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關(guān)于圓錐曲線中非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題解法的構(gòu)思
江蘇南京鐘浩然
在很多圓錐曲線解答題中,我們都習(xí)慣于設(shè)直線,聯(lián)立,韋達(dá)定理整體代換,然后K.O.
可是能夠韋達(dá)定理整體代換的前提是由橢圓上兩點(diǎn)坐標(biāo)表示的式子一定是對(duì)稱(chēng)的.如已
知A(X,y)B(x,y2)在橢圓上,目標(biāo)可變形為x2+x2或XX2+(y1-1)(y2-1)又或者
yuya
(X+1)(x2+1)
但是從2010年的江蘇高考解幾到最新的2019南京三模,在十年間上百道解幾題中,標(biāo)
題所提到的非對(duì)稱(chēng)情況可謂不在少數(shù)
下面將以2017年江蘇連云港三模解幾為例給出非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的夏姬八解,重點(diǎn)是想闡述
下對(duì)非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的解法構(gòu)思的一些過(guò)程.需要強(qiáng)調(diào)的是:并不是每一道非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題都能用
所有的解法解出來(lái)的,請(qǐng)根據(jù)題目本身的特點(diǎn),選擇合適的方法
例如圖,在平面直角坐標(biāo)系XOy中,已知橢圓C:+y=1的左、右
頂點(diǎn)分別為A,B,過(guò)右焦點(diǎn)F的直線與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在
X軸上方).設(shè)直線AP,BQ的斜率分別為k,k2是否存在常數(shù),使得
k1=k2?若存在,求出A的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
拿到題先設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)方便我們后面對(duì)條件進(jìn)行表示設(shè)P(x,y),Q(x2,y2)
我們從問(wèn)題本身來(lái)思考:無(wú)論面對(duì)定值問(wèn)題還是范圍問(wèn)題,我們都應(yīng)該選擇一到兩個(gè)核
心變量.然后用核心變量去表示其他變量,而不是胡亂列出條件.那么選擇誰(shuí)為核心變量呢?
這是我們遇到的最大的分歧
第一個(gè)想法是:構(gòu)圖上來(lái)說(shuō)是聯(lián)系目標(biāo)k,k2的中間商.以Q的斜率為核心變量是
個(gè)不錯(cuò)的選擇
我們先看一下目標(biāo)2kA=y(x2-2)
然而下面又出現(xiàn)一個(gè)分歧:統(tǒng)一為橫還是縱坐標(biāo)
先試一下橫坐標(biāo)設(shè)直線lp:y=k(x-1),由題意k≠0.(注:斜率不存在時(shí)易得
因此=(x-2)x=(-1X-2)。=一2X-x+2
y2(X+2
XX2-X+2x2-2
現(xiàn)在問(wèn)題出現(xiàn)了:毫無(wú)疑問(wèn)這個(gè)就是典型的非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu),即我們無(wú)法用常規(guī)的韋達(dá)定理
整體代換來(lái)進(jìn)行處理.然而不能韋達(dá)整體代換是不是就不能韋了呢?我們既然不能將坐標(biāo)用
韋達(dá)全換成k,那么這個(gè)分式要想是定值,除了分子為0(當(dāng)然本例中顯然不成立),就是上下
結(jié)構(gòu)一致,整體相消為定值
于是我們嘗試只留一個(gè)坐標(biāo)先試一試保留x,即分子分母保留成f(k)+9(X)的結(jié)構(gòu)
所以我們就有了=2-2X一x2+2=Xx
X2)+2-X
X
X×2+
2)-2-3
k2-6
代入韋達(dá)定理得=-(X+x)+2-x
X1
Xx2+2(X+x2)-2-3X
12k2-18
K
O
可是是不是X特殊呢?保留X2行不行呢?我們?cè)賴(lài)L試一下
2=X-2(X+)+2+
XX2-(X+x2)-2+3×2
12k2-18
4k2+3+3x2
那是不是橫坐標(biāo)特殊呢?換成縱坐標(biāo)行嗎?我們繼續(xù)嘗試:
設(shè)Lo:X=ty+1(由題意斜率不為0)
所以分析目標(biāo)有:=X(x-2)=y(2-1)6x=My-y
y2
y2(ty1+3
ty,y2+3y2
保留y1得
-9t
2-ty1y2-y1ex=-
ty.
y1
ty,y2+3
y1+y2)-3y1
27t
保留y2得

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