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圓方程問題的類型與解法
圓方程問題是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一。縱觀近幾年的高考試卷，歸結(jié)起來圓方程問題主要包括：①求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；②圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方程，參數(shù)方程之間的關(guān)系及運(yùn)用；③圓的切線方程問題；④圓的最值問題等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在實(shí)際處理圓方程問題時(shí)，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷準(zhǔn)確地給予解答呢？下面通過典型例題的詳細(xì)解析來回答這個(gè)問題。
【典例1】解答下列問題：
1、圓心在拋物線=2y（x＞0）上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及Y軸都相切的圓的方程是（
）A
-x-2y+1=0
B
-2x-y+1=0
C
-x-2y+=0
D
-2x-y+=0
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①拋物線的定義與性質(zhì)；②求圓方程的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用拋物線的性質(zhì)，求圓方程的基本方法，結(jié)合問題條件求出圓的方程就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)圓的方程為：+Dx+Ey+F=0，+Dx+Ey+F=0，
+=，圓心在拋物線=2y（x＞0）上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及Y軸都相切，=2（-），
D=-2，圓的方程為：-2x-y+=0，
=，E=-1
D正確，選D。
=，
F=
2、若一三角形的三邊所在的直線方程分別為：x+2y-5=0，y-2=0，x+y-4=0，則能夠覆蓋此三角形且面積最小的圓的方程為
；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①求圓方程的基本方法；②三角形的定義與性質(zhì)；③求兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用求兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法，結(jié)合問題條件求出三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到三角形是一個(gè)鈍角三角形，根據(jù)覆蓋鈍角三角形最小圓是以鈍角的對(duì)邊為直徑的圓就可求出圓的方程。
【詳細(xì)解答】
由x+2y-5=0，得
x=1，
x+2y-5=0，得
x=
3，y-2=0，
得
x=2，三角
y-2=0，
y=2，
x+y-4=0，
y=1，x+y-4=0，
y=2，
形三個(gè)
頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，2），B（3，1），C（2，2），|AB|==，|AC|==1，
|BC|==，|AB|=5>|AC|+|BC|=1+2=3，ABC是以AB為最大邊的鈍角三角形，能夠覆蓋此三角形且面積最小的圓是以|AB|為直徑的圓，能夠覆蓋此三角形且面積最小的圓的方程為：+=。
3、求以C（1，3）為圓心，且與直線3x-4y-7=0相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓標(biāo)準(zhǔn)方程的定義與性質(zhì)；②求圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法；③點(diǎn)到直線的距離公式及運(yùn)用。
【解題思路】運(yùn)用圓標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)，求圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法，結(jié)合問題條件求出圓的半徑R得到圓的坐標(biāo)方程就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=，圓與直線3x-4y-7=0相切，
R==，以C（1，3）為圓心，且與直線3x-4y-7=0相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=。
4、已知圓與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長為2，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓標(biāo)準(zhǔn)方程的定義與性質(zhì)；②求圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法；③直徑三角形的定義與性質(zhì)。
【解題思路】運(yùn)用直徑三角形的性質(zhì)，圓標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)，求圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于圓心坐標(biāo)，圓半徑的方程組，求解方程組求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑就可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
【詳細(xì)解答】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=，圓與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長為2，
|b|=R，
a=1，
3a-b=0，
b=3，
（）+7=，=9，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=9或+=9。
4、已知圓經(jīng)過A（5，1），B(4，4)，C（1，3）三點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓標(biāo)準(zhǔn)方程的定義與性質(zhì)；②求圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用圓標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)，求圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于圓心坐標(biāo)，圓半徑的方程組，求解方程組求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑就可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
【詳細(xì)解答】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=，圓經(jīng)過A（5,1）、B(4,4)、C（1，
3）三點(diǎn)，
+=，
a=3，過A（5，1），B(4，4)，C（1，3）三點(diǎn)
+=，
b=2，圓的方程為：+
=5。
+=，
,=5，
『思考問題1』
（1）【典例1】是求圓方程的問題，解答這類問題的基本原則是：①如果從條件中容易求出圓心坐標(biāo)和半徑或需要用圓心坐標(biāo)列方程，則選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；②如果條件與圓心坐標(biāo)和半徑?jīng)]有直接關(guān)系，則選用圓的一般方程；
（2）求圓方程常用的方法是：①定義法；②待定系數(shù)法；
（3）當(dāng)已知圓的圓心坐標(biāo)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般用定義法，這時(shí)只需根據(jù)問題條件件求出圓的半徑，問題就可以解決；
（4）當(dāng)圓心坐標(biāo)、圓的半徑都沒有給出求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般用待定系數(shù)法，這時(shí)需要根據(jù)問題條件，求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑才能解決問題；
（5）待定系數(shù)法求圓方程的基本方法是：①根據(jù)題意選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；②根據(jù)問題條件列出關(guān)于圓心坐標(biāo)，圓半徑或一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的方程組；③
解方程組求出
圓心坐標(biāo)，圓半徑或一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)；④
把求出的結(jié)果代入假設(shè)式；
（6）求圓方程時(shí)常用的有關(guān)圓的幾何性質(zhì)：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在圓任一弦的垂直平分線線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)在同一直線上；④圓心到弦的距離、圓的半徑、弦長的一半構(gòu)成一個(gè)直角三角形。
〔練習(xí)1〕解答下列問題：
1、求圓心M在Y軸上，半徑為1，且過點(diǎn)（1，2）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
2、已知圓的圓心在原點(diǎn)，且與直線4x+3y-70=0相切，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
3、已知圓的半徑為，圓心在直線y=2x上，且被直線x-y=0截得的弦長為4，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
4、求過直線2x+y+4=0和圓+2x-4y+1=0的交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程；
5、求過圓+2x-4y+1=0和圓+2x-6y-4=0交點(diǎn)，且與直線2x-y+4=0相切的圓的方程。
【典例2】解答下列問題：
1、已知一曲線是到兩個(gè)定點(diǎn)O(0，0)，A（3，0）的距離之比為的點(diǎn)的軌跡，求該曲線的方程，若曲線是圓，求出圓的半徑和圓心坐標(biāo)。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①點(diǎn)軌跡方程的定義與求法；②圓一般方程化標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用求點(diǎn)軌跡方程的基本方法，結(jié)合問題條件求出曲線的方程，根據(jù)圓一般方程化標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法把圓方程化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，就可求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑。
【詳細(xì)解答】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），|PO|=
，|PA|=
，=，
2=，+2x-3=0，該曲線的方程為：+2x-3=0，
是一個(gè)圓；+2x-3=0，+=4，圓的半徑R=2，圓心坐標(biāo)為（-1，0）。
2、已知方程-2（m+3）x+2(1-4)y+16+9=0表示一個(gè)圓。
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求該圓半徑r的取值范圍；
（3）求圓心的軌跡方程。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓一般方程化標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法；②點(diǎn)軌跡方程的定義與求法；方程表示一個(gè)圓的充分必要條件；④參數(shù)方程化普通方程的基本方法。
【解題思路】（1）運(yùn)用圓一般方程化標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法，結(jié)合問題條件得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)方程表示一個(gè)圓的充分必要條件得到關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式，求解不等式就可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）由（1）得到半徑關(guān)于m的函數(shù)，根據(jù)實(shí)數(shù)m的取值范圍求出函數(shù)的值域就可求出圓半徑的取值范圍；（3）由（1）得到圓心軌跡關(guān)于參數(shù)m的參數(shù)方程，利用參數(shù)方程化普通方程的基本方法就可得到圓心的軌跡方程。
【詳細(xì)解答】（1）-2（m+3）x+2(1-4)y+16+9=0，+=
1+6m-7表示一個(gè)圓，1+6m-7>0，-0，該圓半徑r的取值范圍上（0，）；（3）由（1）知，圓心坐標(biāo)為（m+3，4-1），
x=m+3，y=4-1，y=4-1，圓心的軌跡方程為：y=4-1（x（，4））。
3、在平面直角坐標(biāo)系XOY中，已知圓P在X軸上截得的線段長為2，在Y軸上截得的線段長為2。
（1）求圓心P的軌跡方程；
（2）若P點(diǎn)到直線y=x的距離為，求圓P的方程。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①點(diǎn)軌跡方程的定義與求法；②直角三角形的定義與性質(zhì)；點(diǎn)到直線的距離公式及運(yùn)用。
【解題思路】（1）運(yùn)用求點(diǎn)軌跡方程的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出圓心P的軌跡方程；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合問題條件的官員x，y的等式，從而求出圓P的方程。
【詳細(xì)解答】（1）設(shè)圓心P（x，y），圓的半徑為R，圓P在X軸上截得的線段長為2，在Y軸上截得的線段長為2，+3=，+2=，-=1，圓心P的軌跡方程為：-=1（xR）；（2）
P點(diǎn)到直線y=x的距離為，=，
=1，-=1，x=0，y=-1，或x=0，y=1，=3，圓P的方程為：
+=3或+=3。
4、把圓的方程-6x=0化成參數(shù)方程。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓一般方程化標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法；②圓標(biāo)準(zhǔn)方程化參數(shù)方程的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用圓一般方程化標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓標(biāo)準(zhǔn)方程化參數(shù)方程的基本方法就可得到圓的參數(shù)方程。
【詳細(xì)解答】-6x=0，+=9，圓-6x=0的參數(shù)方程為：
x=3+3
cos，
y=3sin，
5、把圓的參數(shù)方程化成普通方程：
（1）
x=1+2cos
（2）
x=2+cos
y=3+2sin
y=2+sin
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓參數(shù)方程化普通方程的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用圓參數(shù)方程化普通方程的基本方法就可得到圓的普通方程。
【詳細(xì)解答】（1）圓的參數(shù)方程為：
x=1+2cos，+=4（cos
+
y=3+2sin，sin
）=4，該圓的普通方程
是：+=4，（2）圓的參數(shù)方程為：x=2+cos，+=
cos
y=2+sin，+
sin
=1，該圓的普通
方程是：
+=1。
『思考問題2』
（1）【典例2】是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方程和參數(shù)方程之間的關(guān)系及運(yùn)用的問題，解決這類問題需要掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程和參數(shù)方程互化的基本方法；
（2）方程+Dx+Ey+F=0，①表示圓的充分必要條件是+-4F>0；②表示一個(gè)點(diǎn)的充分必要條件是+-4F=0；③當(dāng)+-4F<0時(shí)，方程+Dx+Ey+F=0不表示任何圖形；
（3）圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是配方法；
（4）圓的普通方程化成參數(shù)方程的基本方法是：①把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程；②將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為參數(shù)方程；
（5）圓的參數(shù)方程化成普通方程的基本方法是：①把圓的參數(shù)方程作適當(dāng)變換；②將變換后的方程兩邊同時(shí)平方再相加。
〔練習(xí)2〕解答下列問題：
1、圓+2x-4y=0的半徑為（
）
A
3
B
C
D
5
2、求下列各圓的半徑和圓心坐標(biāo)：
（1）-6x=0；
（2）+2by=0；
（3）-2ax-2ay+3=0；
（4）-8x+6y=0。
3、已知圓經(jīng)過A（0,0）、B（1,1）、C（4,2），求圓的一般方程，并求出圓的半徑和圓心坐標(biāo)。
y
4、如圖已知點(diǎn)P是圓=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A
P
是X軸上的定點(diǎn)，坐標(biāo)為（12，0），當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)
M
時(shí)，線段PA的中點(diǎn)M的軌跡是什么？
A
x
5、把圓的參數(shù)方程化成普通方程：
（1）
x=1+5cos
（2）
x=2+4cos
y=-1+5sin
y=2+4sin
6、把圓的方程+2x-4y-4=0化成參數(shù)方程。
【典例3】解答下列問題：
1、、已知圓=10上一點(diǎn)M（2，），求過點(diǎn)M與圓相切的切線方程；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓切線的定義與性質(zhì)；②求直線方程的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用圓切線的性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出切線的斜率，利用求直線方程的基本方法就可得到過圓上一點(diǎn)的切線方程。
【詳細(xì)解答】設(shè)所求切線的斜率為k，k.
=-1，k=-，切線過點(diǎn)M（2，），過點(diǎn)M與圓相切的切線方程為：y-=-(x-2)，即：x+3y-5=0。
2、已知圓的方程是=1，求：
（1）斜率等于1的切線的方程；
（2）在Y軸上截距是的切線的方程。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓切線的定義與性質(zhì)；②求直線方程的基本方法；③勾股定理及運(yùn)用。
【解題思路】（1）運(yùn)用圓切線的性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出切線切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用求直線方程的基本方法就可得到過圓上一點(diǎn)的切線方程；（2）如圖，運(yùn)用勾股定理求出切點(diǎn)與原點(diǎn)連線的傾斜角，從而求出切線的斜率，利用求直線方程的基本方法就可求出符合題意的切線方程。
【詳細(xì)解答】（1）設(shè)所求切線的切點(diǎn)為M（，），+=1，.1=-1，=，=-或=-，=，所求切線的切點(diǎn)為（，-）或（-，），圓=1斜率等于1的切線的方程為：y+=x-或y-=x+，即：x-y-=0
或x-y+=0；（2）如圖，設(shè)所求切線的切點(diǎn)為
y
A
M或N，與Y軸的交點(diǎn)為A或B，連接OM，
M
ON，在RtAMO中，AM+OM=OA，
x
AM=
OA-
OM=2-1=1，|AM|=1，
B
AOM=，直線AM的斜率為-1，同理可得直線BN的斜率為1，圓=1,在Y軸上截距是的切線的方程為：x+y-=0或x-y-=0。
『思考問題3』
（1）【典例3】是與圓的切線相關(guān)的問題，解決這類問題需要掌握求直線方程的基本方法，熟悉直線方程常用的五種形式；
（2）結(jié)合圖形并聯(lián)系平面幾何中圓的相關(guān)知識(shí)，可以使問題的解答更為簡捷。
〔練習(xí)3〕解答下列問題：
1、已知圓=12上一點(diǎn)M（2，-3），求過點(diǎn)M與圓相切的切線方程；
2、已知圓的方程是=2，求：
（1）斜率等于的切線的方程；
（2）在Y軸上截距是2的切線的方程。
【典例4】解答下列問題：
1、圓-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0距離的最大值與最小值之差是（
）
A
36
B
18
C
6
D
5
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程和參數(shù)方程互化的基本方法；②求三角函數(shù)最值的基本方法；③點(diǎn)到直線的距離公式及運(yùn)用。
【解題思路】運(yùn)用圓標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程和參數(shù)方程互化的基本方法把圓方程化為參數(shù)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于參數(shù)的三角函數(shù)，利用求三角函數(shù)最值的基本方法求出該三角函數(shù)的最大值和最小值，從而求出圓-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0距離的最大值與最小值之差就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】圓-4x-4y-10=0
+
=18，圓的參數(shù)方程為：
x=2+3cos，y=2+3sin，設(shè)M（2+3cos，2+3sin）是圓-4x-4y-10=0上的任意一點(diǎn)，=
=，-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0距離的最大值為8，,最小值為2，圓-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0距離的最大值與最小值之差為8-2=6，C正確，選C。
2、若實(shí)數(shù)x、y滿足：+
=3，則的最大值為
；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓方程的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】設(shè)=k，運(yùn)用點(diǎn)在圓上的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)x是實(shí)數(shù)得到關(guān)于k的一元二次不等式，求解一元二次不等式得出k的取值范圍，從而求出的最大值和最小值。
【詳細(xì)解答】設(shè)=k，y=kx，實(shí)數(shù)x，y滿足：+
=3，
+-4x+1=0，
（1+）-4x+1=0，x是實(shí)數(shù)，=16-4（1+）=12-40，-k，的最大值為。
3、已知圓C：=1，點(diǎn)A(-1，0)，點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求d=的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程和參數(shù)方程互化的基本方法；②求三角函數(shù)最值的基本方法；③兩點(diǎn)之間的距離公式及運(yùn)用。
【解題思路】運(yùn)用圓標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程和參數(shù)方程互化的基本方法把圓方程化為參數(shù)方程，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得到關(guān)于參數(shù)的三角函數(shù)，利用求三角函數(shù)最值的基本方法求出該三角函數(shù)取最大值和最小值時(shí)參數(shù)的取值，從而求出d=的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)。
【詳細(xì)解答】圓C：=1的參數(shù)方程為：x=3+
cos，y=4+sin，設(shè)M（3+cos，4+sin）為圓C：=1上的任意一點(diǎn)，
d==
+
+
+
=16sin+12
cos+54=2
sin（+）+54（tan=），當(dāng)sin（+）=1，即+=2k+，=2k+-（k
Z），sin=cos=，cos=sin=時(shí)，d==2+54為最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，）；當(dāng)sin（+）=-1，即+=2k+
，=2k+
-（k
Z），sin=-cos=-，cos=-sin=-時(shí)，d==2+54為最小值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，），
d=的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P（，），P（，）。
4、已知實(shí)數(shù)x、y滿足：-4x+1=0。
（1）求的最大值和最小值；
（2）求y-x的最大值和最小值；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓方程的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】（1）設(shè)=k，運(yùn)用點(diǎn)在圓上的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)x是實(shí)數(shù)得到關(guān)于k的一元二次不等式，求解一元二次不等式得出k的取值范圍，從而求出的最大值和最小值；（2）設(shè)y-x=k，運(yùn)用點(diǎn)在圓上的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)x是實(shí)數(shù)得到關(guān)于k的一元二次不等式，求解一元二次不等式得出k的取值范圍，從而求出y-x的最大值和最小值。
【詳細(xì)解答】（1）設(shè)=k，y=kx，實(shí)數(shù)x，y滿足：-4x+1=0，+-4x+1=0，
（1+）-4x+1=0，x是實(shí)數(shù)，=16-4（1+）=12-40，-k，的最大值為，最小值為-；（2）設(shè)y-x=k，y=k+x，實(shí)數(shù)x，y滿足：-4x+1=0，++2kx+-4x+1=0，2+2（k-2）x++1=0，x是實(shí)數(shù)，=4-8（1+）=-4-16k+80，-2-k-2+，y-x的最大值為-2+，最小值為-2-。
5、已知實(shí)數(shù)x、y滿足：-4x+1=0。
（1）求y-x的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓方程的定義與性質(zhì)；②求函數(shù)最值的基本方法；③圓標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程和參數(shù)方程互化的基本方法；④求三角函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】（1）設(shè)y-x=k，運(yùn)用點(diǎn)在圓上的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)x是實(shí)數(shù)得到關(guān)于k的一元二次不等式，求解一元二次不等式得出k的取值范圍，從而求出y-x的最大值和最小值；（2）運(yùn)用圓標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程和參數(shù)方程互化的基本方法把圓的方程化為參數(shù)方程，結(jié)合問題條件得到關(guān)于參數(shù)的三角函數(shù)，利用求三角函數(shù)最值的基本方法就可求出的最大值和最小值。
【詳細(xì)解答】（1）設(shè)y-x=k，y=k+x，實(shí)數(shù)x，y滿足：-4x+1=0，++2kx+-4x+1=0，2+2（k-2）x++1=0，x是實(shí)數(shù)，=4-8（1+）=-4-16k+80，-2-k-2+，y-x的最大值為-2+，最小值為-2-；（2）-4x+1=0+=3，圓-4x+1=0的參數(shù)方程為：
x=2+
cos，y=
sin，設(shè)M（2+
cos，sin）是圓-4x+1=0上的任意一點(diǎn)，=4
cos+7，的最大值為7+4，最小值為7-4。
『思考問題4』
（1）【典例4】是與圓相關(guān)的最值問題，解答這類問題需要注意最值問題的常見類型，掌握數(shù)形結(jié)合的基本方法；
（2）與圓相關(guān)常見的最值問題有：①求u=形式的最值，這類問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（a，b）斜率的最值；②求t=ax+by形式的最值，這類問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)（x，y）截距的最值；③求+形式的最值，這類問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)（x，y）到定點(diǎn)（a，b）的距離的的最值。
〔練習(xí)4〕解答下列問題：
1、圓+4x+4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-10=0的最大值與最小值之差是（
）
A
36
B
18
C
6
D
5
2、若實(shí)數(shù)x、y滿足：-2x+4y=0，求x-y的最大值；
3、若實(shí)數(shù)x、y滿足：+4x-2y=0，求x-y的最大值；
4、已知圓C：=1，點(diǎn)A(-2,0)、點(diǎn)B（2,0），點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求d=的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)；
5、已知實(shí)數(shù)x、y滿足：-6x+1=0。
（1）求的最大值和最小值；
（2）求y-x的最大值和最小值。
【典例5】解答下列問題：
1、如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，APB是銳角，大小為，圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為（
）
A
4+4cos
B
4+4sin
C
2+2cos
D
2+2sin
（1題圖）
（2題圖）
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓的定義與性質(zhì)；②三角形面積計(jì)算公式與計(jì)算的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用圓的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到當(dāng)點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，圖中陰影部分的面積最大，根據(jù)角形面積計(jì)算公式與計(jì)算的基本方法通過計(jì)算求出圖中陰影部分的面積就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)P為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，圖中陰影部分的面積最大，如圖，連接OA，OB，OP，AOP=BOP=-，==|OA|.|OP|sin（-）=2sin，=4.=4，=++=4+4sin，圖中陰影部分面積的最大值為4+4sin，B正確，選B。
2、在平面直角坐標(biāo)系中，弧AB，CD，EF，GH是圓=1上的四段弧（如圖），點(diǎn)P在其中一段上，角以O(shè)X為始邊，OP為終邊，若tan＜cos＜sin，則P所在的圓弧是（
）
A
弧AB
B
弧CD
C
弧EF
D
弧GH
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①三角函數(shù)的定義與性質(zhì)；②判定命題真假的基本方法。
【解題思路】設(shè)P（x，y）分別在弧AB，弧CD，弧EF，弧GH上，運(yùn)用三角函數(shù)的定義得到tan，cos，sin，通過比較就可得出選項(xiàng)。
【詳細(xì)解答】①設(shè)P（x，y）在弧AB上，
cos=
=x，sin=
=y，
cos>
sin，A錯(cuò)誤；②設(shè)P（x，y）在弧CD上，
cos=
=x，sin=
=y，
tan=
，
tan
>
sin>
cos，B錯(cuò)誤；③設(shè)P（x，y）在弧EF上，
cos=
=x，sin=
=y，tan=
，
sin>
cos>
tan，C正確；④設(shè)P（x，y）在弧GH上，
cos=
=x<0，sin=
=y<0，tan=
>0，
tan
>
cos>
sin，D錯(cuò)誤，C正確，選C。
3、設(shè)拋物線=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為
；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①拋物線的定義與性質(zhì)；②求圓方程的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用拋物線的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到圓心F的坐標(biāo)，從而求出圓半徑R的值，就可得出符合題意的圓的方程。
【詳細(xì)解答】F是拋物線=4x的焦點(diǎn)，F(xiàn)（1，0），l是拋物線=4x的準(zhǔn)線，圓與直線l相切，R=1+1=2，符合題意的圓的方程為：+=4。
4、已知圓C：-2x-4y+1=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：x+my+1=0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m=
。
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①圓標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程互化的基本方法；②圓的定義與性質(zhì)。
【解題思路】運(yùn)用圓標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程互化的基本方法，結(jié)合問題條件把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓心的坐標(biāo)，根據(jù)圓的性質(zhì)可知直線l：x+my+1=0過圓心，得到關(guān)于m的方程，求解方程就可得出m的值。
【詳細(xì)解答】圓C：-2x-4y+1=0
，+=4，圓心C（1，2），
圓C：-2x-4y+1=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：x+my+1=0對(duì)稱，直線l過點(diǎn)C（1，2），1+2m+1=0，m=-1。
『思考問題5』
（1）【典例5】是近幾高考或高三的診斷考試中與圓方程相關(guān)的問題，解答這類問題需要注意圓常見幾種方程之間的聯(lián)系；
（2）縱觀近幾年的高考試題，與圓方程相關(guān)的問題主要包括：①給定條件，求圓的方程；②圓標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程和參數(shù)方程的互化；③求圓的切線方程；④與圓相關(guān)的最值問題等幾種類型。
〔練習(xí)5〕解答下列問題：
1、已知A，B是圓O：=4上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，||=2，=-，若M是線段AB的中點(diǎn)，則.的值為（
）
A
3
B
2
C
2
D
-3
2、圓-4x+6y=0的圓心坐標(biāo)是（
）
Ａ　　(２,３)　　　Ｂ　　　(－２,３)　　Ｃ　　　(－２，－３)　　Ｄ　　(２，－３)
3、如圖，將一塊半徑為2的半圓形紙板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半圓的直徑，上底CD的端點(diǎn)在半圓上，則所得梯形的最大面積為
；
4、若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（4，0），且與直線y=1相切，則圓C的方程是
。
0
O
NN
0

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