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數列放縮技巧大本營
證明數列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規律進行恰當地放縮；其放縮技巧主要有以下幾種：
一、裂項放縮
技巧積累:(1)
(2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
二、函數放縮
(1)
(2)
（3）根據具體題目夠造函數，利用求導判斷單調性證明不等式。
三、分式放縮
“糖水”不等式:和
應用：（1），
解析:
即
（2）
解析: 運用兩次次分式放縮: (加1)
(加2)
相乘即證。
四、分類放縮
（1）
（2）
五、迭代放縮
例. 已知,求證:當時,
解析:通過迭代的方法得到,然后相加就可以得到結論
例. 設,求證:對任意的正整數k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<
解析:
又 所以
六、借助數列遞推關系
例.求證:
解析: 設則
,從而,相加后就可以得到
所以
例. 若,求證:
解析:
所以就有
七、分類討論
例.已知數列的前項和滿足證明：對任意的整數，有
解析:容易得到,
由于通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：
當且為奇數時
（減項放縮），于是
①當且為偶數時
②當且為奇數時（添項放縮）由①知由①②得證。
八、均值不等式放縮
例.設求證
解析: 此數列的通項為，，即
注：①應注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！
②根據所證不等式的結構特征來選取所需要的重要不等式，這里
其中，等的各式及其變式公式均可供選用。
例.求證
解析: 不等式左
=，原結論成立.
九、二項放縮
,,
例.證明：
簡證如下：利用二項展開式進行部分放縮：
只取前兩項有對通項作如下放縮：
故有
例.設，求證.
解析: 觀察的結構，注意到，展開得
，
即，得證.
十、部分放縮(尾式放縮)
例.求證:
解析:
例. 設求證：
解析:
又（只將其中一個變成，進行部分放縮），，
于是
例.設數列滿足，當時證明對所有 有；
解析: 用數學歸納法：當時顯然成立，假設當時成立即，則當時
，成立。
利用上述部分放縮的結論來放縮通項，可得
注：上述證明用到部分放縮，當然根據不等式的性質也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結論
十一、三角不等式的放縮
例.求證:.
解析:(i)當時, (ii)當時,構造單位圓,如圖所示:
因為三角形AOB的面積小于扇形OAB的面積 所以可以得到
當時 所以當時有
(iii)當時, ,由(ii)可知: 所以綜上有
十二、使用加強命題法證明不等式
(i)同側加強 對所證不等式的同一方向(可以是左側,也可以是右側)進行加強.如要證明,只要證明,其中通過尋找分析,歸納完成.
(ii)異側加強(數學歸納法)
(iii)雙向加強
有些不等式,往往是某個一般性命題的特殊情況,這時,不妨”返璞歸真”,通過雙向加強還原其本來面目,從而順利解決原不等式.其基本原理為:
欲證明,只要證明:.
例.已知數列滿足:,求證:
解析: ,從而,所以有
,
所以
又,所以,所以有
所以
所以綜上有
引申:已知數列滿足:,求證: .
解析:由上可知,又,
所以
從而
又當時,,所以綜上有.
同題引申: (2008年浙江高考試題)已知數列,,,.
記,.
求證:當時. (1); (2); ★(3).
解析:(1),猜想,下面用數學歸納法證明:
(i)當時,,結論成立;
(ii)假設當時,,則時,
從而,所以 所以綜上有,故
(2)因為則,,…, ,相加后可以得到: ,所以,所以
(3)因為,從而,有,所以有
,從而
,所以
,所以
所以綜上有.
十三、經典題目方法探究
探究1.(2008年福建省高考)已知函數.若在區間上的最小值為,令.求證:.
證明:首先:可以得到.先證明
(方法一)
所以
(方法二)因為,相乘得:
,從而.
(方法三)設A=,B=,因為A所以,從而.
下面介紹幾種方法證明
(方法一)因為,所以,所以有
(方法二),因為,
所以 令,可以得到,所以有
(方法三)設所以,從而,從而
又,所以
(方法四)運用數學歸納法證明:
(i)當時,左邊=,右邊=顯然不等式成立;
(ii)假設時,,則時,
,
所以要證明,只要證明,這是成立的.
這就是說當時,不等式也成立,所以,綜上有
探究2.(2008年全國二卷)設函數.如果對任何，都有，求的取值范圍．
解析:因為,所以
設,則
,
因為,所以
(i)當時, 恒成立,即,所以當時, 恒成立.
(ii)當時,,因此當時,不符合題意.
(iii)當時,令，則故當時,.
因此在上單調增加.故當時,,
即.于是，當時，
所以綜上有的取值范圍是
變式：若,其中且,,求證:
.
證明：容易得到由上面那個題目知道
就可以知道

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