資源簡介

中考沖刺：突破猜想規律
專題詮釋
猜想規律的相關題目在中考中越來越被命題者所注重。這類題要求根據題目中的圖形或者數字直觀地發現共同特征，或者發展變化的趨勢，據此去預測估計它的規律或者其他相關結論，使帶有猜想性質的推斷盡可能與現實情況相吻合，必要時可以進行驗證或者證明，依此體現出猜想的實際意義。
解題策略和解法精講
猜想規律型的問題難度相對較小，經常以填空等形式出現，解題時要善于從所提供的數字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個存在于個例中的共性，就是規律。其中蘊含著“特殊——一般——特殊”的常用模式，體現了總結歸納的數學思想，這也正是人類認識新生事物的一般過程。
相對而言，猜想結論型問題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學論證、具體應用的結合，解題的方法也更為靈活多樣：計算、驗證、類比、比較、測量、繪圖、移動等等，都能用到。
由于猜想本身就是一種重要的數學方法，也是人們探索發現新知的重要手段，非常有利于培養創造性思維能力，所以備受命題專家的青睞，逐步成為中考的持續熱點。
考點精講
考點一：猜想數式規律
通常給定一些數字、代數式、等式或者不等式，然后猜想其中蘊含的規律。一般解法是先寫出數式的基本結構，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數量關系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數量關系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。
例1．（2010江蘇泰州）觀察等式：①，②，③…按照這種規律寫出第n個等式： ．
【分析】先看等式左邊，①式是32-1，②式是52-1，③式是72-1…所以第n個等式左邊應是；再看等式右邊，①式是，②式是，③式是，所以第n個等式右邊應是．
【解答】
【評注】規律性猜想題，提供的信息是一種規律，但它隱含在題目中，有待挖掘和開發，一般只要注重觀察數字（式）變化規律，經歸納便可猜想出結論．本題式中的平方項、1、相乘兩數等差2，都給答案探究提供了蛛絲馬跡。
例2．（2010湖南常德）如圖3，一個數表有7行7列，設表示第i行第j列上的數（其中i＝1,2,3,...,j＝1,2,3,...,）. 例如：第5行第3列上的數.
則（1）．
(2) 此數表中的四個數滿足．
【分析】（1）根據的定義規則，可知，，，．則有．
（2） 觀察數表可知，第1問中的恰是的具體形式，若將賦值于不同的行與列，我們不難發現．
【解答】（1）0
（2）0
【評注】探索數字規律，從一維擴展到二維，是個進步。本題屬于典型的開放性探究題，問題設置層次感較強，遵循了從特殊到一般的認識規律．從培養學生不完全歸納能力的角度看，不失為一道訓練思維的好題．
考點二：猜想圖形規律
根據一組相關圖形的變化規律，從中總結通過圖形的變化所反映的規律。其中，以圖形為載體的數字規律最為常見。猜想這種規律，需要把圖形中的有關數量關系列式表達出來，再對所列式進行對照，仿照猜想數式規律的方法得到最終結論。
例1．（2010重慶）有兩個完全重合的矩形，將其中一個始終保持不動，另一個矩形繞其對稱中心O按逆時針方向進行旋轉，每次均旋轉45°，第1次旋轉后得到圖①，第2次旋轉后得到圖②，……，則第10次旋轉后得到的圖形與圖①～④中相同的是（）
A．　圖① 　　 B．　圖② 　 C．　圖③ 　 D．　圖④
【分析】規律的歸納：通過觀察圖形可以看到每轉動4次后便可重合，即4次一個循環，10÷4＝2…2，所以應和圖②相同．
【解答】B
【評注】本題是規律的歸納題，解決本題的關鍵是讀懂題意，理清題歸納出規律，然后套用題目提供的對應關系解決問題，具有一定的區分度．關鍵是從循環轉動的過程中，關注幾個重要的停頓點，從而探索360度圓周與幾個角度的關系。
例2．（2010廣東汕頭）如圖（1），已知小正方形ABCD的面積為1，把它的各邊延長一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1邊長按原法延長一倍得到正方形A2B2C2D2（如圖（2））；以此下去···，則正方形A4B4C4D4的面積為__________．
圖形 邊長 面積
正方形ABCD 1 1
正方形A1B1C1D1 5
正方形A2B2C2D2 5 25
正方形A3B3C3D3 125
正方形A4B4C4D4 25 625
【分析】
【解答】625
【評注】本題系探究規律題，構圖新穎，解題的方法也很多，除了分析中的方法外，還可以用下面的探究方法：圖（1）中每個小直角三角形的面積都與原正方形的面積相等，這樣外面就多了四個小直角三角形，從而新的正方形的面積就等于原正方形面積的5倍，依此類推，第四個新正方形的面積就等于．本題能從不同角度來考查學生的探索能力、歸納能力及創新能力，是去年中考題中的精品．
考點三：猜想數值結果
當在一些條件改變的前提下，結果的數值不變，或者其變化呈現出某種特征時，可以猜想在新條件下，數值仍然不變，或者仍然按照原來的特征變化，依此猜想到結果的數值。
例1．（2010江蘇鹽城）填在下面各正方形中的四個數之間都有相同的規律，根據此規律，m的值是（ ）
A．38 B．52 C．66 D．74
【分析】根據圖形所填數字可以看出：2×4-0=8；4×6-2=22；6×8-4=44；8×10-6=74.
【解答】D
【評注】本題屬于探究類試題，解答此類試題時，要充分分析試題的特點，各個量之間的關系，然后得到一般的結論.
例2．（2010貴州貴陽，25，12分）如圖12，在直角坐標系中，已知點的坐標為（1,0），將線段繞原點O沿逆時針方向旋轉45，再將其延長到，使得，得到線段；又將線段繞原點O沿逆時針方向旋轉45，再將其延長到，使得，得到線段，如此下去，得到線段，，…，．
（1）寫出點M5的坐標；（4分）
（2）求的周長；（4分）
（3）我們規定：把點（0,1,2,3…）
的橫坐標，縱坐標都取絕對值后得到的新坐標
稱之為點的“絕對坐標”．根據圖中點
的分布規律，請你猜想點的“絕對坐標”，并寫出來．（4分）
【分析】（1）求M5的坐標可先計算M1、M2、M3 的值，觀察這些點的坐標特征來求得；（2）求的周長可分別計算OM5、M5M6、OM6的值從而可求得周長；（3）需分類討論求得。
【解答】（1）M5（―4，―4）
（2）由規律可知，,，
∴的周長是
（3）解法一：由題意知，旋轉8次之后回到軸的正半軸，在這8次旋轉中，點分別落在坐標象限的分角線上或軸或軸上，但各點“絕對坐標”的橫、縱坐標均為非負數，因此，點的“絕對坐標”可分三類情況：
令旋轉次數為
當點M在x軸上時: M0（），M4（），M8（），M12（）,…，
即：點的“絕對坐標”為（）。
當點M在y軸上時: M2，M6，M10，M14,……，
即：點的“絕對坐標”為。
當點M在各象限的分角線上時：M1，M3，M5，M7,……，即：的“絕對坐標”為。
解法二：由題意知，旋轉8次之后回到軸的正半軸，在這8次旋轉中，點分別落在坐標象限的分角線上或軸或軸上，但各點“絕對坐標”的橫、縱坐標均為非負數，因此，各點的“絕對坐標”可分三種情況：
①當時（其中=0，1，2，3，…），點在軸上，則（）
②當時（其中=1，2，3，…），點在軸上，點（）
③當=1，2，3，…，時，點在各象限的分角線上，則點（）
【評注】本題是一道運動型問題，解答這類問題時，一般要借助幾何圖形的三大變換（平移、旋轉、翻折）來解決，要求對幾何元素的運動過程有一個完整、清晰的認識，不管點動、線動還是形動，要善于借助動態思維的觀點來分析，不被“動”所迷惑，從特殊情形入手，變中求不變，動中求靜，抓住靜的瞬間，以靜制動，把動態的問題轉化為靜態的問題來解決，從而找到“動”與“靜”的聯系，揭示問題的本質，發現運動中的各個變量之間互相依存的函數關系，從而找到解決問題的突破口，也就找到了解決這類問題的途徑.
考點四：猜想數量關系
數量關系的表現形式多種多樣，這些關系不一定就是我們目前所學習的函數關系式。在猜想這種問題時，通常也是根據題目給出的關系式進行類比，仿照猜想數式規律的方法解答。
例1．（2010山東威海）在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規律進行下去，第2010個正方形的面積為 （ ）
A． B． C． D．
【分析】由題意知，OA＝1，OD＝2,DA＝,∴AB＝AD＝,利用互余關系證得△DOA∽△ABA1,∴,∴BA1＝＝，∴A1B1＝A1C＝＝,同理．A2B2＝ A1B1＝，一般地AnBn＝，第2010個正方形的面積為＝，故選D．
【解答】D
【評注】本題是正方形面積的規律探究題，實質就是正方形邊長的規律探究．本題可先應用了勾股定理及相似三角形知識求出幾種特殊正方形的邊長，然后歸納出一般正方形的邊長規律，最后得出正方形的面積規律使問題得以解決．
例2．（2010浙江嘉興）如圖，已知⊙O的半徑為1，PQ是⊙O的直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關于PQ對稱，其中第一個△A1B1C1的頂點A1與點P重合，第二個△A2B2C2的頂點A2是B1C1與PQ的交點，…，最后一個△AnBnCn的頂點Bn、Cn在圓上．
（1）如圖1，當n＝1時，求正三角形的邊長a1；
（2）如圖2，當n＝2時，求正三角形的邊長a2；
（3）如題圖，求正三角形的邊長an （用含n的代數式表示）．
【分析】(1)連接三角形一個頂點與圓心，結合垂徑定理作出直角三角形，由勾股定理構建方程從而求出正三角形的邊長；(2)依然連接第二個三角形的頂點與圓心，構建直角三角形由勾股定理列出方程求出三角形的邊長；(3)依然連接第n個三角形的頂點與圓心，構建直角三角形由勾股定理列出方程求出三角形的邊長．
【解答】（1）設PQ與B1C1交于點D，連結OB1，
則OD＝，
在Rt△OB1D中，，
即，
解得．
（2）設PQ與B2C2交于點E，連結OB2，
則OE＝，
在中，
即，
解得．
（3）設PQ與BnCn交于點F，連結OBn，
則，
在中，
即，
解得．
【評注】本題綜合考查圓的基本性質和勾股定理等知識點，解決本題的關健是通過作出輔助線，利用垂徑定理構建直角三角形，并分別把直角三角形的三邊表示出來，由勾股定理得出方程求出邊長．
考點五：猜想變化情況
隨著數字或圖形的變化，它原先的一些性質有的不會改變，有的則發生了變化，而且這種變化是有一定規律的。比如，在幾何圖形按特定要求變化后，只要本質不變，通常的規律是“位置關系不改變，乘除乘方不改變，減變加法加變減，正號負號要互換”。這種規律可以作為猜想的一個參考依據。
例1．（2010浙江嵊州）已知：在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，點E、F分別在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，試探究AE與EF之間的數量關系。
（1）如圖1，若AB＝BC＝AC，則AE與EF之間的數量關系是什么；
（2）如圖2，若AB＝BC，你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出猜想，并加以證明；
（3）如圖3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出猜想不用證明。
【分析】在（1）中由AB＝BC＝AC，所以△ABC為等邊三角形，又因為AD∥BC，∠BAC＝∠D，所以可以得到四邊形ABCD為菱形，所以四條邊相等，連接AF證明三角形全等即可證明AE=EF；（2）可以過點E作EH∥AB，可證△AEH≌△FEC．
【解答】（1）AE＝EF
（2）猜想：（1）中結論沒有發生變化，即仍然為AE＝EF（過點E作EH∥AB，可證
△AEH≌△FEC）
（3）猜想：（1）中的結論發生變化，為AE＝kEF
【評注】本題屬于難度比較大的問題，需要添加輔助線構造全等三角形，證明三角形全等．
例2．（2010江西）課題：兩個重疊的正多邊型，其中一個繞某一頂點旋轉所形成的有關問題。
實驗與論證
設旋轉角∠A1A0B1=α（α< A1A0A2）, θ3，θ4，θ5，θ6，所表示的角如圖所示。
用含α的式子表示角的度數：θ3=___________θ4=_____________θ5=____________
（2）圖1－圖4中，連接A0H時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請選擇期中的一個圖給出證明；若不存在，請說明理由；
歸納與猜想：
設正n邊形A0A1A2…An－1與正n邊形A0B1B2…Bn－1重合（其中，A1與B1重合），現將正n邊形A0B1B2…Bn－1繞頂點A0逆時針旋轉α（）．
（3）設θn與上述“θ3，θ4，…”的意義一樣，請直接寫出θn的度數；
（4）試猜想在正n邊形的情形下，是否存在與直線A0H垂直且被它平分的線段？若存在，請將這條線段用相應的頂點字母表示出來（不要求證明）；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）要求的度數，應從旋轉中有關角度的變與不變上突破；（２）結合圖形比較容易得到被垂直平分的線段，在證明時要充分利用背景中正多邊形及旋轉中的角度；（３）要探究的度數，要注意區分正偶數邊形及正奇數邊形兩種情形去思考與求解度數的表達式；（４）要探究正ｎ邊形中被垂直平分的線段，也應注意區分正偶數邊形及正奇數邊形兩種情形去思考與突破；
【解答】解：（１）．
（２）答案不唯一，選圖１，圖１中有直線垂直平分．
證明：∵與是全等的等邊三角形，∴，∴，∴，∴點在線段的垂直平分線上，所以直線垂直平分．
（３）當為奇數時，
當為偶數時，．
（４）存在，當為奇數時，直線垂直平分．
當為偶數時，直線垂直平分．
【評注】本題是以旋轉操作為背景的課題學習題，尤其是在這道題中，先探討簡單情景下存在的某個結論，然后進一步推廣到一般情況下，原來結論是否成立，本題題型新穎是個不可多得的好題，有利于培養學生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區分度．
四．真題演練
1. （2010年山東濟寧中考題）觀察下面的變形規律：
＝1－； ＝－；＝－；……
解答下面的問題：
（1）若n為正整數，請你猜想＝ ；
（2）證明你猜想的結論；
（3）求和：＋＋＋…＋ ．
2.（2010年山東日照中考題）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數，例如：
他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數為正方形數．下列數中既是三角形數又是正方形數的是（ ）
A．15 B．25 C．55 D．1225
3. （2010年浙江杭州中考題）
給出下列命題：
命題1． 點(1,1)是直線y ＝ x與雙曲線y ＝ 的一個交點;
命題2． 點(2,4)是直線y ＝ 2x與雙曲線y ＝ 的一個交點;
命題3． 點(3,9)是直線y ＝ 3x與雙曲線y ＝ 的一個交點;
… … ．
（1）請觀察上面命題，猜想出命題(是正整數);
（2）證明你猜想的命題n是正確的．
4. （2010年浙江紹興中考題） (1) 如圖1,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,
CD上,AE,BF交于點O,∠AOF＝90°.
求證：BE＝CF.
(2) 如圖2,在正方形ABCD中,點E,H,F,G分別在邊AB,
BC,CD,DA上,EF,GH交于點O,∠FOH＝90°, EF
＝4.求GH的長.
(3) 已知點E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點O,
∠FOH＝90°,EF＝4. 直接寫出下列兩題的答案：
①如圖3,矩形ABCD由2個全等的正方形組成,求GH的長；
②如圖4,矩形ABCD由n個全等的正方形組成,求GH的長(用n的代數式表示).
【答案】
1. （1）；
（2）證明：－＝－＝＝；
（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－
＝．
2.由于正方形數是平方數，所以既是三角形數又是正方形數的數必定是個平方數，可排除選項A、C，再分析出25不是三角形數（第n個三角形數可表示為n(n+1)，n為正整數），所以選擇D。
3. (1)命題n；點(n , n2) 是直線y = nx與雙曲線y =的一個交點(是正整數)．
(2)把 代入y = nx，左邊= n2，右邊= n·n = n2，
∵左邊=右邊，∴點(n，n2)在直線上．
同理可證：點(n，n2)在雙曲線上，
∴點(n，n2)是直線y = nx與雙曲線y = 的一個交點，命題正確．
4. (1) 證明：如圖1，∵ 四邊形ABCD為正方形，
∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，
∴ ∠EAB+∠AEB=90°.
∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,
∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC，
∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF．
(2) 如圖2,過點A作AM//GH交BC于M，
過點B作BN//EF交CD于N,AM與BN交于點O/，
則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，
∴ EF=BN,GH=AM，
∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,
故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN，
∴ GH=EF=4．
(3)① 8．② 4n。
第二部分 練習部分
1. （2010年廣東中山中考題）閱讀下列材料：
，
，
，
由以上三個等式相加，可得
讀完以上材料，請你計算下列各題：
（1）（寫出過程）；
（2）= ；
（3）= ．
2. （2010年山東淄博中考題）如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為48，我們發現第一次輸出的結果為24，第二次輸出的結果為12，…，則第2010次輸出的結果為
（A）6　　　　　　　　　　　（B）3　　
（C）　　　　　　　　　（D）
3. （2010年山東青島中考題）如圖1，是用棋子擺成的圖案，擺第1個圖案需要7枚棋子，擺第2個圖案需要19枚棋子，擺第3個圖案需要37枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第6個圖案需要 枚棋子，擺第n個圖案需要 枚棋子．
4.（2010年貴州銅仁中考題）如圖，小紅作出了邊長為1的第1個正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面積，然后分別取△A1B1C1三邊的中點A2，B2，C2，作出了第2個正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面積，用同樣的方法，作出了第3個正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面積……，由此可得，第8個正△A8B8C8的面積是（ ）
A． B． C． D．
5. (2010年廣西百色中考題) 如圖，在直角坐標系中，射線OA與x軸正半軸重合，以O為旋轉中心，將OA逆時針旋轉:OAOA1OA2…OAn…，旋轉角AOA1＝2°， A1OA2＝4°， A2OA3＝8°，… 要求下一個旋轉角(不超過360°)是前一個旋轉角的2倍.當旋轉角大于360°時，又從2°開始旋轉，即A8OA9＝2°， A9OA10＝4°，… 周而復始.則當OAn與軸正半軸重合時，n的最小值為 （ ） （提示：2+22+23+24+25+26+27＋28＝510）
A．16 B．24 C．27 D．32
(第14題)
6. （2010年四川內江中考題）閱讀理解：
我們知道，任意兩點關于它們所連線段的中點成中心對稱，在平面直角坐標系中,任意兩點P(x1，y1)、Q(x2，y2)的對稱中心的坐標為（，）.
觀察應用：
（1）如圖，在平面直角坐標系中，若點P1(0，－1)、P2(2，3)的對稱中心是點A，則點A的坐標為　　　　；
（2）另取兩點B(－1.6，2.1)、C(－1，0).有一電子青蛙從點P1處開始依次關于點A、B、C作循環對稱跳動，即第一次跳到點P1關于點A的對稱點P2處，接著跳到點P2關于點B的對稱點P3處，第三次再跳到點P3關于點C的對稱點P4處，第四次再跳到點P4關于點A的對稱點P5處，…．則P3、P8的坐標分別為　　　　　，　　　　　;
拓展延伸：
（3）求出點P2012的坐標，并直接寫出在x軸上與點P2012、點C構成等腰三角形的點的坐標.
7.（2010年湖北恩施中考題） (1)計算:如圖10①,直徑為的三等圓⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，切點分別為A、B、C ，求OA的長（用含的代數式表示）.
（2）探索:若干個直徑為的圓圈分別按如圖10②所示的方案一和如圖10③所示的方案二的方式排放，探索并求出這兩種方案中層圓圈的高度和（用含、的代數式表示）.
（3）應用:現有長方體集裝箱，其內空長為5米，寬為3.1米，高為3.1米.用這樣的集裝箱裝運長為5米，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為0.1米的圓柱形鋼管，你認為采用（2）中的哪種方案在該集裝箱中裝運鋼管數最多？并求出一個這樣的集裝箱最多能裝運多少根鋼管？（≈1.73）
【答案】
1. （1）
=++…+
=
=440．
（2）
（3）
=+
+…+
=
=1260
2.根據如圖所示的運算程序，分情況列出算式，當x為偶數時，結果為；當x為奇數時，結果為，若開始輸入的x值為48，我們發現第一次輸出的結果為24，第二次輸出的結果為12，第三次輸出的結果為6，第四次輸出的結果為3，第五次輸出的結果為3，以后每次輸出的結果都是3．所以選擇B。
3.圖案是一圈一圈的。可以根據每圈中棋子的個數得出規律。第1個圖案需要7＝1＋6枚棋子，第2個圖案需要19＝1＋6＋12枚棋子，第3個圖案需要37＝1＋6＋12＋18枚棋子，由此規律可得第6個圖案需要1＋6＋12＋…＋3×（6＋1）枚棋子，第n個圖案需要1＋6＋12＋…＋3×（n＋1）＝1＋3×[2＋3＋…＋（n＋1）]＝枚棋子。所以，擺第6個圖案需要127枚棋子，擺第n個圖案需要枚棋子．
4. 正△A1B1C1的面積，第二個正三角形的面積是前一個正三角形面積的四分之一，第8個正△A8B8C8的面積是第一個正方形面積的，所以，第8個正△A8B8C8的面積是，選擇C。
5.當OAn與軸正半軸重合時，度數為360m＋90是10的倍數，從2+22+23＋…，只有2+22+23+24＝30和2+22+23+24+25+26+27＋28＝510，所以n必須是8的倍數或是8的倍數多4，當m為1，2，3時，無解，當m為4時，360m＋90＝1530，符合題意。故答案選B。
6.設A、P3、P4、…、Pn點的坐標依次為(x，y)、(x3，y3)、(x4，y4)、…、(xn，yn)(n≥3，且為正整數).
（1）P1(0，－1)、P2(2，3)，
∴x＝＝1，y＝＝1，
∴A（1，1）
（2）∵點P3與P2關于點B成中心對稱，且B(－1.6，2.1),
∴＝－1.6，＝2.1，
解得x3＝－5.2，y3＝1.2，
∴P3(－5.2，1.2).
∵點P4與P3關于點C成中心對稱，且C(－1，0),
∴＝－1，＝0，
解得x4＝3.2，y4＝－1.2，
∴P4(3.2，－1.2) .
同理可得P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8 (2, 3).
（3）∵P1(0，－1)→P2(2，3)→P3(－5.2，1.2).→P4(3.2，－1.2)→P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8 (2, 3) …
∴P7的坐標和P1的坐標相同，P8的坐標和P2的坐標相同，即坐標以6為周期循環，
∵2012÷6＝335……2，
∴P2012的坐標與P2的坐標相同，為P2012 (2，3);
在x軸上與點P2012、點C構成等腰三角形的點的坐標為
（－3－1,0），（2,0），（3－1,0），（5,0）
7. (1)∵⊙O、⊙O、⊙O兩兩外切，
∴OO=OO=OO=a
又∵OA= OA
∴OA⊥OO
∴OA=
=
（2） =
=
方案二裝運鋼管最多．即：按圖10③的方式排放鋼管，放置根數最多.
根據題意，第一層排放31根，第二層排放30根，
設鋼管的放置層數為n,可得
解得
∵ 為正整數 ∴=35
鋼管放置的最多根數為：31×18+30×17=1068（根）
第13題圖（1）
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
D2
A2
B2
C2
D1
C1
B1
A1
A
B
C
D
第13題圖（2）
0
2
8
4
2
4
6
22
4
6
8
44
m
6
（圖12）
O
A
B
C
D
A1
B1
C1
A2
C2
B2
x
y
第23題圖1
第23題圖2
第23題圖4
第23題圖3
第23題圖1
第23題圖2
O′
N
M
輸出
輸入x
x＋3
x為偶數
x為奇數
(第11題)
…
圖1
x
y
O
C
P2
B
P1
②
③
①
圖10

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