資源簡介

教
案
教學基本信息
課題
運用完全平方公式因式分解
學科
數學
學段：初中
年級
七年級
教材
書名：義務教科書（數學）出版社：北京出版社
出版日期：2013
年
12月
教學目標及教學重點、難點
本節課主要內容是運用完全平方公式分解因式，在課程中主要發展學生的運算能力，共設計兩道例題。通過整式乘法的完全平方公式的逆向運用得出因式分解的完全平方公式的過程，發展觀察能力和逆向思維能力，進一步了解分解因式與整式的乘法運算之間的互逆關系。
教學過程(表格描述)
教學環節
主要教學活動
設置意圖
引入
任務一：探索因式分解的方法
由于因式分解和整式乘法是相反方向的變形，前面我們把整式乘法的平方差公式反過來得到因式分解的平方差公式。
那么在整式乘法中我們還學過其它的公式嗎？它反過來是否可以得到因式分解的另外一個公式呢？
完全平方公式：
對，在整式乘法中，我們還學過完全平方公式.整式乘法的完全平方公式是什么呢？
觀察這個等式，等號的左邊是多項式，等號的右邊是兩個整式乘積的形式，
從等式的左邊向右邊的變形是把一個多項式變成整式乘積的形式，它符合因式分解的定義.
學生進一步加深對整式乘法與因式分解是相反方向的變形的理解，能運用因式分解概念判斷多項式是否是因式分解
新課
這就是本節課我們要研究因式分解的完全平方公式
如何用文字語言描述這個公式呢？這個公式的文字表述為：兩個數的平方和，加上（或減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（或差）的平方.
(
a
a
b
b
+
+
)問題1：“你能用下圖中兩個正方形和兩個長方形拼成一個大的正方形嗎？
”
b
+
由于邊長為a的大正方形和長方形的長相等，都等于a；邊長為b的小正方形與長方形的寬相等，都等于b；所以我們可以將大正方形的邊長a與長方形的長重合，小正方形的邊長b與長方形的寬重合.
這樣就可以拼成兩個長都是（a+b），寬分別是a和b
的長方形.
然后把兩個長方形相等的邊重合到一起，這樣就拼成
(
a+b
b
)邊長為（a+b）的正方形.
(
a+b
b
)
(
a+b
b
)
(
a+b
b
)
a
b
通過上面的拼圖驗證了因式分解的“和”的完全平方公式：
.
如何驗證差的完全平方公式呢？請同學們課后完成.
問題2：具有怎樣特征的多項式可以運用這兩個公式分解因式呢？
分析等式左邊是完全平方式得到特征：三項，有兩的
平方和，這兩數乘積的２倍.
在運用完全平方公式因式分解時，結果是“和”的完全平方，還是“差”的完全平方，由什么來決定呢？
應該是由“兩個數乘積的2倍”符號決定的.
任務一：判斷是否可以運用完全平方公式因式分解
問題1：判斷下列各式是否可用完全平方公式分解因式，若可以，請指出誰相當于公式里的“a”和“b”；若不能，說明理由.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
（5）
（6）
分析：（1）這個多項式由三項構成，它是完全平方公式嗎？
由于與4的和是m與2的平方和，
m與2乘積的2倍恰好是4m，所以這個多項式符合完全平方式的結構特征，能用完全平方公式因式分解。其中相當于公式中的，相當于公式中的，因此m相當于公式中的a，2相當于公式中的b。
（2）
在多項式中，只有1和兩項，不符合完全平方式“三項”的結構特征，所以它不能用完全平方公式因式分解。
（3）這個多項式有三項，如果能用完全平方公式因式分解就必須符合完全平方式的結構特征，它有兩個數的平方和嗎？顯然與-1不是某兩數的平方和，是兩數的平方差，所以它不符合完全平方式的結構特征，不能用完全平方公式因式分解。
（4），它符合完全平方式的結構特征嗎？這個多項式有三項，
可根據積的運算性質寫成，所以與的和就是m與2n的平方和；m與2n乘積的2倍應是4mn，而不是2mn，所以此多項式不符合完全平方式的結構特征，不能用完全平方公式因式分解。
（5），觀察這個多項式是三項式，各項都是負的，我們可以先把負號提出來，看看括號內的多項式是否符合完全平方式的結構特征呢？提出負號后，得到的多項式中與的和就是x與y的平方和，并且x與y乘積的2倍正好是2xy，所以這個多項式符合完全平方式的結構特征，能用完全平方公式因式分解.
其中相當于公式中的，相當于公式中的，因此x相當于公式中的a，y相當于公式中的b.
(6)它是否也符合完全平方式的結構特征呢？由于多項式有三項，并且0.25與的和就是0.5與x的平方和，
x與0.5乘積的2倍正好是x，所以這個多項式符合完全平方式的結構特征，能用完全平方公式因式分解,
其中相當于公式中的，相當于公式中的，因此0.5相當于公式中的a，x相當于公式中的b.
總結：回顧上面的問題，我們知道（1）、（5）、（6）都可以用完全平方公式因式分解，其中第（1）題2倍項在中間，第（5）題2倍項在第一項，第（6）題2倍項在最后一項，也就是說兩個數的平方和與乘積的2倍，在多項式中的位置不一定是固定的，因此能否用完全平方公式因式分解與它們在多項式中的位置無關。
判斷一個多項式能否用完全平方公式因式分解，主要看是否符合完全平方公式的結構特征。
1．多項式有三項；
2．兩項是兩數平方和的形式；
3．第三項是這兩個數乘積的2倍。
因此多項式只要滿足上述條件就可以運用完全平方公式分解因式了。
任務一：利用完全平方公式因式分解
問題2：將下列各式分解因式
（1）
；
（2）;
（3）；
（4）；
（5）.
分析：目前我們學過因式分解的方法有兩個，一個是提取公因式法，一個是公式法。公式法包括平方差公式和完全平方公式。能用平方差公式因式分解的多項式由兩項構成，能用完全平方公式因式分解的多項式由三項構成，所以將一個多項式因式分解時，首先進行判斷。
（1）我們判斷它沒有公因式，無需提取公因式，而這個多項式由三項構成，所以我們看它是否滿足完全平方式的結構特征
這個多項式中與9的和是x與3
的平方和，且x與3乘積的2倍是6x，所以這個多項式可以用完全平方公式因式分解.我們把它寫成平方和、2倍項的形式，得到.其中相當于公式中的，相當于公式中的,所以x相當于公式中的a，3相當于公式中的b。所以這個多項式可以利用完全平方公式因式分解.在這里我們要思考結果是選擇和的完全平方，還是差的完全平方呢？我們要看2倍項的符號，這里2倍項的符號是“正”的.所以選擇和的完全平方公式，其中a用這里的x代替，b用這里的3代替，得到結果.
(2)
對于這道題我們還是要先進行判斷，這個多項式中沒有公因式，無需提取公因式，然后再看這個多項式是由三項構成，所以看是否滿足完全平方式的結構特征.在這個多項式中與的和是
4m與5n的平方和，并且4m與5n乘積的2倍正好是40mn,所以這個多項式可以用完全平方公式因式分解.我們把它寫成平方和與乘積2倍的形式，就得到這樣的多項式.其中相當于公式中的，相當于公式中的,因此4m相當于公式中的a，5n相當于公式中的b,接著我們利用完全平方公式因式分解時，由于乘積2倍的符號是負的.
所以選擇“差”的完全平方公式，再把a用這里的4m代替，b用這里的5n代替，得到結果.
那么請同學們回憶一下，經過1，2題的分析過程，結果的符號具體是由2倍項的符號怎么確定的呢？
當我們把一個多項式寫成完全平方形式后，再判斷兩個數乘積2倍的符號，若“兩個數乘積的2倍”的符號是正的，結果用“和”的完全平方；若“兩個數乘積的2倍”的符號是負的，結果用“差”的完全平方。
(3),首先我們判斷它沒有公因式，不需要提取公因式，這個多項式由三項構成，所以看它是否滿足完全平方式的結構特征.其中和，根據冪的乘方的運算性質，可寫成和的形式，所以與的和就是與的平方和，并且與的乘積2倍恰好是，所以它可以用完全平方公式因式分解.我們寫成平方和與乘積2倍的形式，得到.其中相當于公式中的，相當于公式中的，因此相當于公式中的a,相當于公式中的b,接著我們利用完全平方公式因式分解時，由于乘積2倍的符號是負的
,所以選擇“差”的完全平方公式，公式中的a用替換，b用替換，得到結果.
(4),仍然是同樣的分析方法，先判斷這個多項式沒有公因式，無需提取公因式，我們把看作一個整體，這個多項式由三項構成.其中與36的和是與6的平方和，并且
與6乘積的2倍恰好是，所以它可以用完全平方公式因式分解,我們把它寫成平方和、乘積2倍的形式，得到這樣的多項式,其中相當于公式中的，相當于公式中的,那么相當于公式中的a，6相當于公式中的b.接著我們利用完全平方公式因式分解時，“乘積2倍的符號是負的.所以選擇“差”的完全平方公式，這里的a用替換，b
用6替換，得到結果.
(5)
，我們通過判斷，這個多項式有三項而且有公因式，公因式是m,所以先提取公因式，得到下面的多項式，在看括號內的多項式，它符合完全平方式的結構特征嗎？其中與25的和就是x與5的平方和，x與5乘積的2倍恰好是10x，所以它可以用完全平方公式因式分解,我們把它寫成平方和、乘積2倍的形式,其中相當于公式中的，相當于公式中的，那么x相當于公式中的a,5相當于公式中的b,
利用完全平方公式因式分解時，乘積2倍的符號是負的，
所以選擇差的完全平方公式，這里a用x替換，b用5替換，得到結果.
通過這道題的分析同學們想一下，公式中的a和b都可以表示什么呢？我們可以看出，公式中的a和b既可以表示數、單項式、還可以表示多項式。若是復雜的單項式或多項式，我們只需要把它看作一個整體，仍然可以用公式法進行因式分解.
同學們通過以上例題分析，你是否掌握了運用完全平方公式因式分解，下面我們總結一下對一個多項式因式分解的步驟：
1.作出判斷：從兩個方面進行判斷，首先判斷多項式是否有公因式，如果有公因式先提取公因式；另外還需判斷能不能使用公式，如果有兩項構成，考慮平方差公式；2.進行分辨：能用平方差公式因式分解的多項式的特征是：兩項、平方、做差的形式；能用完全平方公式因式分解的多項式的特征是，三項、平方和，乘積2倍的形式；3.運用公式.
問題：判斷下列多項式的因式分解是否正確，不正確的請改正
（1）；
（2）；
（3）.
（1）,這道題涉及的知識要素有：因式分解概念、因式分解方法、完全平方公式、單項式乘以單項式的運算法則、多項式乘以多項式的運算法則、積的乘方的運算性質.
本題的解題思路和解題過程是，首先判斷沒有公因式，無需提取公因式。多項式由三項構成，考慮它是否能用完全平方公式因式分解。根據積的乘方的運算性質寫成，其中和1的和就是3y與1的平方和，并且3y與1乘積的2倍正好是6y,所以可以用完全平方公式因式分解，接著寫成平方和、2倍項的形式.可以看出3y相當于公式中的a，1相當于公式中的b.利用完全平方公式因式分解，我們看出乘積2倍的符號是負的,所以選擇“差”的完全平方公式代入，就得到.而原題沒有確定公式中“乘積2倍”的符號就代入公式，所以因式分解錯誤.
（2）
這道題的解題思路和解題過程還是首先判斷多項式沒有公因式，不需要提取公因式，這個多項式由三項構成，考慮它是否能用完全平方公式因式分解。其中根據積的乘方的運算性質寫成，與的和是m與2n的平方和，且m與2n乘積的2倍是4mn。所以多項式可以用完全平方公式因式分解，然后寫成平方和，2倍項的形式.因此m相當于公式中的a，2n相當于公式中的b,利用完全平方公式因式分解時，看2倍項的符號是正的,所以選擇和的完全平方公式，代入公式得到.而原題在判斷是否有兩個數的平方和時，沒有運用積的乘方的運算性質將轉化成的形式，所以判斷誰是公式中的a，b時出現錯誤.
通過剛才的分析我們不難發現，這道題涉及的知識要素和前一個題一樣.
（3）
此題的解題思路仍然是和前兩道題是一樣。解題過程是：發現-4與兩項都有負號，除了負號以外的部分，4與就是2與3x的平方和，所以對于這個多項式要先提出負號，得到下面的多項式，然后對括號內的多項式進行再判斷，它是否符合完全平方式的結構特征呢？這個多項式有三項，將根據積的乘方運算性質寫成，4和是2與3x的平方和，2與3x乘積的2倍正好是12x，所以括號內的多相式可以用完全平方公式因式分解.那么3x相當于公式中的a，2相當于公式中的b
,利用完全平方公式因式分解時，判斷乘積2倍的符號是負的,選擇“差”的完全平方公式，得到結果。而本題在提出負號以后，括號外+12x沒有改變符號，導致2倍項的符號錯誤，所以結果選擇和的完全平方公式還是差的完全平方公式也發生錯誤。
這道題涉及的知識要素，除了和前兩道題涉及到相同的知識要素之外，還多了一項添括號法則，這就要求同學們做題時，要學會觀察多項式的特點，然后再選擇方法因式分解。
通過拼圖幫助同學理解和的完全平方公式
通過分析完全平方公式的特征，總結具有怎樣特征的多項式可以用完全平方公式因式分解。發展學生語言表達能力
通過判斷多項式是否符合完全平方式，進一步加深學生對公式的理解
幫助學生梳理分析和解決問題的思路
通過問題2的分析明確將一個多項式因式分解的步驟
通過典型失誤分析，及時總結因式分解中出現的問題
總結
同學們，通過剛才三道典型失誤分析，我們可以掌握運用完全平方公式因式分解的解題思路和具體步驟，最后我們對本節課進行總結和梳理。
1.本節課我們學習了完全平方公式的特征：
等式左邊：必須是三項、平方和、乘積2倍
等式右邊：必須是完全平方的形式
2.歸納了一個多相式式因式分解的步驟：
1．作出判斷：判斷多項式是否有公因式，如果有公因式先提取公因式；另外還要判斷能不能使用公式，如果由兩項構成，考慮平方差公式；如果由三項構成，考慮完全平方公式.
2.進行分辨：能用平方差公式因式分解的多項式的特征是：兩項、平方、做差的形式；能用完全平方公式因式分解的多項式的特征是，三項、平方和，乘積2倍的形式；
3.運用公式因式分解。
3.解題過程中需要注意的事項：
（1）遇到完全平方項的系數為負時，要把負號提出來，并把括號內各項都變號。
（2）公式中的字母a和b既可以是數、單項式、也可以是多項式。如果是復雜的單項式或多項式，把它看作一個整體即可。
（3）和（或差）的完全平方的符號與化成完全平方式后的兩數乘積的2倍項的符號一致。
通過對知識的梳理，加強學生對所學知識的理解，發展總結概括的能力
作業
作業：把下列各式因式分解：
(1);
(2);
(3);
(4).
鞏固新知(共127張PPT)
a
b
b
+
+
a
b
b
a
a
a+b
a
a+b
b
a+b
a
a+b
b
a+b
a+b
a
b
b
+
a
b
a
b
a
+《運用完全平方公式因式分解》學習任務單
【學習目標】
本節課主要內容是運用完全平方公式分解因式，在課程中主要發展學生的運算能力，共設計兩道例題。通過整式乘法的完全平方公式的逆向運用得出因式分解的完全平方公式的過程，發展觀察能力和逆向思維能力，進一步了解分解因式與整式的乘法運算之間的互逆關系。
【課上任務】
1．根據因式分解和整式乘法是相反方向的變形，得到因式分解中的完全平方公式
2．完全平方公式的文字語言，符號語言
3．通過拼圖：你能將兩個正方形和兩個長方形拼成一個大的正方形嗎？驗證因式分解的“和”的完全平方公式
4．分析具有怎樣特征的多項式可用這兩個公式因式分解？
5．判斷是否可利用完全平方公式因式分解？如果能，指出誰是“a”和”b”,如果不能，說明理由
6．總結判斷一個多項式能否利用完全平方公式因式分解的方法
7．總結一個多項式因式分解的步驟
8．通過典型失誤分析，總結用完全平方公式因式分解應注意的事項
【學習疑問】（可選）
9．哪段文字沒看明白？
10．哪個環節沒弄清楚？
11．有什么困惑？
12．您想向同伴提出什么問題？
13．您想向老師提出什么問題？
14．沒看明白的文字，用自己的話怎么說？
15．本節課有幾個環節，環節之間的聯系和順序？
16．同伴提出的問題，您怎么解決？
【課后作業】
17．作業1：把下列各式因式分解：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷.
【課后作業參考答案】
（1）
；
（2）
；
（3）；
（4）.

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