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與圓錐曲線焦點弦相關的一個優美結論
眾所周知，焦點弦的性質能夠體現圓錐曲線幾何特征，是研究圓錐曲線時的主要對象之一，在歷屆高考中也占有重要的地位．筆者根據焦點弦所在直線的傾斜角、焦點分焦點弦所成的比以及圓錐曲線的離心率之間的關系得出一個優美結論，并結合高考試題彰顯了它的重要作用，希望能和讀者共勉．
一．結論及證明
定理
已知焦點在軸上的圓錐曲線，經過其焦點的直線交曲線于、兩點，直線的傾斜角為，，則曲線的離心率滿足等式：
．
下面以橢圓為例證明之．
證明：如圖1，弦過橢圓的左焦點，左準線為，由
可設，()，
當直線的傾斜角為銳角時，如圖（），顯然，
分別過兩點作、，垂足分別為，
過點作，由橢圓的第二定義可得
，
在中，，故，
如果點、的位置互換，則，則有．
當直線的傾斜角為鈍角時，如圖（），顯然，
同理在中，可得，故，
如果點、的位置互換，則，則有．
當直線的傾斜角為直角時，顯然且，等式成立；
當直線的傾斜角時，弦為橢圓長軸，顯然易得原等式也成立．
綜上，在橢圓中等式恒成立．證畢．
當圓錐曲線為雙曲線（如圖2）時，同樣可以證明等式成立；當曲線為拋物線（如圖3）時，離心率，等式簡化為（其中）．
總之，在任意圓錐曲線中，對于其焦點弦所在直線的傾斜角，焦點分對應弦的比值（），總有等式成立，它將看似沒有必然聯系的三個量有機地結合在一起，顯得如此和諧、優美，更加體現了數學的魅力．
由于在解決具體的數學問題中，大多遇到的焦點弦的斜率是存在且不為0的，所以，根據直線的傾斜角和斜率的關系，不難得出：
推論1
已知焦點在軸上的圓錐曲線，經過其焦點的直線交曲線于、兩點，直線的斜率為（），，則曲線的離心率滿足等式
．
當圓錐曲線的焦點在軸上時，同理還可得
推論2
已知焦點在軸上的圓錐曲線，經過其焦點的直線交曲線于、兩點，若直線的傾斜角為，斜率為（），，則曲線的離心率滿足等式，．
（推論的證明從略，讀者可以自行完成．）
二．結論的應用
例1．（2008年全國Ⅱ卷）已知是拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于，兩點設，則與的比值等于
．
解析：焦點弦所在直線的傾斜角為，，則由定理可得，
所以．
例2．（2008年江西卷）過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于、兩點（在軸左側），則
．
解析：根據拋物線的對稱性知，設，由推論2可得，
所以．
例3．（2009年全國Ⅰ卷）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于兩點，若，則的離心率為
（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由推論1得，故選A．
例4．（2010全國Ⅱ卷文理）已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與相交于兩點若，則（
）
A．1
B．
C．
D．2
解析：由推論1得，解得，故選B．
例5．（2010全國Ⅰ卷文理）已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離心率為
．
解析：如圖4，由題意可得，，
設直線的傾斜角為，則，
由定理可得，
所以．
由此可見，本文的結論在解決與圓錐曲線焦點弦相關的問題時非?？旖荩缺苊饬朔爆嵉拇鷶颠\算，又節省了不少時間，可謂是圓錐曲線有力工具之一．
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