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認識三角形
三角形的定義：
由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
有關三角形的概念：
①三角形的邊：即組成三角形的線段；
②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角；
③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.
④三角形的外角：三角形的角的一邊與另一邊的反向延長線組成的角叫做三角形的外角．
注意：（1）三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.
三角形外角的特征：①頂點在三角形的一個頂點上；②一條邊是三角形的一邊；
③另一條邊是三角形某條邊的延長線．
注意：（1）三角形每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角．所以三角形共有六個外角，通常每個頂點處取一個外角，因此，我們常說三角形有三個外角．
三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．
三角形的分類：
按角分
按邊分
銳角三角形
直角三角形
鈍角三角形
三個角都是銳角
有一個角為直角
有一個角是鈍角
不等邊三角形
等腰三角形
等邊三角形
三邊不相等
有兩條邊相等
三條邊都相等
①銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形;
②鈍角三角形：有一個內角為鈍角的三角形；
③直角三角形：有一個角為90°的三角形。
①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；
②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;
③等邊三角形：三邊都相等的三角形。
三角形的三線：
三角形的中線：三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．
這個角的頂點與交點之間的線段．
三角形的角平分線：三角形內角的平分線與對邊的交點和這個內角頂點之間的線段叫三角形的角平分線．
三角形的高：過三角形頂點作對邊的垂線，垂足與頂點間的線段叫做三角形的高．
注意：（1）三角形分別有三條高線，三條中線，三條角平分線；
（2）任意三角形三條角平分線，三條中線，分別交于一點，且都在三角形的內部；
（3）直角三角形的三條高線的交點就是直角頂點，鈍角三角形的三條高線的交點在三角形的外部，銳角三角形的三條高線在三角形的內部。
三角形的外角和與外角和
三角形內角和定理：三角形的內角和為180°．
結論：直角三角形的兩個銳角互余.
考點：①在三角形中已知任意兩個角的度數可以求出第三個角的度數；
②已知三角形三個內角的關系，可以求出其內角的度數；
③求一個三角形中各角之間的關系．
三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.
考點：因為三角形的每個外角與它相鄰的內角是鄰補角，由三角形的內角和是180°，可推出三角形的三個外角和是360°．
三角形外角的性質：
（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．
（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角．
三角形的三邊關系
定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊，即a+b>c
a+c>b
b+c>a必須同時滿足。
推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊.
考點：
（1）理論依據：兩點之間線段最短.
（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．
（3）證明線段之間的不等關系．
性質：如果三角形的三條邊固定了，那么這個三角形的形狀大小就確定了，三角形的這個性質叫三角形的穩定的。
確定三角形第三邊的取值范圍：
兩邊之差<第三邊＜兩邊之和．
這也是判斷三邊構成三角形的條件。
注意：1、這也是判斷三邊構成三角形的條件。
2、第三邊可以是任意一條邊。
多邊形
多邊形的概念：
在平面內不在同一直線上的一些線段首尾順次連接結所組成的封閉圖形叫
做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形。
（三角形是最簡單的多邊形）
構成多邊形的元素：
邊：
組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。
頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．
內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角，一個n邊形就有n個內角.
外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.與它相
鄰的內角互補,一個n邊形就有n個外角。
對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．
圖文：
多邊形的分類:
畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側，這個多邊形叫凹多邊形．如圖：
主要研究凸多邊形
多邊形內角和定理：
三角形
四邊形
五邊形
六邊形
七邊形
一個三角形
二個三角形
三個三角形
四個三角形
五個三角形
由上面的歸納推理我們可以得出：
(1)過n邊形的一個頂點可引(n-3)條對角線，n邊形對角線的總條數為；
(2)過n邊形的一個頂點的對角線可以把n邊形分成(n-2)個三角形。
由（2）我們可以得出：
n邊形的內角和為
：(n-2)·180°(n≥3)．
注意：(1)內角和定理的應用：①已知多邊形的邊數，求其內角和；
②已知多邊形內角和，求其邊數；
(2)多邊形的內角和是180?的整數倍。
(3)多邊形的邊每增加1條，多邊形的內角和增加180°
.
(4)正多邊形的每個內角都相等，都等于。
多邊形的外角和定理：
多邊形的外角和為360°．
注意：(1)多邊形的外角和為360°的應用：
①已知各相等外角度數求多邊形邊數；
②已知多邊形邊數求各相等外角的度數．
(2)在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關；
(3)正n邊形的每個內角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于；
(4)
一個多邊形外角最多為3個鈍角，或者內角最多為3個銳角。
多邊形剪去一個角的情況：
圖2：不經過頂點，那么就會增加一個角，增加一條邊。內角和增加180°
圖3：經過一個頂點，那么角的個數不變，邊數也不變。內角和不變
圖4：經過兩個頂點，那么就會少一個角，減少一條邊。內角和減少180°
以四邊形舉例：
總結：即一個n（n>3）邊形剪去一個角后，可能是（n+1）邊形、n邊形、（n-1）邊形.
經典例題：
一個多邊形截取一個角后內角和為2340度，求原來多邊形的邊數：
解題思路：根據
(n-2)·180°=2340
n=15
則原多邊形有三種情況：①
原多邊形為14邊形，不經過頂點剪，增加一條邊。
②
原多邊形為15邊形，經過一個頂點剪，邊數不變。
③
原多邊形為16邊形，經過兩個頂點剪，減少一條邊。
用正多邊形鋪設地面
1、用一種正多邊形鋪設地面：
只用一種正多邊形鑲嵌地面，當圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內角加
在一起恰好組成一個周角360°時，這種正多邊形可以鋪設地面.事實上，在正
多邊形中，能用一種正多邊形鋪滿地面的只有正三角形、正方形、正六邊形的地
磚可以用.
注意：正多邊形能用于鋪設地面的前提條件是：這個正多邊形一個內角的度數是360°的約數.正三角形的一個內角度數為180÷3=60°，是360°的約數；正方形的一個內角度數為360÷4=90°，是360°的約數；正六邊形的一個內角度數為180﹣360÷6=120°，是360°的約數，所以它們都可以用于鋪設地面，而其他正多邊形內角不能滿足這個條件，所以不能用于鋪設平面.
2、用多種正多邊形鋪設地面：
正多邊形的組合能否鋪滿地面，關鍵是看位于同一頂點處的幾個正多邊形的
內角之和能否為360°．若能，則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿．
（1）用兩種正多邊形鋪設地面的組合有：①正三角形與正方形；②正三角形與正六邊形；③正三角形與正十二邊形；④正方形與正八邊形.
（2）用三種正多邊形鋪設地面的組合有：①正三角形、正方形與正六邊形；②正方形、正六邊形與正十二邊形③正三角形、正十邊形與正十五邊形④正方形、正五邊形與正二十邊形.
注意：（1）用兩種正多邊形鋪設地面滿足方程：內角度數×m
+
另一種內角度數×n=360°有正整數解（即m、n均為正整數）.
（2）用三種正多邊形鋪設地面滿足方程：內角度數×m
+
另一種內角度數×n＋第三種內角度數×k
=360°有正整數解（即m、n、k均為正整數）.
（3）有時幾種正多邊形的組合能圍繞一點拼成周角，但不能擴展到整個平面，即不能鋪滿平面.如：正五邊形與正十邊形的組合.
3.任意多邊形平面鋪設：
形狀、大小完全相同的任意三角形能鑲嵌成平面圖形；形狀、大小相同的任
意四邊形（凸四邊形）能鑲嵌成平面圖形.
注意：任意三角形、四邊形（形狀、大小相同）能鑲嵌平面是因為：三角形內角和為180°，是360°的約數；四邊形（凸四邊形）的內角和是360°，也是360°的約數.所以大小形狀相同任意三角形、四邊形圍繞一點拼在一起的幾個內角加在一起恰好組成一個周角(
360°)時，就能鋪滿地面.
各個正多邊形的內角度數：
正三角形：60°
正八邊形：135°
正十五邊形：156°
正四邊形：90°
正九邊形：140°
正十八邊形：160°
正五邊形：108°
正十邊形：144°
正二十邊形：162°
正六邊形：120°
正十二邊形:150°
凸多邊形
凹多邊形

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