資源簡介

第一章、因數和倍數
1、整除：被除數、除數和商都是自然數，并且沒有余數。
整數與自然數的關系：整數包括自然數。
2、因數、倍數：大數能被小數整除時，大數是小數的倍數，小數是大數的因數。
例：12是6的倍數，6是12的因數。
（1）數a能被b整除，那么a就是b的倍數，b就是a的因數。因數和倍數是相互依存的，不能單獨存在。
（2）一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身。
一個數的因數的求法：成對地按順序找。
（3）一個數的倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身。
一個數的倍數的求法：依次乘以自然數。
（4）2、3、5的倍數特征
1）
個位上是0，2，4，6，8的數都是2的倍數。
2）一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。
3）個位上是0或5的數，是5的倍數。
4）能同時被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍數）的最大的兩位數是90，最小的三位數是120。
同時滿足2、3、5的倍數，實際是求2×3×5=30的倍數。
5）如果一個數同時是2和5的倍數，那它的個位上的數字一定是0。
3、完全數：除了它本身以外所有的因數的和等于它本身的數叫做完全數。
如：6的因數有：1、2、3（6除外），剛好1+2+3=6，所以6是完全數，小的完全數有6、28等
4：自然數按能不能被2整除來分：奇數、偶數。
奇數：不能被2整除的數。叫奇數。也就是個位上是1、3、5、7、9的數。
偶數：能被2整除的數叫偶數（0也是偶數），也就是個位上是0、2、4、6、8的數。
最小的奇數是1，最小的偶數是0.
關系：
奇數+偶數=奇數
奇數+
奇數=偶數
偶數+偶數=偶數。
奇數-偶數=奇數
奇數-奇數=偶數
偶數-偶數=偶數
5、自然數按因數的個數來分：質數、合數、1、0四類.
質數（或素數）：只有1和它本身兩個因數。
合數：除了1和它本身還有別的因數（至少有三個因數：1、它本身、別的因數）。
1：
只有1個因數。“1”既不是質數，也不是合數。
0：
最小的質數是2，最小的合數是4，連續的兩個質數是2、3。
每個合數都可以由幾個質數相乘得到，質數相乘一定得合數。
20以內的質數：有8個（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以內的質數有25個：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以內找質數、合數的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍數，是的就是合數，不是的就是質數。
關系：
奇數×奇數=奇數
質數×質數=合數
6、最大、最小
A的最小因數是：1；
最小的奇數是：1；
A的最大因數是：A；
最小的偶數是：0；
A的最小倍數是：A；
最小的質數是：2；
最小的自然數是：0；
最小的合數是：4；
7、分解質因數：把一個合數分解成多個質數相乘的形式。
用短除法分解質因數
（一個合數寫成幾個質數相乘的形式）。
比如：30分解質因數是：（30=2×3×5）
8、互質數：公因數只有1的兩個數，叫做互質數。
兩個質數的互質數：5和7
兩個合數的互質數：8和9
一質一合的互質數：7和8
兩數互質的特殊情況：
⑴1和任何自然數互質；⑵相鄰兩個自然數互質；
⑶兩個質數一定互質；
⑷2和所有奇數互質；
⑸質數與比它小的合數互質；
9、公因數、最大公因數
幾個數公有的因數叫這些數的公因數。其中最大的那個就叫它們的最大公因數。
用短除法求兩個數或三個數的最大公因數
（除到互質為止，把所有的除數連乘起來）
幾個數的公因數只有1，就說這幾個數互質。
如果兩數是倍數關系時，那么較小的數就是它們的最大公因數，較大的那個數就是它的最小公倍數。
如果兩數互質時，那么1就是它們的最大公因數。
10、公倍數、最小公倍數
幾個數公有的倍數叫這些數的公倍數。其中最小的那個就叫它們的最小公倍數。
用短除法求兩個數的最小公倍數（除到互質為止，把所有的除數和商連乘起來）
用短除法求三個數的最小公倍數（除到兩兩互質為止，把所有的除數和商連乘起來）
如果兩數是倍數關系時，那么較大的數就是它們的最小公倍數。
如果兩數互質時，那么它們的積就是它們的最小公倍數。
11、求最大公因數和最小公倍數方法
用12和16來舉例
1、
求法一：（列舉求同法）
最大公因數的求法：
12的因數有：1、12、2、6、3、4
16的因數有：1、16、2、8、4
最大公因數是4
最小公倍數的求法：
12的倍數有：12、24、36、48、…
16的倍數有：16、32、48、…
最小公倍數是48
2、求法二：（分解質因數法）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因數是：2×2=4
（相同乘）
最小公倍數是：2×2
×
3×2×2=
48
（相同乘×
不同乘）
二
分數的意義和性質
1、分數的意義：一個物體、一物體等都可以看作一個整體，把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數來表示。
2、單位“1”：一個整體可以用自然數1來表示，通常把它叫做單位“1”。（也就是把什么平均分什么就是單位“1”。）
3、分數單位：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數叫做分數單位。如的分數單位是。
4、分數與除法
A÷B=（B≠0，除數不能為0，分母也不能夠為0）
例如：
4÷5=
5、真分數和假分數、帶分數
1、真分數：分子比分母小的分數叫真分數。真分數<1。
2、假分數：分子大于或等于分母的分數叫假分數。假分數≧1
3、帶分數：帶分數由整數和真分數組成的分數。帶分數＞1。
6、真分數＜1≤假分數
真分數＜1＜帶分數
7、假分數與整數、帶分數的互化
（1）假分數化為整數或帶分數，用分子÷分母，商作為整數，余數作為分子，
如：
=10÷5=2
=21÷5=4
（2）整數化為假分數，用整數乘以分母得分子
如：
2=
2×4=8
（8作分子）
（3）帶分數化為假分數，用整數乘以分母加分子，得數就是假分數的分子，分母不變，如：
5=
5×5+1=26
（4）1等于任何分子和分母相同的分數。如：
1=====…==…
8、分數的基本性質：
分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。
9、最簡分數：分數的分子和分母只有公因數1，像這樣的分數叫做最簡分數。
一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含其他的質因數，就能夠化成有限小數。反之則不可以。
10、約分：把一個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做約分。
如：=
11、通分：把異分母分數分別化成和原來相等的同分母分數，叫做通分。如：
和
可以化成和
12、分數和小數的互化
（1）小數化為分數：數小數位數。一位小數，分母是10；兩位小數，分母是100……
如：0.3=
0.03=
0.003=
（2）分數化為小數：
方法一：把分數化為分母是10、100、1000……
如：=0.3
==0.6
==0.25
方法二：用分子÷分母
如：=3÷4=0.75
（3）帶分數化為小數：
先把整數后的分數化為小數，再加上整數
如：2=2+0.3=2.3
13、比分數的大小：
分母相同，分子大，分數就大；
分子相同，分母小的，分數大。
分數比較大小的一般方法：同分子比較；通分后比較；化成小數比較。
14、分數化簡包括兩步：一是約分；二是把假分數化成整數或帶分數。
=0.5
=0.25
=0.75
=0.2
=0.4
=0.6
=0.8
=0.125
=0.375
=0.625
=0.875
=0.05
=0.04。
15、兩個數互質的特殊判斷方法：
①
1和任何大于1的自然數互質。
②
2和任何奇數都是互質數。
③
相鄰的兩個自然數是互質數。
④
相鄰的兩個奇數互質。
⑤
不相同的兩個質數互質。
⑥當一個數是合數，另一個數是質數時（除了合數是質數的倍數情況下），一般情況下這兩個數也都是互質數。
16、求最大公因數的方法：
①
倍數關系：
最大公因數就是較小數。
②
互質關系：
最大公因數就是1
③
一般關系：
從大到小看較小數的因數是否是較大數的因數。
17、分數知識小結：
（1）分數的意義：把單位“1”平均分為幾份表示其中的一份或幾份。（如：把一根繩子平均分為5份，其中的一份就是五分之一，兩份就是五分之二。）
（2）分數與除法
：分子（被除數），分母（除數），分數值（商）。
（4）帶分數：由整數和真分數組成，帶分數一定是假分數。
（5）假分數化帶分數、整數（分子除以分母，商作整數部分，余數作分子）
（6）分數的基本性質：分數的分子、分母同時擴大或縮小相同的倍數，分數的大小不變。
（7）最簡分數
分子分母互質的分數（最簡真分數、最簡假分數）
（8）通分：根據分數的基本性質，把幾個異分母分數化成與原來分數相等的同分母的分數的過程，叫做通分。
　　通分的方法：
　　1、先求出原來幾個分數的分母的最簡公分母；
　　2.
根據分數的基本性質，把原來分數化成以最簡公分母為分母的分數。
【約分】是對一個分數而言的，求出分子分母的最大公約數，然后分子分母【同除】這個最大公約數，約簡得到相等的新分數，這個新分數，這個最簡分數分子分母必須是互質。
三
長方體和正方體　　　　　　　　　
1、由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形叫做長方體。兩個面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點叫做頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。
長方體特點：
（1）有6個面，8個頂點，12條棱，相對的面的面積相等，相對的棱的長度相等。
（2）一個長方體最多有6個面是長方形，最少有4個面是長方形，最多有2個面是正方形。
2、由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體（也叫做立方體）。
正方體特點：
（1）正方體有12條棱，它們的長度都相等。
（2）正方體有6個面，每個面都是正方形，每個面的面積都相等。
（3）正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。
相同點
不同點
面
棱
長方體
都有6個面，12條棱，8個頂點。
6個面都是長方形。（有可能有兩個相對的面是正方形）。
相對的棱的長度都相等
正方體
6個面都是正方形。
12條棱都相等。
2、
長方體、正方體有關棱長計算公式：
(a：長
b：寬
c:高
L：棱長總和
S：表面積
V：體積)
長方體的棱長總和=（長+寬+高）×4＝長×4+寬×4+高×4
L=（a＋b＋h）×4
長=棱長總和÷4－寬
－高
a=L÷4－b－h
寬=棱長總和÷4－長
－高
b=L÷4－a－h
高=棱長總和÷4－長
－寬
h=L÷4－a－b
正方體的棱長總和=棱長×12
L=a×12
正方體的棱長=棱長總和÷12
a=L÷12
4、長方體或正方體6個面和總面積叫做它的表面積。
長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）
無底（或無蓋）長方體表面積=
長×寬＋（長×高＋寬×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab
S=2（ah＋bh）＋ab
無底又無蓋長方體表面積=（長×高＋寬×高）×2
S=2（ah＋bh）
貼墻紙
正方體的表面積=棱長×棱長×6
S=a×a×6
用字母表示：
S=
6a2
生活實際：
油箱、罐頭盒等都是6個面
游泳池、魚缸等都只有5個面
水管、煙囪等都只有4個面。
注意1：用刀分開物體時，每分一次增加兩個面。（表面積相應增加）
注意2：長方體或正方體的長、寬、高同時擴大幾倍，表面積會擴大倍數的平方倍。
（如長、寬、高各擴大2倍，表面積就會擴大到原來的4倍）。
5、物體所占空間的大小叫做物體的體積。
長方體的體積=長×寬×高
V=abh
長=體積÷寬÷高
a=V÷b÷h
寬=體積÷長÷高
b=V÷a÷h
高=體積÷長÷寬
h=
V÷a÷b
正方體的體積=棱長×棱長×棱長
V=a×a×a
=
a3讀作“a的立方”表示3個a相乘，（即a·a·a）
長方體或正方體底面的面積叫做底面積。
長方體（或正方體）的體積=底面積×高
用字母表示：V=S
h
（橫截面積相當于底面積，長相當于高）。
注意：一個長方體和一個正方體的棱長總和相等，但體積不一定相等。
6、箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做他們的容積。
固體一般就用體積單位，計量液體的體積，如水、油等。
常用的容積單位有升和毫升也可以寫成L和ml。
1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
1升=1000毫升
（1
L
=
1
dm3
1
ml
=
1
cm3）
長方體或正方體容器容積的計算方法，跟體積的計算方法相同。
但要從容器里面量長、寬、高。（所以，對于同一個物體，體積大于容積。）
注意：長方體或正方體的長、寬、高同時擴大幾倍，體積就會擴大倍數的立方倍。
（如長、寬、高各擴大2倍，體積就會擴大到原來的8倍）。
形狀不規則的物體可以用排水法求體積，形狀規則的物體可以用公式直接求體積。
排水法的公式：V物體
=V現在－V原來
也可以
V物體
=S×(h現在-
h原來)
V物體
=
S×h升高
8、【體積單位換算】（立方相鄰單位進率1000）　　　
大單位
小單位
小單位
大單位
進率：　1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
　　　　
1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
　
1立方厘米＝1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公頃=1000000平方米
注意：長方體與正方體關系
把長方體或正方體截成若干個小長方體（或正方體）后，表面積增加了，體積不變。
重量單位進率，時間單位進率，長度單位進率
【單位換算】　　　
大單位
小單位
小單位
大單位
長度單位：1千米
=1000
米
1
分米=10
厘米
1厘米=10毫米
1分米=100毫米
1米=10分米=100厘米=1000毫米
（相鄰單位進率10）
面積單位：1平方千米=100公頃
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1公頃=10000平方米
（平方相鄰單位進率100）
質量單位：1噸=1000千克
1千克=1000克　
人
民
幣：1元=10角
1角=10分
1元=100分
第四章
分數的加法和減法
（1）
同分母分數加、減法
（分母不變，分子相加減）
1、分數數的加法和減法
（2）
異分母分數加、減法
（通分后再加減）
（3）
分數加減混合運算：同整數。
（4）
結果要是最簡分數
2、帶分數加減法:
帶分數相加減，整數部分和分數部分分別相加減，再把所得的結果合并起來。
（一）同分母分數加、減法
1、同分母分數加、減法：
同分母分數相加、減，分母不變，只把分子相加減。
2、計算的結果，能約分的要約成最簡分數。
（二）異分母分數加、減法
1、分母不同，也就是分數單位不同，不能直接相加、減。
2、異分母分數的加減法：
異分母分數相加、減，要先通分，再按照同分母分數加減法的方法進行計算。
（三）分數加減混合運算
1、分數加減混合運算的運算順序與整數加減混合運算的順序相同。
在一個算式中，如果有括號，應先算括號里面的，再算括號外面的；如果只含有同一級運算，應從左到右依次計算。
2、整數加法的交換律、結合律對分數加法同樣適用。
3、
第五章
簡易方程
1、在含有字母的式子里，數字和字母。字母和字母之間的乘號可以記作“·”，也可以省略不寫，數通常寫在字母的前面。加號、減號除號以及數與數之間的乘號不能省略。
2、a×a可以寫作a·a或a?
，a?讀作a的平方。??2a表示a+a
3、等式：表示相等關系的式子叫等式。
4、等式的性質：等式左右兩邊同時加、減、乘、除相同的數（0除外），等式依然成立。
5、方程：含有未知數的等式叫做方程。使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。求方程的解的過程叫做解方程。解方程的格式要求：①必須寫“解”并打上“：”。②所有“=”對齊。③自覺進行驗算。
6、10個數量關系式：加法：和=加數+加數??一個加數=和-另一個加數
減法：差=被減數-減數????
被減數=差+減數?????
減數=被減數-差
乘法：積=因數×因數?????一個因數=積÷另一個因數
除法：商=被除數÷除數???
被除數=商×除數????
除數=被除數÷商
7、所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。
8、方程的解是一個數，解方程是一個計算過程。
9、列方程解決問題的步驟：
?①弄清題意，假設未知數。②分析找出數量之間的等量關系，列方程。③解方程，未知數等號后面結果不帶單位。④驗算，寫出答語。
六、折線統計圖
5、統計圖：我們學過——條形統計圖、復式折線統計圖。
條形統計圖優點：條形統計圖能形象地反映出數量的多少。
折線統計圖優點：折線統計圖不僅能表示出數量的多少，還能反映出數量的變化情況。
注：①
畫圖時注意：一“點”（描點）、
二“連”（連線）
三“標”（標數據）。
②要用不同的線段分別連接兩組數據中的數。（復式5折線統計圖）
×進率
÷進率
×進率
÷進率
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