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拋物線問題的類型與解法
拋物線問題是近幾年高考的熱點內容之一。高考試卷中，很多試卷都有拋物線問題。從題型上看，不是小題就是大題，難度為低檔或中檔。縱觀近幾年高考試卷，歸結起來拋物線問題主要包括：①求拋物線的標準方程；②拋物線定義與幾何性質的運用；③與拋物線相關的最值問題；④直線與拋物線位置關系問題等幾種類型。各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在實際解答拋物線問題時到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確的解答問題呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、已知雙曲線：=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，若拋物線：=2py
(p＞0)的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為（
）
A
=y
B
=y
C
=8y
D
=16y
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②雙曲線離心率的定義與性質；③拋物線的定義與性質；④求拋物線標準方程的基本方法。
【解題思路】運用雙曲線的性質，雙曲線離心率的定義，結合問題條件求出雙曲線的漸近線方程，根據點到直線的距離公式得到關于p的方程，求解方程求出p的值得出拋物線的方程就可得出選項。
【詳細解答】雙曲線：=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，
=2，
=4，=-=3，=，雙曲線的漸近線方程為：y=
x，拋物線：=2py
(p＞0)的焦點為F（0，），===2，p=8，拋物線的方程為
：=16y，D正確，選D。
2、設拋物線C:=3px（p≥0）的焦點為F，點M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點（0,2），則C的方程為（
）
A
=8x
或=4x
B
=8x或=2x
C=4x
或=16x
D=2x或=16x
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②圓的定義與性質；③求拋物線標準方程的基本方法。
【解題思路】如圖，過點M作MN垂直拋物線的準線于點N，運用拋物線的性質，結合問題條件求出點M的坐標，從而得到以MF的為直徑的圓的方程，根據點（0,2）在圓上，得到關于p的方程，求解方程求出p的值得出拋物線的方程就可得出選項。
【詳細解答】如圖，過點M作MN垂直拋物線的
y
準線于點N，點M是拋物線C:=3px（p≥0）
N
M
上一點，焦點為F，|MF|=5，+=MF=5，
0
F
x
=5-，=，以MF為直徑的圓的方程為：
+=，圓過點（0,2），+=，p=或p=，
拋物線C的方程為：=4x或=16x，C正確，選C。
3、分別求出滿足下列條件的拋物線的標準方程：
（1）過點（-3，2）；
（2）焦點在直線x-2y-4=0上。
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②求拋物線標準方程的基本方法。
【解題思路】（1）由題意設拋物線的方程為：=-2px（p>0）或=2py（p>0），根據點（-3，2）在拋物線上得到關于p的方程，求解方程求出p的值就可求出拋物線的標準方程；（2）根據焦點在直線x-2y-4=0上分別求出拋物線在X軸和Y軸上的焦點，從而得到拋物線的標準方程。
【詳細解答】（1）由題意設拋物線的方程為：=-2px（p>0）或=2py（p>0），點（-3，2）在拋物線上，4=6p或9=4p，p=或p=，拋物線的標準方程為：=-x或
=y；（2）拋物線的焦點在直線x-2y-4=0上，令y=0得x=4，令x=0得y=-2，拋物線的焦點分別為（4，0），（0，-2），拋物線的標準方程為：=16x或=-8y。
5、拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線=1的一個焦點，并且這條準線與雙曲線的兩個焦點連線垂直，又拋物線與雙曲線交于點（，），求拋物線和雙曲線的方程。
【解析】
【知識點】①雙曲線的定義與性質；②求雙曲線標準方程的基本方法；③拋物線的定義與性質；④求拋物線標準方程的基本方法。
【解題思路】由題意設拋物線的標準方程為：=2px（p>0），由拋物線的性質和求拋物線標準方程的基本方法，結合已知求出拋物線的標準方程，從而得到雙曲線交點的坐標，結合已知得到關于，的方程組，求解方程組得到，的值就可求出雙曲線的標準方程。
【詳細解答】由題意設拋物線的標準方程為：=2px（p>0），拋物線與雙曲線交于點（，），6=3p，p=2，拋物線的標準方程為：=4x；拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線=1的一個焦點，c=1①，拋物線與雙曲線交于點（，），
-=1②，聯立①②解得：=，=，雙曲線的標準方程為：-=1。
5、已知定點A（0，t）(t≠0)，點M在拋物線=x上，A關于M的對稱點N。
（1）求點N的軌跡方程；
（2）設（1）所求軌跡與拋物線=x交于B、C兩點，當AB⊥AC時，求t的值.
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②求軌跡方程的基本方法；③對稱點的定義與性質；④兩直線垂直的充分必要條件；⑤設而不求，整體代入數學思想的運用。
【解題思路】（1）設點N（x，y），根據對稱點的性質求出點M關于x，y的坐標，利用點M在拋物線=x上就可求出點N的軌跡方程；（2）設B（，），C（，），運用設而不求，整體代入數學思想得到關于參數t的方程，求解方程就可求出t的值。
【詳細解答】（1）設點N（x，y），A關于M的對稱點N，==，
=，點M（，），點M在拋物線=x上，點N的軌跡方程為：
=2x（x>0）；（2）設B（，），C（，），由
=x，得：-2ty-=0，+
=2x，=2t，.=-，
.===，=(，-t），
=（，-t），AB⊥AC，
.
=.+（-t））（-t）=.+.-t（+）+=--2+=-2=0，
t=0或t=
，t≠0，
t=
。
6、如圖所示，拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標
y
P
原點，點P(1,2)，A（），B（）均在拋物
線上。
0
x
（1）求拋物線的方程及其準線方程；
A
（2）當PA與PB的斜率存在，且傾斜角互補時，
求+的值及直線AB的斜率；
B
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②求拋物線標準方程的基本方法；③直線傾斜角的定義與性質；④已知直線傾斜角，求直線斜率的基本方法。
【解題思路】（1）由題意設拋物線的標準方程為：=2px（p>0），根據點P（1，2）在拋物線上，得到關于p的方程，求解方程求出p的值就可得到拋物線的標準方程；（2）由點A（，），B（，）在拋物線上，得到關于，，，的式子，運用已知直線傾斜角，求直線斜率的基本方法，結合已知得到又一個關于，，，的式子，聯立兩個式子就可求出+的值及直線AB的斜率。
【詳細解答】（1）由題意設拋物線的標準方程為：=2px（p>0），點P（1，2）在拋物線上，4=2p，p=2，拋物線的標準方程為：=4x；==
=，===，直線PA與直線PB的傾斜角互補，+=+==0，=0，+=-4，點A（），B（）在拋物線=4x上，=4，=4，（+）（-）=4（-），===-1。
『思考問題1』
（1）【典例1】是求拋物線標準方程的問題，解答這類問題應該注意拋物線的標準方程有四種不同的形式及各種形式標準方程的特征；
（2）求拋物線方程的常用方法有：①待定系數法；②定義法（即求點的軌跡方程法）；
（3）拋物線的焦點位置確定后，設拋物線的標準方程時還需要考慮其開口方向；如果開口方向不確定，則標準方程可設為:
=2ax(a0)(焦點在X軸上)，或=2ay(a0)(焦點在Y軸上)；
（4）求拋物線標準方程的基本方法是：①確定拋物線焦點的位置和開口方向；②設拋物線的標準方程；③根據條件求出參數p的值；④得到拋物線的標準方程。
〔練習1〕解答下列問題：
1、已知拋物線的準線方程為x=-7，則拋物線的標準方程為（
）
A
=-28y
B
=28x
C
=-28x
D
=28y
2、以雙曲線-=1的中心為頂點，左焦點為焦點的拋物線方程是
；
3、求滿足下列條件拋物線的標準方程：
（1）
過點（3，-2）；
（2）
焦點在直線2x+y-6=0上；
4、已知拋物線S的頂點在原點，焦點在X軸上，ABC的重心為拋物線的焦點，若BC所在直線的方程為l：4x+y-20=0，求拋物線的方程。
【典例2】按要求解答下列各題：
1、設圓C與圓+=1外切，與直線y=0相切，則C的圓心軌跡為（
）
A
拋物線
B
雙曲線
C
橢圓
D
圓
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②圓的定義與性質；③求點軌跡方程的基本方法。
【解題思路】設C（x，y），根據圓與圓，圓與直線相切的性質，得到關于x，y的式子，利用拋物線的定義判斷C的圓心軌跡就可得出選項。
【詳細解答】設C（x，y），圓C的半徑為R，圓+=1的圓心為M（0，3），半徑為1，|CM|==
，=|y|=R，圓C與圓+=1外切，與直線y=0相切，|CM|=1+=|y|，=，C的圓心軌跡方程為：=8（y-1）或=4（y-2）均為拋物線，A正確，選A。
2、已知拋物線關于X軸對稱，它的頂點坐標在原點，并且經過點M（2，），若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|=（
）
A
2
B
2
C
4
D
2
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②求拋物線標準方程的基本方法。
【解題思路】運用求拋物線標準方程的基本方法得到含的拋物線標準方程，根據拋物線的性質得到關于的方程，求解方程得出的值求出|OM|的值就可得出選項。
【詳細解答】如圖，過點M作MN垂直拋物線
N
y
M
準線于點N，由題意設拋物線的標準方程為：
=2px（p>0），點M（2，）在拋物線上，
0
F
x
=4p，p=，拋物線的標準方程為：=x，
|MF|=3，2+=3，=2，|OM|==
2，B正確，選B。
3、F是拋物線=2x的焦點，A、B是拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=6，則線段AB的中點到Y軸的距離為
；
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②梯形的定義與性質。
【解題思路】如圖，運用拋物線的性質，結合已知條件求出|MN|的值，從而求出線段AB中點M到Y的距離。
C
y
A
【詳細解答】如圖，設線段AB的中點為M，分別
過點A，B，M作AC垂直拋物線準線于點C，BD
N
M
垂直拋物線準線于點D，MN垂直拋物線準線于點N，
0
F
x
F是拋物線=2x的焦點，A、B是拋物線上的兩
D
B
點，|AF|+|BF|=6，|AC|+|BD|=6，M是線段AB的中點，|MN|==3，點M到Y軸的距離為：3-=，線段AB中點到Y軸的距離是。
4、求證：以拋物線的焦點弦為直徑的圓一定和準線相切；
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②梯形的定義與性質。
【解題思路】如圖，設拋物線的標準方程為：=2px（p>0），線段AB為拋物線的焦點弦，運用拋物線的性質得到|MN|===，從而結論得證。
【詳細解答】證明：如圖，設線段AB的中點為M，
C
y
A
分別過點A，B，M作AC垂直拋物線準線于點C，BD
垂直拋物線準線于點D，MN垂直拋物線準線于點N，
N
M
F是拋物線=2px的焦點，A、B是拋物線上的兩
0
F
x
點，|AF|+|BF|=
|AC|+|BD|，M是線段AB的中點，
D
B
|MN|===，以|AB|為直徑的圓與直線CD相切，
以拋物線的焦點弦為直徑的圓一定和準線相切。
y
B
5、如圖直線和相交于點M，⊥，點N∈，
A
以定點A、B為端點的曲線段C上任一點到的距離與
M
0
N
x
它到定點N的距離相等，若為銳角三角形，|
AM|=，|AN|=3，|BN|=6，求曲線段C的方程。
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②建立直角坐標系的基本方法；③求點軌跡方程的基本方法。
【解題思路】如圖，作線段MN的垂直平分線l，以直線l與線段MN的交點O為原點，直線為X軸，直線l為Y軸建立直角坐標系xoy，設P(x，y)為曲線段C上任意一點，由題意曲線段C是拋物線=2px（p>0）的一部分，結合已知條件求出點M，N，A，B的坐標就可求出曲線段C的方程。
【詳細解答】如圖，作線段MN的垂直平分線l，以直線l與線段MN的交點O為原點，直線為X軸，直線l為Y軸建立直角坐標系xoy，設P(x，y)為曲線段C上任意一點，曲線段C的方程為：=2px（p>0），M（-，0），N（，0），A（，），B（，），|
AM|=，|AN|=3，|BN|=6，+=17，+=9，
+=36，=2，p=2或p=4，=2或=4，當p=2時，在AMN中，
|
AM|=，|AN|=3，|MN|=2，cosANM==-<0，ANM是鈍角，與為銳角三角形矛盾，=2，p=4，
=4，
M（-2，0），N（2，0），A（1，2），B（4，4），曲線段C的方程為：=8x（1x4，y>0）。
『思考問題2』
（1）【典例2】是與拋物線的定義相關的問題，解答這類問題需要理解拋物線的定義，并注意定義中的定點不能在定直線上這一隱含條件；
（2）拋物線的定義中到定點與到定直線的距離相等表明拋物線的離心率e=1，在解決拋物線定義的運用問題時往往把到定點的距離轉化為到定直線的距離。
〔練習2〕解答下列問題：
1、給定拋物線=2x，設A（a,0）（a＞0），P是拋物線上的一點，且|PA|=d，試求d的最小值；
2、已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點在Y軸上，拋物線上的點M（m，-2）到焦點的距離為4，求m的值；
3、由點（-2,0）向拋物線=4x引弦AB，求弦AB的中點M的軌跡方程；
4、過拋物線=2px
(p＞0)的焦點F的弦AB，
y
A
點A、B在拋物線準線上的射影分別為、。
求
。
0
F
x
【典例3】解答下列問題：
B
1、拋物線y=a的準線方程為y=2，則a的值為（
）
A
B
-
C
8
D
-8
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②拋物線準線方程的定義與求法。
【解題思路】運用拋物線的性質，求拋物線準線方程的基本方法，結合已知條件得到關于參數a的方程，求解方程求出a的值就可得到選項。
【詳細解答】拋物線y=a，=，拋物線的準線方程為：y=-=2，a
=
-，B正確，選B。
2、以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準線于D、E兩點，已知AB=4，
DE=2，則C的焦點到準線的距離為（
）
A
2
B
4
C
6
D
8
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②圓的定義與性質。
【解題思路】如圖，設拋物線C的方程為：=2px（p>0），圓O的方程為：+=，點A（，2），D（-，），運用拋物線的性質，圓的性質，結合已知條件得到關于，p，r的方程組，求解方程組求出p的值就可得到選項。
y
【詳細解答】如圖，設拋物線C的方程為：=2px
D
A
（p>0），圓的方程為：+=，點A（，2），
x
D（-，），點A既在拋物線C，又在圓O上，
點D在圓O上，8=2p①，+8=②，+5=③，聯立①②③解得p=4，拋物線C焦點到準線的距離為4，B正確，選B。
3、已知拋物線=2px
(p＞0)的焦點為F，
A(，)，B（，）是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證：
（1）=-，=；
（2）+為定值；
（3）以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切。
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②圓的定義與性質；③設而不求，整體代入數學思想。
【解題思路】（1）如圖，設A(，)，B（，），過拋物線C焦點F的直線方程為：
x=my+，聯立拋物線和直線方程得到關于y的一元二次方程，運用設而不求，整體代入數學思想就可證明結論；（2）如圖，分別過點A，B作AD垂直拋物線C準線于點D，BE垂直拋物線C準線于點E，根據拋物線的性質，結合已知條件得到|FA|+
|FB|，|FA|.|FB|關于p，m的式子，從而證明+為定值；（3）如圖，設線段AB的中點為M，過點M作MN垂直拋物線準線于點N，運用拋物線的性質得到|MN|==
=，從而結論得證。。
y
【詳細解答】（1）證明：如圖，設A(，)，B（，
D
A
），過拋物線C焦點F的直線方程為：x=my+，由
0
F
x
x=my+，得：-2pmy-=0，+=2pm，
E
B
=2px，.=-，.=.+（+）+=-+
+=，=-，=；（2）如圖，分別過點A，B作AD垂直拋物線C準線于點D，BE垂直拋物線C準線于點E，|FA|=+，
|FB|=+，|FA|+
|FB|=+，
++=++p=m（+）+2p=2p（1+），|FA|.
|FB=（+）（+）=.
+（+）+=+（2p+p）+=（1+），+
===為定值；（3）如圖，設線段AB的中點為M，過點M作MN垂直拋物線C準線于點N，|MN|===，以|AB|為直徑的圓與直線DE相切，
以|AB|為直徑的圓與拋物線C的準線相切。
『思考問題3』
（1）【典例3】是與拋物線的幾何性質相關的問題，解答這類問題首先需要理解拋物線的幾何性質，再分辨清楚問題與拋物線的哪一幾何性質相關；
（2）設AB是過拋物線=2px
(p＞0)焦點F的弦，A(，)，B（，），則：=；=-；弦長|AB|=++p=
（為弦AB的傾斜角）；+=；
以弦AB為直徑的圓與拋物線準線相切；過拋物線焦點且垂直于對稱軸的弦，叫做拋物線的通徑，且它等于2p；
（3）設拋物線方程為=2px
(p＞0)焦點為F，過點F的直線交拋物線于，A(，)，B（，），分別過A、B兩點作拋物線的切線，，兩切線相交于M，則：；點M的坐標為M（，）。
〔練習3〕解答下列問題：
1、拋物線y=2的焦點坐標是（
）
A
（0，）
B
（，0）
C
（0，）
D
（，0）
2、對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：①焦點在Y軸上；②焦點在X軸上；③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6；④拋物線的通經長為5；⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為（2,1）。其中適合拋物線=10x的體積是（要求填寫適合條件的序號）
；
3、若拋物線=4x上一點P到其焦點的距離為3，延長PF交拋物線于點Q，若O為坐標原點，則=
。
【典例4】解答下列問題：
1、已知拋物線=2x
的焦點是F，點P是拋物線上的動點，若點A（3，2）則|PA|+|PF|取最小值時，點P的坐標為
；
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②線段公理及運用。
【解題思路】如圖，過點P作PQ垂直拋物線準線于點Q，運用拋物線的性質得到|PA|+|PF|=
|PA|+|PQ|，利用線段公理就可得出當Q，P，A三點共線時|PA|+|PF|取最小值，從而求出點P的坐標。
y
【詳細解答】如圖，過點P作PQ垂直拋物線準線
Q
P
于點Q，拋物線=2x
的焦點是F，點P是拋物
A
線上的動點，|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|，當Q，P，A
0
F
x
三點共線時|PA|+|PF|取最小值，此時點P的坐標為：
P（2，2），|PA|+|PF|取最小值時，點P的坐標為（2，2）。
2、過拋物線=2px的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點，設AOB的面積為S（O為坐標原點）。
（1）用，p表示S；
（2）求S的最小值；若最小值為4時，求此時的拋物線方程。
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②直線傾斜角的定義與性質；③設而不求，整體代入數學思想及運用；④三角形面積公式及運用；⑤求三角函數最值的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，設A(，)，B（，），運用直線傾斜角的性質，結合已知條件得到直線的方程，由直線方程，拋物線方程聯立得到關于x的一元二次方程，根據設而不求，整體代入數學思想將|AB|，表示為關于，p的式子，利用三角形面積公式就可把S表示成關于，p的式子；（2）運用求三角函數最值的基本方法求出S的最小值，根據最小值為4得到關于p的方程，求解方程求出p的值就可得到拋物線的標準方程。
【詳細解答】（1）如圖，設A(，)，B（，），
y
A
①當時，直線的傾斜角為，且過點F（，
0），直線的方程為：y=tan(x-)，由
=2px，得：
0
F
x
y=tan(x-)，
B
tan
-p（tan
+2）x
+tan
，+=，.=
=，|AB|=.=2|p|.=2|p|
=，===，S=..
=；②當=時，直線過點F（，0），直線方程為：x=，由
x=，得：A（，p），B
（，-p），|AB|=2p，=，S=.2p.
=，
=2px，綜上所述S=
，=，（2）<<，S=，
，，當且僅當=，
S=有最小值，
=4，p=2，拋物線的方程為：=4x或=-4x。
3、已知拋物線=2px（p＞0），過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B。
（1）若|AB|≤2p，求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交X軸于點N，求NAB面積的最大值。
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②直線斜率的定義與性質；③設而不求，整體代入數學思想及運用；④三角形面積公式及運用；⑤求函數最值的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，設A(，)，B（，），運用直線斜率的性質，結合已知條件得到直線的方程，由直線方程，拋物線方程聯立得到關于x的一元二次方程，根據設而不求，整體代入數學思想將|AB|，表示為關于a，p的式子，從而得到關于參數a的不等式，求解不等式就可得出a的取值范圍；（2）運用垂直平分線的性質求出線段AB垂直平分線的方程，從而求出點N的坐標，根據三角形面積公式得到關于參數a，p的函數，利用求函數最值的基本方法就可求出NAB面積的最大值。
【詳細解答】（1）如圖，設A(，)，B（，
y
A
），直線l過點M（a，0）且斜率為1，直線
L的方程為：y=x-a，由y=x-a，得：-2（a+p）x+
0
F
N
=2px，=0，+
B
=2（a+p），.=，|AB|==2≤2p，a≤-，
實數a的取值范圍是（-，-]；（2）設線段AB中點D（，），+=+
-2a=2（a+p）-2a=2p，==a+p，==p，D（a+p，p），線段AB垂直平分線的方程為：y-p=-(x-a-p)，x+y-a-2p，令y=0，得x=a+2p，點N（a+2p，0），==p，=.2.p=2p，當且僅當2p=，即a=時，取得最大值為4，NAB面積的最大值是4。
4、設點F是拋物線=ax
的焦點，直線AB過點F交拋物線于A、B
兩點，M（a，b）滿足條件=2。
（1）證明以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；
（2）若P是拋物線上任意一點，且|PF|+|PM|的最小值是5，求a、b的值。
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②圓的定義與性質；③設而不求，整體代入數學思想及運用；④求函數最值的基本方法。
【解題思路】（1）設線段AB的中點為D，過點D作DE垂直拋物線準線于點E，根據AB為拋物線的焦點弦，由拋物線的性質得到|DE|===，從而結論得證；（2）由條件=2可知點M在拋物線內，根據|PF|+|PM|的最小值是5，得到關于a，b的方程組，求解方程組就可求出a，b的值。
C
Y
A
【詳細解答】（1）如圖，設線段AB的中點為D，過
Q
P
點D作DE垂直拋物線準線于點E，過點A作AC垂
E
D
M
值拋物線準線于點C，過點B作BG垂直拋物線準線
0
F
x
于點G，點F是拋物線=ax
的焦點，直線AB過
G
B
點F交拋物線于A，B兩點，|DE|===，
以|AB|為直徑的圓與直線CG相切，以|AB|為直徑的圓與拋物線的準線相切；（2）過點P作PQ垂直拋物線準線于點Q，
M（a，b）滿足條件=2，點M在拋物線開口值內，當且僅當點Q，P，M三點共線時，據|PF|+|PM|=|MQ|=a+
為最小值，
a+
=5，=2，
a=4，b=2。
『思考問題4』
（1）【典例4】是與拋物線相關的最值問題，解答這類問題應該分辨清楚問題屬于最值問題中的哪一類，再采用恰當的方法給予解答；
（2）與拋物線相關的最值問題常見的類型有：①求拋物線上一點到定直線的最小距離；
②求拋物線上一點到定點的最值；
（3）解答與拋物線相關的最值問題常用的方法是根據條件建立目標函數，轉化為求函數的最值問題，再運用函數求最值的方法進行解答：①求拋物線上一點到定直線的最小距離，可運用點到直線的距離公式把所求距離表示出來轉化為求函數的最值問題，也可以轉化為拋物線過某點的切線與定直線平行，再求兩平行直線間的距離；②求拋物線上一點到定點的最值，可以運用兩點間的距離公式把所求距離表示出來轉化為求函數的最值問題，但應注意拋物線上點的設法及變量的取值范圍；
（4）拋物線上點的設法：①若拋物線的方程為=2px（p＞0），拋物線上的點可設為P（，）；②若拋物線的方程為=-2py(p>0），拋物線上的點可設為P（，）；
（5）解答與拋物線相關的最值問題時，應該注意拋物線幾何性質的運用，尤其是范圍的應用，例如對于拋物線=2px（p＞0），則有x0，0.。
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知點A（4，-2），F為拋物線=8x的焦點，點M在拋物線上移動，當|MA|+|MF|取最小值時，求點M的坐標；
2、已知拋物線y=，直線2x-y-4=0，求拋物線上的點到直線的最短距離；
3、已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c>0），到直線l：x-y-2=0的距離為，設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點。
（1）求拋物線C的方程；
（2）當點P（，）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；
（3）當點P在直線l上運動時，求|AF|.|BF|的最小值。
y
A
【典例5】解答下列問題：
1、如圖正方形ABCD在直角坐標系中，已知一條邊
D
AB在直線y=x+4上，C、D兩點在拋物線=x上，求
B
O
X
正方形ABCD的面積；
C
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②正方形的定義與性質；③正方形面積公式及運用。
【解題思路】如圖，設C（，），D（，），根據ABCD是正方形得到關于，的方程組，求解方程組求出，的值，從而求出\CD|就可得到正方形ABCD的面積。
【詳細解答】如圖，設點C（，），D（，），且<，ABCD是正方形，==1①，=②，聯立①②解得：=-1，=2或=-2，=3，
|CD|=|-|=3或|CD|=|-|
=5，正方形ABCD的面積為18或50。
2、在直角坐標系XOY中，直線l過拋物線=4x的焦點F，且與該拋物線相交于A、B兩點，其中點A在X軸上方，若直線l的傾斜角為，則OAF的面積為
；
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②直線傾斜角的定義與性質；③三角形面積公式及運用。
【解題思路】如圖，設A(，)，B（，），根據直線傾斜角的性質，直線l過物線=4x的焦點F得到直線l的方程，聯立直線l方程與拋物線C方程得到關于x的一元二次方程，求解方程得出x，y的值，從而得到點A，的坐標，運用三角形的面積公式通過運算就可得出OAF的面積。
【詳細解答】如圖，
直線l過拋物線=4x的焦點F，傾斜角為，F（1，0）直線l的方程為：y
=
(x-1)①，拋物線C：=4x，=0②，聯立①②得：3-10x+3=0，x=3或x=，y=2或y=-，點A
y
A
在X軸上方，A（3，2），B（，），
0
B
F
x
=12=。
3、已知拋物線C的方程是：=4x，F是拋物線的焦點。
y
P
（1）求圓心在拋物線C上，且與x軸及拋物線的準線都相切
R
的圓的標準方程；
（2）如圖所示，過點A（2，0）的直線l與拋物線C交于
0
F
A
x
P，Q兩點，F是拋物線的焦點，且，求點R
Q
的軌跡方程。
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②圓的定義與性質；③求圓標準方程的基本方法；④設而不求，整體代入數學思想及運用；⑤求點軌跡方程的基本方法。
【解題思路】（1）設圓的標準方程為：+
=
，根據圓心在拋物線C上，且與x軸及拋物線的準線都相切得到關于a，b，R的方程組，求解方程組求出a，b，R的值就可得到圓的標準方程；（2）如圖，設A(，)，B（，），R（x，y），運用設而不求，整體代入數學思想得到+，+關于參數m的式子，根據向量的坐標運算得到x，y關于參數m的式子，利用參數方程化普通方程的基本方法就可得到點R的軌跡方程。
【詳細解答】（1）設圓的標準方程為：+
=
，圓心在拋物線C上，且與x軸及拋物線的準線都相切，=4a①，R=|b|②，a+1=R③，聯立①②③解得：a=1，
R=1+1=2，b=2，圓的標準方程為：+=4，或+=4；（2））如圖，設P(，)，Q（，），R（x，y），直線l過點A（2，0），直線l的方程為：x=my+2，由
x=my+2，得：-4my-8=0，+=4m，.=-8，+=m(
=4x，+)+4=4+4=4(1+)，F（1，0），=(-1，)，
=（-1，），=（x-1，y），，+=（+-2，+）
=（4+2，4m）=（x-1，y），x-1=4+2，y=4m，x=4+3，y=4m，點R的軌跡方程為：=4（x-3）（x3）。
4、已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點C在l上。
（1）求動圓圓心M的軌跡方程；
（2）設過點P，且斜率為-的直線與曲線M相交于A、B兩點。
①問能否為正三角形？若能，求出點C的坐標；若不能說明理由；
②當為鈍角三角形時，求這時點C的縱坐標的取值范圍。
【解析】
【知識點】①圓的定義與性質；②求點軌跡方程的基本方法；③拋物線的定義與性質；④設而不求，整體代入數學思想及運用；⑤向量數量積的定義與性質。
【解題思路】（1）設M（，），動圓的標準方程為：+
=
，根據動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，得到，關于R的式子，消去參數R就可得到動圓圓心M的軌跡方程；（2）①如圖，設C（-1，y），能為正三角形，根據直線過點P，且斜率為-得到直線方程，聯立直線方程與曲線M方程得到關于x的一元二次方程，求解方程得到A，B的坐標，利用正三角形的性質就可得出結論并求出點c的坐標；②設C（-1，y），，根據向量數量積的性質得到關于y的不等式，求解不等式就可求出點C的縱坐標的取值范圍。
【詳細解答】（1）設M（，），動圓的標準方程為：+
=
，動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，+=①，+1=R②，聯立①②得：=R-1，=4（R-1），動圓圓心M的軌跡方程為：=4x；（2）①如圖，設C（-1，y），能為正三角形，直線過點P，
y
A
且斜率為-，直線的方程為：y=-(x-1)，
C
由
y=-(x-1)，得：3-10x+3=0，x=3或
0
B
P
x
=4x，x=，y=2或y=-，A（3，
2），B（，），為正三角形，|AB|==
=|AC|==|BC|=，這樣的y不存在，
不能為正三角形；②設C（-1，y），若ACB為鈍角，=(4，2-
y），=
（，），.=+-y+4=-y+<0，此時解集為；
若ABC為鈍角，
=(
，），=（-，y-），.=-
+y-=y-<0，y<；若BAC為鈍角，
=(
-，-），=（-4，y-2），.=-y+8=-y+<0，y>，綜上所述，
當為鈍角三角形時，點C的縱坐標的取值范圍是（-，）（，+）。
『思考問題5』
（1）【典例5】是拋物線與直線相關的綜合問題，解答這類問題需要理解拋物線與直線的定義，掌握處理直線與拋物線相交的基本方法；
（2）過拋物線=-2py(p>0）上兩點A（，），B（，）作兩條切線，，與交點的求法是：①由y=得=；②求直線與的斜率=，=；③求出直線與的方程：y-=(x-)，：y-=(x-)；④由：y-=(x-)，：y-=(x-)聯立求得M（，），對于拋物線=2px（p＞0）可以得到類似的結果；
（3）若問題中涉及到過定點的直線時，應該注意分斜率存在和斜率不存在兩種情況來考慮，在實際解答問題時，為避免這種解答的繁雜性，可設過定點的直線方程為：x=my+n（其中mR,，n為常數）。
〔練習5〕解答下列問題：
1、已知拋物線C：=8x與點M（-2，2），過C的焦點且斜率為k的直線與C相交于A，B兩點，若.=0，則k=
；
2、一個正三角形的三個頂點都在拋物線=4x上，其中一個頂點在坐標原點，求這個正三角形的面積。
3、已知直線L：y=kx+1，拋物線C：=4x，當k為何值時，L與C有：
①一個公共點；
②兩個公共點；
③沒有公共點；
4、過點（1,3）作直線與拋物線y=-2x+交于一點，求此直線的方程；
5、已知正方形ABCD的頂點B、D在直線2y+x=0上，頂點A、C在拋物線=4（x+4）上，求：（1）AC所在直線的方程；
（2）正方形ABCD的面積。
6、已知拋物線C：=4x，焦點為F，準線與x軸交于點A，過A且斜率為k的直線L與拋物線C交于P、Q兩點。
（1）求滿足的點R的軌跡方程；
（2）若為鈍角，求直線L的斜率k的取值范圍。
7、已知拋物線C：=2x的焦點為F，平行于X軸的兩條直線，分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點。
（1）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明：AR//FQ；
（2）若PQF的面積是ABF的面積的2倍，求AB中點的軌跡方程。
8、如圖拋物線：=4y，：=-2py(p>0），點M(，)在拋物線上，過M作的切線，切點為A、B（M為坐標原點O時，A、B重合于O）當=1-時，切線MA的斜率為-。
（1）求p的值；
（2）當M在上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程（A、B重合于O時，中點為O）。
【典例6】解答下列問題：
1、（1）已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在X軸上，且拋物線C上橫坐標為4的點P到焦點的距離為5，則拋物線C的標準方程是（
）
A
=8x
B
=4x
C
=2x
D
=x
（2）拋物線=4y的焦點坐標是（
）
A
（1，0）
B
（0，1）
C
（-1，0）
D
（0，-1）
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②求拋物線標準方程的基本方法。
【解題思路】（1）設拋物線C的標準方程為：=2px（p>0），根據拋物線C上橫坐標為4的點P到焦點的距離為5得到關于p的方程，求解方程求出p的值得到拋物線C的標準方程就可得出選項；（2）運用拋物線的性質求出拋物線=4y的焦點坐標就可得出選項。
【詳細解答】（1）設拋物線C的標準方程為：=2px（p>0），如圖過點P作PQ垂直拋物線C準線于點Q，拋物線C上橫坐標為4的
y
點P到焦點的距離為5，4+=|PF|=5，
Q
P
P=2，拋物線C的標準方程為：=4x
，
0
F
x
B正確，選B；（2）拋物線=4y，2p=4，
=1，拋物線=4y的焦點坐標為（0，1），
B正確，選B。
2、（1）已知拋物線C：=2px(p>0)的焦點為F，準線為l，若位于X軸上方的動點A在準線l上，線段AF與拋物線C相較于點B，且-|AF|=1，則拋物線C的標準方程為
（2）已知拋物線C：=2px(p>0)的焦點為F，準線為l，過點F作傾斜角為的直線與準線相較于點A，線段AF與拋物線C相較于點B，且|AB|=，則拋物線C的標準方程為
。
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②直線方程的定義與求法；③求拋物線標準方程的基本方法。
【解題思路】（1）設點A（-，），B（，），運用拋物線的性質，結合問題條件得到==，利用問題條件得到關于p的方程，求解方程得出p的值就可求出拋物線C的標準方程；（2）設點A（-，），B（，），運用拋物線的性質，結合問題條件得到==，利用問題條件得到關于p的方程，求解方程得出p的值就可求出拋物線C的標準方程。
【詳細解答】（1）如圖，設點A（-，），B（，
A
y
），F(，0)，
=，|AF|
B
=
|BF|，-|AF|=1，
|BF|=
+
0
F
x
，2（1--）=-，（p-1）（+）=0，+>0，p-1=0，
P=1，拋物線C的標準方程為：=2x；（2）如圖，設點A（-，），B（，），
F(，0)，
=，|AF|
A
y
=
|BF|，-|AF|=1，
|BF|=
+
B
，2（1--）=-，（p-1）（
0
F
x
+）=0，+>0，p-1=0，P=1，拋物線C的標準方程為：=2x。
3、已知頂點在坐標原點的拋物線的焦點坐標為（0，-2），則此拋物線的標準方程為
。
【解析】
【知識點】①拋物線的定義與性質；②求拋物線標準方程的基本方法。
【解題思路】設拋物線的標準方程為：=-2py（p>0），根據拋物線焦點坐標為（0，-2），得到關于p的方程，求解方程求出p的值就可得到拋物線的標準方程。
【詳細解答】由題意設拋物線的標準方程為：=-2py（p>0），拋物線的焦點坐標為（0，-2），-=-2，p=4，拋物線的標準方程為：=-8y。
『思考問題6』
（1）【典例6】是近幾年高考或高三診斷考試中的問題，縱觀近幾年高考或高三診斷試卷，歸結起來拋物線問題主要包括：①求拋物線的標準方程；②拋物線定義與幾何性質的運用；③與拋物線相關的最值問題；④直線與拋物線位置關系問題等幾種類型；
（2）解答問題時，首先應該根據問題的特征分辨清楚問題的類型；再運用解答該類型問題的基本思路和基本方法快捷，準確地解答問題。
〔練習6〕解答下列問題：
1、若拋物線=2px(p>0)的焦點是橢圓+=1的一個焦點，則p=（
）
A
2
B
3
C
4
D
8
2、（1）已知F為拋物線C：=4y的焦點，過F的直線l與拋物線C相較于不同的兩點A，B，拋物線C在A，B兩點處的切線分別是，，且，相較于點P，則|PF|+的最小值為
；
(2)
已知F為拋物線C：=4y的焦點，過F的直線l與拋物線C相較于不同的兩點A，B，拋物線C在A，B兩點處的切線分別是，，且，相較于點P，設|AB|=m，則|PF|的值是
（結果用m表示）。
3、（1）設p>0，動圓C經過點M（p，0），且被Y軸截得的弦長為2p，記動圓圓心C的軌跡為E。
①求軌跡E的方程；
②求證：在軌跡E上存在點A，B，使得OAB（O為坐標原點）是以A為直角頂點的等腰直角三角形。
（2）已知動點M到定點（-1，0），（1，0）的距離之和為4，記動點M的軌跡為C。
（1）求軌跡C的方程；
（2）過點且斜率為k的直線l與軌跡C相交于A，B兩點，求AB面積的取值范圍。
O
F

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