資源簡(jiǎn)介

第5講　分式及其運(yùn)算
考點(diǎn)知識(shí)精講
形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
(1)分式有無(wú)意義：B＝0時(shí)，分式無(wú)意義；B≠0時(shí)，分式有意義．
(2)分式值為0：A＝0且B≠0時(shí)，分式的值為0.
分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變．
①＝，＝(m≠0)；
＝＝－.
②通分的關(guān)鍵是確定n個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母確定最簡(jiǎn)公分母的一般步驟是：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先因式分解，再取系數(shù)的最小公倍數(shù)，所有不同字母(因式)的最高次冪的積為最簡(jiǎn)公分母．
③約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母中的最大公因式．確定最大公因式的一般步驟是：當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，先因式分解，取系數(shù)的最大公約數(shù)，相同字母(因式)的最低次冪的積為最大公因式．
1．分式的加減法
同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減，即±＝.異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笙嗉訙p，即±＝.
2．分式的乘除法
分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母，即·＝.分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即÷＝·＝.
3．分式的乘方
分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即()k＝(k是正整數(shù))．
4．分式的混合運(yùn)算
在分式的混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘方，再算乘除，進(jìn)行約分化簡(jiǎn)后，最后進(jìn)行加減運(yùn)算，遇到有括號(hào)的，先算括號(hào)里面的．運(yùn)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整式．
分式的求值方法很多，主要有三種：①先化簡(jiǎn)，后求值；②由值的形式直接轉(zhuǎn)化成所求的代數(shù)式的值；③式中字母表示的數(shù)未明確告知，而是隱含在方程等題設(shè)條件中．解這類題，一方面從方程中求出未知數(shù)或未知代數(shù)式的值；另一方面把所求代數(shù)式化簡(jiǎn)．只有雙管齊下，才能獲得簡(jiǎn)易的解法．
二、中考典例精析
(1)(2010·蕪湖)要使分式有意義，a的取值范圍是(　　)
A．a(chǎn)≠0　　　　　　　　　　B．a(chǎn)>－2且a≠0
C．a(chǎn)>－2或a≠0　　 D．a(chǎn)≥－2且a≠0
(2)(2009·臺(tái)州)化簡(jiǎn)(－)÷的結(jié)果是(　　)
A．－a－1 B．－a＋1
C．－ab＋1 D．－ab＋b
(3)(2010·黃岡)化簡(jiǎn)(－)·(x－3)的結(jié)果是(　　)
A．2 B.
C. D.
【點(diǎn)撥】(1)由題意得a＋2≥0且a≠0，即有a≥－2且a≠0.
(2)原式＝－·＝－(a－1)＝－a＋1.
(3)原式＝[－]·(x－3)＝(－)·(x－3)＝1－＝.
【解答】(1)D　(2)B　(3)B
計(jì)算：
(1)(2010·陜西)－＋；
(2)(2010·咸寧)先化簡(jiǎn)，再求值：
(1＋)÷，其中a＝－3.
【解答】(1)原式＝－＋
＝＝＝.
(2)原式＝×＝.
當(dāng)a＝－3時(shí)，原式＝＝.
三、舉一反三（答案）
DDBDAB 解：原式＝　當(dāng)a＝－1，原式＝
四、考點(diǎn)訓(xùn)練（答案）
選擇： AABBA BBAAA CABAD
11. 【解析】原式＝－＝－＝＝1.
13 【解析】1米質(zhì)量為m克，則每克長(zhǎng)米，n克是米，則原來(lái)這卷電線的總長(zhǎng)度是(＋1)米．
14解析】原式＝＝＝.
16.-2 17.2/3 18. 19.-6 20.-7
21解：(1)原式＝－＝－＝＝＝
(2)原式＝÷＝·＝＝
22. 解：(1)原式＝÷＝·＝　當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝＝
(2)原式＝÷＝·＝·＝－x－4　當(dāng)x＝－4＋時(shí)，原式＝－(－4＋)－4＝4－－4＝－
(3)原式＝·(x－y)＝
當(dāng)x－3y＝0時(shí)，x＝3y，原式＝＝＝
(4)原式＝－＝x－1－(1－x)＝x－1－1＋x＝2x－2　當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝2×2－2＝4－2＝2
注意：x的值需滿足所有分式都有意義，即x≠0且x≠－1.
23解：(1)－
(2)證明：－＝－＝＝
(3)原式＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝
24. 解：選第一種形式：(A－B)÷C＝(－)÷＝　當(dāng)x＝3時(shí)，原式＝1；選第二種形式：A－B÷C＝－÷＝　當(dāng)x＝3時(shí)，原式＝.
三、舉一反三
1．要使式子有意義，x的取值范圍是(　 　)
A．x≠1 B．x≠0
C．x＞－1且x≠0 D．x≥－1且x≠0
2．下列運(yùn)算中，錯(cuò)誤的是(　 　)
A.＝(c≠0) B.＝－1
C.＝ D.＝
3．若分式的值為0，則x的值為(　 　)
A．±1　　　　B．－1　　　　C．1　　　　D．0
4．分式，，的最簡(jiǎn)公分母為(　 　)
A．(a2－b2)(a＋b)(b－a) 　　　B．(a2－b2)(a＋b)
C．(a2－b2)(b－a) 　　　 D．a(chǎn)2－b2
5．如果把分式中的x和y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值(　 　)
A．?dāng)U大3倍 　　　B．縮小3倍
C．?dāng)U大9倍 　　　D．不變
6．化簡(jiǎn)(a－)的結(jié)果是(　 　)
A．a(chǎn)－b　　　B．a(chǎn)＋b　　　C.　　　D.
7．先化簡(jiǎn)，再求值：(1－)÷，其中a＝－1.
四、考點(diǎn)訓(xùn)練
一、選擇題(每小題3分，共45分)
1．(2010·株洲)若分式有意義，則x的取值范圍是(　　)
A．x≠5　　　B．x≠－5　　　C．x>5　　　D．x>－5
2．(2010·黃岡)函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是(　　)
A．x≥3 B．x≥3且x≠－1
C．x≠－1 D．x>3
3．(2009中考變式題)化簡(jiǎn)的結(jié)果為(　　)
A. B. C. D．－b
4．(2010·河北)化簡(jiǎn)－的結(jié)果是(　　)
A．a(chǎn)2－b2 B．a(chǎn)＋b C．a(chǎn)－b D．1
5．(2010·玉溪)若分式的值為0，則b的值為(　　)
A．1 B．－1 C．±1 D．2
6．(2010·蘇州)化簡(jiǎn)÷的結(jié)果是(　　)
A. B．a(chǎn) C．a(chǎn)－1 D.
7．(2011中考預(yù)測(cè)題)下列各式是最簡(jiǎn)分式的是(　　)
A. B. C. D.
8．(2009中考變式題)計(jì)算：÷＝(　　)
A. B. C. D.
9．(2009中考變式題)已知－＝4，則的值等于(　　)
A．6 B．－6 C. D．－
10．(2011中考預(yù)測(cè)題)化簡(jiǎn)(－)·的結(jié)果是(　　)
A．－4 B．4 C．2a D．－2a
11．(2009中考變式題)學(xué)完分式運(yùn)算后，老師出了一道題“化簡(jiǎn)＋”，小明的做法是：原式＝－＝＝；小亮的做法是：原式＝(x＋3)(x－2)＋(2－x)＝x2＋x－6＋2－x＝x2－4；小芳的做法是：原式＝－＝－＝＝1，其中正確的是(　　)
A．小明 B．小亮
C．小芳 D．沒有正確的
12．(2011中考預(yù)測(cè)題)下列等式中，不成立的是(　　)
A.＝x－y B.＝x－y
C.＝ D.－＝
13．(2009中考變式題)如果從一卷粗細(xì)均勻的電線上截取1米長(zhǎng)的電線，稱得它的質(zhì)量為m克，再稱得剩余電線的質(zhì)量為n克，那么原來(lái)這卷電線的總長(zhǎng)度是(　　)
A.米 B．(＋1)米
C．(＋1)米 D．(＋1)米
14．(2011中考預(yù)測(cè)題)化簡(jiǎn)－的結(jié)果是(　　)
A. B. C. D．a(chǎn)＋b
15．(2011中考預(yù)測(cè)題)分式，，的最簡(jiǎn)公分母是(　　)
A．5abx B．15abx5 C．15abx D．15abx3
二、填空題(每小題3分，共15分)
16．(2010·哈爾濱)當(dāng)x＝______時(shí)，分式?jīng)]有意義．
17．(2010·天津)若a＝，則＋的值為________．
18．(2010·昆明)化簡(jiǎn)：(1－)÷a＝________.
19．(2010·黃岡)已知ab＝－1，a＋b＝2，則式子＋＝________.
20．(2011中考預(yù)測(cè)題)已知＝，則＝________.
21．(6分)化簡(jiǎn)．
(1)(2010·青島)＋；
(2)(2011中考預(yù)測(cè)題)÷(y＋2－)．
22．(20分)先化簡(jiǎn)，再求值．
(1)(2010·重慶)(1－)÷，其中x＝2.
(2)(2010·萊蕪)(x－2－)÷，其中x＝－4＋.
(3)(2010·畢節(jié))已知x－3y＝0，求(x－y)的值．
(4)(2011中考預(yù)測(cè)題)請(qǐng)你先將分式－化簡(jiǎn)，再選取一個(gè)使原式有意義，而你又喜愛的數(shù)代入求值．
23．(8分)(2010·濟(jì)寧)觀察下面的變形規(guī)律：
＝1－；＝－；＝－；……
解答下面的問題：
(1)若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想＝________；
(2)證明你猜想的結(jié)論；
(3)求和：＋＋＋…＋.
24．(6分)(2010·河南)已知A＝，B＝，C＝.將它們組合成(A－B)÷C或A－B÷C的形式，請(qǐng)你從中任選一種進(jìn)行計(jì)算．先化簡(jiǎn)，再求值，其中x＝3.

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