資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)知識總結(jié)歸納（全國卷地區(qū)適用）(理科)
引言
1.課程內(nèi)容：
必修課程由5個模塊組成：（文科+理科）
必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對、冪函數(shù)）
必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。
必修3：算法初步、統(tǒng)計、概率。
必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、三角恒等變換。
必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。
以上是每一個高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些知識的發(fā)生、發(fā)展過程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過高的要求。
此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內(nèi)容。
選修課程有2個系列：
系列1：由4個模塊組成。(文科)
選修1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。
選修1—2：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)、框圖。
選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。
選修4—5：不等式選講。
系列2：由5個模塊組成。(理科)
選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。
選修2—2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)。
選修2—3：計數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，統(tǒng)計案例。
選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。
選修4—5：不等式選講。
2．重難點(diǎn)及考點(diǎn)：
重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)
難點(diǎn)：函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）、圓錐曲線
高考相關(guān)考點(diǎn)：
必做題部分：
⑴集合與簡易邏輯:集合的概念與運(yùn)算、簡易邏輯、充要條件
⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用
　
⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用
⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用
⑸平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用
⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應(yīng)用
⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系
⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用
⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量
⑽復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算
⑾導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；定（微）積分（理科）
⑿概率與統(tǒng)計：概率、方差、抽樣；分布列、期望、正態(tài)分布（理科）
⒀排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項式定理及其應(yīng)用（理科）
選作題部分：
⑴坐標(biāo)系與參數(shù)方程：極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化；極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程及參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化；極坐標(biāo)和參數(shù)方程的應(yīng)用。
⑵不等式選講：含兩個及以上的絕對值的不等式的解法；幾個著名不等式的應(yīng)用。
《必修1》第一章
集合與函數(shù)概念
1、集合的基本概念
(1)集合的概念：把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱集）；
(2)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性；
(3)集合的三種表示方法：自然語言法、列舉法、描述法．
2、集合的運(yùn)算
（1）子集：若集合的任意一個元素都是集合的元素，則；
真子集：若，且，則；
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（2）交集：
（3）并集：
3、集合的常用運(yùn)算性質(zhì)
(1)；；
(2)；；
(3)；；；
(4)補(bǔ)集：若為全集，，則；
(5)；
(6)；；
(7)如圖所示，用集合、表示圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部分所表示的集合
分別是；；；．
(8)．
4、常見數(shù)集及其表示符號
：自然數(shù)集；
：
正整數(shù)集；
：整數(shù)集；
：有理數(shù)集；
：實(shí)數(shù)集
：復(fù)數(shù)集
5、已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有非空真子集.
6、函數(shù)和映射的概念
函數(shù)
映射
兩集合、
設(shè)、是兩個非空數(shù)集
設(shè)、是兩個非空集合
對應(yīng)關(guān)系
按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)
按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)
名稱
稱對應(yīng)為從集合到集合的一個函數(shù)
稱對應(yīng)為從集合到集合的一個映射
記法
對應(yīng)是一個映射
7、函數(shù)的定義域、值域
（1）定義域：函數(shù)中，x叫做自變量，自變量的取值集合叫做函數(shù)的定義域；
（2）值域：所有函數(shù)值構(gòu)成的集合叫做這個函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．
（3）兩個函數(shù)只有當(dāng)定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才相同．
注意：函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系：（1）函數(shù)是特殊的映射，其特殊性在于集合A與集合B只能是非空數(shù)集，即函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射；
（2）映射不一定是函數(shù)，只有從A到B的一個映射是數(shù)集，則這個映射才是函數(shù)．
8、函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則．
9、函數(shù)的表示方法主要有：列表法、解析法和圖象法．
10、分段函數(shù)：若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因定義域不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．
注意：分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．
11、求函數(shù)解析式的方法主要有：
①代入法；②換元法；③待定系數(shù)法；④圖象法；⑤列方程組法；⑥配湊法等.
12、求函數(shù)值域的方法主要有：
①直接(觀察)法；②配方法（針對二次函數(shù)）；③換元法；④分離常數(shù)法；⑤反解法；⑥判別式法等.
13、函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)性定義：給定區(qū)間D上的函數(shù)，若對任意，當(dāng)時，都有，則為區(qū)間D上的增函數(shù)；當(dāng)時，都有，則為區(qū)間D上的減函數(shù)．
注意：單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間密不可分，單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間．
(2)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：
證明函數(shù)的單調(diào)性一般從定義入手（以后將會學(xué)習(xí)用“求導(dǎo)”的方法證明函數(shù)單調(diào)性），利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：①設(shè)元（取量）：任取，且令；②作差：計算并化簡整理；
③判號（判斷整理結(jié)果的符號）；
④結(jié)論（利用單調(diào)性定義判斷.
14、與單調(diào)性有關(guān)的結(jié)論
(1)若均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)；
(2)若為增(減)函數(shù)，則為減(增)函數(shù)；
(3)是定義在M上的函數(shù)，若與的單調(diào)性相同，則是增函數(shù)，若與的單調(diào)性相反，則是減函數(shù)(同增異減的原則)；
(4)若函數(shù)在閉區(qū)間上是減函數(shù)，則的最大值為，最小值為，值域?yàn)椋?br/>15、函數(shù)的最值
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)滿足：①對于任意，都有，②存在x0∈I，使得，那么稱是函數(shù)的最大值；類比定義的最小值．
16、函數(shù)的奇、偶性：（對于函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）
(1)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)；
(2)如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)；
也就是說：函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù).
17、奇、偶函數(shù)的性質(zhì)
(1)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱；
(2)若奇函數(shù)在處有意義，則；
(3)若奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上分別單調(diào)，則其單調(diào)性相同；若偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上分別單調(diào)，則其單調(diào)性相反；
(4)奇奇奇；偶偶偶；奇奇偶；偶偶偶；奇偶奇.
18、函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)定義：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個函數(shù)的周期；
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期．
19、函數(shù)的圖象
（1）利用描點(diǎn)法作圖：
①確定函數(shù)的定義域；
②化解函數(shù)解析式；
③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；
④畫出函數(shù)的圖象．
（2）利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：
要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．
①平移變換
②伸縮變換
③對稱變換
（3）識圖
對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．
（4）用圖
函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．
（5）有關(guān)函數(shù)對稱性的幾個重要結(jié)論
函數(shù)自身的對稱性
①函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱的充要條件是
②函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的充要條件是，即
兩個函數(shù)的對稱性
③函數(shù)與的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱
④函數(shù)與的圖像關(guān)于直線成軸對稱
⑤指數(shù)函數(shù)圖像與對數(shù)函數(shù)，且圖像關(guān)于直線對稱
⑥三角函數(shù)的圖像對稱問題詳見《必修4》第一章三角函數(shù)
《必修1》第二章
基本初等函數(shù)
1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈
．
負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作．
當(dāng)是奇數(shù)時，，當(dāng)是偶數(shù)時，
2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：，
注意：的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．
3、有理數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(1)；(2)；(3)(其中）．
4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
（1）指數(shù)函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍:．
（2）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
定義域
定義域
值域
值域
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減
非奇非偶函數(shù)
非奇非偶函數(shù)
函數(shù)圖象都過定點(diǎn)
函數(shù)圖象都過定點(diǎn)
注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：
①在上，值域是或；
②若，則；取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；
③對于指數(shù)函數(shù)，總有.
5、對數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作：（其中叫底數(shù)，叫真數(shù)，叫對數(shù)式）
說明：①注意底數(shù)的限制：且；
②；
③注意對數(shù)的書寫格式．
6、兩個重要對數(shù)：
①常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)；②自然對數(shù)：以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù)．
7、指數(shù)式與對數(shù)式的互化:
若，
則
8、對數(shù)恒等式
①
＝
(a>0且a≠1，N>0)；
②(a>0且a≠1，b∈R)．
9、對數(shù)運(yùn)算法則
①
②
③
10、換底公式：．
推論：
①
②
③
④
11、
對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
（1）對數(shù)函數(shù)的概念
函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域是.
注意：①對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別，
如：，
都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)；
②對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：，且；對數(shù)函數(shù)對真數(shù)的限制：.
（2）對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
定義域
定義域
值域?yàn)?br/>值域?yàn)?br/>在上遞增
在上遞減
函數(shù)圖象都過定點(diǎn)
函數(shù)圖象都過定點(diǎn)
12、冪函數(shù)
（1）冪函數(shù)的概念
一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)．
（2）冪函數(shù)性質(zhì)歸納
①所有的冪函數(shù)在都有定義并且圖象都過點(diǎn)；
②時，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象上凸；
③時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．
《必修1》第三章
函數(shù)的應(yīng)用
1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).
（2）函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．
（3）函數(shù)零點(diǎn)的求法
①（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根；
②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．
2、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù)．
（1），方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個零點(diǎn)．
（2），方程有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．
（3），方程無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．
3、函數(shù)零點(diǎn)的判定（零點(diǎn)存在定理）
如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號（即），那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)使.
推論：若函數(shù)在閉區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)，且圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則函數(shù)在上只有一個零點(diǎn)（唯一零點(diǎn)的證明依據(jù)）。
注意：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且函數(shù)在閉區(qū)間上不單調(diào)，
則無法說明函數(shù)在上沒有零點(diǎn)。
4、函數(shù)的模型
《必修2》第一章
空間幾何體
1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征
（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
分類：①以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等；②以側(cè)棱是否垂直于底面作為分類標(biāo)準(zhǔn)分為直棱柱和斜棱柱。
表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱。
幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的
截面是與底面全等的多邊形。
（2）棱錐
定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等。
表示：用各頂點(diǎn)字母，如五四棱錐。
幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其面積比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的
平方。
（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分
分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等
表示：用各頂點(diǎn)字母，如四棱臺。
幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形；
②側(cè)面是梯形；
③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)。
（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體。
幾何特征：①底面是全等的圓；
②母線與軸平行；
③軸與底面圓的半徑垂直；
④側(cè)面展開圖是一個矩形。
（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體。
幾何特征：①底面是一個圓；
②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；
③側(cè)面展開圖是一個扇形。
（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分。
幾何特征：①上下底面是兩個圓；
②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；
③側(cè)面展開圖是一個弓形。
（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體。
幾何特征：①球的截面是圓；
②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。
2、空間幾何體的三視圖
正（主）視圖（一束平行光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)（左）視圖（從左向右）、
俯視圖（從上向下）
注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；
　　俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法
斜二測畫法特點(diǎn)（橫不變、縱減半）：①原來與軸平行的線段仍然與平行且長度不變；
②原來與軸平行的線段仍然與平行，長度為原來的一半。
4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積
（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。
（2）特殊幾何體表面積公式（為底面周長，為高，
為斜高，為母線）
（3）柱體、錐體、臺體的體積公式
（4）球體的表面積和體積公式：S=
《必修2》第二章
點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系
1、平面的基本性質(zhì)
(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
(2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面．
(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．
(4)公理2的三個推論
推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個平面．
推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面．
推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面．
2、空間中兩直線的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系的分類：
(2)異面直線所成的角
①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)；②范圍：．
(3)平行公理（公理4）和等角定理
公理4（平行公理）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
②等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．
3、空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系
(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．
(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．
4、直線與平面平行的判定與性質(zhì)
判定
性質(zhì)
定義
定理
圖形
條件
?，?，∥
∥
∥，?，∩
結(jié)論
∥
∥
∥
5、面面平行的判定與性質(zhì)
判定
性質(zhì)
定義
定理
圖形
條件
∩
，，∩，∥，∥
∥，∩＝，∩＝
∥，?
結(jié)論
∥
∥
∥
∥
6、直線與平面垂直
(1)直線與平面垂直的定義
如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線與平面互相垂直，記作.
(2)直線與平面垂直的判定定理
文字語言
圖形語言
符號語言
一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
若，且，則
7、直線與平面所成的角
(1)如圖，一直線和一平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．
(2)一條直線垂直于平面，稱它們所成的角是直角；一條直線在平面內(nèi)或一條直線和平面平行，稱它們所成的角是的角，于是，直線與平面所成角的范圍是．
8、二面角
從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．如右圖：可記為，或.
9、二面角的平面角
在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直棱的射線，則兩條射線構(gòu)成的角叫做二面角的平面.如圖：平面角，范圍：
規(guī)定：二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．
10、平面與平面垂直
(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直，平面與垂直，記作.
(2)判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.
11、直線與平面垂直的性質(zhì)定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行.
12、平面與平面垂直的性質(zhì)定理
兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.
《必修2》第三章
直線與方程
1、直線的傾斜角
（1）傾斜角的定義：當(dāng)直線與軸相交時，取軸作為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角．特別地，當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為.（2）傾斜角的范圍：
2、直線的斜率
（1）定義：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，記為，
即.
（2）過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，其斜率.
3、直線方程的五種形式
名稱
方程的形式
常數(shù)的幾何意義
適用范圍
點(diǎn)斜式
是直線上一定點(diǎn)，是斜率
不垂直于軸
斜截式
是斜率，是直線在軸上的截距（縱截距）
不垂直于軸
兩點(diǎn)式
是直線上兩定點(diǎn)
不垂直于軸和軸
截距式
是直線在軸上的非零截距，是直線在軸上的非零截距
不垂直于軸和軸，且不過原點(diǎn)
一般式
，，為系數(shù)
任何直線
4、兩條直線平行與垂直的判斷
：不同時為）；：不同時為）.
（1）當(dāng)時且(或).
（2）當(dāng)與重合時且(或).
（3）當(dāng)時.
5、兩點(diǎn)間的距離公式
若，則
6、點(diǎn)到直線的距離公式：
點(diǎn)到直線：的距離
7、兩條平行直線的距離公式
兩平行直線與間的距離
《必修2》第四章
圓與方程
1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
特別地，當(dāng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)時，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
2、圓的一般方程
（1）當(dāng)時，方程叫做圓的一般方程，
其中圓心為
半徑為.
（2）用待定系數(shù)法求圓的方程的大致步驟
根據(jù)題意選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；根據(jù)條件列出關(guān)于或的方程組；
解出或，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.
3、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為，半徑為.
點(diǎn)在圓內(nèi)
點(diǎn)在圓上
點(diǎn)在圓外
4、直線與圓的位置關(guān)系
（1）代數(shù)法：
直線與圓的方程聯(lián)立消去（或）得到關(guān)于（或）的一元二次方程，此方程的判別式為，則
直線與圓相交
直線與圓相切
直線與圓相離
（2）幾何法：
設(shè)圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則
直線與圓相交
直線與圓相切
直線與圓相離
5、圓與圓的位置關(guān)系
圓與圓有五種位置關(guān)系，分別是外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．
6、圓與圓位置關(guān)系的判定
(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為，兩圓的圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：
位置關(guān)系
外離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
圖示
與的關(guān)系
(2)代數(shù)法
聯(lián)立兩圓的方程組成方程組．
則方程組解的個數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：
7、過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程的求法
先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為，由點(diǎn)斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程或.
8、過圓外一點(diǎn)的切線方程的求法
設(shè)切線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得，也就得切線方程．當(dāng)用此法只求出一個方程時，另一個方程應(yīng)為，因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r，而過圓外一點(diǎn)的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解．
9、求切線長最小值的兩種方法
①(代數(shù)法)直接利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統(tǒng)一成一個，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；②(幾何法)把切線長最值問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問題．　　
10、一般地過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程可設(shè)為：，然后再由其他條件求出，即可得圓的方程．
11、
一般地過圓：與圓：的交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為，然后再由其他條件求出，即可得圓的方程．
12、兩圓相交時，公共弦所在的直線方程
若圓：與圓：相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為.
13、公共弦長的求法
①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長．
②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．　
14、求弦長的兩種方法
涉及直線被圓截得的弦長問題時，解法有以下兩種：
①由于半徑長，弦心距，弦長的一半構(gòu)成直角三角形，所以利用勾股定理求解．
②聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關(guān)于(或)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))之間的關(guān)系，代入兩點(diǎn)間距離公式求解．此解法很煩瑣，一般不用．
《必修3》第一章
算法初步
1、算法概念：
在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機(jī)來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.
2、算法的特點(diǎn):
(1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.
(2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.
(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題.
(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.
(5)普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計好的步驟加以解決.
3、程序框圖基本概念：
（1）程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。
（2）構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用
程序框
名稱
功能
起止框
表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少的。
輸入、輸出框
表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。
處理框
賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。
判斷框
判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標(biāo)明“是”或“Y”；不成立時標(biāo)明“否”或“N”。
（3）算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。
4、輸入語句
5、輸出語句
6、賦值語句（了解）
7、條件語句
（1）條件語句的一般格式有兩種：IF—THEN—ELSE語句和IF—THEN語句。
（2）IF—THEN—ELSE語句的一般格式為圖1，對應(yīng)的程序框圖為圖2。
圖1
圖2
（3）IF—THEN語句的一般格式為圖3，對應(yīng)的程序框圖為圖4
8、循環(huán)語句
循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)的。對應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計語言中也有當(dāng)型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句和UNTIL語句。
（1）WHILE語句的一般格式是
對應(yīng)的程序框圖是
（2）UNTIL語句的一般格式是
對應(yīng)的程序框圖是
9、輾轉(zhuǎn)相除法
也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：
（1）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商和一個余數(shù)；（2）：若＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)得到一個商和一個余數(shù)；（3）：若＝0，則為m，n的最大公約數(shù)；若≠0，則用除數(shù)除以余數(shù)得到一個商和一個余數(shù)；……
依次計算直至＝0，此時所得到的即為所求的最大公約數(shù)。
10、更相減損術(shù)
我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之.
翻譯為：（1）：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步.
（2）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù).
11、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別
（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當(dāng)兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯.
（2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到.
12、秦九韶算法與排序
（1）秦九韶算法概念：
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0
=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0
=((
anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0
=......
=(...(
anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項式的值，即v1=anx+an-1
然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即
v2=v1x+an-2
v3=v2x+an-3
......
vn=vn-1x+a0、
這樣，把n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的問題。
（2）兩種排序方法（了解）：直接插入排序和冒泡排序
①直接插入排序
基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數(shù)放入數(shù)組的第１個元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比較，確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明）
②冒泡排序
基本思想：依次比較相鄰的兩個數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數(shù)和第2個數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個數(shù)和第3個數(shù)......直到比較最后兩個數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過程,仍從第1個數(shù)開始,到最后第2個數(shù)......
由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升,所以叫冒泡排序.
13、進(jìn)位制
概念：進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制?，F(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。
一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為：
，
而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù).
《必修3》第二章
統(tǒng)計
1.簡單隨機(jī)抽樣
（1）總體和樣本
總體：在統(tǒng)計學(xué)中
,
把研究對象的全體叫做總體．
個體：把每個研究對象叫做個體．
總體容量：把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量．
為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數(shù)稱為樣本容量。
（2）簡單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨(dú)立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。
（3）簡單隨機(jī)抽樣常用的方法：
①抽簽法；②隨機(jī)數(shù)表法；③計算機(jī)模擬法；④使用統(tǒng)計軟件直接抽取。
在簡單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計中，主要考慮：總體變異情況；允許誤差范圍；概率保證程度。
2、系統(tǒng)抽樣
（1）系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：
把總體的單位進(jìn)行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。
K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/（樣本規(guī)模）
前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布。可以在調(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。
（2）系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘Τ闃涌虻囊筝^低，實(shí)施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。
3、分層抽樣
（1）分層抽樣（類型抽樣）：
先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟危缓笤僭诟鱾€類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。
（2）分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個個同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。
（3）分層的比例問題：
①按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。
②不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。
4、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征
（1）本均值：
（2）樣本標(biāo)準(zhǔn)差：
（3）用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時，它們確實(shí)反映了總體的信息。
說明：①如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變
②如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍
③一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間的應(yīng)用；“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學(xué)道理
《必修3》第三章
概率
1、隨機(jī)事件的概率及概率的意義
（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；
（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；
（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；
（4）隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機(jī)事件；
（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)n（A）為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=
為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。
（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)n（A）與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個事件的概率
2、概率的基本性質(zhì)
概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；
（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；
（4）當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=
P(A)+
P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=
P(A)+
P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
基本性質(zhì)：
（1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；
（2）當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=
P(A)+
P(B)；
（3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=
P(A)+
P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
（4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系：互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：①事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；②事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；③事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A
與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形：事件A發(fā)生B不發(fā)生；事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。
3、古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
（1）古典概型的使用條件：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。
（2）古典概型的解題步驟；
①求出總的基本事件數(shù)；
②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=
4、幾何概型
（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；
（2）幾何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）幾何概型的特點(diǎn)：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．
《必修4》第一章
三角函數(shù)
1、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．
第一象限角的集合：
第二象限角的集合：
第三象限角的集合：
第四象限角的集合：
2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在坐標(biāo)軸上，則稱為軸線角．
終邊在軸上的角的集合：
終邊在軸上的角的集合：
終邊在上的角的集合：或
終邊在上的角的集合：或
終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：
終邊在坐標(biāo)軸或四象限角平分線上的角的集合：
3、已知角終邊的象限，求終邊所在象限（八卦圖解決）
第一象限
為第一、三象限角
第二象限
為第一、三象限角
第三象限
為第二、四象限角
第四象限
為第二、四象限角
4、與角終邊相同的角的集合
即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與整數(shù)個周角的和.
5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做
1
弧度（）．
一般的，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.
6、弧度制與角度制的換算公式
；
；
；
……
；
．
7、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為
則弧長；
周長；
扇形面積
8、特殊角的三角函數(shù)值表(內(nèi)的特殊角）
角度函數(shù)
角的弧度
9、單位圓：在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓.
10、設(shè)是一任意角，的終邊上任意一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為r，
，則
,
,
.
11、三角函數(shù)在各象限的符號：一象限全為正，二象限正弦為正，三象限正切為正，四象限余弦為正．
12、三角函數(shù)線：（正弦線），（余弦線），
（正切線）．
13、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
平方關(guān)系：1
商的關(guān)系：
倒數(shù)關(guān)系：
15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：
圖象
定義域
值域
最值
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
既無最大值也無最小值
周期性
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．
在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．
在上是增函數(shù)．
對稱性
對稱中心對稱軸
對稱中心對稱軸
對稱中心無對稱軸
注意：周期為；周期為；周期為；不是周期函數(shù).
14、函數(shù)的誘導(dǎo)公式（公式一?公式六）（口訣：奇變偶不變，符號看象限）：
公式一：，
，
.
公式二：，
，
．
公式三：
，
，
．
公式四：，
，
．
公式五：，
，
．
公式六：，
，
．
另：
16、得到函數(shù)圖像的方法
17、簡諧運(yùn)動
①解析式：；
②振幅：就是這個簡諧運(yùn)動的振幅（)；
③周期：
④頻率：；⑤相位和初相：稱為相位，時的相位稱為初相.
說明：為前面的系數(shù)；在物理學(xué)上它叫角頻率.
《必修4》第二章
平面向量
1、向量的有關(guān)概念
(1)向量的定義：既有大小又有方向的量；
(2)向量的長度（向量的模）：向量的大?。ㄆ瘘c(diǎn)與終點(diǎn)的距離）；
(3)零向量：長度等于零的向量；
(4)單位向量：長度等于1個單位的向量
(5)平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量；
(6)相等向量：長度相等方向相同的向量；
(7)相反向量：長度相等方向相反的向量
2、向量運(yùn)算
(1)加減法法則（如右圖）：
(2)①＝，＝，＝，
②＋＋……＋An－1An＋＝，③
3、共線向量定理：
向量存在唯一一個實(shí)數(shù)，使得
4、平面向量基本定理：
如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù),使.
5、向量的夾角（共起點(diǎn)）：
（表示的夾角）；
6、平面向量的坐標(biāo)表示
在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸、軸正方向相同的兩個單位向量作為基底，對任一向量，有唯一一對實(shí)數(shù)，使得：，那么叫做向量的直角坐標(biāo)，記作；
7、向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)，其中，則共線.
8、數(shù)量積的有關(guān)概念：兩個非零向量與
(1)過O點(diǎn)作＝，＝，則叫做向量與的夾角；夾角范圍是.
(2)與的夾角為
時，叫.
(3)若與的夾角為θ，則a·b＝|a|·|b|cosθ.
(4)若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則
(5)在的方向上的投影為：；
在的方向上的投影為：.
(6)若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，夾角為θ，
則＝，
cosθ＝
(7)?；?；
(8)
；
9、數(shù)量積滿足的運(yùn)算律
已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)λ，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c
《必修4》第三章
三角恒等變換
1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）sin(α＋β)＝；
（2）cos(α＋β)＝；
（3）tan(α＋β)＝；
（4）sinαcosβ－cosαsinβ＝；
（5）cosαcosβ＋sinαsinβ＝；
（6）＝
2、輔助角公式
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，（其中sinφ＝，cosφ＝）；
3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝；
(2)cos2α＝＝＝；
(3)tan2α＝(α≠＋且α≠kπ＋)．
4、半角公式
(1)sin＝；(2)cos＝；
(3)tan＝＝＝.
5、萬能公式（了解）
《必修5》
第一章
解三角形
1、正弦定理及性質(zhì)
＝＝＝2R.
（其中R為△ABC外接圓半徑）．
常用變形：①
＝，＝，＝;
②sinA＝,
sinB＝,
sinC＝;
③
a∶b∶c＝∶∶；
④.
2、余弦定理及變形
；
；
cosA＝；
cosB＝；
cosC＝；
sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA.
3、三角形常用面積公式
①S＝a·ha(ha表示a邊上的高);
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝;
③S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)．
《必修5》第二章
數(shù)
列
1、等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第項起，后一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示．
2、等差中項
(1)
前提：三個數(shù)成等差數(shù)列；(2)
結(jié)論：叫做的等差中項；(3)滿足的關(guān)系式：．
3、等差數(shù)列遞推公式和通項公式
遞推公式
通項公式
4、等差數(shù)列的性質(zhì)
（1）兩項關(guān)系：.
（2）多項關(guān)系：若，則，特別地，若，
則.
(3)
若是公差為d的等差數(shù)列，則下列數(shù)列：
①{c＋}(為任一常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列；
②(c為任一常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列.
(4)
若，分別是公差為的等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}(p，q是常數(shù))是公差為pd1＋qd2的等差數(shù)列；特別地，，分別是公差的等差數(shù)列，則是公差為的等差數(shù)列．
5、等差數(shù)列前項和公式：
Sn＝＝（為等差數(shù)列的公差）.
6、數(shù)列前項和與的關(guān)系
(1)
Sn記法：數(shù)列{an}中，前n項和記為Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an.
(2)
an與Sn的關(guān)系：若數(shù)列的前n項和為Sn，則通項公式an＝.
7、等差數(shù)列的前項和的主要性質(zhì)
（1）…成等差數(shù)列(等差數(shù)列中依次項和成等差數(shù)列)；
（2）若分別為等差數(shù)列的前項和，則.
8、等比數(shù)列的定義
⑴
定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，后一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示．
9、等比中項
(1)
前提：三個數(shù)成等比數(shù)列；(2)
結(jié)論：叫做的等比中項；(3)滿足的關(guān)系式：．
10、等比數(shù)列遞推公式和通項公式
遞推公式
通項公式
11、等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)函數(shù)
⑴
等比數(shù)列的通項公式可以看作是指數(shù)型函數(shù).
⑵
等比數(shù)列的增減性：
①當(dāng)或時，等比數(shù)列是遞增數(shù)列;
②當(dāng)或時，等比數(shù)列是遞減數(shù)列;
③當(dāng)時，等比數(shù)列是常數(shù)列;
④當(dāng)時，等比數(shù)列是擺動數(shù)列．
12、等比數(shù)列的性質(zhì)
若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則
⑴
；
⑵
若，則；
⑶
等比數(shù)列的奇數(shù)項同號，偶數(shù)項同號；
⑷是公比為的等比數(shù)列；
⑸是公比為的等比數(shù)列；
⑹
若分別是公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
13、等比數(shù)列前項和公式
（為等比數(shù)列的公比）.
14、等比數(shù)列的前項和的主要性質(zhì)
（1）…成等比數(shù)列(等比數(shù)列中依次項和成等比數(shù)列)；
（2）當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比時，則，所以若，
則.
《必修5》第三章
不等式
1、兩個實(shí)數(shù)比較大小的方法
（1）作差法：；；.
（2）作商法：
①
；
②
③.
2、不等式的性質(zhì)
1.
雙向性：①；
②
2.
單向性
：
（1）傳遞性：；
（2）同向可加性：
（3）同向可乘性：
①，
②；
③；
④；
⑤．
3、不等式的一些常用結(jié)論
（1）倒數(shù)性質(zhì)：；
.
（2）分?jǐn)?shù)性質(zhì)：若，則（“糖水”不等式）
4、不等式證明的幾種常用方法
常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；
其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等.
常見不等式的放縮方法：
①舍去或加上一些項，如：.
②將分子或分母放大（縮小），
如
等.
5、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系（三個“二次”）：
判別式
二次函數(shù)的圖象
一元二次方程的根
有兩個相異實(shí)數(shù)根
有兩個相等實(shí)數(shù)根
沒有實(shí)數(shù)根
一元二次不等式的解集
6、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式（或）解集的步驟：
一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù)；
二判：判斷對應(yīng)方程的根；
三求：求對應(yīng)方程的根；
四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象；
五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集；
規(guī)律：當(dāng)二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.
7、含參數(shù)的不等式的解法
解形如且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：
（1）討論與0的大??；（2）討論與0的大?。唬?）討論兩根的大小.
8、高次不等式的解法：穿根法（了解）
分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶不穿），結(jié)合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.
9、分式不等式的解法（了解）：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化
則
（時同理）
規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.
10、無理不等式的解法（了解）：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.
11、指數(shù)不等式的解法：
⑴當(dāng)時,；⑵當(dāng)時,
規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.
12、對數(shù)不等式的解法
⑴當(dāng)時,
⑵當(dāng)時,
規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.
13、恒成立問題
（1）不等式的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：
①當(dāng)時
②當(dāng)時
（2）不等式的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：
①當(dāng)時
②當(dāng)時
（3）恒成立，恒成立
（4）恒成立，恒成立
14、基本不等式
若，，則，即（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．
若，，則，即（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．
變形公式：
（請重視它們的變形使用）
平均不等式（了解）：
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）
從左往右依次是正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)，幾何平均數(shù)，算數(shù)平均數(shù)，平方平均數(shù)
15、利用基本不等式求最值問題
設(shè)、都為正數(shù)，則有
⑴
若（和為定值），則當(dāng)時，積取得最大值．
⑵
若（積為定值），則當(dāng)時，和取得最小值．
注意：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握三個方面，即“一正──各項都是正數(shù)；二定──和或積為定值；三相等──等號能取得”，這三個方面缺一不可.
7、線性規(guī)劃問題
⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：
法一：取點(diǎn)定域法：
由于直線的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入后所得的實(shí)數(shù)的符號相同.所以，在實(shí)際判斷時，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)（如原點(diǎn)），由的正負(fù)即可判斷出(或)表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.
即：直線定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn).
法二：根據(jù)(或)，觀察的符號與不等式開口的符號，若同號，(或)表示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域.即：同號上方，異號下方.
⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：
不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.
⑶利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)(為常數(shù)）的最值：
法一：角點(diǎn)法：
如果目標(biāo)函數(shù)（即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對應(yīng)值，最大的那個數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最大值，最小的那個數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最小值
法二：畫——移——定——求：
第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線
，平移直線（據(jù)可行域，將直線平行移動）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解；第四步，將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值
.
第二步中最優(yōu)解的確定方法：
利用的幾何意義：,為直線的縱截距.
①若則使目標(biāo)函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，取得最大值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，取得最小值；
②若則使目標(biāo)函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，取得最小值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，取得最大值.
⑷常見的目標(biāo)函數(shù)的類型：
①“截距”型：
②“斜率”型：或
③“距離”型：或或或
在求該“三型”的目標(biāo)函數(shù)的最值時，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.
《選修2-1》第一章
常用邏輯用語
1、命題
（1）命題：用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.
真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.
（2）“若，則”形式的命題中的稱為命題的條件，稱為命題的結(jié)論.
（3）逆命題：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題。若原命題為“若，則”，它的逆命題為“若，則”.
（4）否命題：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題.若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”.
（5）逆否命題：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題.
其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題。若原命題為“若，則”，則它的逆否命題為“若，則”.
2、四種命題的真假性
四種命題的真假性之間的關(guān)系：
原命題
逆命題
否命題
逆否命題
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；
（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．
3、充分條件、必要條件
若，則是的充分條件，是的必要條件．
若，則是的充要條件（充分必要條件）．
4、簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞
（1）常用的簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞有“或”“且”“非”．
（2）命題、、的真假判斷
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
5、全稱命題和特稱命題
（1）全稱量詞和存在量詞
量詞名稱
常見量詞
符號表示
全稱量詞
所有、一切、任意、全部、每一個等
存在量詞
存在一個、至少有一個、有些、某些等
（2）全稱命題和特稱命題
名稱形式　　
全稱命題
特稱命題
結(jié)構(gòu)
對中任意一個，有成立
存在中的一個，使成立
簡記
否定
（3）記準(zhǔn)兩類否定:
①
②．
《選修2-1》第二章
圓錐曲線方程
1、曲線方程
求曲線的方程（點(diǎn)的軌跡方程）的步驟：建、設(shè)、限、代、化
①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；②設(shè)動點(diǎn)及其他的點(diǎn)；
③找出滿足限制條件的等式；④將點(diǎn)的坐標(biāo)代入等式；⑤化簡方程，并驗(yàn)證（查漏除雜）。
2、橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a>c，則集合P為橢圓；
(2)若a＝c，則集合P為線段；
(3)若a3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
圖形
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"E:\\莫成程\\2015\\幻燈片\\一輪\\數(shù)學(xué)\\A版\\WORD\\9-231.TIF"
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\
MERGEFORMATINET
性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸　　對稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a，0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
a，b，c的關(guān)系
（最大）
準(zhǔn)線方程
4、點(diǎn)和橢圓的關(guān)系
(1)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi)?＋<1.
(2)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上?＋＝1.
(3)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓外?＋>1.
5、橢圓第二定義（了解）
設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則
6、焦半徑（了解）
橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與左(下)焦點(diǎn)F1與右(上)焦點(diǎn)F2之間的線段的長度叫作橢圓的焦半徑，分別記作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
①＋＝1(a>b>0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
②＋＝1(a>b>0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
③焦半徑中以長軸端點(diǎn)的焦半徑最大和最小(近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn))．
7、橢圓的焦點(diǎn)三角形
橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點(diǎn)三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，
△PF1F2的面積為S，，則在橢圓＋＝1(a>b>0)中：
①當(dāng)r1＝r2時，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時，θ最大；
②S＝b2tan
＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時，S取最大值，最大值為bc.
8、焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)：
焦點(diǎn)弦中以通徑(垂直于長軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長lmin＝.
9、AB為橢圓＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則
①弦長l＝|x1－x2|（弦長公式）
或弦長l＝|y1－y2|（弦長公式）
②直線AB的斜率kAB＝－.
10、雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離差的絕對值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.兩定點(diǎn)是焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離是焦距，用表示，常數(shù)用表示.
11、雙曲線定義的集合表示
12、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象和性質(zhì)
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在軸上
焦點(diǎn)在軸上
雙曲線在
坐標(biāo)系中的位置
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)坐標(biāo)
焦距
范圍
頂點(diǎn)
軸長
虛軸長，實(shí)軸長
對稱性
對稱軸為軸、軸，對稱中心為原點(diǎn)
離心率
漸近線
或
或
準(zhǔn)線方程
13、等軸雙曲線
（1）實(shí)軸長和虛軸長相等的雙曲線叫作等軸雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫作：
（2）等軸雙曲線離心率兩條漸近線方程為相互垂直.
14、點(diǎn)和雙曲線的關(guān)系
（1）在雙曲線內(nèi)（含焦點(diǎn)部分）；
（2）在雙曲線上
（3）在雙曲線外（不含焦點(diǎn)部分）
15、雙曲線第二定義（了解）
設(shè)是雙曲線上任一點(diǎn)，點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則
16、雙曲線焦點(diǎn)三角形：P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則S△PF1F2＝b2·，其中θ為∠F1PF2.
17、重要結(jié)論
（1）雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.
（2）若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
（3）同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦)，其長為，異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長為2a.
（4）設(shè)P，A，B是雙曲線上的三個不同的點(diǎn)，其中A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為.
18、拋物線的定義：滿足以下三個條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線
(1)在平面內(nèi)；
(2)動點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等；
(3)定點(diǎn)不在定直線上．
19、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離
圖形
頂點(diǎn)
O(0，0)
對稱軸
y＝0
x＝0
焦點(diǎn)
離心率
準(zhǔn)線方程
范圍
開口方向
向右
向左
向上
向下
20、關(guān)注拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的幾個常用結(jié)論
如圖，為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：，，且分別為的中點(diǎn)，則：
（1），（2），
（3）
（4），，（為直線的傾斜角）
（5）（定值）
（6）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以或?yàn)橹睆降膱A與軸相切．
（7）直角梯形的對角線交于原點(diǎn)，且
（8）被拋物線平分，即為的中點(diǎn)
（9）
（10）若過拋物線焦點(diǎn)弦的兩個端點(diǎn)作拋物線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)一定在此拋物線的準(zhǔn)線上
若過拋物線準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)做拋物線的切線，則過兩切點(diǎn)的弦必過焦點(diǎn)（定點(diǎn)）等
《選修2-1》第三章
空間向量與立體幾何
1、空間向量的概念
（1）在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量．
（2）向量可用一條有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．
（3）向量的大小稱為向量的模（或長度），記作．
（4）模（或長度）為的向量稱為零向量；模為的向量稱為單位向量．
（5）與向量長度相等且方向相反的向量稱為的相反向量，記作．
（6）方向相同且模相等的向量稱為相等向量．
2、空間向量的加法和減法
（1）求兩個向量和的運(yùn)算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則．即：在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點(diǎn)的對角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則．
（2）求兩個向量差的運(yùn)算稱為向量的減法，它遵循三角形法則．即：在空間任取一點(diǎn)，作，，則．
3、實(shí)數(shù)與空間向量的乘積是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時，與方向相同；當(dāng)時，與方向相反；當(dāng)時，為零向量，記為．的長度是的長度的倍．
4、設(shè)，為實(shí)數(shù)，，是空間任意兩個向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律．
分配律：；結(jié)合律：．
5、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線．
6、向量共線的充要條件：
對于空間任意兩個向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．
7、平行于同一個平面的向量稱為共面向量．
8、向量共面定理：
空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，，使；或?qū)臻g任一定點(diǎn)，有；或若四點(diǎn)，，，共面，則．
9、已知兩個非零向量和，在空間任取一點(diǎn)，作，，則稱為向量，的夾角，記作．兩個向量夾角的取值范圍是：．
10、
對于兩個非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作．
11、
已知兩個非零向量和，則稱為，的數(shù)量積，記作．即
．零向量與任何向量的數(shù)量積為．
12、
等于的長度與在的方向上的投影的乘積．
13、
若，為非零向量，為單位向量，則有
；；，，；；
14、量數(shù)乘積的運(yùn)算律
；
；
．
15、空間向量基本定理
若三個向量，，不共面，則對空間任一向量，存在實(shí)數(shù)組，使得．
16、三個向量，，不共面，則所有空間向量組成的集合是．這個集合可看作是由向量，，生成的，稱為空間的一個基底，，，稱為基向量．空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底．
17、設(shè)，，為有公共起點(diǎn)的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?，，的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則對于空間任意一個向量，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量．存在有序?qū)崝?shù)組，使得．把，，稱作向量在單位正交基底，，下的坐標(biāo)，記作．此時，向量的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．
18、設(shè)，，則（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）若、為非零向量，則．
（6）若，則．（7）．
（8）．
（9），，則．
19、
直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量．
20、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，，
則，．
21、若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，
則，．
22、若空間不重合的兩個平面，的法向量分別為，，則，．
23、空間向量與空間角、空間距離
角的分類
向量求法
范圍
異面直線所成的角
設(shè)兩異面直線所成的角為，它們的方向向量為，則：
直線與平面所成的角
設(shè)直線與平面所成的角為，的方向向量為，平面的法向量為，則：
二面角
設(shè)二面角的平面角為，平面，的法向量分別為，，則：
點(diǎn)到平面的距離
點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，為平面的一個法向量，則點(diǎn)到平面的距離為
《選修2-2》第一章
導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
1、函數(shù)的平均變化率
平均變化率為
注1：其中是自變量的改變量，可正，可負(fù)，可零。
注2：函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運(yùn)動的平均速度。
2、導(dǎo)函數(shù)的概念
函數(shù)在處的瞬時變化率是，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并把這個極限叫做在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即=.
3、平均變化率和導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率。
4、導(dǎo)數(shù)的背景
（1）切線的斜率；（2）瞬時速度；（3）邊際成本。
5、常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)和積分公式
函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
不定積分
0
???????————————
————————
6、常見的導(dǎo)數(shù)和定積分運(yùn)算公式
若，均可導(dǎo)（可積），則有：
和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算
積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算
特別地：
商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算
特別地：
復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
微積分基本定理
（其中）
和差的積分運(yùn)算
積分的區(qū)間可加性
7、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)
②令>0,解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.
③令<0,解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間；
注：求單調(diào)區(qū)間之前一定要先看原函數(shù)的定義域。
8、
求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟
(1)確定函數(shù)的定義域；
(2)
求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)
；(3)求方程=0的根；
(4)
用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值
9、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟
求在上的最大值與最小值的步驟如下：
（1）求在上的極值；
（2）將的各極值與比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。
注：實(shí)際問題的開區(qū)間唯一極值點(diǎn)就是所求的最值點(diǎn).
10、求曲邊梯形的思想和步驟
分割近似代替求和取極限
（“以直代曲”的思想）
11、定積分的取值情況
定積分的值可能取正值，也可能取負(fù)值，還可能是0.
（1）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于
x
軸上方時，定積分的值取正值，且等于x軸上方的圖形面積；
（2）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于
x
軸下方時，定積分的值取負(fù)值，且等于x軸上方圖形面積的相反數(shù)；
（3）當(dāng)位于
x
軸上方的曲邊梯形面積等于位于
x
軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0，且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的面積．
12、物理中常用的微積分知識
（1）位移的導(dǎo)數(shù)為速度，速度的導(dǎo)數(shù)為加速度。
（2）力的積分為功。
《選修2-2》第二章
推理與證明
1、歸納推理的定義
從個別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。
歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。
2、歸納推理的思維過程
大致如圖：
3、歸納推理的特點(diǎn)
①歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。
②由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。
③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。
4、類比推理的定義
根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。
5、類比推理的思維過程
6、演繹推理的定義
演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊的推理。
演繹推理的主要形式是三段論
7、“三段論”可以表示（了解）
①大前題：M是P　　　?、谛∏疤幔篠是M　　　　?、劢Y(jié)論：S是P。
其中①是大前提，它提供了一個一般性的原理；②是小前提，它指出了一個特殊對象；③是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊情況做出的判斷。
8、直接證明（包括綜合法和分析法）
直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。直接證明包括綜合法和分析法。
（1）綜合法
綜合法就是“由因?qū)Ч保瑥囊阎獥l件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結(jié)論。
（2）分析法
分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為“由果索因”。
要注意敘述的形式：要證A，只要證B，B應(yīng)是A成立的充分條件.
分析法和綜合法常結(jié)合使用，不要將它們割裂開。
9、間接證明（即反證法）
是指從否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。
10、反證法的一般步驟
（1）假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；
（2）從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；
（3）從矛盾判定假設(shè)不正確，即所求證命題正確。
11、常見的“結(jié)論詞”與“反義詞”
原結(jié)論詞
反義詞
原結(jié)論詞
反義詞
至少有一個
一個也沒有
對所有的x都成立
存在x使不成立
至多有一個
至少有兩個
對任意x不成立
存在x使成立
至少有n個
至多有n-1個
p或q
且
至多有n個
至少有n+1個
p且q
或
12、數(shù)學(xué)歸納法（只能證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題）的步驟（了解）
(1)證明：當(dāng)n取第一個值時命題成立；
(2)假設(shè)當(dāng)
(k∈N
，且k≥n0)時命題成立，證明當(dāng)時命題也成立.
由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確　
注：常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明。
《選修2-2》第三章
數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入
1、復(fù)數(shù)的概念
形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中叫虛數(shù)單位，叫實(shí)部，
叫虛部，數(shù)集叫做復(fù)數(shù)集。
規(guī)定：且，強(qiáng)調(diào)：兩復(fù)數(shù)不能比較大小，只有相等或不相等。
2、數(shù)集的關(guān)系
3、復(fù)數(shù)的幾何意義
答：復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的點(diǎn)或有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)。
4、復(fù)平面
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一個復(fù)數(shù)，都可以由一個有序?qū)崝?shù)對唯一確定。由于有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一一對應(yīng)，因此復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對應(yīng)。這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。
5、復(fù)數(shù)的模
與復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模叫做復(fù)數(shù)的模(也叫絕對值)記作。由模的定義可知：
6、復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算及幾何意義
①復(fù)數(shù)的加、減法法則：，則。
注：復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算也可以按向量的加、減法來進(jìn)行。
②復(fù)數(shù)的乘法法則：。
③復(fù)數(shù)的除法法則：
其中叫做實(shí)數(shù)化因子
7、共軛復(fù)數(shù)
兩復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，當(dāng)時，它們叫做共軛虛數(shù)，常見的運(yùn)算規(guī)律。
設(shè)是1的立方虛根，則，
《選修2-3》第一章
計數(shù)原理
1、分類加法計數(shù)原理
做一件事情，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法…在第類辦法中有種不同的方法。那么完成這件事情共有種不同的方法。
2、分步乘法計數(shù)原理
做一件事情，完成它需要個步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同的方法……做第個步驟有種不同的方法。那么完成這件事情共有種不同的方法。
3、排列的定義
一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同的元素中任取個元素的一個排列。
4、組合的定義
一般地，從個不同的元素中任取個元素并成一組，叫做從個不同的元素中任取個元素的一個組合。
5、排列數(shù)（）
從個不同的元素中任取個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同的元素中任取個元素的排列數(shù).
6、組合數(shù)()
從個不同的元素中任取個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同的元素中任取個元素的組合數(shù).
7、排列數(shù)公式
（1）或；（2），規(guī)定。
8、組合數(shù)公式
（1）或；（2），規(guī)定。
9、排列與組合的區(qū)別
排列有順序，組合無順序。
10、排列與組合的聯(lián)系
，即排列就是先組合再全排列。
11、排列與組合的性質(zhì)
（1）排列的性質(zhì)公式：（了解）（2）組合的性質(zhì)公式：；
12、二項式定理
。
13、二項展開式的通項
。
14、的展開式
，若令，則有。
《選修2-3》第二章
隨機(jī)變量及其分布
1、隨機(jī)變量
在某試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，并且是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個隨機(jī)變量。
離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離散型隨機(jī)變量。
2、概率分布列
要掌握一個離散型隨機(jī)變量的取值規(guī)律，必須知道：
（1）所有可能取的值；
（2）取每一個值的概率；
我們可以把這些信息列成表格（如此）：
…
…
…
…
上表為離散型隨機(jī)變量的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量的分布列。
3、二點(diǎn)分布
0
1
其中，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布。
4、超幾何分布
一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個離散型隨機(jī)變量，它取值為時的概率為（，為和中較小的一個）。我們稱離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為的超幾何分布。
5、條件概率
對于任何兩個事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號來表示。
6、事件的交（積）
事件和同時發(fā)生所構(gòu)成的事件，稱為事件和的交（積）。
7、相互獨(dú)立事件
事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，即，這時我們稱兩個事件和相互獨(dú)立，并把這兩個事件叫做相互獨(dú)立事件。一般地，當(dāng)事件和相互獨(dú)時，和，和，和也相互獨(dú)立。
8、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。
9、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式
一般地，事件在次試驗(yàn)中發(fā)生次，共有種情形，由試驗(yàn)的獨(dú)立性知在次試驗(yàn)中發(fā)生，而在其余次試驗(yàn)中不發(fā)生的概率都是，所以由概率加法公式知，如果在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為。
10、二項分布
在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式中，若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，則在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為，其中。于是得到的分布列
0
1
…
…
…
…
由于表中的第二行恰好是二項式展開式
各對應(yīng)項的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項分布，記作。
11、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
一般地，設(shè)一個離散型隨機(jī)變量所有可能的取值是，這些值對應(yīng)的概率是，則叫做這個離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）。
12、二點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望
。
13、二項分布的數(shù)學(xué)期望
。
14、超幾何分布數(shù)學(xué)期望
（了解）。
15、離散型隨機(jī)變量的方差
一般地，設(shè)一個離散型隨機(jī)變量所有可能的取值是，這些值對應(yīng)的概率是，則叫做這個離散型隨機(jī)變量的方差。
離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散型隨機(jī)變量取值相對于期望的平均波動大小（離散程度）。
16、二點(diǎn)分布的方差
。
17、二項分布的方差
。
18、標(biāo)準(zhǔn)差
的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。
19、期望和方差的性質(zhì)
期望的性質(zhì)：；方差的性質(zhì)：
20、正態(tài)分布
正態(tài)變量概率密度曲線函數(shù)表達(dá)式：，其中是參數(shù)，且。如右上圖
：期望
，：方差，越小，曲線越“瘦高”，越大，曲線越“矮胖”，
21、正態(tài)分布中的三原則
在正態(tài)分布中代表標(biāo)準(zhǔn)差，代表均值（數(shù)學(xué)期望）即為圖象的對稱軸
《選修2-3》第三章
統(tǒng)計案例
1、回歸分析及步驟
回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法。
其步驟：收集數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖求回歸直線方程利用方程進(jìn)行預(yù)報.
2、
線性回歸模型與一次函數(shù)
一次函數(shù)模型是線性回歸模型的特殊形式，線性回歸模型是一次函數(shù)模型的一般形式.
3、
殘差（了解）
樣本值與回歸值的差叫殘差，即.
4、殘差分析（了解）
通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析.
5、建立回歸模型的基本步驟
（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量；
（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）；
（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程）；
（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；
（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。
6、回歸方程中的
，
7、如何根據(jù)觀測數(shù)據(jù)判斷兩變量的相關(guān)性？
①根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算由＝給出的檢驗(yàn)隨機(jī)變量的值k，其值越大，說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大.
②當(dāng)?shù)玫降挠^測數(shù)據(jù)，，，都不小于時，可以通過查閱下表來確定斷言“X與Y有關(guān)系”的可信程度.
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
說明：當(dāng)觀測數(shù)據(jù)，，，中有小于時，需采用很復(fù)雜的精確的檢驗(yàn)方法.
8、常用臨界值
得到的觀察值常與以下幾個臨界值加以比較：
如果，就有的把握因?yàn)閮煞诸愖兞亢褪怯嘘P(guān)系；
如果，就有的把握因?yàn)閮煞诸愖兞亢褪怯嘘P(guān)系；
如果，就有的把握因?yàn)閮煞诸愖兞亢褪怯嘘P(guān)系；
如果，就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)說明變量和是有關(guān)系．
《選修4-4》極坐標(biāo)與參數(shù)方程
1、伸縮變換
設(shè)點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)對應(yīng)到點(diǎn)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。
2、極坐標(biāo)系的概念
在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)引一條射線叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。
3、點(diǎn)的極坐標(biāo)
設(shè)是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)與點(diǎn)的距離叫做點(diǎn)的極徑，記為；以極軸為始邊，射線為終邊的叫做點(diǎn)的極角，記為.
有序數(shù)對叫做點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為.
極坐標(biāo)與表示同一個點(diǎn)。極點(diǎn)的坐標(biāo)為.
4、若,則,規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對稱，即與表示同一點(diǎn)。
如果規(guī)定，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示；同時，極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。
5、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化
注意:在直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時，得得確定還應(yīng)該考慮（x，y）所在的象限。
6、圓的極坐標(biāo)方程
在極坐標(biāo)系中，以極點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是；
在極坐標(biāo)系中，以為圓心，為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是；
在極坐標(biāo)系中，以為圓心，為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是；
7、在極坐標(biāo)系中，表示以極點(diǎn)為起點(diǎn)的一條射線；表示過極點(diǎn)的一條直線.
在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是.
8、參數(shù)方程的概念
在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個變數(shù)的函數(shù),
并且對于的每一個允許值，由這個方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。
9、圓的參數(shù)方程可表示為（為參數(shù)）.
橢圓的參數(shù)方程可表示為（為參數(shù)）.
拋物線的參數(shù)方程可表示為（為參數(shù)）.
經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程可表示為（為參數(shù)）.
10、在建立曲線的參數(shù)方程時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使的取值范圍保持一致.
《選修4-5》不等式
1、含絕對值不等式的解法
⑴定義法：
⑵平方法：
⑶同解變形法，其同解定理有：
①
②
③
④
規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.
2、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法
規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.
3、基本不等式及推廣
若，，則，即（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．
若，，，則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．
推廣：（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．
4、
幾個著名不等式
（1）平均不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）
從左往右依次是正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)，幾何平均數(shù)，算數(shù)平均數(shù)，平方平均數(shù)
（2）冪平均不等式
（3）絕對值三角不等式
（注意取等號的條件）
（4）二維形式的三角不等式
（5）二維形式的柯西不等式：
.
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
（6）三維形式的柯西不等式
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
（7）一般形式的柯西不等式
（8）向量形式的柯西不等式
設(shè)是兩個向量，則當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)，使時，等號成立.
（9）排序不等式（排序原理）：
設(shè)為兩組實(shí)數(shù).是的任一排列，
則（反序和亂序和順序和），當(dāng)且僅當(dāng)或時，反序和等于順序和.
（10）琴生不等式:（特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）
若定義在某區(qū)間上的函數(shù),對于定義域中任意兩點(diǎn)有
或則稱為凸（或凹）函數(shù).
收集數(shù)據(jù)
畫散點(diǎn)圖
選擇函數(shù)模型
求函數(shù)模型
用函數(shù)模型解釋實(shí)際問題
符合實(shí)際
不符合實(shí)際
檢驗(yàn)
圖形計算器格式
INPUT“提示內(nèi)容”；變量
INPUT
“提示內(nèi)容”，變量
PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式
圖形計算器格式
Disp
“提示內(nèi)容”，變量
變量＝表達(dá)式
圖形計算器格式
表達(dá)式變量
否
是
滿足條件？
語句1
語句2
IF
條件
THEN
語句1
ELSE
語句2
END
IF
滿足條件？
語句
是
否
圖4
IF
條件
THEN
語句
END
IF
（圖3）
滿足條件？
循環(huán)體
否
是
WHILE
條件
循環(huán)體
WEND
滿足條件？
循環(huán)體
是
否
DO
循環(huán)體
LOOP
UNTIL
條件
Pv
x
y
A
O
M
T
三角函數(shù)線：MP、OM、AT
函
數(shù)
性
質(zhì)
實(shí)驗(yàn)、觀察
概括、推廣
猜測一般性結(jié)論
觀察、比較
聯(lián)想、類推
推測新的結(jié)論
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精品試卷·第
2
頁
（共
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