資源簡介

教
案
教學基本信息
課題
總體百分位數的估計
學科
數學
學段：高中
年級
高一
教材
書名：普通高中教科書
數學必修第二冊A版
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2019年
8
月
教學目標及教學重點、難點
本節課的主要內容是百分位數的理解與應用.學生通過對“某市政府為實施居民生活用水階梯式水價而確定合理的標準”這一案例的繼續探究，明確百分位數的概念，理解百分位數的統計含義，提高數據分析的能力.共設計3道例題，學生體會各種數據形式條件下樣本數據的百分位數的計算，從而估計總體百分位數，為后續進一步的決策提供數據支撐.
教學過程(表格描述)
教學環節
主要教學活動
設置意圖
引入
前面的學習中，我們對抽取的100戶居民用戶月均用水量的樣本數據進行了整理，用頻率分布表、頻率分布直方圖描述了某市居民用戶月均用水量的樣本數據.
由樣本估計總體，從整體分布規律的角度，推測該市“大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區域”，初步體會了統計中用樣本估計總體的思想.
今天我們繼續對這組樣本數據進行分析，進一步地為政府決策服務.
在前兩節課的基礎上，進一步激發學生的數據分析的意識與能力
新課
問題：如果該市政府希望使80%的居民用戶生活用水費支出不受影響，根據是上節中100戶居民用戶的月均用水量數據，你能給市政府提出確定居民用戶月均用水量標準的建議嗎？
思考：如何理解這個問題？
分析：根據市政府的要求確定居民用戶月均用水量標準，就是要尋找一個數，使全市居民用戶月均用水量中不超過的占80%，超過的占20%.
追問1：尋找的這個數
a
，反映這組數據的什么特征？
位置參數
追問2：如何尋找全市居民用戶月均用水量某個位置的數a呢？
通過樣本數據對
a
的值進行估計.
追問3：怎么去找這個位置參數a呢？
在我們以往的學習過程中遇到過類似的問題嗎？
中位數！
追問4：100
戶居民用戶的月均用水量數據的中位數怎么找？
把100個樣本數據按從小到大排序，得到第50個和第51個數據分別為6.4和6.8.
計算這兩個數的平均數
即為這組數據的中位數.
方法小結：
求100個數據的中位數的步驟：
第一步：將原始數據按從小到大排序
第二步：計算100×1/2=50
第三步：計算第50和第51個數據的平均數，即為這100個數據的中位數
從50%到80%，我們采用類比的方法來尋找我們需要的數a，
第一步：將原始數據按從小到大排序
第二步：計算100×80%=80，
得到第80個81個數據分別為13.6和13.8
可以發現，區間（13.6,13.8）內的任意一個數，都能把樣本數據分成符合要求的兩部分.為簡單便于計算，一般地，我們取這兩個數的平均數，并稱此數為這組數據的第80百分位數，或80%分位數.
方法小結：
求100個數據的第80百分位數的步驟：
第一步：將原始數據按從小到大排序
第二步：計算100×80%=80
第三步：計算第
80
個和第
81個數據的平均數，即為第80
百分位數
根據樣本數據的第80百分位數，我們可以估計總體數據的第80百分位數為13.7左右.
由于樣本數據的取值規律與總體的取值規律之間會存在偏差，而在決策問題中，只要臨界值近似為第80百分位數即可，因此為了實際中操作的方便，可以建議市政府把月均用水量標準定為14t，或者把年用水量標準定為168t.
思考：若這組數據共99個，則這組數據的中位數怎么求？第80百分數呢？
我們先回顧99個數據的中位數的求法：
第一步：將原始數據按從小到大排序
第二步：計算99×1/2=49.5
第三步：取大于49.5的最小整數50，則第50個數據即為這99個數據的中位數
應用類比的方法
我們可以求99個數據的第80百分位數，
第一步：將原始數據從小到大排序
第二步：計算99×80%=79.2
第三步：取大于79.2的最小整數80，則第80個數據即為這99個數據的第80百分位數
這樣，我們得到兩種不同情況下的第80百分位數的計算方法.
更一般地，一組n個數據的第p百分位數的計算如下：
首先明確百分位數的定義：
一、百分位數定義：
一般地，一組數據的第百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有的數據小于或等于這個值，且至少有的數據大于或等于這個值.
二、求原始數據的百分位數方法小結：
我們可以通過下面的步驟計算一組個數據的第百分位數：
第1步，按從小到大排列原始數據.
第2步，計算.
第3步，若不是整數，而大于的比鄰整數為，則第百分位數為第項數據；
若是整數，則第百分位數為第項與第項數據的平均數.
.
定義
我們在初中學過的中位數，相當于是第50百分位數.
在實際應用中，除了中位數外，常用的分位數還有第25百分位數，第75百分位數.這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數.其中第25百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數，第75百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數.
另外，像第1百分位數，第5百分位數，第95百分位數和第99百分位數在統計中也經常被使用.
繼續對居民用戶月均用水量的樣本數據進行分析處理，引導學生經歷一個案例的完整數據分析
分析理解問題的實質
借助已有的學習經驗，采用類比的方法理解計算百分位數
進一步體會用樣本的數據特征估計總體是數據特征.
體會統計思維與確定性思維的差異，歸納推斷與演繹證明的差異
再次借助中位數的計算，采用類比的方法理解計算百分位數
明確百分位數的概念
從特殊到一般，總結計算一組數據的第P百分位數的方法
將舊知與新知進行聯系，更好地建構知識系統.
例題
例1
根據9.1.2節問題3中女生的樣本數據，估計樹人中學高一年級女生的第25,50,75百分位數.
解：把27名女生的樣本數據按從小到大排序,可得
148.0
149.0
154.0
154.0
155.0
155.0
155.5
157.0
157.0
158.0
158.0
159.0
161.0
161.0
162.0
162.5
162.5
163.0
163.0
164.0
164.0
164.0
165.0
170.0
171.0
172.0
172.0
由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%x27=20.25，可知樣本數據的第25，50，75百分位數為第7，14，21項數據，分別為155.5，161，164.
據此可以估計樹人中學高一年級女生的第25，50，75百分位數分別約為155.5，161和164.
分組數據的百分位數求解
下面我們再來探究分組數據的百分位數如何求解
在某些情況下，我們只能獲得整理好的統計表或統計圖，與原始數據相比，它們損失了一些信息.
例如由表9.2-1，我們知道在[16.2,19.2)內有5個數據，但不知道這5個數據具體是多少.此時，我們通常把它們看成均勻地分布在此區間上.
例2
（1）
根據表
9.2-1
，估計月均用水量樣本數據的第
86
百分位數，第
39
百分位數.
解:由表9.2-1可知，
月均用水量在16.2t
以下的居民用戶所占比例為23%+32%+13%+9%+9%=86%，
據此，估計月均用水量樣本數據的第
86
百分位數約為
16.2.
月均用水量在4.2t以下的居民用戶所占比例為23%，
月均用水量在7.2t以下的居民用戶所占比例為23%+32%=55%，
第
39
百分位數一定位于[4.2,7.2)區間內.
3×1/2=1.5
4.2+1.5=5.7
據此，估計月均用水量樣本數據的第
39
百分位數約為5.7
例2（2）繼續根據表
9.2-1
，估計月均用水量樣本數據的第
80
百分位數，第
95
百分位數.
解析：根據頻率分布表，月均用水量在13.2t以下的居民用戶所占比例為
23%+32%+13%-9%=77%
在16.2t以下的居民用戶所占的比例為77%+9%=86%
因此，80%分位數一定位于[13.2,16.2)內.
由
可以估計月均用水量的樣本數據的80%分位數約為14.2
類似地,由
可以估計月均用水量的樣本數據的95%分位數約為22.95
方法小結：
根據頻率分布表求百分位數的方法與步驟：
第1步，計算各小組的累計頻率
第2步，確定第p百分位數所在小組區間
第3步，按比例計算出不足頻率部分對應的區間長度
第4步，計算得出第p百分位數
練習1：
根據圖
9.2-1
，估計月均用水量的樣本數據的
80%
分位數.
解析：根據圖9.2-1得：0.077×3=0.231，0.107×3=0.321，
0.231+0.321=0.552,
0.043×3=0.129，
0.030×3=0.09，0.030×3=0.09，……
月均用水量在13.2t以下的居民用戶所占比例為
月均用水量在
16.2t
以下的居民用戶所占比例為
0.771+0.09=0.861
因此，第
80
百分位數一定位于[13.2,16.2)區間內.
由
可以估計月均用水量的樣本數據的
80%
分位數約為14.2.
對比分析：
原始數據頻率分布表頻率分布直方圖13.714.214.2
依據原始數據計算的第
80
百分位數為13.7，依據頻率分布表或頻率分布直方圖計算的第
80
百分位數為14.2，稍有差異，但相差不大.
練習2：
根據圖
9.2-1
，估計月均用水量的樣本數據的
60%
分位數.
解析：根據圖9.2-1得：0.077×3=0.231，0.107×3=0.321，
0.043×3=0.129，……
月均用水量在7.2t以下的居民用戶所占比例為
0.231+0.321=0.552,
月均用水量在
16.2t
以下的居民用戶所占比例為
0.552+0.129=0.681
因此，第
60
百分位數一定位于[7.2,10.2)區間內.
由
可以估計月均用水量的樣本數據的60%
分位數約為8.32.
練習3：
為了分析某校高一年級數學期末測試成績情況，抽取了50名同學的測試成績如下：
374554566476828993959699103104104105105108108110110115115116119120120122122122123124125125126127129129129130130131132132132134137138141145
估計該校高一數學期末測試成績的第
5,
50,
95
百分位數.
解：把這
50
個樣本數據按從小到大排序，
50×5%=2.5
所以樣本數據的第
5
百分位數為第
3
項數據
54.
據此估計該校高一數學期末測試成績的第
5
百分位數約為
54.
同樣地，計算第50百分位數，50×50%=25，樣本數據的第25個數據是119，第26個數是120，所以樣本數據的第
50
百分位數為第
25、26
項數據的平均數
119.5.
據此估計該校高一數學期末測試成績的第
50
百分位數約為
119.5.
計算第95百分位數，50×95%=47.5，所以樣本數據的第
95
百分位數為第
48
項數據
138.
據此估計該校高一數學期末測試成績的第
95
百分位數約為
138.
通過對例1的分析求解，熟練掌握求一組數據的第P百分位數的方法與步驟
通過對例2的分析求解，體會根據統計圖表估計一組數據的第P百分位數的方法與步驟
小結根據頻率分布表求分組數據的百分位數的方法
分析頻率分布表與頻率分布直方圖的聯系與差異
將原始數據根據和根據分組數據（統計圖表）求得的百分位數進行比較，體會“用數據說話”
總結
本節課我們對階梯水價案例中的樣本數據進行數據分析，
重點學習了百分位數；
采取了類比的方法，從一般到特殊地
總結了依據原始數據、
分組數據求百分位數的方法與步驟；
并由樣本數據的百分位數對總體百分位數進行估計推斷，體會統計思想的應用.
回顧整理本節研究的內容（基本知識和基本技能）、研究方法（基本思想方法）、和研究途徑（基本活動經驗），讓學生明確本節課學習的內容和要求（四基）
作業
基礎作業：
（1）在居民用戶月均用水量標準制定的問題中，根據教科書中的調查數據，如果要讓60%的居民不超出標準，居民用戶月均用水量標準定為多少合適?
（2）根據樹人中學高一年級男生身高的樣本數據，請你估計樹人中學高一年級男生的第25，50，75百分位數.如果要減少估計的誤差，你覺得應該怎么做？
173.0
174.0
166.0
172.0
170.0
165.0
165.0
168.0
164.0
173.0
172.0
173.0
175.0
168.0
170.0
172.0
176.0
175.0
168.0
173.0
167.0
170.0
175.0
（3）根據圖9.2-1中的數據，估計這組數據的月均用水量的第80和95百分位數.
你所在的地區是采用階梯水價嗎？標準是多少？
鞏固強化本節課學習的百分位數的求解步驟.(共109張PPT)
高一年級
數學
總體百分位數的估計
總體數據
尋找樣本數據包含的信息
樣本數據
估計總體
頻率分布直方圖
頻率分布表
“大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區域”.
總體數據
尋找樣本數據包含的信息
樣本數據
估計總體
頻率分布直方圖
頻率分布表
統計思想
問題：如果該市政府希望使
80%
的居民用戶生活用水費支出不受影響，根據上節中
100
戶居民用戶的月均用水量數據，你能給市政府提出確定居民用戶月均用水量標準的建議嗎？
分析：根據市政府的要求確定居民用戶月均用水量標準，就是要尋找一個數
a
，使全市居民用戶月均用水量中不超過
a
的占
80%，超過
a
的占
20%
.
思考：如何理解這個問題？
追問1：尋找的這個數
a
，反映這組數據的什么特征？
數
a
代表這組數據的某個位置參數.
a
80%
20%
通過樣本數據對
a
的值進行估計.
原始數據
分組數據
追問2：如何尋找全市居民用戶月均用水量某個位置的數
a
呢？
追問3：怎么去找這個位置參數
a
呢？
在我們以往的學習過程中遇到過類似的問題嗎？
中位數
a
80%
20%
追問4：100
戶居民用戶月均用水量數據的中位數怎么找？
9.0
13.6
14.9
5.9
4.0
7.1
6.4
5.4
19.4
2.0
2.2
8.6
13.8
5.4
10.2
4.9
6.8
14.0
2.0
10.5
2.1
5.7
5.1
16.8
6.0
11.1
1.3
11.2
7.7
4.9
2.3
10.0
16.7
12.0
12.4
7.8
5.2
13.6
2.6
22.4
3.6
7.1
8.8
25.6
3.2
18.3
5.1
2.0
3.0
12.0
22.2
10.8
5.5
2.0
24.3
9.9
3.6
5.6
4.4
7.9
5.1
24.5
6.4
7.5
4.7
20.5
5.5
15.7
2.6
5.7
5.5
6.0
16.0
2.4
9.5
3.7
17.0
3.8
4.1
2.3
5.3
7.8
8.1
4.3
13.3
6.4
1.3
7.0
4.9
1.8
7.1
28.0
10.2
13.8
17.9
10.1
5.5
4.6
3.2
21.6
1.3
1.3
1.8
2.0
2.0
2.0
2.0
2.1
2.2
2.3
2.3
2.4
2.6
2.6
3.0
3.2
3.2
3.6
3.6
3.7
3.8
4.0
4.1
4.3
4.4
4.6
4.7
4.9
4.9
4.9
5.1
5.1
5.1
5.2
5.3
5.4
5.4
5.5
5.5
5.5
5.5
5.6
5.7
5.7
5.9
6.0
6.0
6.4
6.4
6.4
6.8
7.0
7.1
7.1
7.1
7.5
7.7
7.8
7.8
7.9
8.1
8.6
8.8
9.0
9.5
9.9
10
10.1
10.2
10.2
10.5
10.8
11.1
11.2
12.0
12.0
12.4
13.3
13.6
13.6
13.8
13.8
14.0
14.9
15.7
16.0
16.7
16.8
17.0
17.9
18.3
19.4
20.5
21.6
22.2
22.4
24.3
24.5
25.6
28.0
把
100
個樣本數據按從小到大排序
得到第50
個和第
51
個數據分別為
6.4
和
6.8.
1.3
1.3
1.8
2.0
2.0
2.0
2.0
2.1
2.2
2.3
2.3
2.4
2.6
2.6
3.0
3.2
3.2
3.6
3.6
3.7
3.8
4.0
4.1
4.3
4.4
4.6
4.7
4.9
4.9
4.9
5.1
5.1
5.1
5.2
5.3
5.4
5.4
5.5
5.5
5.5
5.5
5.6
5.7
5.7
5.9
6.0
6.0
6.4
6.4
6.4
6.8
7.0
7.1
7.1
7.1
7.5
7.7
7.8
7.8
7.9
8.1
8.6
8.8
9.0
9.5
9.9
10
10.1
10.2
10.2
10.5
10.8
11.1
11.2
12.0
12.0
12.4
13.3
13.6
13.6
13.8
13.8
14.0
14.9
15.7
16.0
16.7
16.8
17.0
17.9
18.3
19.4
20.5
21.6
22.2
22.4
24.3
24.5
25.6
28.0
為這組數據的中位數.
這兩個數的平均數
100個數據的中位數的求法
：
將原始數據按從小到大排序
100個數據的中位數的求法
：
將原始數據按從小到大排序
計算
100個數據的中位數的求法
：
將原始數據按從小到大排序
計算
計算第
50
個和第
51
個數據的平均數，即為中位數
100個數據的中位數的求法
：
將原始數據按從小到大排序
計算
計算第
50
個和第
51
個數據的平均數，即為中位數
100個數據的中位數的求法
：
類比
將原始數據按從小到大排序
計算
計算第
50
個和第
51
個數據的平均數，即為中位數
100個數據的中位數的求法
：
類比
將原始數據按從小到大排序
計算
計算第
50
個和第
51
個數據的平均數，即為中位數
100個數據的中位數的求法
：
類比
計算
樣本數據中第80
個和第
81
個數據分別為
13.6
和
13.8.
1.3
1.3
1.8
2.0
2.0
2.0
2.0
2.1
2.2
2.3
2.3
2.4
2.6
2.6
3.0
3.2
3.2
3.6
3.6
3.7
3.8
4.0
4.1
4.3
4.4
4.6
4.7
4.9
4.9
4.9
5.1
5.1
5.1
5.2
5.3
5.4
5.4
5.5
5.5
5.5
5.5
5.6
5.7
5.7
5.9
6.0
6.0
6.4
6.4
6.4
6.8
7.0
7.1
7.1
7.1
7.5
7.7
7.8
7.8
7.9
8.1
8.6
8.8
9.0
9.5
9.9
10
10.1
10.2
10.2
10.5
10.8
11.1
11.2
12.0
12.0
12.4
13.3
13.6
13.6
13.8
13.8
14.0
14.9
15.7
16.0
16.7
16.8
17.0
17.9
18.3
19.4
20.5
21.6
22.2
22.4
24.3
24.5
25.6
28.0
區間（13.6,13.8）內的任意一個數，都能把樣本數據分成符合要求的兩部分.
a
80%
20%
13.6
13.8
80
個數
20
個數
一般地，我們取這兩個數的平均數
并稱此數為這組數據的第
80
百分位數，或
80%
分位數
.
將原始數據按從小到大排序
計算
計算第
50
個和第
51
個數據的平均數，即為中位數
100個數據的中位數的求法
計算
計算第
80
個和第
81
個數據的平均數，即為第80
百分位數
100個數據的第
80
百分位數的求法
類比
樣本數據的第80
百分位數
總體數據的第80
百分位數
13.7
總體數據
尋找樣本數據
包含的信息
樣本數據
估計總體
14
統計思維與確定性思維的差異、
歸納推斷與演繹證明的差異.
思考：若這組數據共
99
個，則這組數據的中位數怎么求？第
80
百分位數呢？
將原始數據按從小到大排序
99個數據的中位數的求法
將原始數據按從小到大排序
計算
99個數據的中位數的求法
將原始數據按從小到大排序
計算
第
50
個數據即為中位數
99個數據的中位數的求法
將原始數據按從小到大排序
計算
第
50
個數據即為中位數
99個數據的中位數的求法
類比
99個數據的第
80
百分位數的求法
將原始數據按從小到大排序
計算
第
50
個數據即為中位數
99個數據的中位數的求法
類比
99個數據的第
80
百分位數的求法
將原始數據按從小到大排序
計算
第
50
個數據即為中位數
99個數據的中位數的求法
類比
計算
99個數據的第
80
百分位數的求法
將原始數據按從小到大排序
計算
第
50
個數據即為中位數
99個數據的中位數的求法
類比
計算
第
80
個數據即為第
80
百分位數
99個數據的第
80
百分位數的求法
將原始數據按從小到大排序
計算
第
80
個數據即為第
80
百分位數
計算
計算第
80
個和第
81
個數據的平均數，即為第
80
百分位數
99個數據
100個數據
小結：第
80
百分位數的求法
一般地，一組數據的第
p
百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有
p
%的數據小于或等于這個值，且至少有（100
-
p）%的數據大于或等于這個值.
一、百分位數
計算一組
n
個數據的第
p
百分位數的方法：
二、原始數據的百分位數
將原始數據按從小到大排序
計算
i
=
n×p%
大于
i
的比鄰整數為
j
，則第
p
百分位數為
第
j
項數據；
i
不是整數
i
是整數
第
p
百分位數為第
i
項與第
(i+1)
項數據的平均數.
第
50
百分位數
中位數
第
25
百分位數
第
75
百分位數
四分位數
第一四分位數
下四分位數
第三四分位數
上四分位數
另外，像第
1
百分位數，第
5
百分位數，第
95
百分位數和第
99
百分位數在統計中也經常被使用.
例1
根據樹人中學高一年級女生身高的樣本數據，估計樹人中學高一年級女生的第
25
,
50
,
75
百分位數.
163.0
164.0
161.0
157.0
162.0
165.0
158.0
155.0
164.0
162.5
154.0
154.0
164.0
149.0
159.0
161.0
170.0
171.0
155.0
148.0
172.0
162.5
158.0
155.5
157.0
163.0
172.0
解：把
27
名女生的樣本數據按從小到大排序,可得
148.0
149.0
154.0
154.0
155.0
155.0
155.5
157.0
157.0
158.0
158.0
159.0
161.0
161.0
162.0
162.5
162.5
163.0
163.0
164.0
164.0
164.0
165.0
170.0
171.0
172.0
172.0
例1
根據樹人中學高一年級女生身高的樣本數據，估計樹人中學高一年級女生的第
25
,
50
,
75
百分位數.
148.0
149.0
154.0
154.0
155.0
155.0
155.5
157.0
157.0
158.0
158.0
159.0
161.0
161.0
162.0
162.5
162.5
163.0
163.0
164.0
164.0
164.0
165.0
170.0
171.0
172.0
172.0
27×25%=6.75
148.0
149.0
154.0
154.0
155.0
155.0
155.5
157.0
157.0
158.0
158.0
159.0
161.0
161.0
162.0
162.5
162.5
163.0
163.0
164.0
164.0
164.0
165.0
170.0
171.0
172.0
172.0
27×25%=6.75
樣本數據的第
25
百分位數為第
7
項數據
155.5.
據此可以估計樹人中學高一年級女生的第
25
百分位數約為
155.5.
148.0
149.0
154.0
154.0
155.0
155.0
155.5
157.0
157.0
158.0
158.0
159.0
161.0
161.0
162.0
162.5
162.5
163.0
163.0
164.0
164.0
164.0
165.0
170.0
171.0
172.0
172.0
27×50%=13.5
148.0
149.0
154.0
154.0
155.0
155.0
155.5
157.0
157.0
158.0
158.0
159.0
161.0
161.0
162.0
162.5
162.5
163.0
163.0
164.0
164.0
164.0
165.0
170.0
171.0
172.0
172.0
27×50%=13.5
樣本數據的第
50
百分位數為第
14
項數據
161.0.
據此可以估計樹人中學高一年級女生的第
50
百分位數約為
161.0.
148.0
149.0
154.0
154.0
155.0
155.0
155.5
157.0
157.0
158.0
158.0
159.0
161.0
161.0
162.0
162.5
162.5
163.0
163.0
164.0
164.0
164.0
165.0
170.0
171.0
172.0
172.0
27×75%=20.25
148.0
149.0
154.0
154.0
155.0
155.0
155.5
157.0
157.0
158.0
158.0
159.0
161.0
161.0
162.0
162.5
162.5
163.0
163.0
164.0
164.0
164.0
165.0
170.0
171.0
172.0
172.0
27×75%=20.25
樣本數據的第
75
百分位數為第
21
項數據
164.0.
據此可以估計樹人中學高一年級女生的第
75
百分位數約為
164.0.
由于樣本量比較小，所以這里對總體的估計可能會存在比較大的誤差.
三、分組數據的百分位數
在某些情況下，我們只能獲得整理好的統計表或統計圖，與原始數據相比，它們損失了一些信息.
例如由頻率分布表
1
我們知道在[16.2,
19.2)內有
5
個數據，但不知道這
5個數據具體是多少.
表
1
分組
頻數累計
頻數
頻率
[1.2，4.2）
正正正正
23
0.23
[4.2，7.2）
正正正正正正
32
0.32
[7.2，10.2）
?正正
13
0.13
[10.2，13.2）
正?
9
0.09
[13.2，16.2）
正?
9
0.09
[16.2，19.2）
正?
5
0.05
[19.2，22.2）
3
0.03
[22.2，25.2）
4
0.04
[25.2，28.2]
2
0.02
合計
?
100
1
圖
1
又如由頻率分布直方圖
1
，我們知道在[13.2,
16.2)內頻率0.03×3=0.09，但不知道這個范圍內的具體數據是多少.
我們通常認為這些數據均勻地分布在區間上.
例2（1）
根據頻率分布表
1
，估計月均用水量樣本數據的第
86
百分位數，第
39
百分位數.
表
1
分組
頻數累計
頻數
頻率
[1.2，4.2）
正正正正
23
0.23
[4.2，7.2）
正正正正正正
32
0.32
[7.2，10.2）
?正正
13
0.13
[10.2，13.2）
正?
9
0.09
[13.2，16.2）
正?
9
0.09
[16.2，19.2）
正?
5
0.05
[19.2，22.2）
3
0.03
[22.2，25.2）
4
0.04
[25.2，28.2]
2
0.02
合計
?
100
1
分組
頻數
頻率
累計頻率
[1.2，4.2）
23
0.23
0.23
[4.2，7.2）
32
0.32
0.55
[7.2，10.2）
13
0.13
0.68
[10.2，13.2）
9
0.09
0.77
[13.2，16.2）
9
0.09
0.86
[16.2，19.2）
5
0.05
0.91
[19.2，22.2）
3
0.03
0.94
[22.2，25.2）
4
0.04
0.98
[25.2，28.2]
2
0.02
1
合計
100
1
分析：
表
1
分組
頻數
頻率
累計頻率
[1.2，4.2）
23
0.23
0.23
[4.2，7.2）
32
0.32
0.55
[7.2，10.2）
13
0.13
0.68
[10.2，13.2）
9
0.09
0.77
[13.2，16.2）
9
0.09
0.86
[16.2，19.2）
5
0.05
0.91
[19.2，22.2）
3
0.03
0.94
[22.2，25.2）
4
0.04
0.98
[25.2，28.2]
2
0.02
1
合計
100
1
估計月均用水量樣本數據的
第
86
百分位數約為
16.2.
解析：月均用水量在
16.2t
以下的居民用戶所占比例為
23%+32%+13%+9%+9%=86%
分析：月均用水量樣本數據的第
39
百分位數呢？
分組
頻數
頻率
累計頻率
[1.2，4.2）
23
0.23
0.23
[4.2，7.2）
32
0.32
0.55
[7.2，10.2）
13
0.13
0.68
[10.2，13.2）
9
0.09
0.77
[13.2，16.2）
9
0.09
0.86
[16.2，19.2）
5
0.05
0.91
[19.2，22.2）
3
0.03
0.94
[22.2，25.2）
4
0.04
0.98
[25.2，28.2]
2
0.02
1
合計
100
1
月均用水量在
4.2t
以下
23%
月均用水量在
7.2t
以下
23%+32%=55%
第
39
百分位數一定位于[4.2,7.2)內.
分析：月均用水量樣本數據的第
39
百分位數呢？
1.2
4.2
7.2
10.2
13.2
16.2
19.2
22.2
25.2
28.2
23%
32%
13%
9%
9%
5%
3%
4%
2%
1.2
4.2
7.2
10.2
13.2
16.2
19.2
22.2
25.2
28.2
23%
55%
68%
77%
86%
91%
94%
98%
100%
39%
分析：月均用水量樣本數據的第
39
百分位數呢？
1.2
4.2
7.2
10.2
13.2
16.2
19.2
22.2
25.2
28.2
23%
55%
68%
77%
86%
91%
94%
98%
100%
39%
估計月均用水量樣本數據的
第
39
百分位數約為
5.7.
解析：
例2（2）
根據頻率分布表
1
，估計月均用水量樣本數據的第
80
百分位數，第
95
百分位數.
表
1
分組
頻數累計
頻數
頻率
[1.2，4.2）
正正正正
23
0.23
[4.2，7.2）
正正正正正正
32
0.32
[7.2，10.2）
?正正
13
0.13
[10.2，13.2）
正?
9
0.09
[13.2，16.2）
正?
9
0.09
[16.2，19.2）
正?
5
0.05
[19.2，22.2）
3
0.03
[22.2，25.2）
4
0.04
[25.2，28.2]
2
0.02
合計
?
100
1
分組
頻數
頻率
累計頻率
[1.2，4.2）
23
0.23
0.23
[4.2，7.2）
32
0.32
0.55
[7.2，10.2）
13
0.13
0.68
[10.2，13.2）
9
0.09
0.77
[13.2，16.2）
9
0.09
0.86
[16.2，19.2）
5
0.05
0.91
[19.2，22.2）
3
0.03
0.94
[22.2，25.2）
4
0.04
0.98
[25.2，28.2]
2
0.02
1
合計
100
1
解析：月均用水量在
13.2t
以下的居民用戶所占比例為
23%+32%+13%+9%=77%
月均用水量在
16.2t
以下的居民用戶所占比例為
77%+9%=86%
分組
頻數
頻率
累計頻率
[1.2，4.2）
23
0.23
0.23
[4.2，7.2）
32
0.32
0.55
[7.2，10.2）
13
0.13
0.68
[10.2，13.2）
9
0.09
0.77
[13.2，16.2）
9
0.09
0.86
[16.2，19.2）
5
0.05
0.91
[19.2，22.2）
3
0.03
0.94
[22.2，25.2）
4
0.04
0.98
[25.2，28.2]
2
0.02
1
合計
100
1
月均用水量在
16.2t
以下的居民用戶所占比例為
因此，第
80
百分位數一定位于[13.2,16.2)內.
77%+9%=86%
分組
頻數
頻率
累計頻率
[1.2，4.2）
23
0.23
0.23
[4.2，7.2）
32
0.32
0.55
[7.2，10.2）
13
0.13
0.68
[10.2，13.2）
9
0.09
0.77
[13.2，16.2）
9
0.09
0.86
[16.2，19.2）
5
0.05
0.91
[19.2，22.2）
3
0.03
0.94
[22.2，25.2）
4
0.04
0.98
[25.2，28.2]
2
0.02
1
合計
100
1
1.2
4.2
7.2
10.2
13.2
16.2
19.2
22.2
25.2
28.2
23%
55%
68%
77%
86%
91%
94%
98%
100%
80%
可以估計月均用水量樣本數據
的第
80
百分位數約為
14.2.
解析：月均用水量在
22.2t
以下的居民用戶所占比例為
23%+32%+13%+9%+9%+5%+3%=94%
分組
頻數
頻率
累計頻率
[1.2，4.2）
23
0.23
0.23
[4.2，7.2）
32
0.32
0.55
[7.2，10.2）
13
0.13
0.68
[10.2，13.2）
9
0.09
0.77
[13.2，16.2）
9
0.09
0.86
[16.2，19.2）
5
0.05
0.91
[19.2，22.2）
3
0.03
0.94
[22.2，25.2）
4
0.04
0.98
[25.2，28.2]
2
0.02
1
合計
100
1
月均用水量在
25.2t
以下的居民用戶所占比例為
94%+4%=98%
分組
頻數
頻率
累計頻率
[1.2，4.2）
23
0.23
0.23
[4.2，7.2）
32
0.32
0.55
[7.2，10.2）
13
0.13
0.68
[10.2，13.2）
9
0.09
0.77
[13.2，16.2）
9
0.09
0.86
[16.2，19.2）
5
0.05
0.91
[19.2，22.2）
3
0.03
0.94
[22.2，25.2）
4
0.04
0.98
[25.2，28.2]
2
0.02
1
合計
100
1
月均用水量在
25.2t
以下的居民用戶所占比例為
因此，第
95
百分位數一定位于[22.2,25.2)內.
94%+4%=98%
分組
頻數
頻率
累計頻率
[1.2，4.2）
23
0.23
0.23
[4.2，7.2）
32
0.32
0.55
[7.2，10.2）
13
0.13
0.68
[10.2，13.2）
9
0.09
0.77
[13.2，16.2）
9
0.09
0.86
[16.2，19.2）
5
0.05
0.91
[19.2，22.2）
3
0.03
0.94
[22.2，25.2）
4
0.04
0.98
[25.2，28.2]
2
0.02
1
合計
100
1
1.2
4.2
7.2
10.2
13.2
16.2
19.2
22.2
25.2
28.2
23%
55%
68%
77%
86%
91%
94%
98%
100%
95%
可以估計月均用水量樣本數據
的第
95
百分位數約為
22.95.
小結：根據頻率分布表求百分位數的方法與步驟
計算各小組的累計頻率
確定第p百分位數所在小組區間
按比例計算出不足頻率部分對應的區間長度
計算第p百分位數
圖
1
例3
根據頻率分布直方圖
1
，估計月均用水量樣本數據的第
80
百分位數.
0.077×3=0.231，
0.107×3=0.321，
0.043×3=0.129，
0.030×3=0.09，
0.030×3=0.09，
……
0.231
0.321
0.129
0.09
0.09
0.231
0.321
0.129
0.09
0.09
1.2
4.2
7.2
10.2
13.2
16.2
19.2
22.2
25.2
28.2
23%
32%
13%
9%
9%
5%
3%
4%
2%
圖
1
0.231
0.321
0.129
0.09
0.09
解析：月均用水量在
13.2t
以下的居民用戶所占比例為
圖
1
0.231
0.321
0.129
0.09
0.09
月均用水量在
16.2t
以下的居民用戶所占比例為
圖
1
0.231
0.321
0.129
0.09
0.09
月均用水量在
16.2t
以下的居民用戶所占比例為
因此，第
80
百分位數
一定位于[13.2,16.2)內.
圖
1
0.231
0.321
0.129
0.09
0.09
圖
1
0.231
0.321
0.129
0.09
0.09
圖
1
0.231
0.321
0.129
0.09
0.09
可以估計月均用水量樣本數據的第
80
百分位數約為
14.2.
樣本數據的第80
百分位數
總體數據的第80
百分位數
總體數據
尋找樣本數據
包含的信息
樣本數據
估計整體
第
80
百分位數
原始數據
頻率分布表
頻率分布直方圖
13.7
14.2
14.2
鞏固練習
練習1：在階梯水價標準制定的問題中，根據樣本數據的頻率分布表1，如果要讓
60%
的居民不超出標準，居民
用戶月均用水量標
準定為多少合適?
表
1
分組
頻數累計
頻數
頻率
[1.2，4.2）
正正正正
23
0.23
[4.2，7.2）
正正正正正正
32
0.32
[7.2，10.2）
?正正
13
0.13
[10.2，13.2）
正?
9
0.09
[13.2，16.2）
正?
9
0.09
[16.2，19.2）
正?
5
0.05
[19.2，22.2）
3
0.03
[22.2，25.2）
4
0.04
[25.2，28.2]
2
0.02
合計
?
100
1
練習1：在階梯水價標準制定的問題中，根據樣本數據的頻率分布表1，如果要讓
60%
的居民不超出標準，居民用戶月均用水量標準定為多少合適?
總體的第
60
百分位數
樣本數據的第
60
百分位數
分組
頻數
頻率
累計頻率
[1.2，4.2）
23
0.23
0.23
[4.2，7.2）
32
0.32
0.55
[7.2，10.2）
13
0.13
0.68
[10.2，13.2）
9
0.09
0.77
[13.2，16.2）
9
0.09
0.86
[16.2，19.2）
5
0.05
0.91
[19.2，22.2）
3
0.03
0.94
[22.2，25.2）
4
0.04
0.98
[25.2，28.2]
2
0.02
1
合計
100
1
月均用水量在
7.2t
以下
23%+32%=55%
月均用水量在
7.2t
以下
月均用水量在
10.2t
以下
55%+13%=68%
第
60
百分位數一定位于[7.2,10.2)內.
23%+32%=55%
分組
頻數
頻率
累計頻率
[1.2，4.2）
23
0.23
0.23
[4.2，7.2）
32
0.32
0.55
[7.2，10.2）
13
0.13
0.68
[10.2，13.2）
9
0.09
0.77
[13.2，16.2）
9
0.09
0.86
[16.2，19.2）
5
0.05
0.91
[19.2，22.2）
3
0.03
0.94
[22.2，25.2）
4
0.04
0.98
[25.2，28.2]
2
0.02
1
合計
100
1
1.2
4.2
7.2
10.2
13.2
16.2
19.2
22.2
25.2
28.2
23%
55%
68%
77%
86%
91%
94%
98%
100%
60%
估計月均用水量樣本數據的
第
60
百分位數約為
8.35.
解析：
樣本數據的第60
百分位數
總體數據的第60
百分位數
8.35
總體數據
尋找樣本數據
包含的信息
樣本數據
估計總體
圖
1
練習2：根據頻率分布直方圖
1
，估計月均用水量樣本數據的第
60
百分位數.
0.077×3=0.231，
0.107×3=0.321，
0.043×3=0.129，
……
0.231
0.321
0.129
圖
1
0.231
0.321
0.129
解析：月均用水量在
7.2t
以下的居民用戶所占比例為
圖
1
0.231
0.321
0.129
月均用水量在
10.2t
以下的居民用戶所占比例為
圖
1
0.231
0.321
0.129
月均用水量在
10.2t
以下的居民用戶所占比例為
因此，第
60
百分位數
一定位于[7.2,10.2)內.
圖
1
0.231
0.321
0.129
可以估計月均用水量樣本數據的第
60
百分位數約為
8.32.
練習3：為了分析某校高一年級數學期末測試成績情況，抽取了50名同學的測試成績如下：
估計該校高一年級數學期末測試成績
的第
5,
50,
95
百分位數.
37
45
54
56
64
76
82
89
93
95
96
99
103
104
104
105
105
108
108
110
110
115
115
116
119
120
120
122
122
122
123
124
125
125
126
127
129
129
129
130
130
131
132
132
132
134
137
138
141
145
解：把這
50
個樣本數據按從小到大排序，
50×5%=2.5
37
45
54
56
64
76
82
89
93
95
96
99
103
104
104
105
105
108
108
110
110
115
115
116
119
120
120
122
122
122
123
124
125
125
126
127
129
129
129
130
130
131
132
132
132
134
137
138
141
145
樣本數據的第
5
百分位數為第
3
項數據
54.
37
45
54
56
64
76
82
89
93
95
96
99
103
104
104
105
105
108
108
110
110
115
115
116
119
120
120
122
122
122
123
124
125
125
126
127
129
129
129
130
130
131
132
132
132
134
137
138
141
145
樣本數據的第
5
百分位數為第
3
項數據
54.
據此估計該校高一年級數學期末測試成績的第
5
百分位數約為
54.
37
45
54
56
64
76
82
89
93
95
96
99
103
104
104
105
105
108
108
110
110
115
115
116
119
120
120
122
122
122
123
124
125
125
126
127
129
129
129
130
130
131
132
132
132
134
137
138
141
145
50×50%=25
37
45
54
56
64
76
82
89
93
95
96
99
103
104
104
105
105
108
108
110
110
115
115
116
119
120
120
122
122
122
123
124
125
125
126
127
129
129
129
130
130
131
132
132
132
134
137
138
141
145
37
45
54
56
64
76
82
89
93
95
96
99
103
104
104
105
105
108
108
110
110
115
115
116
119
120
120
122
122
122
123
124
125
125
126
127
129
129
129
130
130
131
132
132
132
134
137
138
141
145
樣本數據的第
50
百分位數為第
25、26
項數據的平均數
119.5.
37
45
54
56
64
76
82
89
93
95
96
99
103
104
104
105
105
108
108
110
110
115
115
116
119
120
120
122
122
122
123
124
125
125
126
127
129
129
129
130
130
131
132
132
132
134
137
138
141
145
樣本數據的第
50
百分位數為第
25、26
項數據的平均數
119.5.
據此估計該校高一年級數學期末測試成績的第
50
百分位數約為
119.5.
50×95%=47.5
37
45
54
56
64
76
82
89
93
95
96
99
103
104
104
105
105
108
108
110
110
115
115
116
119
120
120
122
122
122
123
124
125
125
126
127
129
129
129
130
130
131
132
132
132
134
137
138
141
145
37
45
54
56
64
76
82
89
93
95
96
99
103
104
104
105
105
108
108
110
110
115
115
116
119
120
120
122
122
122
123
124
125
125
126
127
129
129
129
130
130
131
132
132
132
134
137
138
141
145
樣本數據的第
95
百分位數為第
48
項數據
138.
據此估計該校高一年級數學期末測試成績的第
95
百分位數約為
138.
課堂小結
知識內容:
百分位數
依據原始數據求百分位數
依據分組數據（頻率分布表或頻率分布直方圖）求百分位數
思想方法:
類比的方法
從特殊到一般
樣本數據的
百分位數
總體數據的
百分位數
總體數據
尋找樣本數據
包含的信息
樣本數據
估計總體
樣本估計總體
知識內容:
思想方法:
統計思想
課堂小結
百分位數
依據原始數據求百分位數
依據分組數據（頻率分布表或頻率分布直方圖）求百分位數
類比的方法
從特殊到一般
課后作業
1.在居民用戶月均用水量標準制定的問題中，根據教科書中的調查數據，如果要讓
60%
的居民不超出標準，居民用戶月均用水量標準定為多少合適?
2.根據樹人中學高一年級男生身高的樣本數據，請你估計樹人中學高一年級男生的第
25，50，75
百分位數.如果要減少估計的誤差，你覺得應該怎么做？
173.0
174.0
166.0
172.0
170.0
165.0
165.0
168.0
164.0
173.0
172.0
173.0
175.0
168.0
170.0
172.0
176.0
175.0
168.0
173.0
167.0
170.0
175.0
課后作業
3.根據頻率分布直方圖
1
中的數據，估計這組數據月均用水量的第
95
百分位數.
圖
1
課后作業
4.你所在的地區是采用階梯水價嗎？標準是多少？
同學們課下可以查閱相關資料，了解你所在地區的水價.
課后作業
同學們再見！《總體百分位數的估計》學習任務單
【學習目標】
本節課的主要內容是百分位數的理解與應用。學生通過對“某市政府為實施居民生活用水階梯式水價而確定合理的標準”這一案例的繼續探究，明確百分位數的概念，理解百分位數的統計含義，提高數據分析的能力。共設計3道例題，學生體會各種數據形式條件下樣本數據的百分位數的計算，從而估計總體百分位數，為后續進一步的決策提供數據支撐。
【課上任務】
1．統計問題的核心思想是什么？
2．使80%的居民用戶生活用水費不受影響，這個問題的實質是什么？
3．100個樣本數據的中位數怎么求？第80百分位數呢？
4．99個樣本數據的中位數怎么求？第80百分位數呢？
5．你能總結出求一組原始數據的第P百分位數的步驟嗎？
6．對分組數據，如何根據統計圖表估計這組數據的第P百分位數？
【學習疑問】（可選）
7．哪個環節沒弄清楚？
8．有什么困惑？
9．你想向同伴提出什么問題？
10．你想向老師提出什么問題？
11．本節課有幾個環節，環節之間的聯系和順序？
12．根據樣本估計出的總體80%分位數，從而制定的標準，一定能夠保證80%的居民用水不超標嗎？
【課后作業】
13.作業1
（1）在居民用戶月均用水量標準制定的問題中，根據教科書中的調查數據，如果要讓60%的居民不超出標準，居民用戶月均用水量標準定為多少合適?
（2）根據樹人中學高一年級男生身高的樣本數據，請你估計樹人中學高一年級男生的第25，50，75百分位數.如果要減少估計的誤差，你覺得應該怎么做？
173.0
174.0
166.0
172.0
170.0
165.0
165.0
168.0
164.0
173.0
172.0
173.0
175.0
168.0
170.0
172.0
176.0
175.0
168.0
173.0
167.0
170.0
175.0
（3）根據圖9.2-1中的數據，估計這組數據的月均用水量的第95百分位數.
作業2
（4）你所在的地區是采用階梯水價嗎？標準是多少？
（同學們課下可以查閱相關資料，了解你所在地區的水價.）
【課后作業參考答案】
解：把這
100
個樣本數據按從小到大排序，
100×60%=60
第60
個和第
61
個數據分別為
7.9
和
8.1.
樣本數據的第
60
百分位數為第
60、61
項數據的平均數
8
.
即這組數據的第
60
百分位數
8，可以估計總體數據的第
60
百分位數為
8左右，
因此如果要讓60%的居民不超出標準，居民用戶月均用水量標準可以定為8t.
（2）把23名男生的樣本數據按從小到大排序,可得
164.0
165.0
165.0
166.0
167.0
168.0
168.0
168.0
170.0
170.0
170.0
172.0
172.0
172.0
173.0
173.0
173.0
173.0
174.0
175.0
175.0
175.0
176.0
由25%×23=5.75，50%×23=11.5，75%x27=17.25，可知樣本數據的第25，50，75百分位數為第6，12，18項數據，分別為168，172，173。據此可以估計樹人中學高一年級女生的第25，50，75百分位數分別約為168，172，173。
(3)根據圖9.2-1得：
0.077×3=0.231，0.107×3=0.321，0.043×3=0.129，0.030×3=0.09，
0.030×3=0.09，0.017×3=0.051，0.010×3=0.03，0.013×3=0.039，
0.231+0.321+0.129+0.09+0.09+0.051+0.03=0.942,
0.942+0.039=0.981
因此，95%
分位數一定位于[22.2,25.2)內.
由
可以估計月均用水量的樣本數據的
95%
分位數約為.

展開更多......

收起↑