資源簡介

數學知識點總結
二次函數
知識點：
1.定義：一般地，如果是常數，，那么叫做的二次函數.
2.二次函數的性質
(1)拋物線的頂點是坐標原點，對稱軸是軸.
(2)函數的圖像與的符號關系.
1
時拋物線開口向上頂點為其最低點；
②
當時拋物線開口向下頂點為其最高點
3.二次函數
的圖像是對稱軸平行于(包括重合)軸的拋物線.
4.二次函數用配方法可化成：的形式，其中
.
5.二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：
①；②；③；④；⑤.
6.拋物線的五要素：開口方向、對稱軸、頂點、與x軸交點、與y軸交點.
①
決定拋物線的開口方向：
當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同；越大，開口越小。
②平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.
③求拋物線的頂點、對稱軸的方法
(1)公式法：，∴頂點是，
對稱軸是直線.
(2)配方法：運用配方法將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是.
(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線
的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
④拋物線與x軸有無交點的判定情況
⑴
⑵
⑶
⑤拋物線與y軸的交點
()
★用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失★
9.拋物線中，的作用
(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線,故：
①時，對稱軸為軸；②(即、同號)時,對稱軸在軸左側；
③(即、異號)時,對稱軸在軸右側.
（左同右異）
(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.
當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：
①，拋物線經過原點;
②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負半軸.
以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則
.
10.幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：
函數解析式
開口方向
對稱軸
頂點坐標
當時開口向上當時開口向下
(軸)
(0,0)
(軸)
(0,
)
(,0)
(,)
()
11.用待定系數法求二次函數的解析式
(1)一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
(2)頂點式：.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
(3)交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.
12.直線與拋物線的交點
(1)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).
(2)平行于軸的直線與拋物線的交點
同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數根.
(3)一次函數的圖像與二次函數的圖像的交點，由方程組
的解的數目來確定：
①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;
②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.
(4)拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故
13．二次函數與一元二次方程的關系：
(1)一元二次方程就是二次函數當函數y的值為0時的情況．
(2)二次函數的圖象與軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點；當二次函數的圖象與軸有交點時，交點的橫坐標就是當時自變量的值，即一元二次方程的根．
(3)當二次函數的圖象與軸有兩個交點時，則一元二次方程有兩個不相等的實數根；當二次函數的圖象與軸有一個交點時，則一元二次方程有兩個相等的實數根；當二次函數的圖象與軸沒有交點時，則一元二次方程沒有實數根
14、二次函數圖象的對稱
二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
1.
關于軸對稱
關于軸對稱后，得到的解析式是；
關于軸對稱后，得到的解析式是；
2.
關于軸對稱
關于軸對稱后，得到的解析式是；
關于軸對稱后，得到的解析式是；
3.
關于原點對稱
關于原點對稱后，得到的解析式是；
關于原點對稱后，得到的解析式是；
4.
關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）
關于頂點對稱后，得到的解析式是；
關于頂點對稱后，得到的解析式是．
5.
關于點對稱
關于點對稱后，得到的解析式是
根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．
15.二次函數的應用：
(1)二次函數常用來解決最優化問題，這類問題實際上就是求函數的最大(小)值；
(2)二次函數的應用包括以下方面：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數關系；
運用二次函數的知識解決實際問題中的最大(小)值．
15.解決實際問題時的基本思路：(1)理解問題；(2)分析問題中的變量和常量；(3)用函數表達式表示出它們之間的關系；(4)利用二次函數的有關性質進行求解；(5)檢驗結果的合理性，對問題加以拓展等．
重難點：
二次函數的圖像與性質，二次函數與一元二次方程的關系，用二次函數解決實際問題。
考點：
二次函數在中考中占有很重要的地位，是中考中的必考內容。中考的主要命題點為：（1）求二次函數的關系式（2）拋物線的頂點、開口方向和對稱軸（3）二次函數的最大（小）值（4）拋物線（a≠0）與a,b,c的符號（5）二次函數與一元二次方程（6）二次函數的簡單實際問題等。題型主要有選擇題、填空題、解答題，還有探究題和開放題。有關二次函數的熱點問題仍然是函數型應用題與方程、幾何知識、三角函數等知識綜合在一起的綜合題、探究題和開放題。
圓的基本性質
知識點：
1.圓的有關概念
（1）圓心、半圓、同心圓、等圓、弦與弧。
（2）直徑是經過圓心的弦。是圓中最長的弦。弧是圓的一部分。
2.圓周角與圓心角
（1）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。
（2）圓周角與半圓或直徑：半圓或直徑所對的圓周角是直角；
圓周角所對的弦是圓的直徑。
（3）圓周角與半圓或等弧：同弧或等弧所對的圓周角相等；
在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。
3.圓的對稱性
（1）圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。
（2）圓的旋轉不變性：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其他各組量分別相等。
（3）圓的軸對稱性：經過圓心都的任意一條直線都是它的對稱軸。垂徑定理是研究有關圓的知識的基礎。
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。還可以概括為：如果有一條直線,1.垂直于弦；2.經過圓心；3.平分弦（非直徑）；4.平分弦所對的優弧；
5.平分弦所對的劣弧，同時具備其中任意兩個條件，那么就可以得到其他三個結論。
4.弧長及扇形的面積
弧長公式：
圓弧是圓的一部分，若將圓周分為360份，1°的圓心角所對的弧是圓周長的，因為半徑為r的圓周長是2r，所以n°的圓心角所對的弧長的計算公式為（其中，為弧長，n為弧所對的圓心角度數，r為弧所在圓的半徑）
扇形的面積公式：
1·扇形的定義：一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形，如圖，和半徑OA、OB所組成的圖形是一個扇形，讀作扇形OAB
2·扇形的周長
扇形的周長等于弧長與兩半徑的長之和，即
3·扇形是圓面的一部分，若將半徑為r的圓分為360份，圓心角1°的扇形面積是圓面積的，因為半徑為r的圓的面積是，所以半徑為r，圓心角為n°的扇形面積為
4·弧長為，半徑為r的扇形面積為
5·扇形面積的應用（求圓的一部分的面積）：
5.圓錐的側面積和全面積
圓錐的側面展開圖是一個扇形，如圖，設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個圓錐的側面展開圖中扇形的半徑即為母線長l，扇形的弧長即為底面圓的周長2πr，根據扇形面積公式可知S＝·2πr·l＝πrl．因此圓錐的側面積為S側＝πrl．圓錐的側面積與底面積之和稱為圓錐的全面積，全面積為S全=πr2+πrl．
重點：
1.弦和弧的概念、弧的表示方法和點與圓的位置關系。
2.用尺規作圖法對不在同一直線上的三個點作圓。
3.垂徑定理。（重中之重：“垂直于弦的直徑平分弦和弧”經常考）
4.扇形弧長和面積、圓錐側面積和體積的計算。
難點：
1..對“不在同一直線上的三個點確定一個圓”中的存在性和唯一性的理解
2.
圓錐側面積計算公式的推導過程需要較強的空間想像能力
3.
類似螞蟻爬圓錐的計算問題。
4.有關圓的無圖多解問題。
考點：
1
垂直于弦的直徑
2
圓周角定理及其推論
3
圓內接四邊形
4
圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系
5
圓的性質綜合題
相似三角形
知識點：
1
相似圖形
形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形.
2
比例線段的相關概念
如果選用同一單位量得兩條線段的長度分別為，
那么就說這兩條線段的比是，或寫成．
注意：在求線段比時，線段單位要統一，單位不統一應先化成同一單位．
在四條線段中，如果的比等于的比，
那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．
注意：
(1)
當兩個比例式的每一項都對應相同，兩個比例式才是同一比例式．
(2)比例線段是有順序的，如果說是的第四比例項，那么應得比例式為：．
3
比例的性質
基本性質：
(1)；(2)．
注意：
由一個比例式只可化成一個等積式，而一個等積式共可化成八個比例式，如，除
了可化為，還可化為，，，，，，．
更比性質(交換比例的內項或外項)：
反比性質(把比的前項、后項交換)：．
合比性質：．
注意：實際上，比例的合比性質可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間
發生同樣和差變化比例仍成立．如：等等．
等比性質：
如果，那么．
注意：
(1)
此性質的證明運用了“設法”
，這種方法是有關比例計算，變形中一種常用方法．
(2)應用等比性質時，要考慮到分母是否為零．
(3)可利用分式性質將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數，再利用等比性質也成立．如：；其中．
4
比例線段的有關定理
平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．
推論：
(1)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例．
(2)平行于三角形一邊并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例．
定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，
那么這條直線平行于三角形第三邊．
5
黃金分割
把線段分成兩條線段，且使是的比例中項，叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，其中≈0.618．
6
相似三角形的概念
對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形．
相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”
．
相似三角形對應邊的比叫做相似比(或相似系數)．
相似三角形對應角相等，對應邊成比例．
注意：
①對應性：即兩個三角形相似時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對應角和對應邊．
②順序性：相似三角形的相似比是有順序的．
③兩個三角形形狀一樣，但大小不一定一樣．
④全等三角形是相似比為1的相似三角形．二者的區別在于全等要求對應邊相等，而相似要求對應邊成比例．
7
相似三角形的基本定理
定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長線)相交，所構成的三角形與原
三角形相似．
定理的基本圖形：
用數學語言表述是：，∽．
8
相似三角形的等價關系
(1)
反身性：對于任一有∽．
(2)
對稱性：若∽，則∽．
(3)
傳遞性：若∽，且∽，則∽．
9
三角形相似的判定方法
1、
定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似．
2、
平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，
所構成的三角形與原三角形相似．
3、判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩
個三角形相似．簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似．
4、判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾
角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．
5、判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，
那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似．
6、判定直角三角形相似的方法：
(1)以上各種判定均適用．
(2)
如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．
(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似．
直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。
　　公式
如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：
　　（1）（AD）2=BD·DC，
　　（2）（AB）2=BD·BC
，
　　（3）（AC）2=CD·BC
。
　　
證明：在
△BAD與△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴
AD/BD＝CD/AD，即
（AD）2=BD·DC。其余類似可證。
　　注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。由公式（2）+（3）得：
（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC
=（BD+CD)·BC=（BC）2，
即
（AB）2+（AC）2=（BC）2。
　　這就是勾股定理的結論。
10
相似三角形性質
(1)
相似三角形對應角相等，對應邊成比例．
(2)
相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比．
(3)
相似三角形周長的比等于相似比．
(4)
相似三角形面積的比等于相似比的平方．
(5)相似三角形性質可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計算周長、邊長等．
11
相似多邊形
如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對應邊的比叫做相似比(相似系數)．
12
相似多邊形的性質
(1)相似多邊形周長比，對應對角線的比等于相似比．
(2)相似多邊形中對應三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比．
(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方．
注意：相似多邊形問題往往要轉化成相似三角形問題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識是基礎和關鍵．
13
與位似圖形有關的概念
1.
如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應頂點的連線都交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形.
2.
這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比.
拓展：
（1）
位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點.
（2）
位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.
（3）
位似圖形的對應邊互相平行或共線.
14
位似圖形的性質
位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.
拓展：位似圖形有許多性質，它具有相似圖形的所有性質.
15
畫位似圖形
1.
畫位似圖形的一般步驟：
（1）
確定位似中心
（2）
分別連接原圖形中的關鍵點和位似中心，并延長（或截取）.
（3）
根據已知的位似比，確定所畫位似圖形中關鍵點的位置.
（4）
順次連結上述得到的關鍵點，即可得到一個放大或縮小的圖形.
2.
位似中心的選取：
（1）
位似中心可以在圖形外部，此時位似中心在兩個圖形中間，或在兩個圖形之外.
（2）
位似中心可取在多邊形的一條邊上.
（3）
位似中心可取在多邊形的某一頂點上.
說明：位似中心的選取決定了位似圖形的位置，以上位似中心位置的選取中，每一種方法都能把一個圖形放大或縮小.
16
相似三角形常見的圖形
（1）
若DE∥BC（A型和X型）則△ADE∽△ABC
（2）
射影定理
若CD為Rt△ABC斜邊上的高（雙直角圖形）
則Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；
（3）滿足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．
（4）當或AD·AB=AC·AE時，△ADE∽△ACB．
（3）
（4）
重點：
相似三角形的判定方法及相似三角形的有關性質
難點：
相似三角形性質的應用
考點：
圖形的相似是平面幾何中極為重要的內容。中考的主要命題點為：
（1）
比例的性質和黃金分割
（2）
相似三角形的定義及相似三角形的判定
（3）
相似三角形的性質及其應用
（4）
相似多邊形的定義和性質
（5）
位似圖形及其作圖等。
題型主要為選擇題、填空題、解答題等，選擇題、填空題將注重“相似三角的判定與性質”等基礎知識的考查，將在解答題中加大知識的橫向與縱向聯系及應用問題的力度。
解直角三角形
知識點：
1、
銳角三角函數的定義：
在中，∠C=90°，、、分別是∠A、∠B、∠C的對邊，則：
常用變形：；等，由同學們自行歸納。
2、
銳角三角函數的有關性質：
1、
當0°<∠A<90°時，；；；
2、
在0°90°之間，正弦、正切（、）的值，隨角度的增大而增大；余弦（）的值，隨角度的增大而減小。
3、
同角三角函數的關系：
常用變形：
（用定義證明，易得，同學自行完成）
4、
正弦與余弦，正切與余切的轉換關系：
如圖1，由定義可得：
同理可得：
5、
特殊角的三角函數值：
三角函數
30°
45°
1
60°
6、
解直角三角形的基本類型及其解法總結：
類型
已知條件
解法
兩邊
兩直角邊、
，，
直角邊
，斜邊
，，
一邊一銳角
直角邊，銳角A
，，
斜邊，銳角A
，，
重點：
一、三角函數
1．
特殊角的三角函數值：
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
cosα
tgα
/
2．
互余兩角的三角函數關系：sin(90°-α)=cosα;…
3．
三角函數值隨角度變化的關系
二、解直角三角形
1．
定義：已知邊和角（兩個，其中必有一邊）→所有未知的邊和角。
2．
依據：①邊的關系：
②角的關系：A+B=90°
③邊角關系：三角函數的定義。
注意：盡量避免使用中間數據和除法。
三、對實際問題的處理
1．
俯、仰角：
2．方位角、象限角：
3．坡度：
4．在兩個直角三角形中，都缺解直角三角形的條件時，可用列方程的辦法解決。
難點：
1、
銳角三角函數的概念
2、
直角三角形的解法
3、
三角函數在解直角三角形中的靈活運用
考點：
1．中考重點考查正弦、余弦的基本概念和求特殊角的三角函數值，及利用正弦和余弦解決一些比較簡單的直角三角形問題．
2．中考側重考查求特殊角的正切值、余切值，利用正切求線段的長．以及綜合應用三角函數解決測量問題．
3．考查三角形的邊角關系是中考常見題型，解決此類問題的方法是將一般圖形轉化為解直角三角形的知識來解決。有時需要添加輔助線．
4．中考中的三角函數與圓的綜合題是熱點題型．解決這類問題的方法是利用勾股定理、銳
角三角函數關系式．
5．中考解直角三角形應用問題大多是以計算題的形式出現．也是中考的熱點題型．
直線與圓，圓與圓的位置關系
知識點：
1.
直線與圓有三種位置關系
（1）
相交
直線與圓有兩個公共點時，我們說直線與圓相交。
（2）
相切
直線與圓有唯一的公共點時，我們說直線與圓相切。這條直線叫圓的切線，公共點叫切點。
（3）
相離
直線與圓沒有公共點時，我們說直線與圓相離。
（4）
一般地，直線與圓的位置關系有下面的性質：
若圓的半徑為，圓心到直線的距離為，那么
直線與圓相交
直線與圓相切
直線與圓相離
2.
切線的判定與性質
（1）
判定定理
經過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線。
（2）
性質定理
經過切點的半徑垂直于圓的切線。
經過切點垂直于切線的直線必經過圓心。
3.
切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。即如圖，AB、AC切圓O于B、C，切線長AB?=?AC。
4.
弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角度數的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數（與圓相切的直線，同圓內與圓相交的弦相交所形成的夾角叫做弦切角。）
5.1三角形的內切圓
1．
定義
與三角形三邊都相切的圓叫三角形的內切圓，圓心叫三角形的內心，三角形叫圓的外切三角形。
2.
內心性質
內心是三角形角平分線的交點，內心到三角形三邊距離相等。
5.2圓與圓的位置關系
1.
相切
（1）
兩圓有唯一的公共點時，我們說兩圓相切，公共點叫切點。
相切可分為外切與內切
外切：兩圓相切，除切點外，一個圓上的點都在另一個圓的外部，我們說兩圓外切。
內切：兩圓相切，除切點外，一個圓上的點都在另一個圓的內部，我們說兩圓內切。
（2）
兩圓相切有下面的性質：
若兩圓相切，那么切點一定在連心線上。
設兩個圓的半徑為和（），圓心距為，則：
兩圓外切
兩圓內切
2.
相交
（1）
兩圓有兩個公共點時，我們說兩圓相交。
（2）
性質：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。
3.
相離
（1）
兩圓沒有公共點時，我們說兩圓相離。
相離可以分為外離與內含。
外離：一個圓上的點都在另一個圓的外部，我們說兩圓外離。
內含：一個圓上的點都在另一個圓的內部，我們說兩圓內含。
（2）
兩圓相離有下面的性質：
設兩個圓的半徑為和，圓心距為，則：
兩圓相交
兩圓外離
兩圓內含
圓冪定理
1、相交線定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（圖一）
2、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。（圖二）
3、割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有PA·PB=PC·PD（圖三）
重點：
1.直線與圓、圓與圓位置關系、性質及其判定方法。
2.切線的判定和性質。
3．三角形內心的定義及性質。
難點：
直線與圓、圓與圓的位置關系的判定及應用。
考點：
本章內容是中考的必考內容，主要考查直線與圓、圓與圓位置關系的判定及應用，切線的判定及性質，題型以填空，選擇和解答為主，也有開放探索題的新的題型，分值一般在6—10分
仰角
俯角
北
東
西
南
α
h
l
i
i=h/l=tgα
圖三
圖二
PA·PB=PC·PD
圖一
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