資源簡介

教
案
教學基本信息
課題
8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
學科
數學
學段：高中
年級
高一
教材
書名：
普通高中教科書數學A版必修第二冊
出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年8月
教學目標及教學重點、難點
教學目標
1.
通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握它們的表面積與體積的公式及求法；
2.掌握與多面體相關的簡單幾何體的表面積與體積的求法，并能解決一些有關的實際問題；
3.通過學習逐步培養學生的轉化、類比、一般化與特殊化等思想方法；提高邏輯推理、直觀想象等素養和空間想象等能力.
教學重點:
棱柱、棱錐和棱臺的表面積與體積公式及求法；
教學難點:
實際問題中與多面體相關的簡單組合體的表面積與體積的求法.
教學過程(表格描述)
教學環節
主要教學活動
設置意圖
復習引入
前面我們分別認識了基本立體圖形的結構特征和平面表示，先復習下空間幾何體的分類：
前面我們學習了棱柱、棱錐、棱臺的概念，大家還記得它們的結構特征嗎？
1.棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．兩個互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側面．兩個側面的公共邊叫做棱柱的側棱．側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點
2.棱錐的定義：有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐.這個多邊形叫做棱錐的底面，棱錐中有公共頂點的各三角形，叫做棱錐的側面；相鄰兩側面的公共邊叫做棱錐的側棱；各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點.
3.棱臺的定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；其他各面叫做棱臺的側面；相鄰兩側面的公共邊叫做棱臺的側棱；側面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點.　
本節進一步認識簡單幾何體的表面積和體積..今天我們首先學習棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積.
溫故知新，通過對前面所學知識的梳理，明確研究對象：棱柱、棱錐、棱臺的結構特征，為學習棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積做好知識準備.
棱柱、棱錐、棱臺的表面積
1.表面積的定義：表面積是幾何體表面的面積，它表示幾何體表面的大小.
思考：在初中，我們已經學習了長方體的表面積，以及它的展開圖，你知道長方體的展開圖與其表面積的關系嗎？
長方體是由多個平面圖形圍成的多面體，它的表面積就是各個面的面積的和，也就是展開圖的面積.
通過長方體的研究我們可知：要研究空間幾何體的表面積，我們可以把幾何體的表面展開成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求空間幾何體的表面積．這樣就可以將空間問題轉化為我們熟悉的平面問題.
探究：
棱柱、棱錐、棱臺也是由多個平面圖形圍成多面體，它們的側面展開圖是什么？如何計算他們的表面積.
（1）棱柱的側面展開圖
棱柱的側面展開圖是由若干個平行四邊形組成的平面圖形.棱柱的表面積等于上、下底面和側面積的和.
（2）棱錐的側面展開圖
棱錐的側面展開圖是由若干個三角形組成的平面圖形.棱錐的表面積等于底面和側面積的和.
（3）棱臺的側面展開圖
棱臺的側面展開圖是由若干個梯形組成的平面圖形.
棱臺的表面積等于上、下底面和側面積的和.
注意：對于一個幾何體，不同的展開方式，其平面展開圖是不同的，但其表面積是唯一確定的.
棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面積就是計算它的各個側面面積和底面面積之和．
例題
如圖，四面體P-ABC的各棱長均為a，求它的表面積.
分析：因為四面體P-ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面的面積的4倍.
解：因為△PBC是正三角形，其邊長為a，所以.因此，四面體P-ABC的表面積
.
例題
正四棱臺的上、下底面邊長分別是4cm和8cm，側棱長是8cm，求它的表面積.
分析：正四棱臺的上下底面均為正方形，側面是由四個等腰梯形組成的圖形.
解：因為上底面A1B1C1D1和下底面ABCD為正方形，所以
S上底=4×4=16(cm2)，S下底=8×8=64(cm2)
因為正四棱臺四個側面是全等的等腰梯形,
在等腰梯形A1B1BA中，過A1作A1
E⊥AB交AB于點E
.
二.
棱柱、棱錐和棱臺的體積
1.體積的定義：體積是幾何體所占空間的大小.
思考：同一摞書，當改變擺放書的形式時，這摞書的總體積是否會改變？由此能得到有關體積的什么結論？
我們發現：雖然幾何形狀發生了變化，但高度沒變，每頁紙的面積沒變，體積沒變.
我國古代對幾何體的體積研究，取得了光輝的成就，并建立了完整的理論體系.這個理論的基礎是：
祖暅原理：冪勢既同，則積不容異.
這就是說，夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果被平行于這兩個平面的任意平面所截，兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等.
1.棱柱的體積：
我們注意到棱柱被平行與底面的平面所截時，得到的截面與底面全等，因此截面面積一定等于底面面積，從而由祖暅原理可知，
底面面積相等，高相等的兩個棱柱，體積相等.
我們在小學和初中已經學過特殊的棱柱——長方體的體積公式,它的體積公式等于底面面積乘以高：
，S，h分別是長方體的底面積和高.
那么由長方體體積的算法，可以推出求其它棱柱體積的算法.
一般地，如果棱柱的底面積是S，高是h，那么這個棱柱的體積公式為：
.
棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離.
2.棱錐的體積
由祖暅原理可知，底面面積相等，高相等的兩個棱錐，體積相等.那么如果棱錐的底面積是S，高為h，則棱錐的體積公式為？
探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關系：
將這個三棱柱分割成3個三棱錐.其中三棱錐1，2的底面積相等，高也相等，三棱錐2，3的底面積相等，高也相等.因此這3個三棱錐體積相等，每個三棱錐的體積都是.
如果一個棱柱和一個棱錐的底面積相等，高也相等，那么，棱柱的體積是棱錐的體積的3倍.因此，一般地，如果棱錐的底面面積為S，高為h，那么該棱錐的體積：
棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足之間的距離.
3.棱臺的體積
因為棱臺可看成棱錐截去一個小錐體得到，所以棱臺的體積可以通過計算棱錐的體積之差來得到：
如果棱臺的上、下底面面積分別為
S′，
S，高為h，
將四棱臺看成從棱錐P-ABCD中截去棱錐P-A
′
B
′
C
′
D
′
所得到的，設兩個棱錐的高分別為PO與PO
′
．
從而可知棱臺的體積為
結論：一般地，如果棱臺的上、下底面面積分別為S’，
S高為h，則棱臺的體積計算公式
其中，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高.
棱臺的高是指指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足之間的距離.
思考：觀察棱柱、棱錐、棱臺的體積公式：
（
S為底面面積，h為高）
（S為底面面積，h為高）
（S’，S分別為上、下底面面積，h為高）
它們之間有什么關系？你能用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征來解釋這種關系嗎？
我們發現：當棱臺的上底面擴大到和下底面相等時就變成了棱柱；當棱臺的上底面縮小到一個點時，就變成了棱錐.
例題
如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面是邊長為1m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米（精確到0.01m3）?
分析：漏斗由兩個多面體組成，其容積就是兩個多面體的體積和.
解：由題意知，
所以這個漏斗的容積
例題　已知直三棱柱ABC-A
′B
′C
′，底面ABC的一邊長BC為2cm，另兩邊長為3cm，側棱長為4cm，求它的側面積和體積.
分析：由直三棱柱的結構特征可知：三個側面都是矩形；側棱長等于高.
例題
如圖，將一個長方體ABCD-A
′
B
′
C
′
D
′沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐B-A
′
B
′
C
′，求棱錐B-A
′
B
′
C
′的體積與剩下的幾何體體積的比.
分析：需要分別求出長方體ABCD-A
′B
′C
′
D
′
和棱錐B-A
′
B
′
C
′的體積.
例題
正四棱錐底面邊長為4cm，高與斜高的夾角是30o，求正四棱錐的表面積和體積.
分析：首先需要計算正四棱錐的高與斜高的值，然后利用公式計算底面面積和側面面積以及體積.
解：根據正四棱錐的定義可知：取正方形ABCD的中心O，則PO為正四棱錐的高.取BC的中點E，則PE為正四棱錐的斜高.
因為正四棱錐的底面為正方形，側面為四個全等的等腰三角形.所以S底面
=
4×4=16(cm2)，
從學生熟悉的長方體的展開圖入手，分析展開圖與其表面積的關系。
目的有兩個：一是復習表面積的概念，即表面積是各個面的面積的和；二是介紹求幾何體表面積的方法，把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.
通過對棱柱、棱錐、棱臺的展開圖的研究，使學生理解
棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面積就是計算它的各個側面面積和底面面積之和．
通過兩道例題的分析，使學生了解
要計算棱柱、棱錐、棱臺的表面積，首先是要弄清楚幾何體的結構特征，它的每個面是哪個平面圖形.求棱柱、棱錐、棱臺的表面積轉化為求平面三角形、四邊形、多邊形的面積.
在教學中滲透轉化的思想.
從學生熟悉的情景出發，引出學生對幾何體體積問題的思考.
通過對祖暅原理的學習，使學生了解我國古代數學家在這方面作出的突出成就，受到愛國主義教育，激發學生熱愛科學，提高學習數學的興趣.
利用祖暅原理對棱柱、棱錐和棱臺體積公式的推導，培養學生的邏輯推理素養和論證能力.
用分割法對棱錐體積公式的推導，培養學生的邏輯推理素養和論證能力.
在推導過程中滲透等體積法的思想方法.
棱臺的體積公式的推導過程要注意
對學生的邏輯推理素養和論證能力的培養.
在給出棱柱、棱錐、棱臺的體積公式后，讓學生思考它們之間的關系，培養學生思考、歸納、總結等數學學習習慣和能力.
引導學生用運動變化的觀點研究棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間的關系.
通過例3的分析使學生知道求組合體的體積時，要注意組合體的結構特征，先分解成我們熟悉的簡單幾何體（如棱柱、棱錐、棱臺等），再根據每個簡單幾何體的體積公式來計算.
使學生感受簡單幾何體和它們的組合體的表面積和體積的求法，以及應用公式解決簡單實際問題的一般過程和方法
鞏固掌握多面體的表面積和體積的求法.提醒同學注意分析直三棱柱的結構特征來求.
表面積和體積.可直接利用公式法計算.
本題是幾何體的分割問題，解答時可先求出整個長方體的體積，再求出截下的三棱錐的體積，從而求出剩余部分的體積.在求幾何體的體積時，必須先確定底面積和高，然后運用體積公式，應注意到平面圖形的應用；而對于組合體，可采用“割補法”轉化為簡單幾何體求解往往會取到更佳的效果.
要計算正四棱錐的表面積和體積關鍵是要弄清楚：底面面積是正方形，側面是四個全等的等腰三角形，利用平面直角三角形求出正四棱錐的高和斜高，然后再利用表面積和體積計算公式求出表面積和體積.
總結
本節課所學內容：
一是會求棱柱、棱錐、棱臺的表面積;我們知道計算它們的表面積就是計算它的各個側面面積和底面面積之和．
二是會求棱柱、棱錐、棱臺以及組合體的體積
（
S為底面面積，h為高）
（S為底面面積，h為高）
（S’，S分別為上、下底面面積，h為高）
求它們的體積關鍵是找到相應的底面面積與高.
三是總結求空間幾何體體積常用的幾種方法：
公式法：直接根據相關的體積公式計算.
等積法：根據體積計算公式，通過轉化空間幾何體的底面和高，使得體積計算更容易，或是求出一些體積比等.
割補法：把不能直接計算體積的空間幾何體進行適當的分割或補形，轉化為可計算體積的幾何體.
通過教師提出問題，教師和學生共同梳理本節所學的主要知識，以及涉及的數學思想方法.
培養學生思考、歸納、總結等數學學習習慣和能力.
作業
1.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點在同一個平面內.如果四邊形是邊長為30cm的正方形，那么這個八面體的表面積是多少？
2.如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，側棱AA1=8，若側面AA1B1B水平放置時，水面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點.那么當底面ABC水平放置時，水面高為多少？
鞏固、復習棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的求法.
7(共64張PPT)
高一年級
數學
棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
一、復習回顧
空間幾何體
多面體
旋轉體
棱柱、棱錐、棱臺
圓柱、圓錐、圓臺、球
1．棱柱的結構特征
頂點
底面
側棱
側面
有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．
B
C
D
E
A
E′
A′
B′
D′
C′
2．棱錐的結構特征
有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐．
P
C
A
B
頂點
側棱
側面
底面
3．棱臺的結構特征
用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺．
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
P
下底面
上底面
側面
側棱
頂點
一、棱柱、棱錐、棱臺的表面積；
二、棱柱、棱錐、棱臺的體積．
本節課主要內容
一、棱柱、棱錐、棱臺的表面積
1．表面積的定義：
表面積是幾何體表面的面積，它表示幾何體表面的大?。?br/>思考：在初中已經學過了長方體的表面積，你知道長方體的展開圖與其表面積的關系嗎？
長方體是由六個矩形圍成的幾何體，它的表面積就是六個矩形的面積的和．
幾何體表面積
展開圖
平面圖形面積
空間問題
平面問題
棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？
探究
思考1：棱柱的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？
棱柱側面展開圖是由若干個平行四邊形組成的平面圖形．
棱柱的表面積等于上、下底面面積和側面面積的和．
思考2：棱錐的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？
三棱錐的側面展開圖
棱錐的側面展開圖是由若干個三角形組成的平面圖形．
棱錐的表面積等于底面面積和側面面積的和．
思考3：棱臺的側面展開圖是什么？如何計算它的表面積？
側面展開
棱臺的側面展開圖是由若干個梯形組成的平面圖形．
棱臺的表面積等于上、下底面面積和側面面積的和．
注意：對于一個幾何體，不同的展開方式，
其平面展開圖是不同的，
但其表面積是唯一確定的．
棱柱、棱錐、棱臺的表面積
棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面積就是計算它的各個側面面積和底面面積之和．
例題
如下圖，四面體P-ABC的各棱長均為a，求它的表面積．
A
C
P
B
分析：因為四面體P-ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面的面積的4倍．
解：因為△PBC是正三角形，其邊長為a，所以
因此，四面體P-ABC的表面積
P
B
C
D
總結：通過例題我們可得：求幾何體的表面積首先是要弄清楚幾何體的結構特征，它的每個面是哪個平面圖形，然后我們再根據平面圖形的求面積公式來求它的面積．最后再將各個面的面積相加就是幾何體的表面積．其中側面的展開圖是關鍵，我們要弄清楚它的形狀以及各幾何量的大小．將空間圖形問題轉化為平面圖形問題，是解決立體幾何問題最基本的、常用的方法．
例題
正四棱臺的上、下底面邊長分別是4cm和8cm，側棱長是8cm，求它的表面積．
分析：正四棱臺的上底面和下底面均為正方形，側面是由四個等腰梯形組成的．
B
A
C
D
C1
B1
A1
D1
解：因為上底面A1B1C1D1和下底面ABCD為正方形，
所以
S上底
=
4×4=16(cm2)，
S下底
=
8×8=64(cm2)．
因為正四棱臺四個側面是全等的等腰梯形，在等腰梯形A1B1BA中，過A1作A1
E⊥AB交AB于點E．
A1
B1
A
B
E
總結：求棱臺的表面積首先是要弄清楚棱臺的結構特征，它的上、下底面是哪個平面圖形，側面梯形的高怎么計算，然后我們再根據平面圖形的面積公式來求它的面積．最后再將各個面的面積相加就是幾何體的表面積．
二、棱柱、棱錐、棱臺的體積
1．體積的定義：
體積是幾何體所占空間的大?。?br/>思考：
同一摞書，當改變擺放書的形式時，這摞書的總體積是否會改變？由此能得到有關體積的什么結論？
高度沒變，每頁紙的面積沒變，體積沒變．
我國古代對幾何體的體積研究，取得了光輝的成就，并建立了完整的理論體系．這個理論的基礎是：祖暅原理．
祖暅（5世紀-6世紀），祖沖之之子，南北朝時期的偉大科學家．于5世紀末提出了下面的體積計算公式即著名的祖暅原理．
祖暅原理
冪勢既同，則積不容異．
這就是說，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．
1．棱柱的體積
我們注意到棱柱被平行與底面的平面所截時，得到的截面與底面全等，因此截面面積一定等于底面面積，從而由祖暅原理可知，底面面積相等，高相等的兩個棱柱，體積相等．
以前學過特殊的棱柱——長方體的體積公式
1．棱柱的體積公式
如果棱柱的底面面積是S，高為h，則棱柱的體積公式
棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線，這點與垂足之間的距離．
2．棱錐的體積
思考：由祖暅原理可知，底面面積相等，高相等的兩個棱錐，體積相等．那么如果棱錐的底面積是S，高為h，則棱錐的體積公式是什么？
探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關系
C
B
C′
A
B′
A′
A′
A
C
B
1
A′
B′
C
B
2
+
+
A′
C′
B′
C
3
A′
A
C
B
1
A′
B′
C
B
2
A
B′
A′
B
C
C′
C′
A′
B′
C
B
2
A′
C′
B′
C
3
B′
A
A′
B
C
C′
C
B′
A
B
A′
A′
A
C
B
1
A′
B′
C
B
2
+
+
B′
A′
C′
C
3
2．棱錐的體積公式
一般地，棱錐的底面面積是S，高為h，則棱錐的體積公式為：
棱錐的高是指從頂點向底面作垂線，頂點與垂足之間的距離．
3．棱臺的體積
設棱臺的上、下底面面積分別為S
′
，S
，高為h，
因為棱臺可看成一個大棱錐截去一個小棱錐得到，所以棱臺的體積可以通過計算棱錐的體積之差來得到．
S′
S
h
將四棱臺看成從棱錐P-ABCD中截去棱錐P-A
′
B
′
C
′
D
′
所得到的，設兩個棱錐的高分別為PO與PO
′
．
A
O
P
O′
B
C
D
A′
B′
C
′
D
′
A
O
P
O′
B
C
D
A′
B′
C
′
D
′
3．棱臺的體積公式
一般地，如果棱臺的上、下底面面積分別為
S
′
，
S
，
高為h，則棱臺的體積
棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，這點與垂足之間的距離．
S′
S
h
二、棱柱、棱錐、棱臺的體積公式
思考：觀察棱柱、棱錐、棱臺的體積公式：
（1）它們之間有什么關系？
（2）你能用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征來解釋這種關系嗎？
S′=
S
S′=
0
上底面擴大到和下底面相等
上底面縮小到一個點時
棱臺
棱柱
棱錐
例題
如下圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面是邊長為1m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米（精確到0.01m3）？
分析：漏斗由兩個多面體組成，其容積就是兩個多面體的體積和．
C′
D′
B′
A′
P
A
B
C
D
解：由題意知，
所以這個漏斗的容積
小結：求組合體的體積時，要注意組合體的結構特征，先拆成我們熟悉的簡單幾何體（如棱柱、棱錐、棱臺等），再根據每個簡單幾何體的體積公式來計算．求棱柱、棱錐、棱臺的體積時要注意底面面積和高的計算．
例題
已知直三棱柱ABC-
A
′
B
′
C
′
，底面ABC的一邊長BC為2cm，另兩邊長為3cm，側棱長為4cm，求它的側面積和體積．
B′
B
A′
A
C′
C
分析：由直三棱柱的結構特征可知：三個側面都是矩形；側棱長等于高．
B
B′
A′
A
C′
C
4
3
3
2
A
B
C
D
1
3
小結：求棱柱的側面積關鍵是要弄清楚側面展開圖的形狀及各幾何量的大?。热绱祟}是直三棱柱，它的側面都是矩形．可利用矩形面積公式來計算．根據直三棱柱的結構特征可知側棱就是直三棱柱的高，利用棱柱體積公式直接可得．
例題
如圖，將一個長方體ABCD-A
′
B
′
C
′
D
′
沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐B-A
′
B
′
C
′
，
求棱錐B-A
′
B
′
C
′
的體積與剩下的幾何體體積的比．
分析：需要求出長方體ABCD-A
′
B
′
C
′
D
′
的體積和棱錐B-A
′
B
′
C
′
的體積．
A′
B′
D′
A
D
B
C
C
′
b
c
a
A′
B′
D′
A
D
B
C
C
′
A′
B′
D′
A
D
B
C
C
′
總結：本題是幾何體的分割問題，解答時可先求出整個長方體的體積，再求出截下的三棱錐的體積，從而求出剩余部分的體積．在求幾何體的體積時，必須先確定底面面積和高，然后運用體積公式，應注意到平面圖形的應用；而對于組合體，可采用“割補法”轉化為簡單幾何體求解往往會取到更佳的效果．
例題
正四棱錐底面邊長為4cm，高與斜高的夾角是30o，求正四棱錐的表面積和體積．
分析：首先需要計算正四棱錐的高與斜高的值，然后利用公式計算底面面積和側面面積以及體積．
B
A
C
D
P
B
A
C
D
P
解：根據正四棱錐的定義可知：取正方形ABCD的中心O，則PO為正四棱錐的高．取BC的中點E，則PE為正四棱錐的斜高．
O
E
O
E
P
300
因為正四棱錐的底面為正方形，側面為四個全等的等腰三角形．所以S底面
=
4×4=16(cm2)，
B
A
C
D
P
O
E
小結：要計算正四棱錐的表面積和體積關鍵是要弄清楚：底面面積是正方形，側面是四個全等的等腰三角形，利用平面直角三角形求出正四棱錐的高和斜高，然后再利用表面積和體積計算公式求出表面積和體積．
課堂小結
一、棱柱、棱錐、棱臺的表面積；
計算它們的表面積就是計算它的各個側面面積和底面面積之和．求它們的側面積關鍵是要弄清楚側面展開圖的形狀及各幾何量的大?。?br/>課堂小結
二、棱柱、棱錐、棱臺的體積
三、求體積的常用方法：
（1）公式法：直接根據相關的體積公式計算；
（2）等積法：轉化幾何體的底面和高，使得計算簡單；
（3）割補法：把不能直接計算體積的空間幾何體進行適
當的分割或補形，轉化為可計算體積的幾何體．
課堂小結
作業
1．如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點在同一個平面內．如果四邊形是邊長為30cm的正方形，那么這個八面體的表面積是多少？
A
B
C
D
F
E
作業
2．如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，側棱AA1=8，若側面AA1B1B水平放置時，水面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點．那么當底面ABC水平放置時，水面高為多少？
A
A1
B1
B
C
C1《棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積》學習任務單
【學習目標】
1.
通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握它們的表面積與體積的公式及求法；
2.掌握與多面體相關的簡單幾何體的表面積與體積的求法，并能解決一些有關的實際問題；
3.通過學習培養轉化、類比、一般化與特殊化等思想方法；提高邏輯推理、直觀想象等素養和空間想象等能力.
【課上任務】
1．前面我們學習了棱柱、棱錐、棱臺的概念，大家還記得它們的結構特征嗎?
2．思考：棱柱、棱錐、棱臺也是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算他們的表面積？
3．思考：同一摞書，當改變擺放書的形式時，這摞書的總體積是否會改變？由此能得到有關體積的什么結論？
4．如果棱柱的底面面積是S，高是h，那么棱柱的體積公式是什么？
5．探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關系？如果棱錐的底面面積為S，高為h，則該棱錐的體積公式是什么？
6．棱臺的體積公式怎么推導？
7．觀察棱柱、棱錐、棱臺的體積公式：它們之間有什么關系？你能用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征來解釋這種關系嗎？
8．總結下求空間幾何體體積常用的方法？
【學習疑問】（可選）
9．哪段文字沒看明白？
10．哪個環節沒弄清楚？
11．有什么困惑？
12．您想向同伴提出什么問題？
13．您想向老師提出什么問題？
14．沒看明白的文字，用自己的話怎么說？
15．本節課有幾個環節，環節之間的聯系和順序？
16．同伴提出的問題，您怎么解決？
【課后作業】
1.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點在同一個平面內.如果四邊形是邊長為30cm的正方形，那么這個八面體的表面積是多少？
2.如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，側棱AA1=8，若側面AA1B1B水平放置時，水面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點.那么當底面ABC水平放置時，水面高為多少？
【課后作業參考答案】
1.
.
2.
　6.

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