資源簡介

(共36張PPT)
高一年級
數學
斜二測畫法
攝影作品
素描作品
一、情景引入：
建筑設計
工業設計
立體圖形的直觀圖----斜二測畫法
概念：觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的平面圖形叫做空間幾何體的直觀圖．
什么是直觀圖？
二、新課探究
怎樣畫立體圖形的直觀圖呢？
立體圖形的直觀圖
二、新課探究
水平放置的平面圖形的直觀圖
（以長方體為例）
問題：矩形的乒乓球臺在我們眼里是什么形狀？
矩形窗戶在陽光照射下留在地面上的影子是什么
形狀？
觀察與思考：
平行
投影
矩形垂直投影面
斜二測畫法
投影面
矩形的投影是平行四邊形
投影線不垂直于投影面
探索新知：
問題：正方形的直觀圖中
邊和角發生了什么變化？
不變
變化
長度
位置關系
不變
問題：1.為什么要在已知圖形
建立直角坐標系？
2.怎樣建立直角坐標系？
例題
用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖
在六邊形ABCDEF中，取AD
所在的直線為x軸，AD
的垂直平
分線
MN
為y軸，兩軸相交于O點．
畫相應的x'軸與y'軸，兩軸相交于
點O'，使
三、習題精講
(1)畫軸建系
例題
用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖
(2)畫線定點
以O'為中點，在x'軸上取
A'D'=AD，
在
y'
軸上取M'N'=
MN．
以點N'為中點，
畫B'C'平行于x'軸，并且等于
BC；再以
M'為中點，畫F'E'平行于
x'
軸，并且等
于FE．
例題
用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖
連接A'B'，C'D'，D'E'，F'A'，
并擦去輔助線
x'，y'
軸，便獲得正
六邊ABCDEF的水平放置的直觀圖A'B'C'D'E'F'．
(3)連線成圖
例題
用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖
平行關系，與x軸平行或重合的線段長度．
垂直關系，角的大小，不與x軸平行或重
合的一般線段的長度．
不變的：
變化的：
橫相等，縱減半，平行關系不改變．
思考：水平放置的平面圖形的直觀圖是唯一
確定的嗎？
例題
有兩個水平放置的全等的等腰直角三角形放置如圖1和圖2．畫出它們的直觀圖，并比較兩直觀圖是否相同．
圖1
圖2
放置的方向不同
直觀圖有所不同
圖2
圖1
(1)相等的線段在直觀圖中依然相等．
×
四、鞏固與練習：
用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖時，下列結論是否正確？
正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
(2)平行的線段在直觀圖中依然平行．
√
四、鞏固與練習：
用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖時，下列結論是否正確？
正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
(3)相等的角在直觀圖中依然相等．
×
四、鞏固與練習：
用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖時，下列結論是否正確？
正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
(4)一個角的直觀圖依然是一個角．
√
四、鞏固與練習：
用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖時，下列結論是否正確？
正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
(5)三角形的直觀圖是三角形．
√
四、鞏固與練習：
用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖時，下列結論是否正確？
正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
(6)平行四邊形的直觀圖是平行四邊形．
√
四、鞏固與練習：
用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖時，下列結論是否正確？
正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
(7)菱形的直觀圖是菱形．
×
四、鞏固與練習：
用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖時，下列結論是否正確？
正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．
B
已知等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8.如圖所示，求它水平放置的直觀圖的面積．
如圖所示的梯形ABCD，用斜二測畫法來做出它
水平放置的直觀圖．
五、知識拓展：
正等測畫法
斜二測畫法
多面體直觀圖
旋轉體直觀圖
六、課堂總結：
1.斜二測畫法的主要步驟及原理．
2.畫圖的規范性．
本節課主要內容
七、課后作業：教
案
教學基本信息
課題
斜二測畫法
學科
數學
學段：
高一
年級
10年級
教材
書名：
數學必修第二冊
出版社：
人民教育出版社
出版日期：2019
年6
月
教學目標及教學重點、難點
教學目標：掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖。在此過程中提高學生的空間想象能力，和制圖識圖能力。
教學重難點
：利用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形。
教學過程(表格描述)
教學環節
主要教學活動
設置意圖
一、
情景引入
二、
新課探究
三、
習題精講
四、
鞏固練習
五、
知識拓展
六、總結：
七、
課后作業
這節課學習立體圖形的直觀圖第一部分：斜二測畫法。首先欣賞一組圖片：
攝影作品素描作品，建筑設計和在工業上常見的工業設計，它們共同的特點是把我們生活中常見的一些三維立體圖形表現在二維平面上。
那么在數學上是怎樣把空間幾何體畫在平面上呢？這就是我們今天要研究的內容，立體圖形的直觀圖以及斜二測畫法。
概念：觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的平面圖形就叫做空間幾何體的直觀圖。
怎樣畫立體圖形的直觀圖呢？怎樣才能使直觀更加美觀呢？
以長方體為例，在觀察長方體時，我們發現從不同的角度觀察得到的直觀圖各不相同。比如，從長方體的正前方觀察只能觀察到一個面，這時長方體給我們的直觀感覺是矩形。
而我們換一個角度從斜右上方觀察長方體，能夠看到三個面。因此，要求我們畫直觀圖時要有一定傾斜的角度，這樣更能體現長方體的幾何特征。
當然，這樣畫出的直觀圖往往與真實的立體圖形形狀有所不同。例如，長方體在水平面上的底在真實的圖形中是矩形，在直觀圖中如果還是畫成矩形，就會和我們的直觀感覺不符，畫直觀圖時我們一般把它畫成平行四邊形。
我們發現長方體的直觀圖主要是‘底’發生了變化。因此，畫立體圖形的直觀圖時畫好“底”是關鍵。
要畫立體的直觀圖，首先要學會畫水平放置的平面圖形的直觀圖。
水平放置的矩形從傾斜的角度觀察時，是平行四邊形。這個結論來源于我們的生活實踐。觀察下面的兩幅圖片思考問題：
在上面的實例中從斜上方觀察矩形的乒乓球臺給我們以平行四邊形的直觀印象。
窗戶在陽光照射下留在底面上的影子也是平行四邊形；
這樣觀察得到的結論有沒有理論依據呢？
下面，我們利用平行投影的知識，對以上結論來做一個合理的解釋。
當矩形與投影面垂直，投影線與投影面不垂直，在平行光線的作用下，
矩形的上下兩邊在投影面上的投影一定平行，并且長度不變。左右兩邊的投影也平行但是因為光線的角度是傾斜的，所以長度發生了變化。投影線段變長或變短與光線的角度有關。除此之外，矩形的角投影在投影面上也發生了變化。因此矩形的投影變成了平行四邊形
以畫水平放置的正方形直觀圖為例，介紹斜二測畫法。
首先，我們在已知的正方形ABCD上建立直角坐標系。以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，以O（A）為原點建立直角坐標系，然后建立坐標系x’o’y’表示水平面，使兩軸之間的夾角為45度。也可以畫成135度，這和我們觀察正方形的視角有關。一般我們習慣選擇兩軸成45度角的坐標系。
然后，在坐標系x’o’y’中畫直觀圖。在x’軸上取A’B’,(A’點與O’重合)讓A’B’的長度與已知圖形中的AB相等，以確定B’點在x’軸上的位置。在y’軸上取A’D’使其長度為AD的一半，以確定D’的位置。過D’做D’C’//x’軸且D’C’=DC,最后連接B’C’.得到了A’B’C’D’.即水平放置的正方形ABCD的直觀圖。
問題：在正方形直觀圖中邊和角發生了哪些變化呢？
從線段的長度來看，與x軸平行或重合的線段AB和DC
在直觀圖中的長度不變，與y軸平行或重合的線段AD和
BC在直觀圖中，長度變為原來的一半。從線段的位置關
系來看，在正方形中互相平行的兩組線段在直觀圖中仍然
平行。
斜二測畫法畫水平放置平面圖形的直觀圖的步驟：
（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點o。畫直觀圖時，把他們畫成對應的x’和y’軸，兩軸相交于點o’.且使角x’0’y’=45度。它們確定的平面表示水平面。
問題：1、為什么在已知圖形上建立直角坐標系呢？
為了畫出直觀圖，需要我們確定直觀圖中點的位置，因此就需要確定已知圖形中的對應點的位置，給點“定位”就需要借助某種參照系。最好的參照系當然是直角坐標系。
我們怎樣建系呢？還有其他的建系方法嗎？（還可以以正方形中心為原點建系）
（2）已知圖形中平行或重合于x軸或y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行或重合于x’或y’軸的線段。。
（3）已知圖形中的平行或重合于x軸的線段在直觀圖中保持原來的長度不變，平行或重合于y軸的線段在直觀圖中長度變為原來的一半。
例1：用斜二測畫法畫正六邊形水平放置的直觀圖。
畫法：（1）第一步，畫軸建系
。
在六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為x軸，AD的垂直平分線MN為y軸，兩軸相交于o點.畫相應的x'軸與y'軸，兩軸相交于點o',使
（2）第二步，畫線定點。以O'為中點，在x'軸上取A'D'=AD在
y'
軸上取M'N'=
MN.以點N'為中點，畫B'C'平行于x'軸，并且等于BC；再以M'為中點，畫F'E'平行于x'
軸，并且等于FE.
（3）第三步，連線成圖。連接A'B'，C'D'，D'E'，F'A'，
并擦去輔助線
x'，y'
軸，便獲得正六邊形ABCDEF的水平放置的直觀圖A'B'C'D'E'F'.
在利用斜二測畫法畫直觀圖時，還要注意畫圖的規范性，比如要明確標出坐標系的x,y軸和原點。還要注意測量長度時的準確性。
問題：通過以上水平放置的正方形和正六邊形的直觀圖，你能說說斜二測畫法下，平面圖形哪些元素發生了變化，哪些沒變嗎？
不變的：平行關系，與x軸平行或重合的線段長度
變化的：垂直關系，角的大小，和不與x軸平行或重合一般線段的長度。
橫相等，縱減半，平行關系不改變。
例2：有兩個水平放置的全等的等腰直角三角形，放置如圖1和圖2。畫出它們的直觀圖，并比較兩直觀圖是否相同。
并思考：水平放置的平面圖形的直觀圖是唯一確定的嗎？
如圖一放置的等腰直角三角形的直觀圖。以B為原點，以BA所在直線為x軸，以BC所在直線為y軸建立直角坐標。做兩坐標軸夾角為45度的坐標系x’o’y’.
在x’軸上做B’A’等于BA，使B’與O’重合。
在y’軸上做B’C’等于BC的一半。連接A’C’.得到已知等腰直角三角形ABC的直觀圖A’B’C’.
如圖二放置的等腰直角三角形的直觀圖。取AC中點O，以O為原點，以AC所在直線為x軸，以OB所在直線為y軸，建立直角坐標系。做兩坐標軸夾角為45度的坐標系x’o’y’.以O’為中點在x’軸上取C’A’等于CA。在y’軸上取O’B’等于OB的一半。連接B’C’,B’A’得到水平放置的三角形ABC的直觀圖A’B’C’.我們發現兩個直觀圖完全不同。
由此，我們得到這樣的結論：水平放置的平面圖形的直觀圖并不唯一確定。
放置的方向不同，相同的平面圖形的直觀圖有所不同。
練習：用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結論是否正確？正確的畫“√”，錯誤的畫“×”
相等的線段在直觀圖中依然相等。錯誤
平行的線段在直觀圖中依然平行。正確
相等的角在直觀圖中依然相等。
錯誤
一個角的直觀圖依然是角。
正確
三角形的直觀圖是三角形。
正確
平行四邊形的直觀圖是平行四邊形。正確
菱形的直觀圖是菱形。
錯誤
練習：四邊形ABCD的直觀圖A’B’C’D’中，A’B’//x’軸，A’D’//y’軸，A’B’//D’C’且A’B’不等于D’C’.則四邊形的形狀為？
分析：這道題和前面的題目有所不同。要求我們由水平放置的直觀圖反過來畫平面圖形。并且，直觀圖中的只給了各邊與x’，y'軸相對的位置關系。但是并沒有告訴我們圖形在坐標軸下的具體位置。那么怎樣來解決這個問題？
如果正方形的形狀完全相同，擺放的方向也相同，當只有位置發生改變時，得到的直觀圖的形狀不變。這就解決了我們剛才的問題。我們可以忽略各邊到軸的距離，來做平面圖形的直觀圖。
首先建立放置平面圖形的直角坐標系xoy.
直觀圖中，因為A’B’平行于x’軸，由斜二測畫法可知，平面圖形中線段AB就平行于x軸，并且AB等于A’B’.
在直觀圖中有A’D’平行于y’軸，平面圖形中就有線段AD平行于y軸，AD等于A’D’的2倍。因為在直角坐標系中兩坐標軸垂直，所以AB垂直AD。
在直觀圖中D’C’//x’軸所以在平面圖形中DC//x軸，并且DC=D’C’.因為直觀圖中A’B’不等于D’C’.所以平面圖形中的AB不等于DC。最后連接BC。這樣我們就知道平面圖形應該是直角梯形，答案選B。
練習
已知等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8如圖所示，求它水平放置的直觀圖的面積。
解：先做三角形的直觀圖如圖在等腰三角形中因為AB=5，BC=8,所以BO=BC=4，勾股定理可知，AO=3.
在直觀圖A’B’C’中，過點A’做A’H垂直于B’C’.
因為A’O長度為AO的，等于,又因為。所以A’H’=.又因為B’C’=BC=8,所以三角形A’B’C’的面積為
練習：如圖所示的梯形ABCD，用斜二測畫法來做出它水平放置的直觀圖。
畫法：（1)畫軸建系
在梯形上，以AB為x軸，O點即A點為原點建立直角坐標系，畫x’,y’軸，使它們相交于o’，使x’o’y’=45度。
（2)畫線定點
A’B’=AB.使A’與O’重合。在已知圖形上過點D做AB的垂線，設垂足為E，連接DE.直觀圖里，在線段A’B’上做A’E’=AE。過E’點做E’D’平行于y’軸，使E’D’=ED.過D’做x’軸的平行線D’C’,使D’C’=DC.
連線成圖
連接A’D’,B’C’.,擦去輔助線，得到直觀圖.
以上我們研究了平面圖形水平放置的直觀圖畫法，即斜二測畫法。畫水平放置的平面圖形還有其他的方法嗎？在畫圓的直觀圖時我們用了直觀圖的另一種畫法正等測畫法。這里對于正等測畫法我就不做過多的介紹，有興趣的同學可以查閱資料做探究性學習。一般情況下，我們把圓的直觀圖畫成橢圓，我們用尺子中的橢圓模板就可以畫出美觀的水平放置圓的直觀圖了。掌握了這些水平放置平面圖形的畫法，在下節課里我們在此基礎上會繼續學習空間圖形中多面體和旋轉體的直觀圖的畫法。
總結：這節課我們學習了斜二測畫法的主要步驟和原理。在畫圖的過程中要注意畫圖的規范性，以培養嚴謹的學習習慣。
課后作業：一個邊長為4，內角為60度的菱形水平放置并且較長的對角線成橫向，試用斜二測畫法畫這個菱形的直觀圖。
從生活實踐和生產實踐入手，引入空間幾何體的畫法，即斜二測畫法。
給出定義，明確空間幾何體的直觀圖的概念
以長方體例，在觀察長方體時體會長方體的直觀圖的幾何特征。
觀察直觀圖中長方體的底的法。引導學生初步了解水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法。
通過生活實踐進一步驗證矩形的水平放置的直觀圖是平行四邊形。
通過平行投影的知識解釋為什么水平放置的矩形的投影為平行四邊形。
利用畫正方形的直觀圖來介紹斜二測畫法。
學生體會斜二測畫法中圖形的哪些元素會發生變化，哪些不變。
總結斜二測畫法的步驟和畫法。
解釋建立坐標系在斜二測畫法中的重要性。以及建系方法可以有多種選擇。
通過畫比正方形復雜的正六邊形的直觀圖來理解和掌握斜二測畫法。并總結畫法。
強調規范作圖
理解和掌握斜二測畫法的核心要領。
通過例二說明放置的方向不同，相同的平面圖形的直觀圖有所不同。進一步說明從不同角度觀察圖形，直觀圖不同。
斜二測畫法辨析與鞏固。
由直觀圖反推平面圖形，鞏固斜二測畫法。
說明直觀圖只和圖形放置方向有關，和放置的位置無關。
通過斜二測畫法畫直觀圖，進而求直觀圖的面積問題，進一步強化斜二測畫法。
利用斜二測畫法畫不規則圖形的直觀圖。引導學生通過做平行坐標軸的輔助線給點定位。
拓展知識，開拓視野
總結提升
課后作業鞏固知識《斜二測畫法》學習任務單
【學習目標】
掌握斜二測畫法畫水平放置的平面圖形。通過斜二測畫法的學習培養空間想象能力，和嚴謹治學的學習習慣。
【課上任務】
什么是空間幾何體的直觀圖？
水平放置的矩形的直觀圖是什么樣的？畫法的理論依據是什么？
用斜二測畫法畫法水平放置的直觀圖的基本步驟是什么？
如何用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形？畫法如何總結？
水平放置的平面圖形的直觀圖是唯一確定的嗎？直觀圖的形狀和什么有關？
斜二測畫法中直觀圖哪些元素發生了變化？哪些沒變？
不規則圖形的直觀圖如何來畫？
【學習疑問】
8、哪段文字沒看明白？
9、沒看明白的文字，用自己的話怎么說？
10、哪個環節沒弄清楚？
11、您想向同伴提出什么問題？
12、您想向老師提出什么問題？
13、本節課有幾個環節，環節之間的聯系和順序是什么？
【課后作業】
一個邊長為4，內角為60度的菱形水平放置并且較長的對角線成橫向，試用斜二測畫法畫這個菱形的直觀圖。
畫法：（1)畫軸建系
在梯形上，以AB為x軸，O點即A點為原點建立直角坐標系，畫x’,y’軸，使它們相交于o’，使x’o’y’=45度。
（2)畫線定點
A’B’=AB.使A’與O’重合。在已知圖形上過點D做AB的垂線，設垂足為E，連接DE.直觀圖里，在線段A’B’上做A’E’=AE。過E’點做E’D’平行于y’軸，使E’D’=ED.過D’做x’軸的平行線D’C’,使D’C’=DC.
連線成圖
連接A’D’,B’C’.,擦去輔助線，得到直觀圖.

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