資源簡介

湘教版八年級數學下冊知識點總復習
第一章
直角三角形
一、直角三角形的性質和判定
1.直角三角形：有一個內角是直角的三角形。
三角形內角和等于180°。
三角形中線：連接三角形的一個頂點與它的對邊中點的線段。
2.直角三角形的性質
A.直角三角形的兩個銳角互余。
B.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
C.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
D.在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°。
3.直角三角形的判定
A.有兩個角互余的三角形是直角三角形。
B.如果三角形一邊的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。
二、勾股定理
1.勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊的c的平方，即a2＋b2=c2。
2.在直角三角形中，已知任意兩條邊長，可以根據勾股定理求出第三邊的長。
3.如果三角形的三邊長a，b，c有下面關系：a2＋b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。
三、直角三角形全等的判定
1.斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（HL）。
2.直角三角形全等的條件（A表示對應角相等、S表示對應邊相等）
四、角平分線的性質
1.角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
2.角的內部到角的兩邊距離相等的點在叫的平分線上。
第二章
四邊形
一、多邊形
1.多邊形：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。
A.組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。
B.每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的焦點。
C.連接不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。
D.相鄰兩邊組成的角叫作多邊形的內角，簡稱多邊形的角。
2.多邊形的內角和
n邊形的內角和等于（n－2）
180°。
3.多邊形的外角和
A.多邊形外角的定義：多邊形的內角的一邊與另一邊的方向延長線所組成的角。
B.多邊形外角和的定義：在多邊形的每一個頂點處取一個外角，它們的和。
C.多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。
D.多邊形外角和定理的證明：多邊形的每個內角與跟它相鄰的外角是鄰補角，所以n邊形內角和加外角和等于n
180°，外角和等于n
180°－（n－2）
180°=360°。
4.正多邊形
A.在平面內，邊相等、角也相等的多邊形叫作正多邊形。
正多邊形必須滿足：各邊相等、各內角相等。缺一不可。
各內角相等，所以每個內角為
各外角相等，外角為，每個內角為180°－
。
正多邊形都是軸對稱圖形，正n邊形有n條對稱軸，當n為偶數時，正n邊形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形。
二、平行四邊形
1.平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形。用“”表示。
2.平行四邊形的對邊平行且相等、對角相等。
3.平行四邊形的判定：
A.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
B.兩組對邊分別相等（或分別平行）的四邊形是平行四邊形。
C.
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
D.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
三、中心對稱和中心對稱圖形
1.在平面內，如果一個圖形G繞點O旋轉180°，得到的像與另一個圖形G’重合，那么將這兩個圖形關于點O中心對稱，點O叫做對稱中心。
2.成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經過對稱中心，且被對稱中心平分。
3.作一個圖形關于某一點成中心對稱的圖形
圖形找出關鍵點、確定對稱中心、連接關鍵點與對稱中心、并延長相等的距離確定關鍵點的對應點、按原圖形依次連接對應點得到中心對稱圖形。
4.中心對稱圖形：如果一個圖形繞一個點旋轉180°，所得到的像與原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫作中心對稱圖形，這個點O叫作它的對稱中心。
四、三角形的中位線
1.三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
2.三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。
五、矩形
1.矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，也稱為長方形。
2.矩形的性質：矩形的四個角都是直角。矩形的對角線相等且互相平分。
3.矩形的判定
有一個角是直角的平行四邊形是矩形
對角線相等的平行四邊形是矩形
有三個角是直角的四邊形是矩形
對角線相等且互相平分的四邊形是矩形
4.矩形的對稱性
矩形是軸對稱圖形，對稱軸是過對邊中點的直線，且兩條對稱軸互相垂直。
矩形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。
六、菱形
1.菱形：一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形。
2.菱形的性質：
A.四條邊都相等、對角相等、對角線互相平分
B.菱形的對角線互相垂直。
C.菱形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線交點。
D.菱形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線都是它的對稱軸。
3.菱形的判定
A.四條邊都相等的四邊形是菱形。
B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
4.菱形的面積：S=1/2ab。（a、b分別表示菱形對角線長度）
七、正方形
1.正方形：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫作正方形。
2.正方形的性質：具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質。
A.四邊相等，對邊平行，鄰邊垂直。
B.四個角都是直角。
C.對角線互相垂直且平分且相等，每一條對角線平分一組對角。
D.既是軸對稱圖形，對稱軸是兩組對角線和對邊中點所在直線；也是中心對稱圖形。
3.正方形的判定
A.先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。
B.證是平行四邊形、證有一個角是直角、證有一組鄰邊相等
C.先證它是菱形，再證有一個角是直角。
D.證是平行四邊形、證有一組鄰邊相等、證有一個角是直角。
4.正方形的面積：邊長的平方或對角線乘積的一半。
第三章
圖形與坐標
一、有序實數對
1.有序實數對：有順序的兩個數a與b組成的數對，記作（a，b）。
2.平面直角坐標系：在平面內，有公共原點的兩條互相垂直的數軸組成平面直角坐標系。水平位置的數軸叫橫軸或x軸，取向右為正方向；數值的數軸叫縱軸或y軸，取向上為正方向，兩條數軸的交點O稱為平面直角坐標系的原點。
在平面直角坐標系中，兩條坐標軸把平面分成四個區域，分別稱為第一，第二，第三，第四象限，坐標軸上的點不屬于任何一個象限。
3.點的坐標表示：對于平面內的任何一點P，過點P分別向x軸，y軸作垂線，垂足在x軸，y軸上對應的實數a，b分別叫作點P的橫坐標、縱坐標，用有序實數對（a，b）表示點P的坐標。
平面上的點和有序實數對是一一對應的關系。
4.坐標平面內點的坐標特征
A.點P(x，y)在第一象限x>0，y>0；點P(x，y)在第二象限x<0，y>0；
點P(x，y)在第三象限x<0，y<0；點P(x，y)在第四象限x>0，y<0；
B.點P(x，y)在x軸上y=0，x為任意實數；點P(x，y)在y軸上x=0，y為任意實數；
點P(x，y)在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P的坐標為（0，0）；
C.
兩點在平行于x軸的直線上兩點的縱坐標相同，橫坐標為不相等的兩個實數；
兩點在平行于y軸的直線上兩點的橫坐標相同，縱坐標為不相等的兩個實數；
D.第一、三象限角平分線上的點橫縱坐標相等；
第二、四象限角平分線上的點橫縱坐標互為相反數；
5.坐標平面內的點到原點的距離
若點A為坐標平面內的任意一點，
即點A的坐標為（x，y），則點A到原點的距離。
6.平面內點的位置的確定
A.直角坐標定位法：在平面內建立適當的平面直角坐標系，用一對有序實數表示點在平面內的坐標，即點的位置。
B.方位角和距離定位法：用方向和距離來確定平面內物體的位置的方法。
需要：方位角；目標到中心的距離。
二、簡單圖形的坐標表示
1.根據點的坐標描點作圖
由點的坐標描點與由點寫坐標正好相反，先找到點的橫坐標在x軸上的位置，過該點作x軸的垂線，同樣根據點的縱坐標在y軸上的位置，過該點作y軸的垂線，兩條直線的交點即為所描的點。
連線作圖時要按要求去連，只能連各組內的點，兩組之間的點不要依次連接。
2.建立適當的平面直角坐標系確定點的坐標
用坐標表示物體的位置，首先要建立適當的直角坐標系，選取的坐標原點的位置發生變化時，圖形上的個點的坐標也會發生變化。
三、軸對稱和平移的坐標表示
1.軸對稱的點的坐標特點
在平面直角坐標系中，關于x軸對稱的兩個點的坐標，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；關于y軸對稱的兩個點的坐標，縱坐標相同，橫坐標互為相反數。
A(a，b)
A’(a，－b)
A(a，b)
A’’(－a，
b)
2.平移的坐標表示
一般的，在平面直角坐標系中，將點(a，b)向右（或向左）平移k個單位，其像的坐標為(a＋k，b)
（或(a－k，b)）；將點(a，b)向上（或向下）平移k個單位，其像的坐標為(a，b＋k)
（或(a，b－k)）；
第四章
一次函數
一、函數和它的表示法
1.變量與常量的概念
在討論的問題中，取值會發生變化的量稱為變量，取值固定不變的量稱為常量。
2.函數的概念
一般地，如果變量y隨著變量x而變化，并且對于x取的每一個值，y都有唯一的一個值與它對應，那么稱y是x的函數，記作y=f（x），這時把x叫做自變量，把y叫做因變量，對于自變量x取的每一個值a，因變量y的對應值稱為函數值，記作f（x）。
3.確定函數值：如果y是x的函數，對于自變量x取的每一個值a，因變量y的對應值稱為函數值，記作f（a）。
4.函數的表示方法
圖像法：建立平面直角坐標系，以自變量取的每一個值為橫坐標，以相應的函數值（即因變量的對應值）為縱坐標，描出每一個點，由所有這些點組成的圖形稱為這個函數的圖像，這種表示函數關系的方法稱為圖像法。用圖像法表示函數關系的優點是：可以直觀地看出因變量如何隨著自變量而變化。
列表法：列一張表，第一行表示自變量取的每一個值，第二行表示相應的函數值（即因變量的對應值），這種表示函數關系的方法稱為列表法。用列表法表示函數關系的優點是：可以很清楚地看出自變量的值與因變量的對應值。
公式法：用式子表示函數關系的方法稱為公式法，這樣的式子稱為函數的表達式，用公式法表示函數關系的優點是：可以方便地計算函數值。
二、一次函數
1.如果函數的表達式是關于自變量的一次是，那么這樣的函數稱為一次函數，它的一般形式是：y=kx＋b（k，b為常數，k
≠0）。
2.特別地，當b=0時，一次函數y=kx（k為常數，k
≠0）也叫作正比例函數，其中k叫做比例系數。
3.一次函數的實際應用
A.找出題目和題設中自變量x、因變量y以及固定量
B.分析各變量間的數量關系
C.確定它們的函數類型，并列出y=kx＋b或y=kx（k，b為常數，k
≠0）
D.根據題中給出的數據，通過計算得出完整的函數表達式（注意：一次函數需要兩組數據、正比例函數需要一組非零數據，自變量x和應變量y的取值范圍）
E.根據函數表達式求出新自變量x對應的因變量y的值。
三、一次函數的圖像
1.函數圖像的畫法
描點法：列表建立坐標系描點連線
2.正比例函數的圖像
一般地，正比例函數y=kx（k為常數，k
≠0）的圖像是一條經過原點的直線。畫正比例函數y=kx（k為常數，k
≠0）的圖像只需取一點（1，k），然后過原點和這一點畫直線即可，常把這條直線叫做“直線y=kx”。
3.正比例函數的性質
A.當k>0時，直線y=kx經過第一、三象限從左向右上升，y隨x的增大而增大；
B.當k<0時，直線y=kx經過第二、四象限從左向右下降，y隨x的增大而減小。
4.
一般地，一次函數y=kx＋b（k，b為常數，k
≠0）的圖像是一條直線，常把這條直線叫做“直線y=kx＋b”。其中k決定直線的傾斜方向，b決定直線與y軸交點的位置。為了方便，常取圖像與兩個坐標軸的交點（0，b）和（－b/k，0），過這兩點做直線即可。
A.當k>0，b<0時直線y=kx＋b經過第一、二、三象限；
當k>0，b<0時直線y=kx＋b經過第一、三、四象限；
當k<0，b<0時直線y=kx＋b經過第一、二、四象限；
當k<0，b<0時直線y=kx＋b經過第二、三、四象限；
B.當b>0時，一次函數y=kx＋b的圖像與y軸的正半軸相交；當b=0時，一次函數y=kx＋b的圖像經過原點；當b<0時，一次函數y=kx＋b的圖像與y軸的負半軸相交。
5.一次函數的性質
一般地，一次函數y=kx＋b（k，b為常數，k
≠0）有以下性質：
當k>0時，函數值y隨x的增大而增大；當k<0時，函數值y隨x的增大而減小。
6.正比函數與一次函數之間的平移關系
一次函數y=kx＋b（k，b為常數，k
≠0）的圖像可以看作由直線y=kx（k為常數，k
≠0）向上（或向下）平移b個單位長度得到。
四、用待定系數法確定函數關系式
1.確定正比例函數的表達式
正比例函數的表達式y=kx（k
≠0），只要確定了k的值，正比例函數的表達式即可確定。一般地，如果知道一個函數是正比例函數或已知y與x成正比例，都可以設該函數的表達式為y=kx（k
≠0）。
2.確定待定系數法確定一次函數的表達式
通過先設定函數表達式，再根據條件確定表達式中的未知系數，從而求出函數的表達式的方法稱為待定系數法。（至少需要兩組對應值或者兩個點（x1，y1）、（x2，y2））
一般步驟：
設表達式y=kx＋b（k
≠0）
帶入已知的值，得到k，b的方程組
解方程組求出k，b的值
將k，b值帶入表達式并寫出函數表達式。
第五章
數據的頻數分布
一、頻數與頻率
1.頻數的意義：頻數是指在不同小組中的數據個數。
2.頻率的意義：一般地，如果重復進行n次試驗。某個試驗結果出現的次數m稱為這個試驗結果在這n次試驗中出現的頻率，而頻率與試驗總次數的比m/n稱為這個試驗結果在這n次試驗中出現的頻率。
3.頻率是頻數的關系及應用：頻率是頻數與數據組中所含數據的總數的比。頻率反映了不同數據或在不同范圍內出現的數據在整個數據組所占的比例，頻數則具體反應了數據分布的情況。
二、頻數的應用
1.數據的頻數、頻率分布表：數據的頻數、頻率分布表反映了一組數據中的每個數據出現的頻數和頻率，從而反映了在數據組中各數據的分布情況。
2.列頻數分布表
A.在列頻數分布表時，如果不同的數據不多，可以直接算出每個數據在數據組中出現的頻數，然后列表表示；如果不同的數據較多，分布比較零散，可以先適當分組，計算出數據在各組中出現的頻數。
B.一般步驟：分組：確定最小值m和最大值M，確定組距和組數列頻數分布表：統計每組中的數據個數，采用“畫記”的方法，得到頻數分布表。
3.繪制頻數直方圖
為了直觀地反應一組數據的分布情況，可以以頻數分布表為基礎，繪制頻數直方圖。在直角坐標系中，以組距為寬，頻數為高作小矩形，就可以得到直方圖。
A.直方圖的結構。橫軸：表示分組的情況、縱軸：表示頻數和條形圖：直方圖的主體部分是條形圖，每一條是立于橫軸之上的一個矩形。底邊長是這個組的組距，高為這組的頻數。
B.作直方圖的步驟
作橫軸和縱軸，表明各自代表的名稱和單位
在橫軸上劃分一些相互銜接的線段，每條線段表示一組，在每條線段的左端點表明這組的下限，在最后一組的線段的又端點表明其上限。
在縱軸上劃分刻度，并用數標記。
以橫軸上的每條線段為底各做一個矩形立于橫軸之上，使各矩形的高等于相應的頻數。

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