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2020廣東省中考數學試卷25題第三問分析
原創：中數君
呈現2020
廣東省中考數學壓軸題之---代數與幾何（代幾）綜合題25
試題情境分析
首先談一談各省市中考數學卷中以“二次函數”為背景的代數（幾何）綜合題的狀況。往往以探索性問題（動點、動線導致的）作為壓軸大戲，舉例：探索三角形相似、全等，探索平行四邊形存在性、探索等腰三角形存在性、探索三角形面積的最值問題、探索函數的取值范圍等等。
對于此類壓軸題的設計題材背景一般有以下顯著特點：
1.一般試題背景考生都很熟悉（以平面直角坐標系為依托），本著有易到難，利于學生們入題上手，漸入佳境的原則題目的設問層層推進，難度結構合理，多數設問為“常規題”，，體現了中考試題的學業水平檢測功能，但隨著問題解決的推進，解決問題難度逐步上升，體現了中考試題的選拔性。
2.有些試題背景的設計考生不很熟悉，那些題目一般是新定義或新情境問題（首都中考數學試題常見），但相對于任何學生而言是公平的，人人不熟悉情境和人人熟悉情境同一道理，很好體現了中考試題的公平性。
3.命題者對于此類題目的設計非常注意各小問解題方法的多樣性和靈活性，但不同的解題方法繁簡程度可能大相徑庭，充分照顧了不同數學學習層次能力的學生，通過檢測讓不同的學生得到不同的收獲，但有保證優秀學生的脫穎而出。
對于此類壓軸題的問題設計中考查的知識點或區域一般有以下幾個：
利用待定系數法求函數解析式
利用兩個函數解析式聯立方程組（直線或拋物線）求點坐標方法
拋物線的性質、點關于直線對稱。
直線的平移，點的平移（圖形三大變換：對稱、旋轉、平移）
兩個三角形相似，對應邊上的高特性
三角形全等、相似
平面直角坐標系中不規則四邊形面積求法
一次、二次函數與圓相結合的題目，考查圓的知識（與圓有“緣”），2003年新課改后此類題目一般不多見。因為新課標上建了一些圓的知識。
再看本題，它以平面直角坐系為依托，全面覆蓋了對學生初中階段與一次、二次函數學習相關的基本知識、基本技能、基本數學思想方法和基本數學活動經驗的考查。同時還對于三角形相似及相似三角形的有關性質和勾股定理、二次根式的計算做了重點考查。下面對于本題的各問中涉及的考查點和集體思路進行具體分析。
（1）求b、c的值。而b、c恰為二次函數解析式中兩個系數，二次函數解析式中共有三個系數，要求其中兩個系數，就應該想到首先求出拋物線上兩點的坐標。有題目知3AO=BO=3，可以很容易得出A、B兩點坐標。代入解析式即可求出。該小問重點考查了待定系數法求函數解析式（二次函數表達式中特定項的系數）、坐標軸上點的坐標特點。
（2）著重考查待定系數法求一次函數解析式方法以及點在拋物線上求點坐標方法。難點是如何求出點D坐標（點的坐標特點）？通過由D點向坐標軸（x或y軸）作垂線段構造相似三角形是主要解決問題的途徑。通過相似三角形的知識求出D點的橫坐標或縱坐標，再由D點在拋物線上，將D點的橫坐標或縱坐標代入函數解析式從而得出D點的坐標。求點D坐標，學生的方法可能很多，注意繁簡程度不一，從而答卷時間使用不同，對于后續答題情緒有影響。還有本題計算量牽扯二次根式的化簡，也給學生們造成一定的壓力。知道點D、B坐標,直線BD（因為兩點確定一條直線，所以知道點D、B坐標,可求直線BD）解析式可以迎刃而解了。
從而可見壓軸題25題中前面的兩小問都是常規題目，非常符合壓軸題設計的個別顯著特點。
（3）對于第三問是以動點為背景進行考查相關知識的題目，其實也是中考復習中大多數教師常規備考的題型---三角形相似的探索問題，只不過平時備考的三角形相似題目多數是一個動點問題導致相似的分類討論，這次考題是兩個動點導致相似三角形的探索分類而已，從而加大了解題難度（難點很多該問，分析完后一并總結），即使會分類有解答方法也不一定完美得出答案，關鍵還有二次根式部分知識的過硬功底方可。
由題意知△BDA形狀、大小、位置均固定（△BDA非等腰、直角三角形，前面兩小問可以求得）。而△BPQ中點B固定，點B、P是動點。從而導致△BPQ的三個內角不是定值。若△BDA與△BPQ相似，必然兩上三角形的3個內角會對應相等。兩個三角形相似對應角相等那么對應點應該與對應角相等的角的頂點對應。由此若△BDA與△BPQ相似，理論上應該分別會有六種不同的對應情況。△BDA中點B、D、A分別對應△BPQ的點B、P、Q情況圖表。
點B
點D
點A
△BDA與△BPQ相似對應情況
對應點B
對應點P
對應點Q
△BDA?△BPQ
對應點B
對應點Q
對應點P
△BDA?△BQP
點B
點D
點A
△BDA與△BPQ相似對應情況
對應點P
對應點B
對應點Q
△BDA?△PBQ
對應點P
對應點Q
對應點B
△BDA?△PQB
根據題意知△BDA與△BPQ相似時，點P
在拋物線的對稱軸上且位于x軸下方，而點Q在射線BA上，從而知∠QBP總小余90度，而∠BAD由題意知識鈍角，所以
上表中△BDA?△PQB不成立。
點B
點D
點A
△BDA與△BPQ相似對應情況
對應點Q
對應點P
對應點B
△BDA?△QPB
對應點Q
對應點B
對應點P
△BDA?△QBP
根據題意知△BDA與△BPQ相似時，點P
在拋物線的對稱軸上且位于x軸下方，而點Q在射線BA上，從而知∠QBP總小余90度，而∠BAD由題意知識鈍角，所以
上表中△BDA?△QPB不成立。
分析得出若△BDA與△BPQ相似，由題意知會有四種情況存在。△BDA?△BPQ、△BDA?△BQP、△BDA?△QBP、△BDA?△PBQ。
對于動點問題，構成的圖形會時刻發生變化，我們一般情況解決此類分類討論問題采用“一類、一圖、一解”的方法。
對于本題第三問由于題干只與點B、A、D和平面直角坐系及拋物線對稱軸還有點C有直接聯系,其它無關元素可以剔除，刪繁就簡。
△BDA?△BPQ情況如圖所示：由于點P在對稱軸上，若△BDA?△BPQ則有∠BDA=∠BPQ,
∠BAD=∠BQP,
∠DBA=∠PBQ,令對稱軸與直線BD相交于點M,過點M作MQ∥DA交x軸于點Q，可得△BDA?△BMQ.根據圖形的對稱性，作△BMQ關于x軸的對稱圖形△BPQ即可知△BDA?△BPQ，從而可以求得點Q的坐標。紅色三角形與綠色三角形關于x軸對稱。
此類情況學生們容易想到，有的分的可能性，為什么這樣說呢？關鍵還要會解答出點Q的坐標。怎么解答呢？綠色三角形與三角形BAD相似，根據相似三角形對應邊上的高得以相似比，可以得到BQ:BA=點M的縱坐標：點D的縱坐標.
BA的長度與點D的縱坐標已經知道，關鍵求出點M的縱坐標。點M在直線BD上又知道點M在拋物線對稱軸上{點M的橫坐標知道}。到此你會解答了吧。試一試吧。
②△BDA?△BQP情況，我們可以根據“母子三角形相似”的情況推出，過點P作PQ∥BD交x軸于點Q，易得三角形BPQ與紅色三角形相似，從而得出△BDA?△BQP
③若△BDA?△QBP，只有兩個三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情況。
如圖所示：由三角形三邊關系理論大角對大邊得出線段AD﹤AB﹤BD.
△BDA?△QBP只有△BDA≌△QBM.在x軸上作BQ=BD,在作BM=AD,QM=AB(分別以點B、Q為圓心以BD、AD長為半徑畫弧，兩弧教育拋物線對稱軸上的點M),從而做出△QBM，而后作△QBM關于x軸對稱的△QBP。【綠色三角形】
綠色三角形與淺紅色三角形關于x軸對稱。
△BDA?△PBQ的情況，我們可以根據“母子三角形相似”的情況推出，過點P作PQ1(綠色實線)∥AD交x軸于點Q1，易得三角形BQ1Q與綠色三角形相似，從而得出△BDA?△PBQ1
對于后三類情況點Q坐標的解答方法用到三角形的相似、勾股定理，求兩直線的交點坐標【聯立方程組】、直線平移后函數解析式（一次函數解析式中k的意義）的寫法還有二次根式的化簡知識。自己試一試吧。計算量不僅僅很大，并且數值還是根式的情況。一種情況畫一個圖形，畫一個圖形而后進行解答，不至于圖形畫在一張上，難于看清，切記分類討論的壓軸題目要采用“一類、一圖、一解”的套路解答，易于得分。做出一種情況得一部分。
備注：所有圖形均由幾何畫板完成，先復制25
題題目圖形而后用幾何畫板作點、線構圖，為此有不妥之處在所難免，希望大家發現后及時留言溝通，共同商榷。
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精品試卷·第
2
頁
（共
2
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