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概率壓軸 品味無窮
安徽省宿州市曹村中學 馬 強
郵編： 234103
綜觀2010年全國各地近20份數學高考試卷，解答題的壓軸題大都是函數與導數或數列與不等式，然而安徽省2010年高考數學（理）第21題，則用概率應用題來壓軸，真令人拍案叫絕，品味無窮。
真題再現
品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一般通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗，要求其按品質優劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質優劣為它們排序，這成為一輪測試，根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.
現設n=4，分別以表示第一次排序時被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時的序號，并令
則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述。
（Ⅰ）寫出X的可能值集合；
（Ⅱ）假設等可能地為1.2.3.4的各種排列，求X的分布列；
（Ⅲ）某品酒師在相繼進行的三輪測試中都有X≤2，
（ⅰ）試按（Ⅱ）中的結果，計算出現這種現象的概率（假定各輪測試相互獨立）；
（ⅱ）你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由。
基本解法
（Ⅰ）X的可能值集合為{0，2，4，6，8}。在1，2，3，4中奇數與偶數各有兩個，所以a2 ，a4中的奇數個數等于a1，a3中的偶數個數，因些+ 與+ 的奇偶性相同，從而X必為偶數。X的值非負，且易知其值不大于8。容易舉出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子。
（Ⅱ）可用列表或樹狀圖列出1，2，3，4的一共24種排列，計算每種排列下的X值，在等可能的假定下，得到
X 0 2 4 6 8
P
（Ⅲ）（ⅰ）首先P（X≤2）= P（X=0）+ P（X=2）= = ，將三輪測試都有X≤2的概率記做P，由上述結果和獨立性假設，得P= =。
（ⅱ）由于P=＜是一個很小的概率，這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試都有X≤2的結果的可能性很小，所以我們認為該品酒師確實有良好的味覺鑒別功能，不是靠隨機猜測。
亮點品味
品味1.從命題的角度看，該題以生活中的品酒師接受酒味鑒別功能為背景，考查學生的概率思想及應用，考題新穎，背景公平，不落俗套，有較好的信度。多層設問，層層遞進，分步把關，既控制了試題難度，又發揮了考試的選拔功能，有較高的區分度和效度。該題在設問上小步創新，在試卷整體安排處理上大膽改革，給人以驚奇之美，讓人耳目一新，很多考生走出考場的第一句便是：真沒想到，壓軸題居然是概率應用題。如果沒有一定的閱讀理解能力以及克服困難拼搏的精神，是過不了這一關的。由些可見，該題不僅考查學生的個性品質及良好的心理素質，而且又充分體現了《考試說明》，是一道高質量的好題。
品味2.從解題角度看，本題沒有過多的解法。第（Ⅰ）問可通過舉列驗證，直接寫出X的可能值的集合。第（Ⅱ）可通過列表或樹狀圖，得到X取每個可能值的概率，進而寫出分布列。第（Ⅲ）問的第（ⅰ）小問，可通過分布列寫出P（X≤2），然后得結果，第（ⅱ）小問可借助（ⅰ），結合小概率事件便知結果。表面上似乎題目過于平淡，仔細品味，卻能發現：第（Ⅰ）問的順利解答需要有扎實的數學基礎，一定的數學素養，才能通過特殊與一般思想、奇偶對等原理寫全X可能值，同時也為第（Ⅱ）的求解提供了思路。第（Ⅱ）問考查了計數原理最原始最基本的方法——列表法或樹圖法，拋開了排列組合繁雜的思維計算，注重通性通法，淡化特殊技巧，體現了新課程標準理念。第（Ⅲ）問考查了互斥事件、相互獨立事件、小概率事件等基礎知識，運算量不大，體現了思維深刻知識不深奧原則。總之，本題在考查基礎知識的同時，滲透數形結合、分類討論、特殊與一般等思想方法，充分考查了考生采集和處理信息的能力，增強數學的應用意識。我們經常在問：高考數學考什么，怎樣考？這一題就給了我們很好的詮釋，那就是考基礎知識，考思想方法，考能力素質！
品味3．從高考導向看，本題具有很重要的風向指標，體現在“穩”、“活”、“新”三個方面。“穩”是高考不變的主題，概率統計作為應用題的考查方式，保持了相對的穩定性并且有一定的連續性。這不僅有利于學生重視信息收集與整理，提高閱讀能力，而且有利于教師重視教材、挖掘教材，從而更好地推動新課程標準的深入開展。“活”是高考命題工作者的匠心獨運，概率統計問題的設計不僅可以作為選擇題、填空題，而且也可以作為壓軸題；不僅可以單獨命題，也可以在知識網絡的交匯點處命題，這就要求教師要打破傳統定勢思維模式，不能僅根據經驗把概率題定位在解答題的第17或18題位置；要轉變教學理念，把課堂教學的“填鴨式”轉變成“探究式”，使學生由“死記題型”轉變成“融會貫通型”，要創造條件使學生真正做到“授之以漁”，從而真正全面提升能力。“新”是高考試題的一大特色，今年在概率統計應用題上的創新，為明年高三備考指明了方向：比如應用題的考查力度與考查廣度能否加強？高考應用題考什么，怎樣考？會在哪些知識點上再創新？等等。總之，概率壓軸，品味無窮。

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