資源簡介

雙曲線問題的類型與解法
雙曲線問題是近幾年高考的熱點內容之一。可以這樣毫不夸張地說，高考試卷中，每卷必有雙曲線問題。從題型上看，不是小題就是大題，難度為中檔或高檔。縱觀近幾年高考試卷，歸結起來雙曲線問題主要包括：①求雙曲線的標準方程；②雙曲線定義與幾何性質的運用；③求雙曲線離心率的值或取值范圍；④與雙曲線相關的最值問題；⑤直線與雙曲線位置關系問題等幾種類型。各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在實際解答雙曲線問題時到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確的解答問題呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、已知雙曲線C：=1（a＞0,b＞0）的焦距為10，點P（2,1）在C的漸近線上，則C的方程為（
）
A=1
B
=1
C
=1
D
=1
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②求雙曲線標準方程的基本方法。
【解題思路】運用雙曲線的性質和求雙曲線標準方程的基本方法，結合問題條件求出，的值，從而得到雙曲線的標準方程就可得出選項。
【詳細解答】雙曲線C：=1（a＞0,b＞0）的焦距為10，點P（2,1）在C的漸近線上，2c=10，1=，25=4+，=5，=45=20，雙曲線C的方程為：=1，A正確，選A。
2、已知動圓M與圓：=2外切，與圓：=2內切，求動圓圓心M的軌跡方程；
【解析】
【知識點】①兩圓相切的定義與性質；②求點軌跡方程的基本方法。
【解題思路】運用兩圓相切的性質和求點軌跡方程的基本方法，結合問題條件就可求出動圓圓心M的軌跡方程。
【詳細解答】設動圓圓心為M（x，y），動圓的半徑為R，|M|=，|M|=，動圓M與圓：=2外切，與圓：=2內切，|M|=+R，|M|=R-，|M|-|M|=2，動圓圓心M的軌跡是中心在原點，以，為焦點的雙曲線，2a=|M|-|M|=2，2c=4-（-4）=8，
a=，c=4，=-=16-2=14，動圓圓心M的軌跡方程為：-=1（-3、求符合下列條件雙曲線的標準方程：已知雙曲線的漸進線方程為2x3y=0。
（1）已知雙曲線的漸進線方程為2x3y=0。若雙曲線經過點P（，2），求雙曲線的方程；
（2）已知雙曲線的漸進線方程為2x3y=0。若雙曲線的焦距為2，求雙曲線的方程。
（3）已知雙曲線的中心在原點，焦點，在坐標軸上，離心率為，且過點（4，-），求雙曲線的方程；
（4）已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，焦距為2，一雙曲線與此橢圓有公共焦點，且實半軸的長比橢圓的長半長軸的長小4，兩曲線離心率之比為3:7，求橢圓和雙曲線的方程；
（5）設雙曲線與橢圓=1有共同的焦點，且與橢圓相交，一個交點的坐標為（，4），則此雙曲線的標準方程是
。
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②求雙曲線標準方程的基本方法。
【解題思路】（1）運用雙曲線的性質和求雙曲線標準方程的基本方法，結合問題條件求出，的值，從而得到雙曲線的標準方程；（2）運用雙曲線的性質和求雙曲線標準方程的基本方法，結合問題條件求出，的值，從而得到雙曲線的標準方程；（3）分焦點在X軸或Y軸上兩種情況分別考慮運用雙曲線的性質和求雙曲線標準方程的基本方法，結合問題條件求出，的值，從而得到雙曲線的標準方程；（4）分焦點在X軸或Y軸上兩種情況分別考慮運用雙曲線的性質和求雙曲線標準方程的基本方法，結合問題條件求出，的值，從而得到雙曲線的標準方程；（5）由題意可知雙曲線的焦點在Y軸上，運用雙曲線的性質和求雙曲線標準方程的基本方法，結合問題條件求出，的值，從而得到雙曲線的標準方程。
【詳細解答】（1）由題意設雙曲線的方程為：-=1（a＞0,b＞0）雙曲線的漸進線方程為2x3y=0，雙曲線經過點P（，2），-=1，=，=，=3，
雙曲線的方程為：-=1；（2）由題意設雙曲線的方程為：-=1（a＞0,b＞0）雙曲線的漸進線方程為2x3y=0，雙曲線的焦距為2，=，c=，=，=，雙曲線的方程為：-=1；（3）①當雙曲線的焦點在X軸上時，設雙曲線的方程為：=1（a＞0,b＞0），雙曲線離心率為，且過點（4，-），
-=1，=，=6，=6，雙曲線的方程為：-=1；②當雙曲線的焦點在Y軸上時，設雙曲線的方程為：-=1（a＞0,b＞0），雙曲線離心率為，且過點（4，-），-=1，=，==-6，此時雙曲線不存在，綜上所述雙曲線的方程為：-=1；（4）①當雙曲線的焦點在X軸上時，設雙曲線的方程為：=1（a＞0,b＞0），雙曲線焦距為2，實半軸的長比橢圓的長半長軸的長小4，兩曲線離心率之比為3：7，
2c=2，=，a=3，c=，
=-=13
-9=4，雙曲線的方程為：-=1；②當雙曲線的焦點在Y軸上時，設雙曲線的方程為：-=1（a＞0,b＞0），雙曲線焦距為2，實半軸的長比橢圓的長半長軸的長小4，兩曲線離心率之比為3：7，
2c=2，=，a=3，c=，
=-=13
-9=4，
雙曲線的方程為：-
=1，綜上所述雙曲線的方程為：-=1或-
=1；（5）由題意設雙曲線的方程為：-=1（a＞0,b＞0），雙曲線與橢圓=1有共同的焦點，且與橢圓相交，一個交點的坐標為（，4），+=36-27=9，-
=1，=4，=5，雙曲線的方程為：-=1。
4、已知雙曲線C的離心率是，右準線方程是x=，求雙曲線的方程。
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②求雙曲線標準方程的基本方法。
【解題思路】運用雙曲線的性質和求雙曲線標準方程的基本方法，結合問題條件求出，的值，從而得到雙曲線的標準方程。
【詳細解答】由題意設雙曲線方程為：=1（a＞0,b＞0），雙曲線C的離心率是，右準線方程是x=，=，=，a=1，c=，=-=3-1=2，雙曲線的方程為：-=1。
『思考題1』
（1）【典例1】是求雙曲線標準方程的問題，解答這類問題需要理解雙曲線的定義，掌握求雙曲線標準方程的基本方法：①定義法；②待定系數法；
（2）【典例1】中2求解的一般方法是通過求點的軌跡方程來求雙曲線方程，求軌跡方程的基本步驟是：①設出動點的坐標；②表示出相關的量；③抓等量建立方程；④化簡整理建立的方程，得到雙曲線的標準方程。但該題如果結合雙曲線的定義來解答會更簡捷；
（3）【典例1】中的1，3求雙曲線的方法稱為待定系數法，待定系數法的基本方法是：①由題意設出雙曲線的標準方程；②根據題意建立關于參數的方程（或方程組）；③求解方程（或方程組）；④把求得的結果代入假設式。其中設定雙曲線方程時可以按照如下思路進行：①如果明確雙曲線的焦點在X軸上，方程設為：=1（a＞0,b＞0）；②如果明確雙曲線的焦點在Y軸上，方程設為：-=1（a＞0,b＞0）；③如果雙曲線中心在原點，焦點位置不確定在X軸上還是在Y軸上，方程設為：A+B=1(A，B異號)；
（4）【典例1】中的4是利用雙曲線的定義及幾何性質求雙曲線方程的問題，其基本方法是：①根據動點滿足等式的幾何意義設出雙曲線的標準方程；②根據題意建立關于a，b，c，e的方程（或方程組，③求解方程（或方程組），④把求得的結果代入假設式；
（5）求雙曲線的標準方程時，應該注意利用雙曲線系求雙曲線標準方程的基本方法，在實際解答問題時可運用某個系的特征設出該系的方程，根據條件求出方程中的參數即可。
〔練習1〕解答下列問題：
1、已知圓：
=1和圓：=9，動圓M同時與圓及圓相外切，求動圓圓心M的軌跡方程；
2、求與雙曲線=2有公共漸進線，且過點M（2,2）的雙曲線的方程；
3、已知雙曲線的焦點在y軸上，且經過兩點（-2，），（，4），求雙曲線的標準方程；
4、已知雙曲線的離心率是，一條準線的方程為y=，求雙曲線的方程。
5、如圖已知、為雙曲線=1
y
P
（a＞0,b＞0）的焦點，過作⊥x軸的直線
0
x
交雙曲線于點P，且，求雙曲線的漸進線的方程。
【典例2】按要求解答下列各題：
y
1、如圖在雙曲線=1的上支上有三點
A
B
C
A()，B（6），C()它們與點F（0,5）
的距離成等差數列。
0
x
（1）求+的值；
(2)證明：線段AC的垂直平分線經過某一定點，并求出此點的坐標。
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②等差數列的定義與性質；③求直線方程的基本方法。
【解題思路】（1）運用雙曲線的定義和等差數列的性質，結合問題條件得到關于，的等式，從而求出+的值；（2）運用求直線方程的基本方法求出線段AC垂直平分線的方程，根據所求直線方程就可證明該直線經過定點，并求出定點的坐標。
【詳細解答】（1）如圖，分別過A，B，C作X軸的垂線，垂足分別為，
，
，交雙曲線的準線分別為
，
，
，|FA|=，
|FB|=，
|FC|=，
|FA|，||FB|，|FC|成等差數列，2||FB|=|FA|+|FC|，2=+，2
=+，==，=+，=+，
=+，2（+）=（+）+（+），
2=+，=6，+=26=12；（2）線段AC的中點M（，6），
=，線段AC垂直平分線的方程為：y-6=-(x-)，
點A()，C()在雙曲線=1上，（+）（-）=（）（），
=，線段AC垂直平分線的方程為：y=-x+，令x=0得y=，線段AC垂直平分線過定點（0，）。
2、如圖已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標原點，
Y
P
且與以點A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切，
B
雙曲線S的一個頂點B與點A關于直線y=x對稱，
設直線l過點A，斜率為k。
0
X
（1）求雙曲線S的方程；
（2）當k=1時，在雙曲線S的上支求點C，使其與直線l的距離為；
（3）當0≤k＜1時，若雙曲線S的上支上有且只有一個點C到直線l的距離為，求斜率k的值及相應的點C的坐標。
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②求雙曲線標準方程的基本方法；③求直線方程的基本方法；④點到直線的距離公式及運用。
【解題思路】（1）運用求雙曲線標準方程的基本方法，結合問題條件就可求出雙曲線S的方程；（2）運用求直線方程的基本方法求出直線l的方程，根據點到直線的距離公式就可求出點C的坐標；（3）設點C（，）嗎，由點C在雙曲線S上得到關于，的等式，把表示成關于的式子，根據有且只有一個點C到直線l的距離為，結合點到直線的距離公式得到關于k，的方程，求解方程分別求出k，的值，從而求出點C的坐標。
【詳細解答】（1）如圖，設雙曲線S的方程為：-=1（a＞0,b＞0），頂點B（0，a）
與點A（，0）關于直線y=x對稱，=，a=，雙曲線S的漸近線方程為：y=x，雙曲線S的兩條漸近線過坐標原點，且與以點A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切，==1，=2，雙曲線S的方程為：
-=1；（2）設點C（，），當k=1時，直線l的方程為：y=x-，點C（，）在雙曲線-=1上，-=1，=，點C（，）到直線l的距離為，=
=，=，
=2，點C的坐標為（，2）；（3）設點C（，），點C（，）在雙曲線-=1上，-=1，=，直線l的方程為：y=k(x-)，雙曲線S的上支上有且只有一個點C到直線l的距離為，=，方程（-1）+2（
-k）+2-2=0有兩個相等的實數根，=8-4（-1）
[2-2]=0，k=0或;=
，①當k=0時，=，=0，
=，點C的坐標為（0，）；②當k=時，-++=
，=2，=，點C的坐標為（2，）。
『思考題2』
（1）【典例2】是雙曲線定義和性質的運用問題，解答這類問題需要理解雙曲線的定義，掌握雙曲線的性質；
（2）雙曲線有兩個定義，解答問題時選用哪一個，應根據題給的條件和問題結構的特點來確定。
〔練習2〕解答下列問題：
1、已知雙曲線的左，右焦點分別為，，在左支上過的弦AB長為5，若2a=8，那么AB的周長（
）
A
16
B
18
C
21
D
26
2、雙曲線=1的右焦點F，斜率大于0的漸進線為l，l與右準線交于A，FA與左準線交于B，與雙曲線左支交于C，若B為AC的中點，求雙曲線的方程；
3、已知雙曲線的方程是=144。
（1）求雙曲線的焦點坐標，離心率和漸進線方程；
（2）設和是雙曲線的左右焦點，點P在雙曲線上，且|P|.|P|=32，求的大小。
【典例3】解答下列問題：
1、設、分別為雙曲線=1（a＞0,b＞0）的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在一點P，滿足|P|=||，且到直線P的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的離心率e為（
）
A
B
C
D
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②雙曲線離心率的定義與求法。
【解答思路】題中焦點在X軸上已經確定，由問題條件得到關于a，c的齊次方程，進一步化為關于e的一元二次（或一元一次）方程，然后求解方程，根據雙曲線離心率的取值范圍求出結果；
P
【詳細解答】如圖，|P|=
||=2c，M
P，
y
M
|M|=2a，|P|=2|PM|
，|P|-|P|
=|P|-2c
O
x
=2a，|P|=2c+2a，|PM|=a+c，在RtPM中，
|PM|+|M|=|P|，+4=4，3-2ac-5=0，3-2e-5=0，e=-1或e=，
雙曲線離心率e滿足：e>1，
e=，D正確，選D。
2、已知雙曲線C：=1（a＞0,b＞0）的左右焦點分別為（-c，0），（c，0），若雙曲線C上存在一點P，使得=，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（
）A
（1，1+）
B
（1，1+）
C
（1，）
D
（1，）
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與幾何性質；②雙曲線離心率的定義與求法；③正弦定理及運用。
【解答思路】題中焦點在X軸上已經確定，由問題條件得到關于a，c的齊次不等式，從而
化為關于e的一元二次不等式，求解不等式就可求出雙曲線離心率的取值范圍。
【詳細解答】如圖，P是雙曲線上一點，且
y
P
=，在P中，=，
O
x
==，
|P|-|P|=2a，|P|=
，|P|=，在P中，
|P|-|P|<||=2c<|P|+|P|，-<2c<+，
2ac-2<2-2ac<2ac+2，e-1<-e1-e>1，1<
e<1+，A正確，選A。
3、設，是雙曲線C：=1（a＞0,b＞0）的兩個焦點，p是C上一點，若|P|+|p|=6a，且的最小內角為，則C的離心率為
。
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與幾何性質；②雙曲線離心率的定義與求法；③余弦定理及運用。
【解答思路】題中焦點在X軸上已經確定，由問題條件得到關于a，c的齊次不等式，從而
化為關于e的一元二次不等式，求解不等式就可求出雙曲線離心率的值。
【詳細解答】如圖，，是雙曲線C：=1
y
P
（a＞0,b＞0）兩個焦點，p是C上一點，且|P|+|p|=6a，
O
x
|P|-|p|=2a，|P|=4a，|p|=2a，的最小內角為，|p|=|P|+
||-2|P|.||cos，4=16+4-16ac，-2e+3=0，
e=，雙曲線C的離心率為。
『思考題3』
（1）【典例3】是與雙曲線離心率相關的問題，這類問題主要包括兩種題型：①求雙曲線的離心率的值；②求雙曲線離心率的取值范圍；
（2）若給定雙曲線的方程，可根據雙曲線的焦點位置確定，，從而求出a，c，再運用公式e=求解；
（3）若雙曲線方程未知，應根據題給條件與幾何圖形建立a，b，c，e滿足的等式，從而化為關于a，c的齊次方程，得到a，c的關系式或化為e的方程求解或不等式，求解方程或不等式就可得出結果。
〔練習3〕解答下列問題：
1、若雙曲線C：=1（a＞0,b＞0）的一條漸近線被圓+=4所截得的弦長
為2，則C的離心率為（
）
A
2
B
C
D
2、設a＞1，則雙曲線=1的離心率e的取值范圍是（
）
A
(,2)
B
(,)
C
(2,5)
D
(2，)
3、如果雙曲線的漸近線方程為y=x，則離心率為
；
4、雙曲線=1（a＞0,b＞0）的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為
；
5、如果雙曲線的焦距，虛軸長，實軸長成等差數列，求雙曲線的離心率e。
【典例4】解答下列問題：
1、已知雙曲線=1的左頂點為，右焦點為，P為雙曲線右支上一點，則.
的最小值為（
）
A
-2
B
C
1
D
0
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②雙曲線標準方程化參數方程的基本方法；③求三角函數最值的基本方法。
【解答思路】運用雙曲線標準方程化參數方程的基本方法得到點P關于參數的坐標，從而得出.
關于參數的三角函數，利用求三角函數最值的基本方法求出.
的最小值就可得出選項。
【詳細解答】點
P為雙曲線=1右支上一點，P（cos，sin），（-1，0），（2，0），=（cos+1，sin），=（cos-2，sin），
.
=（cos+1）（cos-2）+3sin=
cos-
cos+3sin-2=2sin-
cos-1
=-2
cos-
cos+1，設t=
cos，t[-1，1]，f(t)=-2-t+1，=
f(t)=-2
1
-1+1=-2，A正確，選A。
2、已知雙曲線-=1的右焦點為F，點A（9，2），試在這個雙曲線上求一點M，使|MA|+
|MF|的值最小，并求出這個最小值；
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②雙曲線離心率的定義與求法；③線段公理及運用。
【解答思路】如圖，過點M作MN垂直雙曲線的右準線于點N，運用雙曲線的定義與性質，雙曲線離心率的求法，結合問題條件得到|MA|+
|MF|=|MA|+|MN|，根據線段公理可知當A，M，N三點共線時，|MA|+|MN|=|AN|最小，從而求出
|MA|+
|MF|的最小值和點M的坐標。
【詳細解答】如圖，過點M作MN垂直雙曲線的
y
N
M
右準線于點N，雙曲線-=1的右焦點為F，
A
點A（9，2），點M是雙曲線上一點，|MA|+
0
F
x
|MF|=|MA|+|MN|，當A，M，N三點共線時，
|MA|+|MN|=|AN|最小，|MA|+
|MF|=|AN|=9-=為最小值，此時點M(，2)，當點M(，2)時，
|MA|+
|MF|的最小值為。
3、設連接雙曲線=1與=1的四個頂點所組成的凸四邊形的面積為，連接四個焦點所組成的凸四邊形的面積為，求的最大值。
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②求凸四邊形面積的基本方法；③基本不等式及運用。
【解答思路】如圖，運用雙曲線的定義與性質分別得到四個頂點和三個焦點的坐標，根據求凸四邊形面積的基本方法得到，關于a，b的式子，從而得出關于a，b的式子，
利用基本不等式就可求出的最大值。
y
【詳細解答】如圖，雙曲線=1與=1
C
的四個頂點分別為A（-a，0），B
（a，0），C
（0，b），
A
0
B
x
D（0，-b），四個焦點分別為（-，0），
D
（，0），（0，），（0，-），=.2a.2b=2ab，
=.2.2=2（+），===
，的最大值為。
『思考題4』
（1）【典例4】是雙曲線中的最值問題，解決這類問題的基本思路是：①數形結合法；②轉化為求函數最值的問題；
（2）解決雙曲線中的最值問題的常用方法有：①數形結合法，運用雙曲線幾何性質；②利用求函數最值的基本方法；③運用基本不等式不等式；，④
利用一元二次方根的判別式。
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知F是雙曲線=1的左焦點，A（1，4），P是雙曲線右支上的動點，則|PF|+|PA|的最小值為
；
2、已知雙曲線=1（a＞0,b＞0）的左右焦點分別為、，點P在雙曲線的右支上，且|P|=4|P|，求雙曲線離心率e的最大值。
【典例5】解答下列問題：
1、直線l與雙曲線=15的一支交于A、B兩點，又與雙曲線的漸進線交于M、N兩點，且|MN|=3|AB|，求AB的中點P的軌跡方程；
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②求點軌跡方程的基本方法；③設而不求，整體代入數學思想及運用；④參數方程化普通方程的基本方法。
【解答思路】設A（，），B（，），P（x，y），運用雙曲線的性質和設而不求，整體代入數學思想求出點P關于參數k的坐標，利用參數方程化普通方程的基本方法就可得到點P的軌跡方程。
A
y
【詳細解答】設A（，），B（，），P（x，y），
B
直線l的方程為x=my+m，如圖，=15，
0
x
-=1，由
-=1，得：（5-3）-6mny
N
x=my+m，-3-15=0，+=，.=，
+=m（+）+2n=+=，x==，
y==，點P（，），由
y=
x
,
y=
-x
x=my+m，
x=my+m，
分別得M（，），N（，），|MN|=3|AB|，
=3
.，=，（5-3）（-3+5）
=0，=3-5，點P（，）的軌跡方程為：-
=1（y
-
或y
）。
2、如圖甲在面積為18的中，AB=5，雙曲線E過點A，且以B、C為焦點，已知
.=27,
.=54。
A
（1）建立適當的直角坐標系，求雙曲線E的方程；
（2）是否存在過點D（1，1）的直線l，使l與雙
B
C
曲線交于不同的兩點M、N，且+=0，如
(甲)
果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由。
A
y
【解析】
【知識點】①建立直角坐標系的基本方法；②雙曲線的
定義與性質；③三角形面積公式及運用；④向量數量積
B
0
C
x
的定義與性質；⑤設而不求，整體代入數學思想及運用。
(乙)
【解答思路】（1）如圖（乙）作線段BC的垂直平分線交線段BC于點O，以點O為原點，線段BC所在直線為X
軸，線段BC
的垂直平分線為Y軸建立直角坐標系xoy，運用三角形面積公式，向量數量積的定義與性質，結合問題條件求出BC，AC的值，利用雙曲線的定義與性質就可求出雙曲線E的方程；（2）設存在過點D（1，1）的直線l，使l與雙曲線交于不同的兩點M、N，M（，），N（，），運用向量的相關知識，結合問題條件得到+=0關于，，，的方程，求解方程求出+，+的值，從而求出直線l的斜率與方程，聯立直線方程和雙曲線E的方程，得到關于x的一元二次方程，根據該方程無解得到滿足問題條件的直線l不存在。
【詳細解答】（1）如圖（乙）作線段BC的垂直平分線交線段BC于點O，以點O為原點，線段BC所在直線為X軸，線段BC
的垂直平分線為Y軸建立直角坐標系xoy，
AB=5，
.=||.||cosA=27，.=||.||cosC=54，
5||cosA=27，
=||.||sinA=18，
=||.||sinC=18，
5||sinA=36，
||.||cosC=54，
AC=9，
a=2，=-=13-4=9，雙曲線E的方||.||sinC=36，
BC=2，
c=，程為：-=1；
（2）設存在過點D（1，1）的直線l，使l與雙曲線交于不同的兩點M、N，M（，），N（，），
=（-1，-1），=（-1，-1），+=0，+=（+-2，+-2）=0，+=+=2，點M，N在雙曲線-=1上，
-=1，
=
=
，直線l過點D（1，1），直線l的方程為：
-=1，y=x-，由
-=1，得：45-90x+169=0，=8100-30420=-22320<0，
,y=x-，此時直線l與雙曲線E沒有交點，滿足問題條件的直線l不存在。
3、已知橢圓的方程為+=1，雙曲線的左，右焦點分別是的左，右頂點，而的左，右頂點分別是的左，右焦點。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l：y=kx+與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B，且.＞2，（其中O為坐標原點）求k的取值范圍。
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②橢圓的定義與性質；③設而不求，整體代入數學思想及運用。
【解答思路】（1）由題意設雙曲線的方程為：=1（a＞0,b＞0），運用橢圓的性質，結合問題條件分別求出橢圓的左，右頂點與左，右焦點的坐標，從而得到雙曲線的實半軸a和半焦距c的值，求出就可得出雙曲線的方程；（2）設A（，），B（，），運用設而不求，整體代入數學思想，結合問題條件得到.，.關于參數k的式子，從而得到.關于參數k的不等式，求解不等式就可求出k的取值范圍。
【詳細解答】（1）由題意設雙曲線的方程為：=1（a＞0,b＞0），橢圓的方程為+=1的左，右頂點分別為（-2，0），（2，0），左，右焦點分別為（-，0），（，0），雙曲線的左，右焦點分別是的左，右頂點，而的左，右頂點分別是的左，右焦點，a=，c=2，=-=4-3=1，雙曲線的方程為：-=1；（2）設A（，），B（，），由
-=1，得：（1-3）-6kx-9=0，+
y=kx+，=，.=-，.
=.+k（+）+2=-++=，A，B是不同兩點，=72+36（1-3）=36-36>0，-12，<0，
<<3，-『思考題5』
（1）【典例5】是直線與雙曲線位置關系的問題，解答這類問題需要理解直線和雙曲線的定義，掌握直線方程和雙曲線方程的求法，注意處理直線與雙曲線相交問題的基本思路是聯立直線方程和雙曲線方程消去y（或x）得到關于x（或y）的一元二次方程，再運用設而不求，整體代入數學思想；
（2）如果問題中涉及到過定點的直線時，注意需要對直線的斜率存在還是不存在的兩種情況分別考慮，實際解答問題時為避免這樣繁雜的解答過程，可設直線方程為：x=my+n。
〔練習5〕解答下列問題：
1、若雙曲線E：-=1（a＞0）的離心率等于，直線y=kx-1與雙曲線E的右支交于A，B兩點。
（1）求k的取值范圍；
（2）若|AB|=6，點C是雙曲線上一點，且=m（+），求k，m的值。
2、如圖所示已知，是雙曲線=1（a＞0）
y
A
的左右焦點，A、B是雙曲線右支上不同于頂點的兩
點，M、N分別為,的內切圓的圓心。
0
x
（1）設圓M與相切于P點，求證：|P|-|p|=2a；
B
（2）求證：直線MN與y軸平行；
（3）如果點在線段AB上，直線AB的傾斜角的正弦值為，且|MN|=，求雙曲線的方程。
【典例6】解答下列問題：
1、已知雙曲線C：=1（a＞0,b＞0）的左，右焦點分別為（-c，0），（c，0），又點N（-c，），若雙曲線C左支上的任意一點M均滿足|M|+|MN|>4b，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（
）
A
（，）
B
（，）
C
（1，）（，+
）
D
（1，）（，+
）
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②雙曲線離心率的定義與求法；③不等式的定義與解法。
【解題思路】運用雙曲線的性質和雙曲線離心率的基本求法，結合問題條件得到關于雙曲線離心率e的不等式，求解不等式就可得出選項。
【詳細解答】如圖，連接N，交雙曲線C的左支
N
y
于點M，
N（-c，），M（-c，），|M|
M
-|M|=2a，|MN|=-=，|M|=2a+
0
x
|M|=，雙曲線C左支上的任意一點M均滿足|M|+|MN|>4b，+
=>4b，4>8ab，16-40+9>09-58+65>0，
<或>5，1，C正確，選C。
2、已知雙曲線C:-
=1（b＞0）的焦距為4，則雙曲線C的漸近線方程為(
)
A
y=
x
B
y=
2x
C
y=
3x
D
y=
x
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②雙曲線焦距的定義與性質；③雙曲線漸近線的定義與求法。
【解題思路】根據雙曲線焦距的定義與性質，運用雙曲線實半軸a，虛半軸B，半焦距之間的關系先求出b的值，再利用雙曲線漸近線的基本求法，結合問題條件就可得出結果。
【詳細解答】雙曲線C為：-=1（b>0）的焦距為4，2c=4，c=2，a=1，=+
，=4-1=3，b=，雙曲線的漸近線方程為：y=x，
D正確，選D。
3、已知雙曲線C：-=1的右焦點為F，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為
。
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②雙曲線漸近線的定義與性質；③點到直線的距離公式及運用；
【解題思路】根據雙曲線的定義與性質，可知F（，0），漸近線方程為：y=x，運用點到直線的距離公式就可求出結果；
【詳細解答】
F（，0），漸近線方程為：y=x，==1。
『思考題5』
（1）【典例6】是近幾年高考或高三診斷考試中有關雙曲線的問題，。縱觀近幾年高考試卷，歸結起來雙曲線問題主要包括：①求雙曲線的標準方程；②雙曲線定義與幾何性質的運用；③求雙曲線離心率的值或取值范圍；④與雙曲線相關的最值問題；⑤直線與雙曲線位置關系問題等幾種類型；
（2）在解答考題時，注意抓住問題的結構特征，分辨清楚問題屬于哪一種類型，再運用解答該類問題的基本思路和基本方法去解答問題。
〔練習6〕解答下列問題：
1、已知雙曲線C：=1（a＞0,b＞0）的左，右焦點分別為，，拋物線=2px（p＞0）與雙曲線有相同的焦點，設P為拋物線與雙曲線C的一個交點，且cosP=，則雙曲線C的離心率為（
）
A
或
B
或3
C
2或
D
2或3
2、（1）雙曲線C：
-=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若|PO|=|PF|，則PFO的面積為（
）
A
B
C
2
D
3
（2）已知F是雙曲線C：-=1的一個焦點，O為坐標原點，若|OP|=|OF|，則OPF的面積為（
）
A
B
C
D
3、（理）已知雙曲線C：-=1（a＞0，
b＞0）的左，右焦點分別為，，過的直線與C的漸近線分別交于A，B兩點，若=，.=0，則C的離心率為
。
A

展開更多......

收起↑