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直線和圓，圓和圓位置關系問題的類型與解法
直線和圓，圓和圓位置關系問題是近幾年高考的熱點內容之一。縱觀近幾年的高考數學試卷，歸結起來直線和圓，圓和圓的位置關系問題主要包括：①判定直線與圓的位置關系；②已知直線與圓的位置關系，求直線方程或圓方程中參數的值或取值范圍；③判定圓與圓的位置關系；④已知圓與圓的位置關系，求圓方程中參數的值或取值范圍等幾種類型。各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也各不相同，那么在實際解答直線和圓，圓和圓位置關系問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地給予解答呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、設直線kx-y+1=0被圓O：=4所截弦的中點的軌跡為C，則曲線C與直線x+y-1=0的位置關系為（
）
A
相交
B
相切
C
相離
D
不確定
【解析】
【知識點】①求點軌跡方程的基本方法；②判定直線與圓位置關系的基本方法。
【解題思路】運用求點軌跡方程的基本方法求出曲線C的方程，利用判定直線與圓位置關系的基本方法就可得出選項。
【詳細解答】直線kx-y+1=0過定點（0，1），把點（0，1）代入圓O：=4可知點（0，1）在圓O內，所截弦中點與點（0，1）的連線垂直過弦中點的直徑，所截弦的中點的軌跡C是以點（0，0）和點（0，1）為直徑的圓，曲線C的方程為：+=，
點（0，）到直線x+y-1=0的距離d=
=
<
，曲線C與直線x+y-1=0相交，A正確，選A。
2、與曲線=（y-1）(3-y)相切，且在兩坐標軸上的截距相等的直線共有
條；
【解析】
【知識點】①判定直線與圓位置關系的基本方法；②求直線方程的基本方法。
【解題思路】設直線的方程為x+y=a，運用直線與曲線相切的性質得到關于參數a的方程，求解方程求出參數a的值，從而得到符合問題條件的直線方程就可得出結論。
【詳細解答】設直線的方程為x+y=a，直線與曲線=（y-1）(3-y)相切，（0，2）到直線x+y=a的距離為：d=
=
=1，a=2-或a=2+，當a=0時，有兩條直線與曲線=（y-1）(3-y)相切，符合問題條件的直線有4條。
3、已知直線l：2mx-y-8m-3=0和圓C：-6x+12y+20=0。
（1）mR時，證明：l與C總相交；
（2）m取何值時，l被C截得的弦長最短？求此時弦長。
【解析】
【知識點】①判定直線與圓位置關系的基本方法；②點到直線的距離公式及運用；③圓的定義與性質。
【解題思路】（1）運用判定直線與圓位置關系的基本方法，結合問題條件就可證明結論；（2）運用點到直線的距離公式和圓的性質得到關于參數m的方程，求解方程求出m的值，從而求出此時的弦長。
【詳細解答】（1）圓C：-6x+12y+20=0
+
=25，直線l：2mx-y-8m-3=0過定點（4，-3），把點（4，-3）代入圓的方程得：1+9=10<25，點（4，-3）在圓C的內部，
mR時，直線l：2mx-y-8m-3=0與
圓C總相交；（2）設直線l與圓C相較于A，B兩點，當直線l：2mx-y-8m-3=0垂直于過點（4，-3）的直徑時，l被C截得的弦長最短，2m.
=-1，m=-，當m=-時，l被C截得的弦長最短，此時點（3，-6）到直線l的距離為：d==，+10=25，|AB|=2。
『思考問題1』
（1）【典例1】是直線與圓的位置關系判定的問題，解決這類問題需要掌握判定直線與圓位置關系的基本方法；
（2）判定直線與圓的位置關系主要有兩種方法：①代數方法；②幾何方法；
（3）代數方法的基本方法是：①由直線方程與圓方程聯立消去y得到關于x的一元二次方程；②求出一元二次方程判別式的值；③根據一元二次方程判別式的值確定一元二次方程解的情況；④得出結果；
（4）幾何方法的基本方法是：①把圓方程化為標準方程；②確定圓心坐標和圓的半徑；③運用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離；④將求出距離與圓半徑比較并得出結果；
（5）在實際解決問題時，到底選用哪種方法，應該根據題給條件來確定：①如果圓心坐標容易求出，則首先考慮幾何判斷法；②如果圓心坐標不容易求出，則首先考慮代數判斷法。
〔練習1〕解答下列問題：
1、求與直線x+y-2=0和圓-12x-12y+54=0都相切，且半徑最小的圓的方程；
2、已知圓C：=25，直線L：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
（1）證明不論m取什么實數，直線L與圓恒相交；
（2）求直線被圓C截得的弦長最小時，直線L的方程；
3、已知圓C：-2x-2y+1=0，直線L與圓C相切，且交X軸、Y軸于A、B兩點，O為坐標原點，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2,b＞2）。
（1）求證圓C與直線L相切的條件是(a-2)(b-2)=2；
（2）求線段AB的中點的軌跡方程；
（3）求面積的最小值；
【典例2】解答下列問題：
1、y=kx+3與圓+=4相交于M、N兩點，若|MN|2，則k的取值范圍是（
）
A
（-
，-
］
B
［-
,0］
C
［-
,
］
D
[-，0]
【解析】
【知識點】①判定直線與圓位置關系的基本方法；②圓的定義與性質。
【解題思路】運用直線與圓相交的性質和圓的性質，結合問題條件得到關于參數k的不等式組，求解不等式組求出參數k的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】
直線y=kx+3與圓+=4相交于M、N兩點，|MN|2，點（3，2）到直線y=kx+3的距離d=
=
，<2且16-
12，-k0，k的取值范圍是[-，0]，D正確，選D。
2、a，b為正實數，x+y+a=0與圓+=2相切，則的最小值是
A
2
B
4
C
6
D
8
【解析】
【知識點】①判定直線與圓位置關系的基本方法；②基本不等式及運用。
【解題思路】運用直線與圓相切的性質，結合問題條件得到關于參數a，b的等式，利用基本不等式求出的最小值直線就可得出選項。
【詳細解答】
x+y+a=0與圓+=2相切，點（b，1）到直線x+y+a=0的距離d=
=
=
，a+b=1，
a，b為正實數，1-b>0，
===2（1-b）+2+2+
22+24，的最小值,4，B正確，選B。
3、若直線x-y+m=0與圓-2x-2=0相切求實數m的值；
【解析】
【知識點】①圓標準方程與一般方程互化的基本方法；②判定直線與圓位置關系的基本方法。【解題思路】運用圓標準方程與一般方程互化的基本方法把圓的方程化為標準方程，根據直線與圓相切的性質，結合問題條件得到關于參數m的方程，求解方程就可求出m的值。
【詳細解答】圓-2x-2=0
+
=3，直線x-y+m=0與圓-2x-2=0相切，點（1，0）到直線x-y+m=0的距離d==
=，m=或m=-3，實數m的值為m=或m=-3。
4、已知點M（3，1），直線ax-y+4=0及圓+=4。
（1）求過點M的圓的切線方程；
（2）若直線ax-y+4=0與圓相切，求a的值；
（3）若直線ax-y+4=0與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為2，求a的值。
【解析】
【知識點】①求圓切線方程的基本方法；②判定直線與圓位置關系的基本方法；③圓的定義與性質。
【解題思路】（1）運用求圓相切的基本方法，結合問題條件就可求出所求切線的方程；（2）運用直線與圓相切的性質得到關于參數a的方程，求解方程就可求出參數a的值；（3）利用直線與圓相交的性質和圓的性質得到關于參數a的方程，求解方程就可求出參數a的值。
【詳細解答】（1）設過點M（3，1）的切線方程為：x=my+2，直線x=my+2與圓+=4相切，點（1，2）到直線x=my+2的距離d=
=
=2，m=，過點M的圓的切線方程為：4x-3y-8=0；（2）直線ax-y+4=0與圓相切，
點（1，2）到直線ax-y+4=0的距離d===2，a=0或a=，a的值為a=0或a=；（3）若直線ax-y+4=0與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為2，
點（1，2）到直線ax-y+4=0的距離d==，3+=4，a=-，a的值為-。
『思考問題2』
（1）【典例2】是已知直線與圓的位置關系，求直線方程或圓方程中參數的值或取值范圍的問題，解決這類問題的主要依據是直線與圓的位置關系的類型及特征；
（2）求過已知點與圓相切的直線方程的問題包括兩種類型：①已知的在圓上；②已知點在圓外；所以解決這類問題時首先要判斷已知點在圓上還是在圓外確定問題的類型，再按類型的特征并結合直線方程的求法解答問題；
（3）若已知點在圓上，可按如下步驟求出過已知點與圓相切的直線方程：①求出已知點與圓心連線的斜率；②根據切線與連線垂直得到切線的斜率；③運用點斜式求出切線的方程；
（4）若已知點在圓外，可按如下步驟求出過已知點與圓相切的直線方程：①分切線的斜率存在和不存在兩種情況考慮；②切線的斜率不存在時，切線方程為x=t(t是已知點的橫坐標)；③當切線的斜率存在時，處理方法有幾何法和代數法兩種；④幾何法，設切線的斜率為k，由點斜式寫出切線帶參數k的方程；根據圓心到切線的距離等于半徑得到含k的方程，解方程求出k的值，再把它代入切線方程即可；⑤代數法，設切線的斜率為k，由點斜式寫出切線帶參數k的方程；由切線方程和圓的方程組成方程組，消去y得到關于x的一元二次方程；根據直線與圓相切的特征可知該方程有相等的兩個實數根，從而推出判別式等于0，得到關于k的方程，解方程求出k的值，再把它代入切線方程即可；
(5)與圓的弦長相關的問題解決的方法有幾何法和代數法兩種；
（6）幾何法是把問題轉化到由弦長的一半，半徑和圓心到弦所在直線的距離組成的直角三角形，借助于勾股定理來解答問題；
（7）代數法是由切線方程和圓的方程組成方程組，消去y得到關于x的一元二次方程；設該方程的兩根分別為，，利用韋達定理得到+和，再運用弦長公式：|AB|=
（其中k為切線的斜率）。
〔練習2〕解答下列問題：
1、若圓+
=
（r＞0）上有且僅有兩點到直線4x+3y+2=0的距離等于1，則實數r的取值范圍為（
）
A
（4，6）
B
［4,6］
C
［5,7］
D
（5，7）
2、若過點A（4，0）的直線L與圓=1有公共點，求直線L斜率的取值范圍；
3、若直線y=x+b與曲線y=3-
恰有兩個不同的公共點，則b的取值范圍是
（成都實驗外語學校西區2016—2017學年度上期高二數學期中考試）
4、已知圓C：-2x-2y+1=0，直線L與圓C相切，且交X軸、Y軸于A、B兩點，O為坐標原點，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2,b＞2）。
（1）求證圓C與直線L相切的條件是(a-2)(b-2)=2；
（2）求線段AB的中點的軌跡方程；
（3）求面積的最小值；
【典例3】解答下列問題：
1、圓+=4與圓+=9的位置關系是（
）
A
內切
B
相交
C
外切
D
相離
【解析】
【知識點】①判定圓與圓位置關系的基本方法；②兩點之間的距離公式及運用。
【解題思路】運用兩點之間的距離公式求出圓心距，利用判定圓與圓位置關系的基本方法判定兩圓的位置關系就可得出選項。
【詳細解答】點（-2，0）和點（2，1）之間的距離3-2=1=
<2+3=5，圓+=4與圓+=9相交，B正確，選B。
2、一動圓過點A（0，0）且與圓=4（a＞0,c＞0,且a≠c）相切，求動圓圓心的軌跡方程；
【解析】
【知識點】①判定圓與圓位置關系的基本方法；②求點軌跡方程的基本方法。
【解題思路】設動圓圓心的坐標為M（x，y），已知圓心B（-c，0），運用兩圓相切的性質，結合問題條件就可得到點M（x，y）的軌跡方程。
【詳細解答】設動圓圓心的坐標為M（x，y），已知圓心B（-c，0），①當c>a時，圓M與圓B外切，
|MB|=
=
，|MA|=
=
，=+2a，-=2a，點M（x，y）的軌跡方程為：-
=1；②當c=2a-，+=2a，點M（x，y）的軌跡方程為：
+=1。
『思考問題3』
(1)
【典例3】是與兩圓的位置關系相關的問題，解決這類問題需要掌握判定圓與圓位置關系的基本方法，分辨清楚圓與圓關系五種類型的基本特征；
（2）圓與圓的位置關系問題中涉及到兩圓的圓心距和兩圓的半徑，實際解答問題時應該考慮把圓的方程都化成標準方程的形式。
〔練習3〕解答下列問題：
1、圓：=1與圓：-6x+8y+9=0，則兩圓的位置關系為（
）
A
相交
B
外切
C
內切
D
相離
2、已知圓：+=1，圓：+=9，M，N分別是圓，上的動點，P為X軸上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為（
）
A
5-
4
B
-1
C
6-2
D
【典例4】解答下列問題：
1、若圓=1與圓-6x-8y+m=0外切，則m=（
）
A
21
B
19
C
9
D
-11
【解析】
【知識點】①判定圓與圓位置關系的基本方法；②圓標準方程與一般方程互化的基本方法；③兩點之間的距離公式及運用。
【解題思路】運用圓標準方程與一般方程互化的基本方法把圓化為標準方程，利用兩圓外切的性質，結合問題條件得到關于參數m的方程，求解方程求出參數m的值就可得出選項。
【詳細解答】圓-6x-8y+m=0
+
=25-m，圓=1與圓-6x-8y+m=0外切，點（0，0）與點（3，4）之間的距離d=
=5=1+，m=9，若圓=1與圓-6x-8y+m=0外切，則m=9，
C正確，選C。
2、已知圓：+=與圓：+=外切，則圓與圓的周長之和為（
）
A
6
B
12
C
18
D
24
【解析】
【知識點】①判定圓與圓位置關系的基本方法；②兩點之間的距離公式及運用。
【解題思路】運用兩點之間的距離公式求出兩圓的圓心距，利用兩圓外切的性質，結合問題條件得到關于參數，的等式，根據這個等式通過運算求出圓與圓的周長之和就可得出選項。
【詳細解答】點（-2，0）與點（4，0）之間的距離d=4-（-2）=4+2=6，圓：+=與圓：+=外切，,+=6，圓的周長為2，圓的周長為2，
圓與圓的周長之和=2+2=2（+）=12，B正確，選B。
『思考問題4』
(1)
【典例4】是已知兩圓的位置關系，求圓方程中參數的值或取值范圍的問題，解決這類問題需要掌握判定圓與圓位置關系的基本方法，分辨清楚圓與圓關系五種類型的基本特征；
（2）圓與圓的位置關系問題中涉及到兩圓的圓心距和兩圓的半徑，實際解答問題時應該考慮把圓的方程都化成標準方程的形式；
（3）解答該類問題時，通常用到解方程和解不等式的基本方法，掌握方程和不等式的基本知識點是解答問題的基礎，應該引起重視。
〔練習4〕解答下列問題：
1、若⊙O：=5與⊙：=20（m∈R）相交于A、B兩點，且兩圓在A點處的切線互相垂直，則線段AB的長度是
；
2、若圓=4與圓+2ay-6=0(a＞0)的公共弦長為2，則a=
。
【典例5】解答下列問題：
1、已知曲線C：x=1+cos（為參數），若直線x+y=2與曲線C相交于點A，B，
y=sin，則|AB|的值為（
）
A
B
C
1
D
【解析】
【知識點】①參數方程化普通方程的基本方法；②判定直線與圓位置關系的基本方法；③計算弦長的基本方法。
【解題思路】運用參數方程化普通方程的基本方法把曲線C化為普通方程，根據直線與圓相交的性質，結合問題條件，利用特殊直角三角形求出|AB|的值就可得出選項。
【詳細解答】曲線C：x=1+cos（為參數），+=1，點（1，0）到直線
y=sin，x+y=2的距離d==，
+=1，|AB|=1，C正確，選C。,
2、已知a
R，且為常數，圓C：+2x+-2ay=0，過圓C內一點(1，2)的直線l與圓C相較于A，B兩點，當ACB最小時，直線l的方程為2x-y=0，則a的值為（
）
A
2
B
3
C
4
D
5
【解析】
【知識點】①圓標準方程與一般方程互化的基本方法；②判定直線與圓位置關系的基本方法；③求直線方程的基本方法。
【解題思路】運用圓標準方程與一般方程互化的基本方法把圓C化為標準方程，根據直線與圓相交的性質，結合問題條件，利用特殊直角三角形得到關于參數a的方程，求解方程求出參數a的值就可得出選項。
y
【詳細解答】如圖，設M（1，2），當CM
AB時，
A
ACB最小，圓C：+2x+-2ay=0，+
=1+，C（-1，a），2=-1，
x
a=3，B正確，選B。
B
3、直線x+y+2=0分別與X軸，Y軸交于A，B兩點，點P在圓+=2上，則ABP面積的取值范圍是（
）
A
［2
，6］
B
［4
，8］
C
（，3）
D
［2
，3］
【解析】
【知識點】①圓標準方程與參數方程互化的基本方法；②點到直線的距離公式及運用；③求三角函數最值的基本方法；④計算三角形面積的基本方法。
【解題思路】運用圓標準方程與參數方程互化的基本方法把圓方程化為參數方程，根據點到直線的距離公式得到點P到直線x+y+2=0距離的三角函數表示式，利用求三角函數最值的基本方法求出點P到直線x+y+2=0距離的最大值與最小值，從而求出ABP面積的取值范圍就可得出選項。
x=2+cos(為參數)，
【詳細解答】圓+=2，
y=sin，點P在圓+=2上，點P
(2+cos，sin)，點P到直線x+y+2=0距離為d=
=，d的最大值為3，最小值為，A（-2，0），B（0，-2），
|AB|==2，=2d=d，的最大值為
3=6，最小值為=2，ABP面積的取值范圍是[2，6]，A正確，選A。
4、直線y=x+1與圓+2y-3=0交于A，B兩點，則|AB|=
；
【解析】
【知識點】①圓標準方程與一般方程互化的基本方法；②判定直線與圓位置關系的基本方法；③計算弦長的基本方法。
【解題思路】運用圓標準方程與一般方程互化的基本方法把圓C化為標準方程，根據直線與圓相交的性質，結合問題條件，利用特殊直角三角形就可求出|AB|的值。
【詳細解答】圓+2y-3=0，+=4，點（0，-1）到直線y=x+1的距離為：d=
=，+2=4，|AB|=2。
5、已知點A（1，2），B（2，1），C（2，3）在圓E上，過點P（1，0）的直線l與圓E相切。
（1）求圓E的方程；
（2）求直線l的方程。
【解析】
【知識點】①求圓標準方程的基本方法；②判定直線與圓位置關系的基本方法；③求直線方程的基本方法。
【解題思路】（1）運用求圓標準方程的基本方法，結合問題條件就可求出圓E的方程；（2）設過點P（1，0）的直線l的方程為：x=my+1，根據直線l
與圓E相切的性質得到關于參數m的方程，求解方程得出m的值就可求出直線l的方程。
【詳細解答】（1）設圓E的方程為：+=，點A（1，2），B（2，1），C（2，3）在圓E上，+=，
a=2，圓E的方程的方程為：
+=，
b=2，+=1；（2）
+=，
=1，設過點P（1，0）的直線l的方程為：x=my+1，直線l
與圓E相切，點E（2，2）到直線l
：x=my+1的距離d=
=
=1，m=0或m=，直線l的方程為：x=1或3x-4y-3=0。
『思考問題5』
(1)
【典例5】是直線與圓和圓與圓問題在近幾年的高考或高三診斷考試中出現的題型，解答這類問題需要分辨清楚問題的類型，抓住問題結構上的特征，選用恰當的方法給予解答；
（2）縱觀近幾年的高考數學試卷，歸結起來直線和圓，圓和圓的位置關系問題主要包括：①判定直線與圓的位置關系；②已知直線與圓的位置關系，求直線方程或圓方程中參數的值或取值范圍；③判定圓與圓的位置關系；④已知圓與圓的位置關系，求圓方程中參數的值或取值范圍等幾種類型；
（3）具體解答該類問題時，應該首先根據問題條件分辨清楚問題所屬的類型，然后運用該種類型問題解答的基本方法對問題給予解答。
〔練習5〕解答下列問題：
1、設圓：=4與圓：+=9，則圓與圓的位置關系是（
）
A
外離
B
外切
C
相交
D
內含
2、已知P（1，2）點為圓+=9的弦AB的中點，則直線AB的方程為（
）
A
x-y-3=0
B
x+y+3=0
C
x+y-3=0
D
x-y+3=0
3、在平面直角坐標系XOY中，A為直線l：y=2x上在第一象限內的點，B（5，0），以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D，若.=0，則點A的橫坐標為
；
4、直線y=x-1與圓-2y-3=0交于A，B兩點，則|AB|=
；
5、已知直線3x-4y+m=0與圓C：+=9交于不同的兩點A，B，若|+|
||，則實數m的取值范圍是
；
6、若經過坐標原點O的直線l與圓-4y+3=0相交于不同的兩點A，B，則弦AB的中點M的軌跡方程為
。
C
M
O

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