資源簡介

線性代數(shù)復習要點
第一部分
行列式
1.
排列的逆序數(shù)
2.
行列式按行（列）展開法則
3.
行列式的性質(zhì)及行列式的計算
行列式的定義
1.
行列式的計算：
①
(定義法)
②（降階法）行列式按行（列）展開定理：
行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.
推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.
③
(化為三角型行列式)上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.
④
若都是方陣（不必同階）,則
⑤
關(guān)于副對角線：
⑥
范德蒙德行列式：
證明用從第n行開始，自下而上依次的由下一行減去它上一行的倍，按第一列展開，重復上述操作即可。
⑦
型公式：
⑧
(升階法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不變的方法.
⑨
(遞推公式法)
對階行列式找出與或,之間的一種關(guān)系——稱為遞推公式，其中
,,等結(jié)構(gòu)相同，再由遞推公式求出的方法稱為遞推公式法.
(拆分法)
把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和，
使問題簡化以例計算.
⑩
(數(shù)學歸納法)
2.
對于階行列式，恒有：，其中為階主子式；
3.
證明的方法：
①、；
②、反證法；
③、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解；
④、利用秩，證明；
⑤、證明0是其特征值.
4.
代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：
第二部分
矩陣
1.
矩陣的運算性質(zhì)
2.
矩陣求逆
3.
矩陣的秩的性質(zhì)
4.
矩陣方程的求解
1.
矩陣的定義
由個數(shù)排成的行列的表稱為矩陣.
記作：或
同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等.
矩陣相等:
兩個矩陣同型，且對應(yīng)元素相等.
矩陣運算
a.
矩陣加（減）法：兩個同型矩陣，對應(yīng)元素相加（減）.
b.
數(shù)與矩陣相乘：數(shù)與矩陣的乘積記作
或，規(guī)定為.
c.
矩陣與矩陣相乘：設(shè),
,則，
其中
注：矩陣乘法不滿足：交換律、消去律,
即公式
不成立.
a.
分塊對角陣相乘：,
b.
用對角矩陣乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的向量；
c.
用對角矩陣乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的向量.
d.
兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘.
④
方陣的冪的性質(zhì)：，
⑤
矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.
a.
對稱矩陣和反對稱矩陣:
是對稱矩陣
.
是反對稱矩陣
.
b.
分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：
⑥
伴隨矩陣：
，為中各個元素的代數(shù)余子式.
,,
.
分塊對角陣的伴隨矩陣：
，
矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：
矩陣可逆的性質(zhì)：
伴隨矩陣的性質(zhì)：
（無條件恒成立）
r(A)與r(A
)的關(guān)系
若r（A）=n，則不等于0，A
=可逆，推出r（A
）=n。
若r（A）=n-2，則
等于0且所以n-1階子式全為0，因此A
=0，即r（A
）=0
若r（A）=n-1，則等于0且存在n-1階子式不為0，因此A
不等于0，r（A
）大于等于1
又因為
AA
=E=0，r（A）+r（A
）小于等于n，r（A
）小于等于n-r（A）=1
就可以得到r（A
）=1
2.
逆矩陣的求法
方陣可逆
.
①伴隨矩陣法
：
②
初等變換法
③
分塊矩陣的逆矩陣：
④
,
⑤
配方法或者待定系數(shù)法
（逆矩陣的定義）
3.
行階梯形矩陣
可畫出一條階梯線，線的下方全為；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎
線后面的第一個元素非零.
當非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時，
稱為行最簡形矩陣
4.
初等變換與初等矩陣
對換變換、倍乘變換、倍加（或消法）變換
初等變換
初等矩陣
初等矩陣的逆
初等矩陣的行列式
()
()
()
?矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：
對施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘；
對施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘.
注意：
初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣.
5.
矩陣的秩
關(guān)于矩陣秩的描述：
①、，中有階子式不為0，階子式
(存在的話)
全部為0；
②、，的階子式全部為0；
③、，中存在階子式不為0；
?矩陣的秩的性質(zhì)：
①
≥;
;≤≤
②
③
④
⑤
≤
⑥
若、可逆，則；
即：可逆矩陣不影響矩陣的秩.
⑦
若；
若
⑧
等價標準型.
⑨
≤,
≤≤
⑩
,
?求矩陣的秩：定義法和行階梯形陣方法
6
矩陣方程的解法()：設(shè)法化成
第三部分
線性方程組
1.
向量組的線性表示
2.
向量組的線性相關(guān)性
3.
向量組的秩
4.
向量空間
5.線性方程組的解的判定
6.
線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）
（1）齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）
（2）非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）
1.線性表示：對于給定向量組，若存在一組數(shù)使得，
則稱是的線性組合，或稱稱可由的線性表示.
線性表示的判別定理:
可由的線性表示
由個未知數(shù)個方程的方程組構(gòu)成元線性方程：
①、有解
②、
③、（全部按列分塊，其中）；
④、（線性表出）
⑤、有解的充要條件：（為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）
2.
設(shè)的列向量為,的列向量為，
則
，
為的解
可由線性表示.
即：的列向量能由的列向量線性表示，為系數(shù)矩陣.
同理：的行向量能由的行向量線性表示，為系數(shù)矩陣.
即：
3.
線性相關(guān)性
判別方法：
法1
法2
法3
推論
?
線性相關(guān)性判別法（歸納）
?
線性相關(guān)性的性質(zhì)
1
零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交.
2
單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān).
3
部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必無關(guān).
（向量個數(shù)變動）
4
原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān).
（向量維數(shù)變動）
5
兩個向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān).
6
向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線性組合.
7
若線性無關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一
4.
最大無關(guān)組相關(guān)知識
向量組的秩
向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩.記作
矩陣等價
經(jīng)過有限次初等變換化為.
向量組等價
和可以相互線性表示.
記作：
1
矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩.
行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).
2
矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行（列）向量間的線性關(guān)系
3
向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān).
向量組線性無關(guān),且可由線性表示,則≤.
4
向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價；
5
任一向量組和它的極大無關(guān)組等價.向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價.
6
向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)唯一確定.
7
若兩個線性無關(guān)的向量組等價,則它們包含的向量個數(shù)相等.
8
設(shè)是矩陣,若，的行向量線性無關(guān)；
5.
線性方程組理論
線性方程組的矩陣式
向量式
其中
（1）解得判別定理
（2）線性方程組解的性質(zhì)：
(3)
判斷是的基礎(chǔ)解系的條件：
①
線性無關(guān)；
②
都是的解；
③
.
(4)
求非齊次線性方程組Ax
=
b的通解的步驟
（5）其他性質(zhì)
一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一.
√
若是的一個解，是的一個解線性無關(guān)
√
與同解（列向量個數(shù)相同）,
且有結(jié)果：
①
它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而秩相等；
②
它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；
③
它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.
√
矩陣與的行向量組等價齊次方程組與同解（左乘可逆矩陣）；
矩陣與的列向量組等價（右乘可逆矩陣）.
第四部分
方陣的特征值及特征向量
1.
施密特正交化過程
2.
特征值、特征向量的性質(zhì)及計算
3.
矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化
1.
標準正交基
個維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個向量長度為1.
向量與的內(nèi)積
.
記為：
④
向量的長度
⑤
是單位向量
.
即長度為的向量.
2.
內(nèi)積的性質(zhì)：
①
正定性：
②
對稱性：
③
線性性：
3.
設(shè)A是一個n階方陣,
若存在數(shù)和n維非零列向量,
使得
，
則稱是方陣A的一個特征值，為方陣A的對應(yīng)于特征值的一個特征向量.
的特征矩陣
（或）.
的特征多項式
（或）.
④
是矩陣的特征多項式
⑤
，稱為矩陣的跡.
⑥
上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的各元素.
⑦
若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線性無關(guān)的特征向量.
⑧
一定可分解為
=、,從而的特征值
為：,
.
為各行的公比，為各列的公比.
⑨
若的全部特征值，是多項式,則:
①
若滿足的任何一個特征值必滿足
②的全部特征值為；.
⑩
與有相同的特征值，但特征向量不一定相同.
4.
特征值與特征向量的求法
(1)
寫出矩陣A的特征方程，求出特征值.
(2)
根據(jù)得到
A
對應(yīng)于特征值的特征向量.
設(shè)的基礎(chǔ)解系為
其中.
則A
對應(yīng)于特征值的全部特征向量為
其中為任意不全為零的數(shù).
5.
與相似
（為可逆矩陣）
與正交相似
（為正交矩陣）
可以相似對角化
與對角陣相似.（稱是的相似標準形）
6.
相似矩陣的性質(zhì)：
①,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量.
②
③
從而同時可逆或不可逆
④
⑤若與相似,
則的多項式與的多項式相似.
7.
矩陣對角化的判定方法
①
n
階矩陣A可對角化
(即相似于對角陣)
的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量.
這時,為的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為的特征值.
設(shè)為對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量,則有：
.
②
可相似對角化，其中為的重數(shù)恰有個線性無關(guān)的特征向量.
：當為的重的特征值時，可相似對角化的重數(shù)基礎(chǔ)解系的個數(shù).
③
若階矩陣有個互異的特征值可相似對角化.
8.
實對稱矩陣的性質(zhì)：
①
特征值全是實數(shù),特征向量是實向量；
②
不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交；
：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；
③
一定有個線性無關(guān)的特征向量.
若有重的特征值,該特征值的重數(shù)=；
④
必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為標準形；
⑤
與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標準形；
⑥
兩個實對稱矩陣相似有相同的特征值.
9.
正交矩陣
正交矩陣的性質(zhì)：①
；
②
；
③
正交陣的行列式等于1或-1；
④
是正交陣,則，也是正交陣；
⑤
兩個正交陣之積仍是正交陣；
⑥
的行（列）向量都是單位正交向量組.
10.
11.
施密特正交規(guī)范化
線性無關(guān),
單位化：
技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先與第一個解向量正交，再把第二個解向量代入方程，確定其自由變量.
第四部分
二次型
1.
二次型及其矩陣形式
2.
二次型向標準形轉(zhuǎn)化的三種方式
3.
正定矩陣的判定
1.
二次型
其中為對稱矩陣，
與合同
.
（）
正慣性指數(shù)
二次型的規(guī)范形中正項項數(shù)
負慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負項項數(shù)
符號差
(為二次型的秩)
④
兩個矩陣合同它們有相同的正負慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等.
⑤
兩個矩陣合同的充分條件是：與等價
⑥
兩個矩陣合同的必要條件是：
2.
經(jīng)過
化為標準形.
正交變換法
配方法
（1）若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進行，
直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標準形;
（2）
若二次型中不含有平方項，但是
(),
則先作可逆線性變換
,
化二次型為含有平方項的二次型，然后再按(1)中方法配方.
初等變換法
3.
正定二次型
不全為零，.
正定矩陣
正定二次型對應(yīng)的矩陣.
4.
為正定二次型（之一成立）：
（1）
，；
（2）的特征值全大于；
（3）的正慣性指數(shù)為；
（4）的所有順序主子式全大于；
（5）與合同，即存在可逆矩陣使得；
（6）存在可逆矩陣，使得；
5.
（1）合同變換不改變二次型的正定性.
（2）
為正定矩陣
；
.
（3）
為正定矩陣也是正定矩陣.
（4）
與合同，若為正定矩陣為正定矩陣
（5）
為正定矩陣為正定矩陣，但不一定為正定矩陣.
6.
半正定矩陣的判定
一些重要的結(jié)論
：全體維實向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間.
√
關(guān)于：
①稱為的標準基，中的自然基，單位坐標向量；
②線性無關(guān)；
③；
④；
⑤任意一個維向量都可以用線性表示.
7

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