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中考二次函數重要題型透視
翻開前幾年的全國部分省市的中考試卷，不看不知道，一看真的不得了了，有關二次函數的試題卷卷都有，題型頗多，足以說明二次函數不僅是初中數學中的主要內容，也是歷年各地中考試卷中的重要考點，更是綜合題和壓軸題的熱點.為了方便同學們的學習，讓我們一起到前年的中考試卷中看看今年有哪些重要題型.
一、與方程聯姻型
例1（北京市）已知關于x的一元二次方程2x2+4x+k－1＝0有實數根，k為正整數.
（1）求k的值；
（2）當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數y＝2x2+4x+k－1的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；
（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結合這個新的圖象回答：當直線y＝x+b(b＜k)與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍.
分析（1）一元二次方程有實數根，則其根的判別式是一個非負數，由此可以確定k的取值范圍，而k為正整數，進而可以討論求得.（2）由（1）求得二次函數的解析式，由于只是對拋物線進行向下平移，所以只需考慮常數項，即常數項減去8即得.（3）容易求得平移后的拋物線與x軸的交點坐標，通過畫出草圖，可由圖象幫助求解.
解（1）由題意，得Δ＝16－8(k－1)≥0，所以k≤3，而k為正整數，所以k＝1，2，3.
（2）當k＝1時，方程2x2+4x+k－1＝0有一個根為0；
當k＝2時，方程2x2+4x+k－1＝0無整數根；
當k＝3時，方程2x2+4x+k－1＝0有兩個非0整數根；
綜上所述，k＝1和k＝2時，不合題意，舍去，k＝3符合題意.
當k＝3時，二次函數為y＝2x2+4x+2，把它的圖象向下平移8個單位，得到的圖象的解析為y＝2x2+4x－6.
（3）設二次函數為y＝2x2+4x－6的圖象與x軸交于A，B兩點，則A(－3，0)，B(1，0).依題意，得翻折后的圖象如圖所示，當直線y＝x+b經過點A時，可求得b＝；當直線y＝x+b經過點B時，可求得b＝－.由圖象可知，符合題意的b(b＜3)的取值范圍為－＜b＜.
說明　本題是一元二次方程、一次函數、二次函數以及圖形的變換的綜合題，但其難度中等，只要同學們能靈活運用所學知識即可快速求解.
二、實際應用型
例2（吉林省）某數學研究所門前有一個邊長為4米的正方形花壇，花壇內部要用紅、黃、紫三種顏色的花草種植成如圖所示的圖案，圖案中AE＝MN.準備在形如Rt△AEH的四個全等三角形內種植紅色花草，在形如Rt△AEH的四個全等三角形內種植黃色花草，在正方形MNPQ內種植紫色花草，每種花草的價格如下表：
品種 紅色花草 黃色花草 紫色花草
價格（元/米2） 60 80 120
設AE的長為x米，正方形EFGH的面積為S平方米，買花草所需的費用為W元，解答下列問題：
（1）S與x之間的函數關系式為S＝＿＿＿；
（2）求W與x之間的函數關系式，并求所需的最低費用是多少元；
（3）當買花草所需的費用最低時，求EM的長.
分析（1）正方形EFGH的面積等于邊長EF的平方，而EF又等于Rt△AEH的斜邊，依題意即得.（2）分別求出紅、黃、紫的各自面積，再運用表中的信息，即得到W與x 之間的函數關系式，進而利用配方求解.（3）設EM＝a米，在Rt△EMH中，由勾股定理構造方程求解.
解（1）依題意，結合圖形，S＝EH2＝AE2+AH2＝x2+(4－x)2，即2x2－8x+16.
（2）W＝60×4S△AEH+80×(S正方形EFGH－S正方形MNPQ)+120×S正方形MNPQ＝60×4×x(4－x)+80×[x2+(4－x)2－x2]+120x2＝80x2－160x+1280＝80(x－1)2+1200，
所以當x＝1時，W最小值＝1200元.
（3）設EM＝a米，則MH＝(a+1)米..在Rt△EMH中，由勾股定理，得a2+(a+1)2＝12+32.
解得a＝，而a＞0，所以a＝，即EM的長為米.
說明　本題是一道以幾何圖形為背景的應用題，求解時常常需要我們依據題意，靈活運用幾何知識，構造出函數模型，進而使問題獲解.
三、雙二次函數型
例3（江蘇省）如圖1，已知二次函數y＝x2－2x－1的圖象的頂點為A.二次函數y＝ax2+bx的圖象與x軸交于原點O及另一點C，它的頂點B在函數y＝x2－2x－1的圖象的對稱軸上.
（1）求點A與點C的坐標；
（2）當四邊形AOBC為菱形時，求函數y＝ax2+bx的關系式.
分析（1）由二次函數y＝x2－2x－1可直接確定其頂點坐標A，而由二次函數y＝ax2+bx的圖象與x軸交于原點O及另一點C，它的頂點B在函數y＝x2－2x－1的圖象的對稱軸上的條件可求得點C的坐標.（2）由四邊形AOBC為菱形可求得點B的坐標，進而利用待定系數法求得y＝ax2+bx的解析式.
解　如圖2.（1）因為y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，所以頂點A的坐標為(1，－2).
又因為二次函數y＝ax2+bx的圖象經過原點，且它的頂點在二次函數y＝x2－2x－1圖象的對稱軸l上，所以點C和點O關于直線l對稱，所以點C的坐標為(2，0).
（2）因為四邊形AOBC是菱形，所以點B和點A關于直線OC對稱，因此，點B的坐標為(1，2).
因為二次函數y＝ax2+bx的圖象經過點B(1，2)，C(2，0)，
所以解得所以二次函數y＝ax2+bx的關系式為y＝－2x2+4x.
說明　本題是以兩條拋物線為背景，求解時要能充分發揮二次函數的知識，利用數形結合、待定系數法的數學思想方法.
四、運動變化型
例4（長春市）如圖，直線y＝－x+6分別與x軸、y軸交于A，B兩點，直線y＝x與AB交于點C，與過點A且平行于y軸的直線交于點D.點E從點A出發，以每秒1個單位的速度沿x軸向左運動．過點E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位）.點E的運動時間為t（秒）.
（1）求點C的坐標.
（2）當0＜t＜5時，求S與t之間的函數關系式.
（3）求（2）中S的最大值.
（4）當t＞0時，直接寫出點(4，)在正方形PQMN內部時t的取值范圍.
【參考公式：二次函數y＝ax2+bx+c圖象的頂點坐標為.】
分析（1）由兩條直線的解析式可直接求得點C的坐標.（2）若AE＝t，則OE＝8－t，于是所以點Q的縱坐標為(8－t)，點P的縱坐標為t，于是可構造方程求得t，進而分情況求解.（3）由二次函數的性質并利用配方分別求解，并加以比較確定S的最大值.（4）結合圖形可求得.
解（1）由題意，得解得所以C(3，).
（2）根據題意，得AE＝t，OE＝8－t.所以點Q的縱坐標為(8－t)，點P的縱坐標為t，
所以PQ＝(8－t)－t＝10－2t.當MN在AD上時，10－2t＝t，解得t＝.
當0＜t≤時，S＝t(10－2t)，即S＝－2t2+10t.
當≤t＜5時，S＝(10－2t)2，即S＝4t2－40t+100.
（3）當0＜t≤時，S＝－2(t－)2+，所以t＝時，S最大值＝.
當≤t＜5時，S＝4(t－5)2，因為t＜5時，S隨t的增大而減小，所以t＝時，S最大值＝.而＞，所以S的最大值為.
（4）依題意，結合圖形可知，4＜t＜，或t＞6.
說明　本題意在考查平面內點的坐標的意義，二元一次方程組的應用，不等式（組）的簡單應用二次函數與一元二次方程根之間的內在聯系，是一道比較好的動態的二次函數綜合題.
A
B
F
C
G
D
H
Q
P
N
M
紅
黃
紫
E
紫
圖2
圖1
y
x
D
N
M
Q
B
C
O
P
E
A

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