱ）又如具有右圖（2）特征的函數稱為在區間上有上界.
請你類比函數有下界的定義，給出函數在區間上有上界的定義，并判斷（Ⅰ）中的函數在上是否有上界？并說明理由；
（Ⅲ）若函數在區間上既有上界又有下界，則稱函數在區間上有界，函數叫做有界函數．試探究函數 （是常數）是否是（、是常數）上的有界函數？
【解析】：24．（I）解法1：∵，由得，
∵， ∴，-----------------2分
∵當時，，∴函數在（0，2）上是減函數；
當時，，∴函數在（2，＋）上是增函數；
∴是函數的在區間（0，＋）上的最小值點，
∴對，都有，------------------------------------4分
即在區間（0，＋）上存在常數A=32,使得對都有成立，
∴函數在（0，＋）上有下界. ---------------------5分
[解法2：
當且僅當即時“＝”成立
∴對，都有，
即在區間（0，＋）上存在常數A=32,使得對都有成立，
∴函數在（0，＋）上有下界.]
（II）類比函數有下界的定義，函數有上界可以這樣定義：
定義在D上的函數，如果滿足：對，常數B，都有≤B成立，則稱函數在D上有上界，其中B稱為函數的上界. -----7分
設則，由（1）知，對，都有，
∴，∵函數為奇函數，∴
∴，∴
即存在常數B=－32，對，都有,
∴函數在（－， 0）上有上界. ---------9分
（III）∵，
由得，∵
∴ ∵ ， ∴，----------10分
∵當時，，∴函數在（0，）上是減函數；
當時，，∴函數在（，＋）上是增函數；
∴是函數的在區間（0，＋）上的最小值點，
---------------------11分
①當時，函數在上是增函數；
∴
∵、是常數，∴、都是常數
令,
∴對，常數A,B,都有
即函數在上既有上界又有下界-------------------------12分
②當 時函數在上是減函數
∴對都有
∴函數在上有界.-------------------------13分
③當時，函數在上有最小值
＝
令,令B=、中的最大者
則對，常數A,B,都有
∴函數在上有界.
綜上可知函數是上的有界函數--------------14分
11.【東北育才、天津耀華、大連育明、哈三中2009年四校第一次高考模擬聯考（理）22．】（本小題滿分12分）如圖，已知雙曲線=1的兩個焦點為F1，F2，兩個頂點為A1，A2，點是
（I）求實數的取值范圍；
（II）直線PF1，PF2分別與雙曲線各交于兩點，求以這四個交點為頂點的四邊形的面積S的取值范圍。
【解析】：（1）A1（-1，0），A2（1，0），F1（-2，0），F2（2，0）
…………4分
（II）設
直線PF1與雙曲線交于
直線PF2與雙曲線交于
令
…………6分
而
直線PF1與雙曲線交于兩支上的兩點，同理直線PF2與雙曲線交于兩支上的兩點
則…………8分
…………10分
令
遞增
又
…………12分
12.【安徽省示范高中皖北協作區2009年高三聯考（理）22】（本小題14分）設函數
（Ⅰ）求的單調區間；
（Ⅱ）當時，若方程在上有兩個實數解，求實數t的取值范圍；
（Ⅲ）證明：當m>n>0時，。
【解析】：22、（Ⅰ）
①時， ∴在（—1，+）上市增函數
②當時，在上遞增，在單調遞減
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調遞增，在上單調遞減
又 ∴
∴當時，方程有兩解
（Ⅲ）要證：只需證
只需證
設， 則
由（Ⅰ）知在單調遞減
∴，即是減函數，而m>n
∴，故原不等式成立。
13.【安徽省合肥七中2009屆高三第五次月考（理）22．】 (本小題滿分14分)
橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線l與橢圓交于A、B兩點.
（1）如果點A在圓（c為橢圓的半焦距）上，且|F1A|=c，求橢圓的離心率；
（2）若函數的圖象，無論m為何值時恒過定點（b，a），
求的取值范圍。
【解析】：（1）∵點A在圓，
由橢圓的定義知：|AF1|+|AF2|=2a，
（2）∵函數
∴
點F1（－1，0），F2（1，0），
①若，
∴
②若AB與x軸不垂直，設直線AB的斜率為k，則AB的方程為y=k（x+1）
由…………（*）
方程（*）有兩個不同的實根.
設點A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是方程（*）的兩個根
由①②知
14.【2009年天津市高三年級能力測試（河東卷.理）22. 】（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點，平行于的直線在軸上的截距為，交橢圓于兩個不同點
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）求證直線與軸始終圍成一個等腰三角形。
【解析】：（1）設橢圓方程為
則解得所以橢圓方程
（2）因為直線平行于OM，且在軸上的截距為
又，所以的方程為：
由
因為直線與橢圓交于兩個不同點，
所以的取值范圍是。
（3）設直線的斜率分別為，只要證明即可
設，則
由
可得
而
故直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形。
15.【2009年上海市普通高等學校春季招生考試20.】設函數，其中為正整數.
（1）判斷函數的單調性，并就的情形證明你的結論；
（2）證明：；
（3）對于任意給定的正整數，求函數的最大值和最小值.
【解析】（1）在上均為單調遞增的函數. …… 2分
對于函數，設 ，則
，
，
函數在上單調遞增. …… 4分
（2） 原式左邊
. …… 6分
又原式右邊.
. …… 8分
（3）當時，函數在上單調遞增，
的最大值為，最小值為.
當時，， 函數的最大、最小值均為1.
當時，函數在上為單調遞增.
的最大值為，最小值為.
當時，函數在上單調遞減，
的最大值為，最小值為. …… 11分
下面討論正整數的情形：
當為奇數時，對任意且
，
以及 ，
，從而 .
在上為單調遞增，則
的最大值為，最小值為. …… 14分
當為偶數時，一方面有 .
另一方面，由于對任意正整數，有
，
.
函數的最大值為，最小值為.
綜上所述，當為奇數時，函數的最大值為，最小值為.
當為偶數時，函數的最大值為，最小值為. …… 18分
16.【2009年高考桂林市、崇左市、賀州市、防城港市聯合調研考試(文)22.】（本小題滿分12分）
已知點，點在軸上，點在軸的正半軸上，點在直線上，且
滿足.
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求點的軌跡的方程；
（Ⅱ）設、為軌跡上兩點，且>1, >0,，求實數，
使，且.
【解析】：解：（Ⅰ）設點，由得. …………2分
由,得，即. …………… 4分
又點在軸的正半軸上，∴.故點的軌跡的方程是
. …………………………………………………………6分
（Ⅱ）由題意可知為拋物線：的焦點，且、為過焦點的直線與拋物
線的兩個交點,所以直線的斜率不為. ……………………………………7分
當直線斜率不存在時，得，不合題意； ……8分
當直線斜率存在且不為時，設，代入得
，
則，解得. …………10分
代入原方程得，由于，所以，由,
得，∴. ……………………………………………………12分
17.【東北三省四市長春、哈爾濱、沈陽、大連第一次聯合考試數學(理)22.】 (本小題滿分12分) 已知為坐標原點，點、分別在軸、軸上運動，且，動點滿足，設點的軌跡為曲線，定點，直線交曲線于另外一點．
(1)求曲線的方程；
(2)求面積的最大值．
【解析】：本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡的求法以及綜合解題能力。
解：(1)設，則
∵,∴，∴，
又，∴
∴曲線的方程為
(2)由(1)可知， (4，0)為橢圓的右焦點，設直線方程為
，由消去得，，
∴
∴
，
當，即時取得最大值，
此時直線方程為.
18.【2009年安慶市高三模擬考試（二模）（文）22.】 （本小題滿分13分）如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），平行于OM的直線L在y軸上的截距為m(m≠0)，L交橢圓于A、B兩個不同點。
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形。
【解析】：（1）設橢圓方程為,則.
∴橢圓方程為 ……………………4分
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m, 又KOM=,
，聯立方程有
， ∵直線l與橢圓交于A．B兩個不同點，
…………8分
（3）設直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可
設，
則 由
而
故直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形. ……………………13分
19.【2009屆重慶市南開中學高三總復習檢測題（六）】已知數列(錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。)與{錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。)有如下關系：錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。
(1)求數列(錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。}的通項公式。
(2)設錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。是數列{錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。}的前n項和，當n≥2時，求證錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。：
【解析】：（1）錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。
錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。
錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。 （4分）
（2）錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。當n≥2時，錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。,（當且僅當錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。時取等號）且錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。
故錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。
以上式子累和得錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。
錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。
錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。
錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。＜錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。+n
錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。（錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。）得證.
20.【2009屆山東省實驗中學高三年級第四次綜合測試(理)22.】（本小題滿分13分） 已知函數
上恒成立.
（1）求的值；
（2）若
（3）是否存在實數m，使函數上有最小值－5？若存在，請求出實數m的值；若不存在，請說明理由.
【解析】：（1）
恒成立
即恒成立
顯然時，上式不能恒成立
是二次函數
由于對一切于是由二次函數的性質可得
即
．
（2）
即
當，當．
（3）
該函數圖象開口向上，且對稱軸為
假設存在實數m使函數區間 上有
最小值－5.
①當上是遞增的.
解得舍去
②當上是遞減的，而在
區間上是遞增的，
即
解得
③當時，上遞減的
即
解得應舍去.
綜上可得，當時，
函數
21.【2009年3月四縣(市)高三調研考試.（文）21．】（本小題滿分13分）設三次函數，在處取得極值，其圖像在處的切線的斜率為。
（1）求證：；
（2）若函數在區間上單調遞增，求的取值范圍。
【解析】：（1），由題設，得 ①
②
, ∴
∵， ∴,∴,
由①代入②得，∴，
得，∴或 ③
將代入中，得 ④
由③、④得； 7分
（2）由（1）知， ，
∴方程的判別式有兩個不等實根，，
又，∴，，，
當或時，，當時，
∴函數單調增區間是，∴，
由知。
∵函數在區間上單調遞增，∴，
∴，即的取值范圍是。 13分
22.【2009年3月四縣(市)高三調研考試.（理）21．】本小題滿分13分）
已知函數
（1）為定義域上的單調函數，求實數的取值范圍
（2）當時，求函數的最大值
（3）當時，且，證明：
【解析】：（1）， ∴
因為對，有
∴不存在實數使，對恒成立 2分
由恒成立，∴，
而，所以
經檢驗，當時，對恒成立。
∴當時，為定義域上的單調增函數 4分
（2）當時，由，得
當時，，當時，
∴在時取得最大值，∴此時函數的最大值為 7分
（3）由（2）得，對恒成立，當且僅當時取等號
當時，，∵，
∴
∴
同理可得，，，
∴
法二：當時（由待證命題的結構進行猜想，輔助函數，求差得之），在上遞增
令
在上總有，即在上遞增
當時，
即
令由（2）它在上遞減 ∴
即
∵
∴，綜上成立，其中。
23.【中山市2009屆高三第二學期2月四校聯考（理）】(本小題滿分14分，第Ⅰ小題5分，第Ⅱ小題4分，第Ⅲ小題5分).
數列的各項均為正數，為其前項和，對于任意，總有成等差數列.
(Ⅰ)求數列的通項公式；
(Ⅱ)設數列的前項和為 ，且，求證:對任意實數（是常數，＝2.71828）和任意正整數，總有 2；
(Ⅲ) 正數數列中，.求數列中的最大項.
【解析】：（Ⅰ）解：由已知：對于，總有 ①成立
∴ （n ≥ 2）② …………………1分
①--②得
∴
∵均為正數，∴ （n ≥ 2）
∴數列是公差為1的等差數列 ………3分
又n=1時，， 解得=1
∴.() ……………………………………………5分
（Ⅱ）證明：∵對任意實數和任意正整數n，總有≤.……6分
∴
……………9分
(Ⅲ)解：由已知 ，
易得　
猜想 n≥2 時，是遞減數列. ………………………………11分
令
∵當
∴在內為單調遞減函數.
由.
∴n≥2 時, 是遞減數列.即是遞減數列.
又 , ∴數列中的最大項為. …………………………14分
24.【廣東省茂名市2009年第一次高考模擬考試（理）21.】（本小題滿分14分）
已知數列,,
（Ⅰ）求數列的通項公式
（Ⅱ）當時,求證:
（Ⅲ）若函數滿足：
求證：
【解析】： (1) ,兩邊加得: ,
是以2為公比, 為首項的等比數列. ……①
由兩邊減得: 是以
為公比, 為首項的等比數列. ……②
①-②得: 所以,所求通項為…………5分
(2) 當為偶數時,
當為奇數時,,,又為偶數
由(1)知, ……………………10分
（3）證明：
又
……12分
………………-14分
25.【江門市2009年高考模擬考試（文）21.】（本小題滿分14分）設，函數，，．
⑴當時，求的值域；
⑵試討論函數的單調性．
【解析】：⑴----------1分，時，----------2分；
當時，，根據指數函數與冪函數的單調性，是單調遞增函數--------3分，-------4分。所以時，的值域為-------5分。
⑵依題意-- ---6分。
①，當時，，遞減，當時，，遞增 ----8分。
②，當時，解得，當時，，遞減，當時，，遞增。當時，，遞增-- ---10分。
③，當時，，遞減。當時，解得，當時，，遞增，當時，，遞減-----12分。
④，對任意，，在每個定義域區間上遞減--- --13分。
綜上所述，時，在或上單調遞增，在上單調遞減；時，在上單調遞增，在上單調遞減；時，在上單調遞增，在或上單調遞減；時，在每個定義域區間上遞減---- -14分。
26.【江門市2009年高考模擬考試（理）21.】（本小題滿分12分）已知函數，是常數，．
⑴若是曲線的一條切線，求的值；
⑵，試證明，使．
【解析】：⑴-------1分，解得，或-------2分
當時，，，所以不成立-------3分
當時，由，即，得-----5分
⑵作函數-------6分
，函數在上的圖象是一條連續不斷的曲線------7分，
------8分
①若，，，使，
即-------10分
②若，，，
，當時有最小值，且當時-------11分，
所以存在（或）從而，使，即-------12分
27.【2009年深圳市高三年級第一次調研考試（理）21．】（本題滿分14分）已知函數，為函數的導函數．
（Ⅰ）若數列滿足：，（），求數列的通項；
（Ⅱ）若數列滿足：，（）．
ⅰ.當時，數列是否為等差數列？若是，請求出數列的通項；若不是，請說明理由；
ⅱ.當時， 求證：．
【解析】：（Ⅰ）， …………………1分
，
即． …………………………3分
， 數列是首項為，公比為的等比數列．
，即． …………………………5分
（Ⅱ）（ⅰ），
．
當時，．
假設，則．
由數學歸納法，得出數列為常數數列，是等差數列，其通項為． …………8分
（ⅱ）， ．
當時，．
假設，則 ．
由數學歸納法，得出數列． …………………………10分
又，
，
即． …………………………12分
．
，
． 　 …………………………14分
28.【天津市漢沽一中2008~2009屆第六次月考 (理)22.】（本小題滿分14分）已知函數(x∈R)在區間[-1,1]上是增函數（Ⅰ）求實數a的值所組成的集合A（Ⅱ）設關于x的方程的兩實數根為x1、x2.
試問:
是否存在實數m,使得不等式對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立 若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由
【解析】：
（Ⅰ）
因為函數f(x)在區間[-1,1]上是增函數,所以f‘(x)≥0在區間x∈[-1,1]恒成立
即有x2-ax-2≤0在區間[-1,1]上恒成立。 構造函數g(x)=x2-ax-2
∴滿足題意的充要條件是：
所以所求的集合A[-1，1] ………(7分)
（Ⅱ）由題意得：得到：x2-ax-2=0………(8分)
因為△=a2+8>0 所以方程恒有兩個不等的根為x1、x2由根與系數的關系有：……(9分)
因為a∈A即a∈[-1，1]，所以要使不等式對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立，當且僅當對任意的t∈[-1,1]恒成立……(11分)
構造函數φ（x）=m2+tm-2=mt+(m2-2) ≥0對任意的t∈[-1,1]恒成立的充要條件是
m≥2或m≤-2.故存在實數m滿足題意且為
{m| m≥2或m≤-2}為所求 （14分）
29.【安徽省蚌埠市第二次教學質量檢查考試(理)22.】（本小題滿分14分）數列和數列由下列條件確定：
①；
②當時，與滿足如下條件：當時，；當時，。
解答下列問題：
（Ⅰ）證明數列是等比數列；
（Ⅱ）求數列的前n項和為；
（Ⅲ）是滿足的最大整數時，用表示n的滿足的條件。
【解析】：（Ⅰ）當時，
當時，
所以不論哪種情況，都有，又顯然，
故數列是等比數列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故
所以，
所以，，
（Ⅲ）當時，
由②知不成立，故從而對于，有，于是 ，故
若，
若，則
所以，這與n是滿足的最大整數矛盾。
因此n是滿足的最小整數，
而
因而，n是滿足最小整數。
30.【上 海 市2009年高三十四校聯考模擬試卷(理) 21.】（本題20分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題6分，第4小題4分）
我們知道，判斷直線與圓的位置關系可以用圓心到直線的距離進行判別，那么直線與橢圓的位置關系有類似的判別方法嗎？請同學們進行研究并完成下面問題。
（1）設F1、F2是橢圓的兩個焦點，點F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，試求d1·d2的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關系。
（2）設F1、F2是橢圓的兩個焦點，點F1、F2到直線 （m、n不同時為0）的距離分別為d1、d2，且直線L與橢圓M相切，試求d1·d2的值。
（3）試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關系的充要條件，并證明。
（4）將（3）中得出的結論類比到其它曲線，請同學們給出自己研究的有關結論（不必證明）。
【解析】：21．（本題20分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題6分，第4小題4分）
（1）； ………………2分
聯立方程； …………3分
與橢圓M相交。 …………4分
（2）聯立方程組
消去
（3）設F1、F2是橢圓的兩個焦點，點F1、F2到直線
的距離分別為d1、d2，且F1、F2在直線L的同側。那么直線L與橢圓相交的充要條件為：；直線L與橢圓M相切的充要條件為：；直線L與橢圓M相離的充要條件為：　……14分
證明：由（2）得，直線L與橢圓M相交
命題得證。
（寫出其他的充要條件僅得2分，未指出“F1、F2在直線L的同側”得3分）
（4）可以類比到雙曲線：設F1、F2是雙曲線的兩個焦點，點F1、F2到直線距離分別為d1、d2，且F1、F2在直線L的同側。那么直線L與雙曲線相交的充要條件為：；直線L與雙曲線M相切的充要條件為：；直線L與雙曲線M相離的充要條件為：………………20分
（寫出其他的充要條件僅得2分，未指出“F1、F2在直線L的同側”得3分）。（持續更新優化中... ...）
20090327
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