資源簡介

第一部分 冪函數、指數函數和對數函數
(一)集合
提要
(1)用描述法表示集合時，關鍵是歸納出集合的所有元素的共同屬
性，并將這個屬性用一個解析式表達出來。
(2)判斷某個對象 x是否為某個集合 A的元素，就是看 x是否具備 A
中元素的公共屬性。
(3)根據子集和集合相等的定義，判斷兩個集合之間的關系是通過間
斷元素與集合的關系來進行的。例如，要確認A B，只須對任意x∈
A，證明x∈B。又如要確認A B，除了要證明A B外，還須找到一
個x0∈B，但x0 A。
(4)如集合的元素是離散的，則集合間的運算可借助維恩圖的直觀來
進行。
(5)如集合的元素是連續的，則集合間的運算可借助數軸的直觀來完
成。
1．集合的概念、子集
例題
解 設α=x-y，β = y z，γ = z x，則有α + β + γ = 0。故
α + β γ
sin γ = sin(α + β)， sin = sin
2 2
[ ]
A．3∈A且 - 3∈A B．3∈A但 - 3 A
C．3 A且 - 3 A B．3 A但 - 3 ∈A
解 D ∵3 -1 = 2 3，∴3 A；∵ 3 1＜ 3，∴ 3∈A。
例 1-1-2 集合 A=｛(x，y)|y=-1+x-2x2，x∈R，x≠0｝，若點 P 的
坐標(x，y)∈A，則 [ ]
A．P 在第一或第二象限
B．P 在第二或第三象限
C．P 在第三或第四象限
D．P 在第四或第一象限
由已知函數的解析式得x = - 2y - y 2，對換x，y得反函數為
f 1(x) = 2x x2 ，x∈(0，1]
m
例1 -1 - 3 集合A = ｛x|x = ，m∈Z，|m|＜2，n∈N，n≤3｝用
n
2 3 4 5 6
列舉法表示為 ；集合B = ｛ ， ， ， ， ｝用描述法
3 9 27 81 243
表示為 。
1 1 1 1
解 A = ｛ -1，0，1， ， ， ， ｝
2 2 3 3
n + 1
B = ｛x|x =
3n
，n∈N且n≤5｝
1
例1 -1 - 4 如果x = ，y = 3+ 2π，集合M = ｛m|m = a + b 2，
3-5 2
a∈Q，b∈Q｝，那么 x、y與集合 M的關系為 x______ M，y______ M。
1 3 5
解 ∈， 因為x = = 2，所以x∈M。但π Q，
3 -5 2 41 41
故y M。
例 1-1-5 集合 A=｛x|ax2+2x+1=0，a∈R｝中只有一個元素，則 a
的值為______。
解 0 或 1
當 ax2+2x+1=0 為一次方程時，A只有一個元素，這時 a=0。
當 ax2+2x+1=0 為二次方程時，由題設有Δ=22-4·a·1=0，這時a=1。
注 不要遺漏 a=0 的情況。
例 1-1-6 集合｛有一邊長為 4、一內角為 50°的等腰三角形｝的
元素個數是______。
解 4 根據下面的作圖可知：
例 1-1-7 已知集合｛1，x，x2-x｝有 3 個元素，求所有實數 x 形
成的集合。
解 由題設有
1≠x

1≠x2 - x
2
x≠x - 2
1 ± 5
解之得 x≠0，1，2，
2
1 ± 5
所以，所求x的集合為｛x|x∈R，且x≠0，1，2， ｝。
2
例 1-1-8 設 M=｛α|α=x2-y2，x，y∈Z｝，求證：
(1)一切奇數屬于 M；
(2)偶數 4k-2(k∈Z)不屬于 M；
(3)屬于 M的兩個整數，其積仍屬于 M。
解 (1)設α為任意的奇數，即α=2k-1(k∈Z)。
因 2k-1=k2-(k-1)2(k，k-1∈Z)，故α∈M。
由α的任意性知，一切奇數屬于 M。
(2)假設 4k-2∈M，則存在 x，y∈Z，使
4k - 2 = x2 - y 2 (x + y)(x - y) = 2(2k -1) (i)
(i)式說明 x+y 和 x-y 必有一個是偶數，另一個是奇數。但是 x+y 和
x-y
具有相同的奇偶性，這是一對矛盾。故(i)式不成立。所以，4k - 2 M。
(3)設α，β∈M則
α=x21-y21，β=x22-y22，(x1，x2，y1，y2∈Z)
進而 αβ=(x21-y21)(x22-y22)=x21x22+y21y22-x21y22-x22y21
=(x1x2-y1y2)2-(x1y2-x2y1)2
而 x1x2-y1y2∈Z，x1y2-x2y1∈Z
所以，αβ∈M。
例 1-1-9 設 A=｛正方形｝，B=｛矩形｝，C=｛平行四邊形｝，D=｛梯
形｝。下列包含關系中不正確的是 [ ]
A．A B B．B C C．C D D．A C
解 C
例 1-1-10 數集 X=｛(2n+1)2｝(n∈Z)與數集 Y=｛(4k±1)2｝(k∈
Z)之間的關系是 [ ]
A．X Y B．X Y C．X = Y D．以上皆非
解 C 這是因為，當 n=2m(m∈Z)時，(2n+1)2=(4m+1)2；當 n=2m+1(m
∈Z)時，(2n+1)2=[4(m+1)-1]·2。故對任意 x∈X，有 x∈Y，
所以X Y。
又(4k+1)2=(2·2k+1)·2，(4k-1)2=[2(2k-1)+1]·2，故對任意 y
∈Y，有y∈X。所以Y X。
綜上可知，X=Y。
例1-1-11 若集合X滿足｛0，1｝ X ｛ - 2， -1，0，1，2｝，
則 X 的個數是 [ ]
A．2 個 B．4 個 C．6 個 D．7 個
解 D 可列出所有滿足題設的 X如下：｛0，1｝，｛0，1，-2｝，｛0，
1，-1｝，｛0，1，2｝，｛0，1，-2，-1｝，｛0，1，-2，2｝，｛0，1，-1，2｝。
例 1-1-12 已知集合 A=｛(x，y)|x+2y=7，x，y∈N｝。用列舉法可
將 A表示為______；集合 A的子集有______個。
解 ｛(1，3)，(3，2)，(5，1)｝；8。
例 1-1-13 已知 M=｛x|x=a2+1，a∈N｝，P=｛x|x=b2-4b+5，b∈N｝，
則 M與 P的關系是______。
解 M P
設任意 x∈N，則 x=a2+1，a∈N。由于 a2+1=(a+2)2-4(a+2)+5，
所以x∈P，所以M P。
又當b = 2時，b 2 - 4b + 4 = 1∈P，但當a∈N時，a 2 +1＞1，1 M，
所以M P。
例1 -1 -14 已知集合A = ｛x，xy， xy 1｝，B = ｛0，| x|，y｝，
A = B，求實數x，y的值。
解 要使 xy 1有意義，必須xy -1≥0，所以x≠0，y≠0，即A
中的元素 x，xy 都不可能與 B中的元素 0對應，于是只能有
xy -1 = 0 xy = 1
于是 A=｛x，1，0｝。但 A=B，所以｛x，1，0｝=｛0，|x|，y｝。
而 x≠1，故 y≠1。故只有|x|=1，即 x=-1(x≠1)。所以 y=-1。
這時 A=B=｛-1，1，0｝。
注 若 x=1，則由 xy=1 有 y=1，這時集合 A，B中就各有兩個相同的
元素，與集合元素的互異性矛盾。
例 1-1-15 已知集合 A=｛y|y=x2+2x+4，x∈R｝，B=｛y|y=ax2-
2x + 4a，x∈R｝，A B。求實數a的取值范圍。
解 由 y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3 得 A=[3，+∞)。
當a = 0時，B = R，符合A B；
1
當a＜0時，B = (-∞，4a - ]，這時A B不成立；
a
1 1
當a＞0時，B =[4a - ， +∞)，由[+， +∞) [4a - ， + ∞)得4a -
a a
1
≤3，解得0＜a≤1。
a
綜上所述，a的取值集合為｛a|0≤a≤1｝。
注 不要把 y=ax2-2x+4a 簡單地看成二次函數。事實上，當 a=0 時，
它是一次函數 y=-2x。
例 1-1-16 設函數 f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)，集合 A=｛x|x=f(x)，
x∈R｝，B=｛x|x=f[f(x)]，x∈R｝。
(1)證明：A B
(2)當 A=｛-1，3｝時，求 B。
解 (1)設任意的 x0∈A，則 x0=f(x0)。而 f[f(x0)]=f[x0]=x0，故
x0∈B，
從而A B。
(2)x=f(x)，即 x2+(a-1)x+b=0。因 A=｛-1，3｝，所以
(-1)
2 + (a -1)(-1) + b = 0
2
3 + (a -1)·3+ b = 0
解得 a=-1，b=-3。故 f(x)=x2-x-3。
由 x=f[f(x)]，得
(x2-x-3)2-(x2-x-3)-x-3=0
解得x = -3，3，± 3。
T
數)的最小正周期是 。
k
例 1-1-17 設 S 是數集合｛1，2，3， ，1989｝的一個子集合，
且 S中任意兩個數的差不等于 4或 7。問 S最多可以包含多少個數？
解 1，4，6，7，9 這五個數中任何兩個的差都不是 4或 7。各加11
得 12，15，17，18，20，顯然也是這樣的數，而且各與前 5個數中任一
個的差也不是 4或 7，這樣類推，每次連續十一個數中可取五個，一起組
成集合 S(注意 1989=11×180+9，最后只有九個數 1981， ，1989，但仍
可取五個數 1981，1984，1986，1987，1989)。那么S包含的數的個數是
5×181=905。
現證 S 不可能包含更多的數。若不然，則上述 181 組數中至少有一
組可以從取六個數，使得兩兩的差不是 4或 7。不妨考慮 1，2， 11 這
組數，把它劃分成五個小組：
(4，7，11)，(3，10)，(2，6)，(5，9)，(1，8)
其中至少要求有一個小組要取出兩個數。顯然后面四對數的每一對都不
能同時取出，只能在第一小組中取 4，7。于是(3，10)中只能取 10，(2，
6)中只能取 2，(5，9)中只能取 5，(1，8)中兩個數都不能取，也就是不
可能取得第六個數。從而得證。
習題
1-1-1 設集合 M=｛直角三角形｝，N=｛小于 6 的整數｝，P=｛比-1
大 5 的數｝，Q=｛大于 0且小于 1的有理數｝，其中無限集是
[ ]
A．M，N，P B．M，N，Q
C．M，P，Q D．N，P，Q
1-1-2 集合 A=｛x2，3+x+2，5y2-x｝，B=｛周長等于 20 厘米的三
角形｝，C=｛x|x-3＜2，x∈R｝，D=｛(x，y)|y=x2-x-1｝中描述法表示的
集合有 [ ]
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
1-1-3 集合 A=｛(x，y)|xy≤0，x，y∈R｝表示坐標平面上
[ ]
A．第二象限的點組成的集合
B．第四象限的點組成的集合
C．第二以及第四象限的點組成的集合
D．第二、四象限以及 x軸、y軸上的點組成的集合
1-1-4 用描述法可將集合｛1，-3，5，-7，9，-11， ｝表示為______。
1-1-5 絕對值不大于 6的偶數集用列舉法可以表示為______。
1-1-6 設有命題 P：“若 x∈A，則 8-x∈A”。在由正整數組成的集
合中：
(1)滿足命題 P的一元集 A有______個，是______；
(2)滿足命題 P的二元集 A有______個，是______；
(3)滿足命題 P的集合 A共有______個。
y -1
1 -1 - 7 設a = ，且a∈｛x|1＜x＜3｝，求y的取值范圍。
y
1 -1 - 8 設S = ｛x|x = m + n 2，m，n∈Z｝，
(1)若 a∈Z，則 a是否是集合 S的元素？
(2)對 S 中任意兩個元素 x1，x2，x1+x2，x1·x2 是否屬于集合 S？
(3)對于給定的整數n，試求滿足0＜m + n 2＜1的S中元素的個數。
1 -1 - 9 已知集合M = ｛x|x≥3 3，x∈R｝及a = 2 7，則下列各式
中正確的是 [ ]
A．a M B．｛a｝∈M
C．a M D．｛a｝ M
y
1 -1 -10 設集合A = ｛(x，y)|y = x｝，B = ｛(x，y)| = 1｝，則集合
x
A，B 間的關系是 [ ]
A．A B B．A B
C．A = B D．以上都不對
1-1-11 設集合 M=｛(x，y)|x+y＞0，xy＞0｝，N=｛(x，y)|x＞0，
且 y＞0｝，那么 M，N之間的關系是 [ ]
A．M N B．M N
C．M = N D．以上都不對
1 1
1 -1 -12 已知x = ，y = ，集合A =｛x|x2 -1＜0｝，則x，
3 - 3 3 2
y 與集合 A的關系是 x______ A，y______ A。
1-1-13 數集 X=｛x|x=12m+8n，m，n∈Z｝與數集Y=｛x|x=20p+16q，
p，q∈Z｝之間的關系是______。
1-1-14 集合 M=｛1，2，(1，2)｝有______個子集，它們是______。
1-1-15 已知集合 M=｛a，a+d，a+2d｝，N=｛a，aq，aq2｝，其中 a
≠0，若 M=N，求 q的值。
1-1-16 已知集合
A=｛(x，y)|2x+y-2=0｝
B=｛(x，y)|2x2-ay2-(2a-1)xy+4ay-2=0｝
若A B，求實數a的值。
1-1-17 集合 A 由不同的自然數構成，其元素個數大于 7，且各個
元素的最小公倍數為 210，每兩個元素的最大公約數大于 1，若 A中所有
元素之積能被 1920 整除，并且不是完全平方數，求 A的各個元素。
2．交集、并集、補集
例題
例 1-1-18 設集合 A=｛(x，y)|3x+2y=7｝，B=｛(x，y)|2x+3y=8｝，
則 A∩B= [ ]
A．(1，2) B．｛x=1｝∩｛y=2｝
C．｛1，2｝ D．｛(1，2)｝
3x +2y = 7
解 D 解方程組 得(x，y) = (1，2)。所以A∩B = ｛(1，2)｝。
2x +3y = 8
例 1-1-19 設集合 X=｛0，1，2，4，5，7｝，Y=｛1，3，6，8，9｝，
Z=｛3，7，8｝，那么集合(X∩Y)∪Z= [ ]
A．｛0，1，2，6，8｝
B．｛3，7，8｝
C．｛1，3，7，8｝
D．｛1，3，6，7，8｝
解 C
例 1-1-20 若方程 x2-px+6=0 的解集是 M，方程 x2+6x-q=0 的解集
是 N，且 M∩N=｛2｝，那么 p+q= [ ]
A．21 B．8 C．6 D．7
解 A 因為 M∩N=｛2｝，所以 22-p·2+6=0，22+6·2-q=0，即 p=5，
q=16。所以 p+q=21。
例 1-1-21 滿足 A∪B=｛a1，a2｝的集合 A，B的組數為
[ ]
A．5 B．7 C．9 D．10
解 C ∵｛a1a2｝∪｛a1，a2｝∪｛a1｝
=｛a1｝∪｛a1a2｝=｛a1，a2｝∪｛a2｝=｛a2｝∪｛a1，a2｝=｛a1，
a2｝∪ = ∪｛a1，a2｝=｛a1｝∪｛a2｝=｛a2｝∪｛a1｝=｛a1，a2｝
∴滿足要求的 A、B有 9組。
例 1-1-22 S、T 是兩個非空集合，且 S T，T S，若 X=∩T，那么
S∪X=______。
解 S 由右邊的維恩圖即知。
｛(x，y)|(a2-1)x+(a-1)y=15｝，則 a的值為______。
5
解 1， -1， ， - 4．
2
當 x≠2時，將 y=(a+1)(x-2)+3 代入(a2-1)x+(a-1)y=15，得
2(a2-1)x=(2a-1)(a-1)+15
當 a=±1 時此方程無解．
當 x=2 時，將 x=2，y=3 代入(a2-1)x+(a-1)y=15，得
(a2-1)·2+(a-1)·3=15
5
解得a = -4或a = ．此時，(2，3)∈N，但(2，3) M，故M∩N = ．
2
5
綜上所述，當a = ±1或a = -4或a = 時，M∩N = ．
2
y 3
= a + 1
注 此例即求方程組 x 2 無解的條件．
(a
2 1)x + (a 1)y = 15
例 1-1-24 已知集合 A={a2，a+1，-3}，B={a-3，2a-1，a2+1}．若
A∩B={-3}，求實數 a的值．
解 因為-3∈B，而 a2+1＞0，所以有兩種可能：
(i)a-3=-3 (ii)2a-1=-3
由(i)得 a=0，這時 a+1=1，a2+1=1，即 1∈(A∩B)，與已知 A∩B={-3}
矛盾．
由(ii)得 a=-1，這時 A={1，0，-3}，B={-4，-3，2}，滿足題設．
綜上，a=-1．
例1 -1 - 25 已知A = {x| x2 + (p +2)x +1= 0，x∈R}．若A∩R+ = ，
求 p 的取值范圍．
解 因為A∩R + = ，所以：(i)A = 或(ii)方程x2 + (p + 2)x +1= 0
實根為非正數．
由(i)，△=(p+2)2-4＜0，解得-4＜p＜0．
由(ii)，有
△ = (p + 2)2 4≥0

(p + 2)≤0
解得 p≥0．
綜上，p＞-4．
注 容易漏掉A = 的情況．
例 1-1-26 設以實數集 R 為全集，A={x|-3＜x≤3}，B={x|x≤
-3，}C={x|x＞3}，則 A是 B和 C的 [ ]
A．交集 B．并集
C．交集的補集 D．并集的補集
解 D ∵B∪C = {x| x≤ - 3或x＞3}，∴A = (B∪C)．
例 1-1-27 設全集 I={x|1≤x＜9，x∈N}，則滿足{1，3，5，
7，8}∩B = {1，3，5，7}的所有集合B的個數是 [ ]
A．1 個 B．4 個
C．5 個 D．8 個
解 D 因為B≠B，故只需考慮B的個數．
因為I = {1，2，3，4，5，6，7，8}，故滿足題設的B有{1，3，
5，7}，{1，3，5，7，2}，{1，3，5，7，4}，{1，3，5，7，6}，{1，3，
5，7，2，4}，{1，3，5，7，2，6}，{1，3，5，7，4，6}，{1，3，5，
7，2，4，6}，共 8個．所以滿足題設的 B有 8個．
例 1-1-28 由 A∪B=A∪C 可以推出 [ ]
A．B=C
B．A∩B=A∩C
C．A∩B = A∩C
D．A∩B = A∩C
解 C 采用特例法．取 A={1，2，3，4}，B={1，2}，C={3，4}，知
A，B，D不成立，從而知 C成立．
例 1-1-29 設全集 I={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合
A∩B = {2}，A∩B = {1，9}，A∩B = {4，6，8}，那么A = ，
B=______．
解 A={2，3，5，7}，B={2，4，6，8}．
用維恩圖來推求．如圖，兩圓分別表示 A與 B．在圖上分別標出
A∩B，A∩B，A∩B，A∩B，并把A∩B = {2}，A∩B = {1，9}，A∩
B = {4，6，8}填入．從圖上可得出A∩B = {3，5，7}．所以A = {2，3，
5，7}，B={2，4，6，8}．
例 1-1-30 用集合的交、并、補表示下列圖形中陰影部分為：
(1)______；(2)______；(3)______．
解 (1)(A∩B)∪(B∩C) (2)A∪B (3)A∩B
注 表示方法不惟一，比如(3)也可表示為(A∪B)∩A．
例1 -1 - 31 設全集I = {2，3，a 2 + 2a - 3}，A = {b，2}，A = {5}，
求實數 a和 b的值．
解 由A∪A = I得{b，2，5} = {2，3，a 2 + 2a - 3}．所以
b = 3且a 2 + 2a - 3 = 5 a = 2或 - 4，b = 3
例1 -1 -32 設全集I = {x| x為小于20的正偶數}，若A∩B = {12，14}，
A∩B = {2，4，16，18}，A∩B = ，求集合A與集合B．
解 由下圖知A∩B = B = {12，14}．又
I={2，4，6，8，10，12，14，16，18}
所以 B={2，4，6，8，10，16，18}
同理可得
A={6，8，10，12，14}
注 本題中因為A∩B = ，所以A∪B = ，可知A∪B = I．因此
從維恩圖上可以直接看出A∩B = B，A∩B = A．
例 1-1-33 50 名學生做物理、化學兩種實驗．已知物理實驗做得正
確的有40人，化學實驗做得正確的有31人，兩種實驗都做錯的有4人．問
這兩種實驗都做對的有幾人？
解 設學生集合為全集 I，做對物理實驗的學生為集合 A，做對化學
實驗的學生為集合 B，則都做對的學生的集合為 A∩B，設其元素個數為
x．由圖可見，只做對物理實驗的人數為 40-x，只做對化學實驗的人數為
31-x．故 x+(40-x)+(31-x)+4=50，解之，得 x=25(人)．
注 如用符號 n(E)表示有限集 E的元素個數，那么，若 A，B為有限
集，則
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
習題
1-1-18 若 A={1，3，x}，B={x2，1}，且 A∪B={1，3，x}，則這樣
的 x的不同值有 [ ]
A．1 個 B．2 個
C．3 個 D．4 個
1-1-19 已知集合 P滿足 P∩{4，6}={4}，P∩{8，10}={10}，P
∩{2，12} = {2}，P {2，4，6，8，10，12}，則P = [ ]
A．{2，4}
B．{2，4，10}
C．{6，8，12}
D．{2，4，6，8，10，12}
y
1 -1 - 20 設集合A = {(x，y)| 2 = 1，x，y∈R}，B = {(x，y)|y = 1 - x
1- x2，x，y∈R}，C = {(x，y)|(x，y)∈B，但(x，y)∈A}，則B∩C =
[ ]
A．{(1，-1)}
B．{(-1，0)，(1，0)}
C．
D．{(-1，1)}
1-1-21 數集{x|15≤x≤125}∩{x|x=4n+1，n∈N}中，所有元素的
和等于______．
1-1-22 若 a＜0＜b＜|a|，A={x|a≤x≤b，x∈R}，B={x|-b≤x≤
-a，x∈R}，則 A∩B=______，A∪B=______．
1-1-23 已知集合 A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+(a-1)=0}，
C={x|x2-mx+2=0}，且 A∪B=A，A∩C=C，求 a，m．
1-1-24 已知集合 A={(x，y)|ax+y=1}，B={(x，y)|x+ay=1}，C={(x，
y)|x2+y2=1}，問：
(1)當 a 取何值時，(A∪B)∩C 為含有兩個元素的集合？
(2)當 a 取何值時，(A∪B)∩C 為含有三個元素的集合？
1 -1 - 25 設I是全集，非空集A，B滿足A B，則下列集合中為空
集的是 [ ]
A．A∩B B．A∩B C．A∩B D．A∩B
1-1-26 如果 I={a，b，c，d，e}，M={a，c，d}，N={b，d，
e}，其中I是全集，那么M∩N = [ ]
A． B．ls3nnwk C．{a，e} D．{b，e}
1-1-27 若集合 A∪B=I(I 為全集)，則下列關系式中一定正確的是
[ ]
A．B A B．A∩B = C．B A D．A∩B = I
1 -1 - 28 設I = {a，b，c，d，e，f，g，h}，已知A∪B = {a，b，
c，e，f，g，h}，A∩B = {a，e}，A∩B = {c，g}，B∩A = {b，f，
h}，則 A=______，B=______．
1-1-29 某年級有 52 人參加了數學或英語小組，其中參加數學小組
的有 32 人，參加英語小組的有 40 人，那么同時參加數學和英語小組的
有______人．
1 -1 -30 已知全集I = {2，3，a2 + 2a -3}，A = {|a +1|，2}，A = {5}，
求實數 a的值．
1-1-31 設 I=R，P={y|y=-x2，x∈R}，Q={y|y=|x|-1，x∈R}，求
P∩Q，P∪Q，P∪Q與P∩Q．
1-1-32 (1)A={x|x=28m+20n，m，n∈Z}，B={x|x=12m+18n，m，n
∈Z}，求屬于 A∩B的最小的正整數．
(2)設集合 A的元素是正整數的平方除以 8得到的余數，集合B的元
素是正整數的平方除以6得到的余數，用列舉法表示集合A∪B，A∩
B．
（二）一元二次不等式
提要
(1)解不等式|f(x)|＜c 與|f(x)|＞c(c＞0)主要依據
|f(x)|＜c -c＜f(x)＜c
與 |f(x)|＞c f(x)＜ - c或f(x)＞c
將絕對值不等式轉化為非絕對值不等式(組)后求解．
(2)可將(1)的依據推廣為
|f(x)|＜g(x) -g(x)＜f(x)＜g(x)
與 |f(x)|＞g(x) f(x)＜ - g(x)或f(x)＞g(x)
(3)型如|f(x)|＜|g(x)|的不等式可通過對其兩邊平方后化為
[f(x)]2＜[g(x)]2 求解．
(4)型如 a|x-x1|+b|x-x2|＜c(x1＜x2，a，b≠0)的不等式可通過分
區間(-∞，x1)，(x1，x2)，(x2，+∞)去絕對值符號后求解．
(5)一元二次不等式 ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集實際上就是使一元二
次函數 f(x)=ax2+bx+c 的函數值為正的自變量 x 的取值范圍，故可利用
二次函數的圖形直觀地得到一元二次不等式的解．
(6)已知一元二次不等式 ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集，確定不等式的
系數可采用比較系數法，即作出一個解集為已知集合的一元二次不等式
a1x2+b1x+c1＞0(a1≠0)，然后與所求不等式比較系數：
a b c
= = (a與a 同號)
a1 b1 c
1
1
1．|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式
例題
1＜ |x|
例1 -2 -1 不等式組 的解集為 [ ]
|x|＜2
A．{x|-1＜x＜1}
B．{x|-2＜x＜-1 或 1＜x＜2}
C．
D．{x|-2＜x＜2}
解 B 由 1＜|x|得 x＜-1 或 x＞1；由|x|＜2 得-2＜x＜2，所以原
不等式組的解為-2＜x＜-1 或 1＜x＜2．
例 1-2-2 不等式|x-1|+|x+2|＜5 的解集是 [ ]
A．{x|-3＜x＜2}
B．{x|-1＜x＜2}
C．{x|-2＜x＜1}
3 1
D．{x|- ＜x＜ }
2 2
解 A 分區間討論．當 x＜-2 時，原不等式化為-(x-1)-(x+2)＜5，
即 x＞-3，此時原不等式的解為-3＜x＜-2；
當-2≤x＜1 時，原不等式化為-(x-1)+(x+2)＜5，即 x∈R，此時原
不等式的解為-2≤x＜1；
當 x≥1 時，原不等式化為(x-1)+(x+2)＜5，即 x＜2，此時原不等式
的解為 1≤x＜2．
綜上可知，原不等式的解集是{x|-3＜x＜2}．
3 | x|
例1 -2 - 3 使 有意義的x的取值范圍是 [ ]
|2x + 1| 4
3 5
A． 3≤x＜ B． ＜x≤3
2 2
5 3
C． 3≤x＜ 或 ＜x≤3 D． 3≤x≤3
2 2
3 |x|≥0
解 C 解不等式組 得x的取值范圍．
|2x + 1| 4＞0
3x + 14
例1 -2 - 4 不等式|x + 2|＞ 的解是 [ ]
5
A．x＜-3 或 x＞2
B．-3＜x＜2
C．-2＜x＜0
D．0＜x＜2
解 A 原不等式同解于
3x + 14 3x + 14
x + 2＜ 或x + 2＞ x＜ 3或x＞2．
5 5
3x + 14 3x + 14
注 顯然原不等式可分為 ＜0或 ≥0兩種情況求解，
5 5
但沒有上述解法簡便．
5|x|-1
例1 -2 - 5 (1) + 1＜3的解集為_ _ _ _ _ _；
2
(2)5≤|5x 3|≤10的解集為_ _ _ _ _ _．
解 (1){x|-1＜x＜1}
7 2 8 13 |5x 3|≤10
(2){x|- ≤x≤ 或 ≤x≤ }．解不等式組 即得．
5 5 5 5 |5x 3|≥5
|x 1| 2
例1 -2 - 6 不等式 ＞0的解集是_ _ _ _ _ _．
|x + 3|
解 {x|x＜-3 或-3＜x＜-1 或 x＞3}
原不等式同解于不等式組
|x -1|-2＞0

x + 3≠0
解之，得原不等式的解集為{x|x＜-3 或-3＜x＜-1 或 x＞3}．
3 x
例1 -2 - 7 設A = x | x -2|≤| | ，B = {x |x 1|＜a}．如果
2 2
A∩B = B，求a的取值范圍．
3 x
解 對| x 2|≤| |兩邊平方得
2 2
3 x
( x 2)2 ≤( ) 2 (x 1)(x 2)≤0
2 2
所以 A=[1，2]．
1
中a和 的幾何意義來判斷．
a
A B C 1
sin sin sin ≤
2 2 2 8
解得 a≤0．但 a＞0，故此種情形不成立．
綜合(i)、(ii)知，所求 a的取值范圍為 a≤0．
例1 -2 - 8 設a是給定的正數，且2a≥ 2，如果對滿足不等式| x - a|
1
＜b的一切實數x，不等式| x2 - a 2 |＜ 都成立，求正數b的取值范圍．
2
解 | x - a|＜b(b＞0) a - b＜x＜a + b (i)
1 1
|x2 - a 2 |＜ a 2 - ＜x2
1
＜a 2 + (ii)
2 2 2
1
因為2a≥ 2，所以a 2 - ≥0，所以(ii)的解為
2
2 1 2 1 1 1 a + ＜x＜ a 或 a 2 ＜x＜ a2 +
2 2 2 2
滿足(i)的一切實數 x滿足(ii)，其條件是
2 1 1a ≤a b且a + b≤ a2 +
2 2
1 1
0＜b≤a a 2 且0＜b≤ a 2 + a
2 2
1 1
因為 2 ＜ 2 2
1 1
，所以 a + a＜a a 2 ．
1 1 2 2
a 2 + + a a + a 2
2 2
1
故0＜b≤ a 2 + a為所求．
2
習題
1-2-1 若|x|≤1，則 [ ]
A．x2≤1 B．x≤1
C．x≤-1 D．x≤-1 或 x≥1
1 1
1 -2 - 2 如果不等式 ＜2和 |x|＞ 同時成立，那么x滿足
x 3
[ ]
1 1 1 1
A． ＜x＜ B．x＞ 或x＜
3 2 2 3
1 1 1
C．x＞ D．x＜ 或x＞
2 3 3
1-2-3 不等式 1≤|x-2|≤7 的解集是 [ ]
A．3≤x≤9
B．-5≤x≤1
C．-5≤x≤9
D．-5≤x≤1 或 3≤x≤9
1-2-4 (1)|2-x|＜1 的整數解為______．
(2)5+|x|＜2x-4 的解集為______．
1 -2 - 5 若 |3x -1|＜3，化簡 9x 2 24x + 16 + 9x2 + 12x + 4的結果
是______．
1-2-6 不等式|2x+3|-|4x-3|≥0 的解集是______．
1-2-7 解關于 x的不等式 a|x-1|＞2+a．
1-2-8 已知 a＞0，不等式|x-4|+|x-3|＜a 在 R 上的解集不是空集，
求 a的取值范圍．
2．一元二次不等式
例題
例 1-2-9 下列不等式中無解的一個是 [ ]
A．2x2-3x+2＞0
B．x2+4x+4≤0
C．4-4x-x2＜0
D．-2+3x-2x2＞0
解 D △=32-4(-2)(-2)=-7＜0
(2 x 1)(x 3)＞ 2

例1 - 2 -10 若x是不等式組 5x + 6 的解，則P
2(x + 2)＜ + 1 3
(x+2，x-2)在 [ ]
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解 C 不等式組的解為 x＜-3，所以 x+2＜0，x-2＜0．
例 1-2-11 已知不等式
(i)x2-4x+3＜0 (ii)x2-6x+8＜0 (iii)2x2-9x+a＜0
要使滿足(i)、(ii)的 x 也滿足(iii)，則 [ ]
A．a＞9 B．a=9
C．a≤9 D．0＜a≤9
解 C (i)的解是1＜x＜3，(ii)的解是2＜x＜4．所以同時滿足(i)，
(ii)的 x 的值 2＜x＜3．
f(2)≤0
設f(x) = 2x2 - 9x + a，要使2＜x＜3是(iii)的解，只要使 成
f(3)≤0
立，解得 a≤9．
注 本例可理解為：不等式組(i)、(ii)的解是不等式(iii)的解集
的子集．
例 1-2-12 或關于 x 的不等式 ax2+bx+c＜0 的解集為(-∞，α)∪
(β，+∞)，則與不等式 ax2+bx+c＞0 同解的不等式(組)是 [ ]
A．(x-α)（x-β）＞0
B．(x-α)（x-β）＜0
x - α＞0
C．
x - β＞0
x -α＜0
D．
x -β＜0
解 B 由題設可知 a＜0．
注 結合二次函數的圖象更容易理解此題．
例 1-2-13 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4＜0 對 x∈R 恒成立，則 a 的
取值范圍是 [ ]
A．(-∞，2) B．(-2，2)
C．(-2，2) D．(-∞，-2)
解 B 由已知條件得
a - 2＜0

△ = [2(a - 2)]
2 - 4(a - 2)(a - 4)＜0
解得-2＜a＜2．
又當 a=2 時，原不等式化為-4＜0，恒成立．
所以 a的取值范圍是(-2，2)．
例 1-2-14 二次函數 y=x2+(m-3)x+1 的圖象與 x軸的兩個交點的橫
坐標分別為 x1，x2，且 x1＜2，x2＞2，則 m的取值范圍是______．
1 1
解 m＜ 據題設應有22 + (m - 3)·2 + 1＜0，解之得m＜ ．
2 2
例 1-2-15 使拋物線 y=x2-2x-3 落在直線 y=x-5 的下方的 x的取值
范圍是______．
解 1＜x＜2 由已知條件得 x2-2x-3＜x-5，解得 1＜x＜2．
x + 1
例1 -2 -16 (1)不等式 ＜1的解集是_ _ _ _ _ _．
2x 3
x + 7
(2)不等式 2 ＞1的解集是_ _ _ _ _ _． 3x + 2x + 5
3
解 (1){x| x＜ 或x＞4}
2
x + 1 x + 1 x 4
＜1 1＜0 ＞0
2x 3 2x 3 2x 3
3 3
(x 4)(x )＞0 x＜ 或x＞4
2 2
2
(2){x|-1＜x＜ } 因為3x2 + 2x + 5的判別式△＜0，所以3x2 + 2x + 5
3
恒大于 0．故原不等式可化為
2
x + 7＞3x 2 + 2x + 5 1＜x＜
3
例 1-2-17 已知 A={x|x2-x-6＜0}，B={x|x2+2x-8＞0}，C={x|x2-
4ax + 3a2＜0}．若A∩B C，求實數a的取值范圍．
解 A∩B={x|-2＜x＜3}∩{x|x＞2 或 x＜-4}
={x|2＜x＜3}
由 x2-4ax+3a2＜0，得
(x-a)(x-3a)＜0
當 a＞0 時，C={x|a＜x＜3a}；
當 a＜0 時，C={x|3a＜x＜a}．
欲使A∩B C則須a＞0且a≤2，3a≥3，所以1≤a≤2．
例 1-2-18 (1)解關于 x 的不等式 2x2+(a+1)x-a(a-1)＜0，其中 a
＞0．
(2)若(1)中不等式的解集包含區間(0，1)，試求 a的取值范圍．
解 (1)原不等式即
a 1
(x )(x + a)＜0．
2
1 a 1 a 1
當0＜a＜ 時， a＞ ，原不等式的解集為( ， a)；
3 2 2
1 a -1 1
當a = 時， - a = ，原不等式，即(x + ) 2 ＜0，無解；
3 2 3
1 a 1 a 1
當a＞ 時， - a＜ ，原不等式的解集為( a， )．
3 2 2
(2)當(1)中不等式的解集包含區間(0，1)，則只須分別滿足下列二
組不等式
a＞0 a＞0

1a≠
1
a≠
3 3
(I) 或 (II)
- a≥1 - a≤0
a 1 a 1
≤0 ≥1
2 2
解此二組不等式，(I)組無解，(II)組解集為[3，+∞)．
合并(I)、(II)知 a 的取值范圍為[3，+∞)．
2x m
例1 -2 -19 對任意實數a，方程 2 = a都有實數解，求實 x 4x + 3
數 m的取值范圍．
解 當 x≠1 且 x≠3 時，原方程化為
ax2-(4a+2)x+3a+m=0
因為對任意實數 a方程都有實數解，所以
△x=[-(4a+2)]2-4a(3a+m)≥0 恒成立，
即 a2+(4-m)a+1≥0 恒成立．所以
△a = (4 - m)
2 - 4≤0 2≤m≤6
又因為 x≠1且 x≠3，易得 m≠2且 m≠6．
綜上可知，2＜m＜6．
習題
x2 4x + 3＜0
1 -2 - 9 不等式組 的解集是 [ ]
2x＞5
5
A．1＜x＜3 B． ＜x＜3
2
5
C．x＜1或x＞3 D．x＜1或x＞
2
1 -2 -10 拋物線y = ax2 + bx + c與x軸的兩個交點為(- 2，0)，
( 2，0)，則ax2 + bx + c＞0的解集為 [ ]
A． 2＜x＜ 2
B．x＞ 2或x＜ 2
C．x≠± 2
D．不確定，與 a的符號有關
1-2-11 若不等式 x2-px-q＜0 的解為 2＜x＜3，則不等式qx2-px-1
＞0 的解是 [ ]
A．2＜x＜3
B．-3＜x＜-2
1 1
C． ＜x＜
3 2
1 1
D． ＜x＜
2 3
1-2-12 使不等式|x|2-2|x|-15＞0 成立的負值 x的范圍是
[ ]
A．x＜-3 B．x＜0
C．x＜-5 D．-5＜x＜-3
1 -2 -13 (1)不等式x2 - 2 5x + 5＞0的解集為_ _ _ _ _ _ ；
4x 2
(2)不等式 ≥1的解集為_ _ _ _ _ _ ．
3x + 1
1-2-14 已知全集 I={x|x(x-4)＞0}，集合A={x|(x+2)x＜0}，集合
B = {x|(x + 1)x＜0}，則A∪B =_ _ _ _ _ _ ；A∩B =_ _ _ _ _ _ ．
1 -2 -15 若函數f(x) = kx2 6kx + (k + 8)的定義域為R，則實數
k 的取值范圍是______．
1-2-16 若方程 x2+(m+2)x+m+5=0 的兩根均為正數，則 m 的取值范
圍是______．
1-2-17 已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}，集合B={x|p+1≤x≤2p-1}，
若B A，求實數p的取值范圍．
1-2-18 k 為什么實數時，方程(k-1)x2+(2k-3)x+k-7=0 的兩根異
號，并且負根的絕對值較大？
1-2-19 設不等式 x2-ax-8≥0 與 x2-2ax-b＜0 的解集分別為 A，B，
確定 a、b的值，使 A∩B=[4，5)并求這時的 A∪B．
1-2-20 對于滿足|m|＜2 的所有實數 m，求使不等式 x2+mx+1＞2x+m
成立的 x的范圍．
（三）映射與函數
提要
(1)判斷一個對應是否為映射，可借助“對應圖”直觀進行．
(2)求函數的定義域的步驟是：先列出使函數的每一部分都有意義的
條件組(不等式組)，然后解不等式(組)．
(3)解有關分段函數的問題時應先分段討論函數在每一段上的解析
式．
(4)作函數圖象的步驟是：i)求出函數的定義域；ii)研究函數的性
質(間斷點、端點、極值點、增減性、奇偶性、對稱性、周期性、漸近線
等)；iii)在定義域上作圖，并標明關鍵點(間斷點、端點、與坐標軸的
交點、極值點)的坐標．
1．映射
例題
例 1-3-1 設集合 A={x|0≤x≤4}，集合 B={y|0≤y≤1}，從 A到 B
的下列各對應關系中不是映射的是 [ ]
x x
A．f：x→y = B．f：x→y =
2 3
x x
C．f：x→y = D．f：x→y =
4 5
4
解 B 4∈A , 但y = B．
3
注 如 A 中某一元素在 B中無象，則 f：A→B不能是 A到 B的映射．
例 1-3-2 從集合 A={a，b}到集合 B={x，y}可以建立的映射的個數
是 [ ]
A．1 B．2
C．3 D．4
解 D
例 1-3-3 審查下述各命題：
從集合 A到集合 B的映射中，
(1)B 中的任一元素在 A中必有原象；
(2)A 中的不同元素在 B中的象必不相同；
(3)A 中任一元素在 B中必有惟一的象；
(4)A 中的任一元素在 B中可以有不同的象．
其中正確的有 [ ]
A．1 個 B．2 個
C．3 個 D．4 個
解 A
例 1-3-4 在給定的映射 f：(x，y)→(x+y，xy)(x，y∈R)條件下，
(7，10)的原象是 [ ]
A．(2，5)
B．(5，2)
C．(2，5)或(5，2)
D．以上都不對
解 C
例 1-3-5 設集合 A={1，2，3，4，5，6}，f 是從 A 到 B 的映射，
并且 f：x→x(x-4)，若 B中元素都有原象，則 B=______．
解 {-4，-3，0，5，12}
例 1-3-6 集合 P={(x，y)|x＜0，y＜0}，f 是集合 P到集合 Q的映
射，在 f的作用下，點(x，y)的象是(x2，|y|)，則集合 Q的元素在直角
坐標系中第______象限．
解 一 注意：x2＞0，|y|=-y＞0
例 1-3-7 已知集合 A={平面α內的三角形}，B={平面α內的圓}，
那么從 A到 B的一個映射的對應法則是______．
解 作三角形的內切圓、外接圓等．
1
例1 - 3 - 8 已知集合A到集合B的映射是f：x→ ，且B =
|x| 1
1 1
{0，1， ， }，那么集合A中的元素最多是幾個？并寫出元素個
2 3
數最多時的集合 A．
1
解 因為 ≠0，所以0在A中不存在原象．
| x| 1
1 1
設y = ，且y∈B，則有x = ±( + 1)．
|x|-1 y
1 1
當y分別等于1， ， 時，相應地得到x分別等于±2，±3，±4．
2 3
所以，A中元素最多 6個，這時 A={-4，-3，-2，2，3，4}．
注 如 f：A→B為 A到 B的映射，則 B中元素在 A中可有多個原象．
例 1-3-9 已知集合 A={1，2，3，k}，B={4，7，a4，a2+3a}(這里
a，k∈N)，映射f：x→y=3x+1(x∈A，y∈B)使 B 中元素在 A中都有原象，
求 a，k，A，B．
解 由對應法則知 1→4，2→7，3→10，k→3k+1．
因為 a，k∈N，所以 a4≠10，所以a2+3a=10，所以a=2(a=-5 舍去)．
又 3k+1=24=16，所以 k=5．
從而知 A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}．
習題
1-3-1 下列命題中正確的是 [ ]
A．若 M={整數}，N={正奇數}，則一定不能建立一個從集 M 到集 N
的映射
B．若集 A是無限集，集 B是有限集，則一定不能建立一個從集 A到
集 B的映射
C．若集合 A={a}，B={1，2}，則從集 A到集 B只能建立一個映射
D．若集合 A={1，2}，B={a}，則從集 A到集 B只能建立一個映射
1-3-2 對于從集合 A到集合 B的映射，下面說法錯誤的是
[ ]
A．A 中的每一個元素在 B中都有象
B．A 中的兩個不同元素在 B中的象必不相同
C．B 中的元素在 A中可以沒有原象
D．B 中的某一元素在 A中的原象可能不止一個
1-3-3 下列從集合 P到 Q的各對應關系 f中，是映射的是
[ ]
A．P={1}，Q={1，2，3}，f：x→y，y＞x
1
B．P = {x|0≤x≤2}，Q = {y|0≤y≤1}，f：x→y = x
3
1
C．P = {x| x∈R}，Q = {y|0≤y≤1}，f：x→y =
x
D．P={0|0≤x≤2}，Q={y|0≤y≤1}，f：x→y=(x-2)2
1-3-4 集合 A有 n個元素，集合 B有 m個元素，則由 A到 B的映射：
A→B的個數是 [ ]
A．P m B．nm C．Pn D．mnn m
1-3-5 已知(x，y)在映射 f的作用下的象是(x+y，x-y)，則在 f的
作用下，(1，2)的原象是______．
x 2 1
1 - 3 -6 設B = R，若映射f：x→ ，g：x→x -1均為從A到B
x + 1
的同一映射，則 A應滿足的條件是______．
2x -1
1 -3 - 7 集合A = N，B = {y| y = ，x∈N}，f是從A到B的映射，
2x +1
2x -1
且f：x→y = ．
2x +1
(1)求 4 的象；
9
(2)求 的原象；
11
(3)集 B 的任一元素 y是否有兩個或兩個以上的原象？
1-3-8 設集合 M={x|1≤x≤9，x∈N}，F={(a，b，c，d)|a，b，c，
d∈M}．定義 F到 Z的映射
f：(a，b，c，d)→ab-cd
若 u，v，x，y 都是 M中的元素，且滿足
f：(u，v，x，y)→39，(u，y，x，v)→66
求 x，y，u，v．
2．函數
例題
例 1-3-10 審查下面四個命題：
(i)f(x) = x - 2 + 1 x是函數；
(ii)函數是其定義域到值域的映射；
(iii)y = x與y = x2 表示同一函數；
x
(iv)y = 與y = x 0表示同一函數．
x
其中正確的有 [ ]
A．1 個 B．2 個
C．3 個 D．4 個
解 B
注 高中數學中的函數是通過映射來定義的．
|x|
例1 -3 -11 函數y =| x|+ 的圖象是 [ ]
x
|x|
解 D 函數y =|x|+ 可化為
x
x +1，x＞0
y =
- x -1，x＜0
例 1-3-12 設 ak＞0，bc＜0，在同一坐標系中 y=ax2+c 與 y=kx+b
的圖象應是 [ ]
解 B 由 a，k 同號排除 D；由 b，c異號排除 A，C．
cx 3
例1 -3 -13 已知函數f(x) = (x≠ )滿足f(f(x)) = x，則c的值
2x + 3 2
是 [ ]
A．3 B．-3
C．3 或-3 D．不存在
解 B
cx
c·
f(f(x)) = 2x + 3cx = x x(2c + 6) = c
2 9
2· + 3
2x + 3
3
對任何x(x≠ - )成立．所以2c + 6 = c2 - 9 = 0即c = -3．
2
3x 3
而 ≠ ，故所求c = -3．
2x + 3 2
3
例1 -3 -14 函數y = 的定義域是 [ ]
1 1 x
A．(-∞，1]
B．(-∞，0)∪(0，1]
C．(-∞，0)∪(0，1]
D．無法確定
解 B 解不等式組
1 x≥0

1 - 1- x≠0
得(-∞，0)∪(0，1)，此即所求定義域．
3x - 6，x≥0
例1 -3 -15 已知函數f(x) = ，則f(f(1))的值是
x + 5，x＜0
[ ]
A．2 B．-15
C．12 D．以上都不對
解 A 因為 1＞0，所以 f(1)=3·1-6=-3．又 f(1)=-3＜0，所以
f(f(1))=f(1)+5=-3+5=2
注 求分段函數的函數值時，首先應清楚自變量的值在定義域的哪
一段上．
例 1-3-16 如果函數 y=f(x)的定義域是[0，1]，那么函數
f(x+a)+f(2x+a)(0＜a＜1)的定義域是______．
a 1 a
解 [ ， ] 解不等式組
2 2
0≤x + a≤1
(0＜a＜1)
0≤2x + a≤1
a≤x≤1 a

得 a 1 a (0＜a＜1)
≤x≤ 2 2
a 1 a
所以所求函數定義域為[- ， ]．
2 2
1- x2 1
例1 -3 -17 已知g(x) =1- 2x，f[g(x)] = 2 (x≠0)，則f ( )等于 ．x 2
1 1 1- x2
解 15 令g(x) = ，解得x = ．代入f[g(x)] =
2 4 x2
得
1
1 1 1 ( )
2
f[g( )] = f ( ) = 4 = 15
4 2 1( ) 2
4
1 x
例1 -3 -18 若f ( ) = x，則滿足等式f(-2 - x) = m - f(x)的m的值
1 + x
是______．
1 x 1- x
解 - 2 因為f ( ) = x，所以f(x) = ．由題設得
1+ x 1+ x
1 ( 2 x) 1 x 3 + x 1 x
= m m = + = 2
1+ ( 2 x) 1+ x 1 x 1+ x
1
例1 -3 -19 設A = [1，b](b＞1)，f(x) = (x -1) 2 + 1(x∈A)．若f(x)
2
的值域也為 A，則 b的值為______．
解 3 函數 f(x)的對稱軸為 x=1，而 f(1)=1，b＞1，故可令 f(b)=b，
1
即 (b -1) 2 + 1 = b，解得b = 3(b = 1舍去)．
2
例 1-3-20 已知 y是 x的函數，x=2t+2-t，y=4t+4-t-4(2t+2-t)，
t∈R 求函數 y=f(x)的解析式及其定義域．
解 y=4t+4-t-4(2t+2-t)=(2t+2-t)2-4(2t+2-t)-2=x2-4x-2
因為t∈R，所以2 t + 2 -t ≥2 2 t ·2 t = 2，即x≥2．
所以所求函數為 y=x2-4x-2(x≥2)；其定義域為[2，+∞)．
ax + b
例1 -3 - 21 設f(x) = 2 (x∈R)的值域為[-1，4]，求a，b的值． x + 1
ax + b
解 設y = 2 ，則yx
2 - ax + y - b = 0，y≠0．
x + 1
因為 x∈R，所以△=a2-4y(y-b)≥0．
a 2
即y2 by ≤0 (i)
4
易知-1≤y≤4 是不等式(y+1)(y-4)≤0 即 y2-3y-4≤0 的解，與(i)
比較系數，得 b=3，a=4．
例 1-3-22 求下列函數的值域：
(1)y = x 2 + 2x + 4
(2)y=x4+x2+1
π
由0≤x≤ ，θ為銳角得
2
解 (1)因為y = (x +1)2 + 3≥ 3，所以值域為{y|y≥ 3}．
1 3 1 3
(2)因為y = (x 2 + ) 2 + ≥ + = 1，所以值為{y|y≥1}．
2 4 4 4
3
注 此題容易誤解為[ ， +∞)．
4
(3)因為x2 + 4x + 7 = (x + 2) 2
5 5
+ 3≥3，所以0＜ 2 ≤ ．x + 4x + 7 3
5
所以值域為{y|0＜y≤ }．
3
t 2 + 1
(4)令 2x 1 = t(t≥0)，則x = ，從而
2
t 2 +1 1
y = + t = (t +1)2
2 2
1 1 1
因為t≥0，所以t +1≥1．于是y = (t +1) 2≥ ，故值域為{y|y≥ }．
2 2 2
(5)函數的定義域為 x≠-1，x≠-2 的一切實數．當 x≠-1，x≠-2 時，
函數變形為
(y-1)x2+(3y+1)x+2(y+1)=0
若 y-1=0，即 y=1，由上式得 x=-1，不屬于函數的定義域，故 y≠1．
因為 x∈R，所以
△=(3y+1)2-4·2(y-1)(y+1)=(y+3)2≥0
于是可知 y∈R，但 y≠1．
令 y=-3，得 x=-1，不屬于函數的定義域，所以 y≠-3．
綜上所述，所求值域為{y|y∈R，y≠1，y≠-3}．
例 1-3-23 已 知 f(x) 是 x 的 二 次 函 數 ， 且
f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1，求 f(x)．
解 設 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，則有
f(2x)=4ax2+2bx+c
f(3x+1)=9ax2+(6a+3b)x+(a+b+c)
所以 f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)
又 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1，比較系數，得 a=1，b=0，c=-1．所
以所求函數為 f(x)=x2-1．
例 1-3-24 已知 f(x+y)=f(x)+5(x-y+1)，且 f(0)=2，求 f(x)．
解 令 y=-x，代入 f(x+y)=f(x)+5(x-y+1)，得
f(0)=f(x)+10x+5
又 f(0)=2，所以 f(x)=-10x-3．
習題
1
1 -3 - 9 函數y = 的定義域是 [ ]
x + 3 4 x
1 1
A．[-3， + ∞) B．[-3， )∪( ，0]
2 2
1 1
C．(-∞，4] D．[-3， ）∪（ ，4]
2 2
1-3-10 函數 y1=ax+b 與 y2=bx+a(a≠0，b≠0，a≠b)在同一直角
坐標系中的圖象應是 [ ]
1-3-11 已知函數 f(x)=x2-4x，x∈[1，5)，則這個函數的值域是
[ ]
A．[-4，+∞) B．[-3，5)
C．[-4，5] D．[-4，5)
x -2 x - 2 1
1 -3 -12 已知f(x) = ，則使f = - x成立的實數x是
x + 2 x + 2 2
[ ]
A．4 B．2
C．-4 D．-2
x2 (x≥0) x(x≥0)
1 - 3 -13 若 (x) = ，f(x) = 2 ，則當x＜0時，
x(x＜0) - x (x＜0)
[f(x)]等于 ．
1 -3 -14 函數y = 3x + 1 - 6x的值域是
[ ]
A．(-∞，1] B．[0， +∞)
1
C．[0，1] D．[ ，1]
2
1-3-15 若 3x2+2y2=6x，則 x2+y2 的值域是______．
1-3-16 A={(x，y)|y=a|x|}，B={(x，y)|y=x+a}，C=A∩B，且 C中
恰有兩個元素，則實數 a的取值范圍是______．
kx + 7
1 -3 -17 當k為何值時，函數f(x) = 2 的定義域為實數集R． kx + 4kx + 3
1-3-18 求下列函數的定義域．
1
(1)y = |2x -1|+5x - 2 (2)y =
x2 | x|
(3)y = 1-|x - a| + 1-|x + a| (a＞0)
1-3-19 已知函數 f(x)的定義域為[a，b]，且 b＞-a＞0．求：
(1)F(x)=f(x)-f(-x)的定義域；
(2)g(x)=f(x+c)+f(x-c)(c＞0)的定義域．
1 -3 - 20 已知函數y = a + - x2 + ax + b的值域為4≤y≤7，求
a，b 的值．
1 1
1 -3 - 21 函數f(x)滿足條件2f(x) - f = ，求f(x)的解析式． x x
(四) 冪函數
提要
(1)關于根式，去掉根號的途徑有兩條：(i)對根號下的式子配方，
使其成為完全平方、完全立方等；(ii)對根式乘方．
(2)冪函數的圖象可分為 11 類，作函數圖象時，應先判斷它屬于哪
一類．
(3)由于冪函數的圖象構圖簡單，故有關冪函數性質的問題可盡量利
用冪函數的圖象來解決．
1．分數指數冪與根式
例題
例 1-4-1 下列等式中正確的是[ ]
A．4 ( 2) 4 = -2 B．3 ( 2)3 = 2
C．( 33 2 ) = -2 D．3 2 = 3 2
解 C
例 1-4-2 a∈R，下列各式中一定有意義的是 [ ]
1
A．a 2 B．a 4
2
C．a0 D．a 3
解 D
1 1 21
例1 - 4 - 3 (-0.000343) 3 - (-1024) 5 + 3 10 16的值等于
125
[ ]
A．2.13 B．-2.13
C．2.31 D．-2.31
解 A 原式=-0.07+4-1.8=2.13
例 1-4-4 化簡：
1 1 1 1 1

(1+ 2 32 )(1+ 2 16 )(1+ 2 8 )(1+ 2 4 )(1+ 2 2 ) =
[ ]
1 1 1 1
A． (1- 2 32 ) B． (1 2 32 ) 1
2 2
1 1

C．(1 2 32 ) 1

D．1 2 32
- 1
解 B 乘以(1- 2 32 )，反復利用公式(1- x)(1+ x) = 1- x2即得．
例 1-4-5 化簡：
(1)3 a·6 a =
1
1 1 4 3
- 4
(2) 27a
3 x 3a 2· x 3 =

2
解 (1) - - a (2)3a 9
例 1-4-6 計算：
1
1·2·4 + 2·4·8 + + n·2n·4n 3
=
1·3·9 + 2·6·18 + + n·3n·9n
1 1
2 1·2·4(13 + 23 + + n3 ) 3 8 3 2
解 原式 =
3
= =
1·3·9(1
3 + 23 + + n3) 27 3
3 3
(4 + 15) 2 + (4 15) 2
例1 - 4 - 7 化簡： 3 3
(6 + 35) 2 (6 35) 2
3 3
8 + 2 15 2 8 2 15 2
+
2 2
解 原式 = 3 3
12 + 2 35 2 12 2 35 2

2 2
( )3 ( )35 + 3 + 5 3 10 5 + 18 5 7
= 3 = =( 7 + 5) ( 37 5) 42 5 + 10 5 13
1 1 2 2
x + x 2
例1 - 4 - 8 若x 2 + x 2 = 3，求 3 3 的值．

x 2 + x 2 3
1 1
-
解 對x 2 + x 2 = 3 兩邊平方得
x+x-1=7
再兩邊平方，得
x2+x-2=47
1 1 3 3 3 1 1-
又 x2 + x 2 = 27，即x 2 + x 2 + 3 x 2 + x 2 = 27，所以

3 3
-
x 2 + x 2 = 18
47 2
所以 原式 = 3
18 3
例 1-4-9 化簡
(x+x-1)-2+(1-x-1)-2
1 1
-
其中x = (1- n -1) 2 ·(1+ n -1) 2 ，n＞1．
1
1 1
-1 1 n 1 2解 x = (1- n ) 2 (1 + n ) 2 ，所以n + 1
x2 + 1
(1 x 1) 2 + (1 + x 1) 2 2·
2
原式 = = x
(1 x 2 )2 2 x2 1
2 x
n 1
x2 (x2 + 1) n 1 + 1
= 2· = 2· · n + 1
(x 2 1)2 n + 1 n 1
2

1 n + 1
n 1 2n(n + 1)
= 2· · = n(n 1)
n + 1 4
2 7 2 7
例1 - 4 -10 求證：3 1+ + 3 1 = 1
3 3 3 3
2 7 2 7
解 設3 1 + + 3 1- = x，則
3 3 3 3
2 7 3 2 7 3 2 7 x = 1 + + 3 1 + 1 ·
3 3 3 3 3 3
2 7 2 7 2 7
3 1+ + 3 1 + 1
3 3 3 3 3 3
3 28
= 2 + 3 1- x = 2 - x
27
即 x3 + x - 2 = 0 (x -1)(x2 + x + 2) = 0
1 7
因為x2 + x + 2 = (x + )2 + ＞0，所以x -1 = 0．所以
2 4
2 7 2 7
3 1+ + 3 1 = 1
3 3 3 3
習題
1-4-1 考慮如下四個判斷：
3
(i)當a＜0時，(a2 ) 2 = a 3；
1 1
(ii)(3- a) 2 ＜(a -5) 3 ；
1
(iii)函數y = (x- 2) 2 - (3x - 7)0的定義域為x≥2；
(iv)已知 100a=50，10b=2，則 2a+b=1．
其中正確的有 [ ]
A．0 個 B．1 個
C．2 個 D．3 個
3
1 - 4 -2 學生甲：[(-3) 2 ]2 = (-3) 3 = -27；
3 3 3
學生乙：[(-3) 2 ]2 = 92 = (32 ) 2 = 33 = 27．
則 [ ]
A．甲對，乙不對 B．甲不對，乙對
C．甲、乙都對 D．甲、乙都不對
1 1 1 -4
a 4·b 4 b 21 - 4 -3 化簡： 1 1 1 = ．
a 2 a 4·b 4
[ ]
a b a2 a
A． B． C． D．
b a b b2
1 - 4 - 4 3 2 3·6 5 + 2 6 - (1 - 3) 2 = ．
[ ]
A． 3 B． 3 C． 2 D． 2
1
3 13 3
1 - 4 - 5 化簡：(1) a3 ·a 2 ÷ 3 a 7 ·a 3 =

1 2
- 1 6 1 1
(2)(0.064) 3 ÷160.75÷ = 2 2 2 3
1 1
1 - 4 - 6 設a = ，b = ，則
2 7
3 1 2

[ a 2·b(ab 2 ) 2 (a 1

) 3 ]3 =
4 4
x + y x 3 y 3
1 - 4 - 7 化簡： 1 1 2 2
x 3 + y 3 x 3 y 3
m3 + n3
1 - 4 - 8 設x = a· 3 3 ，a＞0，m＞n＞0，化簡 m n
1 1 1 1 1

[(x + a) 3 (x a) 3 + (x + a) 3 (x a) 3 2] 2
1 1 1
1 - 4 - 9 已知x 3 + y 3 + z 3 = 0，求證：(x + y + z) 3 = 27xyz．
2．冪函數
例題
3 1 4

例1 - 4 -11 冪函數y = x 4 ，y = x 3，y = x 3的定義域分別為M，
N，P，則 [ ]
A．M N P B．N M P
C．M P N D．A，B，C都不對
解 D M=[0，∞)，N=R，P=(-∞，0)∪(0，+∞)
1
-
例1 - 4 -12 冪函數y = x 3的圖象是
[ ]
解 C
1 1
- -
例1 - 4 -13 若a =1.1 2 ，b = 0.9 2 ，c =1，那么a、b、c的大小關
系是 [ ]
A．c＞b＞a B．a＜c＜b
C．a＞c＞b D．b＞a＞c
解 B
n
例1 - 4 -14 已知y = x m (m為不等于0的偶數，n為奇數，且mn
＜0)那么它的圖象只可能是 [ ]
解 D
1 1
- -
例1 -4 -15 作函數y = (x +1) 2 的圖象，只需將函數y = x 2的圖象
[ ]
A．向上平移 1個單位
B．向下平移 1個單位
C．向左平移 1個單位
D．向右平移 1個單位
解 C
p
例1 - 4 -16 已知冪函數y = x q (p∈N，q∈Z且q≠0)的圖象在
第一象限的部分隨 x的增加 y減小，則 [ ]
A．p 為偶數，q為奇數
B．p 為偶數，q為負奇數
C．p 為奇數，q為偶數
D．p 為奇數，q為負偶數
解 D
1
例1 - 4 -17 在同一坐標系內，函數y = xa (a≠0)和y = ax + 的圖象
a
可能是 [ ]
解 B
注 就 a 的正負，利用冪函數在第一象限 a的幾何意義和一次函數
1
中a和 的幾何意義來判斷．
a
例 1-4-18 若函數 y=xa 的圖象當 0＜x＜1 時位于直線 y=x 下方，
則 a的取值范圍是______．
解 a＞1
例 1-4-19 用不等號填空：
(1)若-5a＜-4a，則 a______0；
(2)若 0.39b＜0.38b，則 b______0；
1 n n 1
(3)若 ＞ - (n∈Z)，當n為偶數時n 0；當n為奇數 2 3
時 n______0；
(4)455_____544．
解 (1)＞ (2)＜ (3)＞，＜ (4)＞
第(4)小題中，455=(45)11，544=(54)11，而 45＞54．
例 1-4-20 冪函數 y=xm，y=xn，y=xp 在第一象限的圖象如下圖所
示，則 m，n，p的大小關系是______．
解 p＞n＞m 由圖象知 m，n，p均小于 0．令 x=2，由圖象有 2m＜
2n＜2p，所以 m＜n＜p．
2
例1 - 4 -21 已知冪函數y = xm -2m-3(m∈Z)的圖象與x軸、y軸都無
公共點，且關于 y軸對稱，求 m的值，并畫出函數的圖象．
解 由題設，得 m2-2m-3≤0(m∈Z)，解得-1≤m≤3(m∈Z)．
又函數圖象關于 y軸對稱，所以 m2-2m-3 為偶數，故 m=-1，1，3．
當 m=1 時，冪函數為 y=x-4，其圖象如圖甲；
當 m=-1，3 時，冪函數為 y=x0，其圖象如圖乙．
3

例1 - 4 - 22 討論函數y = x 5的定義域、值域以及函數值的變化
規律，并畫出它的圖象．
3
1
解 y = x 5 = ，
5 x3
函數定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，值域為(-∞，0)∪(0，+∞)．
函數圖象如下．由圖象知，函數在區間(-∞，0)，(0，+∞)上函數
值 y都隨 x的增大而減小．
1 1

例1 - 4 - 23 設(a +1) 3＜(3 - 2a) 3 ，試求a的取值范圍．
解 根據冪函數的性質，有三種可能：
a +1＞0 a +1＜0
a +1＜0
3 2a＞0 或 或 3 2a＜0
3 2a＜0
a +1＞3 2a

a +1＞3 2a
2 3
解得 ＜a＜ 或a＜ 1
3 2
習題
2 4

1 - 4 -10 函數y = -x 5 - x 3的定義域為
[ ]
A．(-∞，+∞) B．(-∞，0)∪(0，+∞)
C．(-∞，0) D．(0，+∞)
1
1 - 4 -11 函數y =|x|n (n∈N，n＞2)的圖象只可能是
[ ]
1-4-12 冪函數 y=xm，y=xn，y=xp 的圖象如下圖所示，則
[ ]
A．m＞n＞p B．m＞p＞n
C．n＞p＞m D．p＞n＞m
1-4-13 當 x∈(1，+∞)時，冪函數 y=xα的圖象恒在 y=x 的下方，
則α的取值范圍是 [ ]
A．0＜α＜1 B．α＜1
C．α＞0 D．α＜0
n
1 - 4 -14 函數y = x m (m，n∈N，且m，n互質)的圖象如圖所示，
則 [ ]
n
A．m為奇數，n為偶數， ＜1
m
n
B．m、n均為奇數， ＜1
m
n
C．m為奇數，n為偶數， ＞1
m
n
D．m為偶數，n為奇數， ＜1
m
1-4-15 若α∈(-1，0)，則下列不等式中正確的是[ ]
A．2α＞2-α＞0.2α
B．0.2α＞2-α＞2α
C．2-α＞0.2α＞2α
D．2α＞0.2α＞2-α
1 1
5 5 4

2 3

2
1 - 4 -16 比較大小： - 3.4 3 (-4.3) 3 ； ；5 4
2 2 2 1
π 5 ( 2 3) 5 ；( π) 3 53．
2
1 - 4 -17 設f(x) = (m -1)xm -2，如果f(x)是正比例函數，則m =
______，如果f(x)是反比例函數，則 m=______，如果f(x)是冪函數，則
m=______．
2
2 3 2 2
1 - 4 -18 ，3
3 ，2 3 的大小關系用不等號“＜”順次連接是
3
______．
2

1 - 4 -19 討論函數y = x 3的定義域、值域及函數值y隨x變化的規
律，并畫出其圖象．
1 - 4 -20 (1)比較 2，3 3，4 4，5 5的大小；
(2)利用圖象解不等式 x＞x 1．
1 - 4 - 21 求曲線y = 2x + 1分別與下列直線的交點個數：
(1)y=x+b(b∈R)；
(2)y=kx-1(k∈R)．
(五) 函數的性質、反函數
提要
(1)判斷函數的單調性的方法就是函數增減性的定義，即在屬于同一
單調區間的自變量的兩個取值大小關系一定的條件下，比較其對應的函
數值的大小．
(2)函數的單調性是比較函數值大小的依據，對于屬于函數同一單調
區間的兩個函數值大小的比較可通過比較其自變量值的大小來確定．
(3)判斷函數奇偶性的程序是：(i)求函數的定義域．若定義域不關
于原點對稱，則函數為非奇非偶函數；(ii)若定義域關于原點對稱，則
比較 f(-x)，f(x)，-f(x)，并根據奇、偶函數的定義作出判斷．
(4)在判斷函數的奇偶性時，可利用下列的等價關系：
f ( x)
f( x) = f (x) f ( x) f (x) = 0 = 1 (f(x)≠0)
f(x)
f( x) = f (x) f ( x) + f (x) = 0
f ( x)
= 1(f(x)≠0)
f (x)
(5)可利用函數的奇偶性來判斷函數的對稱性：奇函數的圖象關于原
點對稱；偶函數的圖象關于 y 軸對稱．利用函數的對稱性可簡化對函數
性質的討論，即先討論函數在 y 軸某一側的性質，然后利用對稱性將其
推廣到整個定義域上．
(6)求函數 y=f(x)的反函數的步驟：(i)判斷原函數是否有反函數，
如有反函數，則求出原函數的值域(即反函數的定義域)；(ii)從 y=f(x)
中解出 x，得 x=f-1(y)；(iii)對換 x，y，得反函數 y=f-1(x)，并寫出
其定義域．
(7)判斷兩個函數圖象是否關于直線y=x對稱的方法之一是判斷這兩
個函數是否互為反函數．
(8)求某些函數的值域可通過求其反函數的定義域來實現．
1．函數的單調性
例題
例 1-5-1 下列函數中，屬于增函數的是 [ ]
A．y = x 4 (x＞0) B．y = x (x≤0)
1
C．y = x + (x∈R且x≠0) D．y = x2 16x + 9(x≥10)
x
解 D
例 1-5-2 若一次函數 y=kx+b(k≠0)在(-∞，+∞)上是單調遞減函
數，則點(k，b)在直角坐標平面的 [ ]
A．上半平面 B．下半平面
C．左半平面 D．右半平面
解 C 因為 k＜0，b∈R．
例 1-5-3 函數 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在區間(-∞，4)上是減函數，
則實數 a的取值范圍是 [ ]
A．a≥3 B．a≤-3
C．a≤5 D．a=-3
解 B 因拋物線開口向上，對稱軸方程為 x=1-a，所以 1-a≥4，即
a≤-3．
例 1-5-4 已知 f(x)=8+2x-x2，如果 g(x)=f(2-x2)，那么 g(x)
[ ]
A．在區間(-1，0)內是減函數
B．在區間(0，1)內是減函數
C．在區間(-2，0)內是增函數
D．在區間(0，2)內是增函數
解 A g(x)=-(x2-1)2+9．畫出草圖可知 g(x)在(-1，0)上是減函數．
b
例1 -5 - 5 若y = ax，y = - 在(0， + ∞)上都是減函數，則y = ax 2
x
+bx 在(0，+∞)上是______函數(選填“增”或“減”)．
b
解 減函數 由條件知a＜0，b＜0，所以 ＜0．
2a
例1 - 5 -6 函數y = - 5- 4x - x2的單調遞增區間是 ．
解 [-2，1]
已知函數的定義域是-5≤x≤1．設
u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9
可知當 x∈[-5，-2]時，隨 x增大時，u也增大但 y值減小；當 x∈[-2，
1]時，隨 x增大時，u減小，但 y值增大，此時 y是 x的單調增函數，即
當x∈[-2，1]時，y = - 5 -4x - x2是增函數．
注 在求函數單調區間時，應先求函數的定義域．
例 1-5-7 y=f(x)在定義域上是單調遞增函數，且 f(x)＞0，那么在
同
1
一定義域上，y = -f(x)是單調 函數；y = 是單調
f(x)
函數；y=[f(x)]2 是單調______函數．
解 遞減；遞減；遞增．
例 1-5-8 (1)證明函數 f(x)=x2-1 在(-∞，0)上是減函數；
1
(2)討論函數f(x) = x + 在區間(0， + ∞)上的單調性．
x
解 (1)任取 x1＜x2＜0，則
f(x2 ) - f(x1) = (x
2
2 -1) - (x
2
1 -1) = (x2 - x1)(x2 + x1)＜0
所以 f(x1)＞f(x2)．
故 f(x)在(-∞，0)上遞減．
(2)任取 0＜x1＜x2，則
(x - x )(x x - 1)
f(x2 ) - f(x ) =
2 1 1 2
1 x1x2
當x2＞x1＞1時，f(x2)＞f(x1)；當1＞x2＞x1＞0時，f(x2)＜f(x1)．
所以函數在(0，1]上是減函數，在[1，+∞)上是增函數．
例 1-5-9 已知 f(x)=-x3-x+1(x∈R)，證明 y=f(x)是定義域上的減
函數，且滿足等式 f(x)=0 的實數值 x至多只有一個．
解 設 x1，x2∈R，且 x1＜x2，則
f (x ) f (x ) = ( x32 1 2 x2 + 1) ( x
3
1 x1 + 1)
x 2
= (x x ) (x + 2 2
3x
1 2 1 ) +
2 + 1
2 4
＜0

所以 f(x1)＞f(x2)．所以 y=f(x)是 R 上的減函數．
假設使 f(x)=0 成立的 x的值有兩個，設為 x1，x2，且 x1＜x2，則
f(x1)=f(x2)=0
但因 f(x)為 R 上的減數，故有 f(x1)＞f(x2)．矛盾．所以使 f(x)=0 成
立的 x的值至多有一個．
例 1-5-10 定義域為 R的函數 y=f(x)，對任意 x∈R，都有
f(a+x)=f(a-x)，其中a為常數．又知 x∈(a，+∞)時，該函數為減函數，
判斷當 x∈(-∞，a)時，函數 y=f(x)的單調狀況，證明自己的結論．
解 當 x∈(-∞，a)時，函數是增函數．
設 x1＜x2＜a，則 2a-x1＞2a-x2＞a．
因為函數 y=f(x)在(a，+∞)上是減函數，所以
f(2a-x1)＜f(2a-x2)
注意到對任意 x∈R，都有 f(a+x)=f(a-x)，可見對于實數 a-x1，也
有 f[a+(a-x1)]=f[a-(a-x1)]，即 f(2a-x1)=f(x1)．
同理 f(2a-x2)=f(x2)．
所以 f(x1)＜f(x2)，所以函數 y=f(x)在(-∞，a)上是增函數．
例 1-5-11 設 f(x)是定義在 R+上的遞增函數，且
f(xy)=f(x)+f(y)
x
(1)求證f ( ) = f (x) f (y)；
y
(2)若 f(3)=1，且 f(a)＞f(a-1)+2，求 a的取值范圍．
x x
解 (1)因為f(x) = f(y· ) = f(y) + f( )，所以
y y
x
f( ) = f(x) - f(y)
y
(2)因為 f(3)=1，f(9)=f(3)+f(3)=2，于是
f(a)＞f(a -1) + 2 f(a)＞f (a -1) + f(9)
f(a)＞f[9(a -1)]
由題設有
a＞0

9(a 1)＞0

a＞9(a 1)
9
解得 1＜a＜
8
習題
|x| x2 x
1 -5 -1 已給函數①y =|x|；②y = ；③y = - ；④y = x + ，
x |x| |x|
其中在(-∞，0)上為增函數的有 [ ]
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．④和①
1-5-2 下列命題中正確的是 [ ]
A．y=kx(k≠0 常數)在 R上是增函數
1
B．y = 在x∈R，且x≠0上是減函數
x
2
C．y = x k +1(k為常數，且k∈Z)在x≥0上是增函數
2
D．y = x 3在x∈R上是增函數
1-5-3 函數 f(x)=4x2-mx+5 在區間[-2，+∞)上是增函數，則 f(1)
的取值范圍是 [ ]
A．f(1)≥25 B．f(1)=25
C．f(1)≤25 D．f(1)＜25
1
1 -5 - 4 y = 的增減性的正確說法是
x -1
[ ]
A．單調遞減函數
B．在(-∞，0)上是減函數，在(0，+∞)上是增函數
C．在(-∞，1)上是減函數，在(1，+∞)上是減函數
D．除 x=1 點外，在(-∞，+∞)上是單調遞減函數
1-5-5 (1)函數 y=|x+1|+|2-x|的遞增區間是______；
1
(2)函數y = - 1 4x2 的遞減區間是 ．
3
1-5-6 函數 f(x)=2x2-mx+3 當 x∈[-2，+∞)時是增函數，當 x∈(-
∞，-2)時是減函數，則 f(1)=______．
1 -5 - 7 用定義證明f(x) = x2 1在[1， +∞)上是增函數．
ax
1 -5 - 8 討論函數f(x) = 2 在(-1，1)上的增減性． x 1
1-5-9 已知函數 f(x)在區間(-∞，+∞)上是增函數，a，b∈R．
(1)證明：如果 a+b≥0，那么 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)；
(2)判斷(1)中命題的逆命題是否正確，請證明你的結論．
1-5-10 已知函數 f(x)是定義在 R+上的減函數，并且滿足 f(x·y)
1
= f(x) + f(y)，f( ) = 1．求
3
(1)f(1)的值；
(2)如果 f(x)+f(2-x)＜2，x 的取值范圍．
1-5-11 證明：
x
(1)函數f(x) = 是[0， +∞)上的增函數；
1+ x
|a + b| |a| |b|
(2) ≤ +
1+|a + b| 1+|a| 1+|b|
2．函數的奇偶性
例題
例 1-5-12 下列函數中，既是奇函數，又是區間(-∞，0)上的單調
減函數的是 [ ]
1 1

A．y = x 2 B．y = x 3
2 2

C．y = x 3 D．y = x 3
解 B
例 1-5-13 若 f(x)是奇數，g(x)是偶函數，且在它們的定義域的公
共部分上都不恒等于 0，則 f(x)·g(x)是 [ ]
A．奇函數
B．偶函數
C．非奇非偶函數
D．既是奇函數又是偶函數
解 A
例 1-5-14 函數 y=f(x)(x∈R)是奇函數，則下列各點中在 y=f(x)
的圖象上的點一定是 [ ]
A．(a，f(-a)) B．(-a， - f(a))
1 1
C．(-a，f(a)) D．( ，f( ))
a a
解 B
例 1-5-15 函數 f(x)在(-∞，+∞)上為奇函數，且當 x∈(-∞，0]
時，f(x)=x(x-1)，則當 x∈(0，+∞)時，f(x)為 [ ]
A．-x(x+1) B．-x(-x+1)
C．x(-x+1) D．x(x-1)
解 A 設 x＞0，則-x＜0．所以
f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1)
又 f(-x)=-f(x)，所以 f(x)=-x(x+1)
例 1-5-16 函數 y=f(x)在(0，2)上是增函數，函數 y=f(x+2)是偶
函數．下列結論中正確的是 [ ]
5 7 7 5
A．f (1)＜f ＜f B．f ＜f (1)＜f 2 2 2 2
7 5 5 7
C．f
＜f ＜f (1) D．f ＜f (1)＜f
2 2

2 2
解 B y=f(x)的圖象關于直線 x=2 對稱，且在(0，2)上是增函數，
7 5
所以f＜ ＜f(1)＜f ． 2 2
例 1-5-17 函數 f(x)是奇函數，且在 x＞0上是增函數；函數 g(x)
是偶函數，且在 x＞0上是減函數．那么當 x＜0時，它們的增減性是
[ ]
A．f(x)是減函數，g(x)是增函數
B．f(x)是增函數，g(x)是減函數
C．f(x)是減函數，g(x)也是減函數
D．f(x)是增函數，g(x)也是增函數
解 D
5
例1 -5 -18 與y = x 3關于y軸對稱圖形的函數式為 ．
5
解 y = x 3
例 1-5-19 函數 y=ax2+bx+c 的圖象與函數 y=3x2+2x-1 的圖象關于
原點對稱，則 a=______，b=______，c=______．
解 a=-3，b=2，c=1 設點(x，y)在 y=3x2+2x-1 的圖象上，那么點
(-x，-y)在 y=ax2+bx+c 的圖象上．所以
-y=a(-x)2+b(-x)+c
即 y=-ax2+bx-c
從而 a=-3，b=2，c=1
1
例1 -5 -20 若f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x) + g(x) = ，
x -1
則 f(x)=______，g(x)=______(寫出 f(x)與 g(x)的解析式)．
1 x
解 f(x) = 2 ，g(x) = x 1 x2 1
由題設知，f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)．
1
∵ f(x) + g(x) =
x -1
(i)
1
∴ f(-x) + g(-x) =
- x -1
tgkα tg(k + 1)α tgkα
= + (k + 1)
tgα tgα
tgkα + tg(k + 1)α tgkα tg(k +1)α
= - (k +1) = (k + 1)
tgα tgα
(ii)
1 x
由(i)，(ii)解得f(x) = 2 ，g(x) = ． x 1 x2 1
例 1-5-21 函數 f(x)=x3+bx2+cx 為奇函數，函數 g(x)=x2+cx+3 在
區間(-∞，3)上為減函數，在(3，+∞)上為增函數，則 b=______，c=______．
解 b=0，c=-6
由 f(-x)=-f(x)得-x3+bx2-cx=-x3-bx2-cx，即 2bx2=0 恒成立，所以
b=0．
c
由題設知拋物線g(x) = x2 + cx + 3的對稱軸為x = 3，即 = 3，所
2
以 c=-6．
例 1-5-22 已知 f(x)=x5+ax3+bx-8，且 f(-2)=10，那么
f(2)=______．
解 f(2)=-26
令 g(x)=x5+ax3+bx，則 g(x)為奇函數，又 f(x)=g(x)-8，
f(-2)=g(-2)-8=-g(2)-8=10，所以 g(2)=-18，f(2)=g(2)-8=-18-8=-26．
例 1-5-23 判斷下列函數的奇偶性：
1+ x
(1)f(x) = (x -1)
1- x
(2)f(x)=|x-a|-|x+a|(a≠0)
解 (1)當 x=1 時函數無定義，而 x=-1 時，f(x)=0，所以函數的定
義域區間關于原點不對稱，故 f(x)是非奇非偶函數．
(2)f(x)的定義域為 R，又
f(-x)=|-x-a|-|-x+a|=|x+a|-|x-a|
=-(|x-a|-|x+a|)=-f(x)
所以 f(x)為奇函數．
例 1-5-24 設函數 f(x)是定義在 R上的偶函數，并在區間(-∞，0)
內單調遞增，f(2a2+a+1)＜f(3a2-2a+1)，試確定實數 a的取值范圍．
解 因為 f(x)是偶函數，且在(-∞，0)內單調遞增，由偶函數的圖
象特征知，f(x)在(0，+∞)內單調遞減．又有
2 1 72a + a +1= 2(a + )2 + ＞0
4 8
1 2
3a2 -2a +1= 3(a - )2 + ＞0
3 3
由 f(2a2+a+1)＜f(3a2-2a+1)，得
2a2+a+1＞3a2-2a+1
所以 0＜a＜3
例 1-5-25 求證：定義在區間(-m，m)(m＞0)內的任何函數都可以
表示成一個偶函數與一個奇函數之和．
解 設 f(x)為定義在(-m，m)上的一個函數，令
f(x) - f(-x) f(x) + f(-x)
g(x) = (x) =
2 2
f(-x) - f(x)
易知g(-x) = = -g(x)，所以g(x)為奇函數．
2
f(-x) + f(x)
易知 (-x) = = (x)，所以 (x)為偶函數．
2
另一方面，顯然有
f(x) - f(-x) f(x) + f(-x)
f(x) = + = g(x) + (x)
2 2
命題得證．
例 1-5-26 設函數 f(x)對任意 x，y∈R，都有
f(x+y)=f(x)+f(y)
若 x＞0 時，f(x)＜0，且 f(1)=-2，求 f(x)在[-3，3]上的最大值和
最小值．
解 在 f(x+y)=f(x)+f(y)中，令 y=0，得 f(x)=f(x)+f(0)，所以
f(0)=0．
又令 y=-x，得 f(0)=f(x)+f(-x)，所以 f(-x)=-f(x)，所以 f(x)為
奇函數．
任取 x1，x2∈[-3，3]，且 x1＜x2，則 x2-x1＞0，從而 f(x2-x1)＜
0，故
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)＜0
故 f(x)在[-3，3]上是減函數．從而
f(x)min=f(3)=3f(1)=-6
f(x)max=f(-3)=-f(3)=6
例 1-5-27 設 m，n 為自然數，證明：
( )n ( n1+ m 1 m)
m
是整數．
解 令 m = x，記
g(x)=(1+x)n-(1-x)n(x∈R)．
顯然 g(x)為定義在 R上的奇函數，故 g(x)是 x 的奇次項的整系數多項
式．所
g(x) ( n n1 + m ) (1 m)
以 是x的偶次項的整系數多項式．所以 是整
x m
數．
習題
1-5-12 下列函數中，既是奇函數，又是區間(-∞，0)上單調遞減
函數是 [ ]
1 1

A．y = x 2 B．y = x 3
2 2

C．y = x 3 D．y = x 3
1-5-13 設 f(x)是 R 上的奇函數，且當 x∈(0，+∞)時，有 f(x)=x
(1 + 3 x)，那么x∈(-∞，0)時，f(x)等于
[ ]
A． x(1+ 3 x ) B．x(1+ 3 x )
C． x(1 3 x) D．x(1 3 x)
1-5-14 在所有定義域為 R的函數中，一定不存在的函數是
[ ]
A．既是增函數，又是奇函數
B．既是奇函數，又是偶函數
C．既是偶函數，又有反函數
D．兩個互為反函數的函數是同一函數
x(1+ x)(x＞0)
1 - 5 -15 已知函數f(x) = ，則f(x)是
x(1- x)(x＜0)
[ ]
A．奇函數
B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數
D．非奇非偶函數
1-5-16 設 f(x)為定義在(-∞，+∞)上的偶函數，且 f(x)在[0，+
∞)上為增函數，則 f(-2)，f(-π)，f(3)的大小順序是 [ ]
A．f(-π)＞f(3)＞f(-2)
B．f(-π)＞f(-2)＞f(3)
C．f(-π)＜f(3)＜f(-2)
D．f(-π)＜f(-2)＜f(3)
1-5-17 若 f(x)是偶函數，則
( ) 1 f 1+ 2 f =
1 2
1 -5 -18 函數f(x)在R上是奇函數， (x)在R上是偶函數，則F(x) =
[f(x)]在R上是 函數．
1-5-19 若 f(x)為偶函數，其定義域為 R，且在[0，+∞)上是減函
數，
3
則f - ，f(a
2 - a + 1)的大小關系是 ．
4
1-5-20 已知 f(x)是奇函數，且當x∈[0，+∞)時，f(x)≤m(m＜0)，
則 f(x)的值域是______．
1-5-21 若 f(x)是定義在 R上的偶函數，且當 x≥0時為增函數，
那么使 f(π)＜f(a)的實數 a的取值范圍是______．
1-5-22 判斷下列函數的奇偶性：
2x -1
(1)f(x) =
5- x
k
(2)f(x) = x 2 (k∈Z)
x2 (x 1) (x＞0)

(3)f(x) = 0 (x = 0)

x
2 (x + 1) (x＜0)
1-5-23 已知 y=f(x)在 R 上是偶函數，當 x≥0時，
f(x)=x2-2x-3
(1)用分段函數寫出函數 y=f(x)表達式；
(2)利用對稱性畫出其圖象；
(3)指出其單調區間；
(4)利用圖象指出在什么區間上 f(x)＞0，在什么區間上 f(x)＜0；
(5)求出函數的最值．
1 - 5 -24 設f(x) = ax5 + bx3 + cx + d3 x + 5，已知f(-7) = -17，求f(7)之
值．
1+ x2 + x 1
1 -5 -25 證明函數f(x) = 的圖象關于原點對稱．
1+ x2 + x + 1
1-5-26 已知函數 f(x)的定義域是 R，且對任意實數 x1，x2 總有
f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2)
成立，求證 f(x)是偶函數．
3．反函數
例題
例 1-5-28 y=2x-1(x∈N)的反函數是 [ ]
x +1 x +1
A．y = (x∈N) B．y = (x∈Z)
2 2
x +1 x -1
C．y = (x∈{正奇數}) D．y = (x∈{正奇數})
2 2
解 C
注 求反函數時應先求原函數的值域，它就是反函數的定義域．
例1 -5 -29 函數y = x -2 + 1(x≥2)的反函數是 [ ]．
A．y=2-(x-1)2(x≥2)
B．y=2-(x-1)2(x≥1)
C．y=2+(x-1)2(x≥2)
D．y=2+(x-1)2(x≥1)
解 D
ax +1
例1 - 5 -30 若函數y = 在其定義域內存在反函數，則常數a的取
4x + 3
值范圍是 [ ]
A．(-∞， + ∞)
4 4
B．(-∞， )U( ， +∞)
3 3
4 4
C．(-∞， ) U(- ， + ∞)
3 3
4 4 4 4
D．(-∞， )U(- ， ) U( ， + ∞)
3 3 3 3
解 B
例1 - 5 - 31 函數y = f(x)和y = (x)互為反函數，則y = f(-x)的反函數
是 [ ]
A．y = (x) B．y = (-x)
C．y = - (x) D．y = - (-x)
解 C
令 - x = t，則y = f(t)，所以t = (y)，即 -x = (y)．將x，y對換，即y = -
(x)為y = f(-x)的反函數．
ax + 1
例1 -5 - 32 函數y = 的反函數就是它本身，則a，b必須滿足
bx -1
的條件是______．
ax + 1 y + 1
解 a = 1，b∈R 由y = 解出x，得x = ．對換x，y，得
bx 1 by a
x + 1 x + 1 ax + 1
其反函數y = ．令 ≡ ，即
bx a bx a bx 1
bx2+(b-1)x-1≡abx2+(b-a2)x-a
所以 b=ab，且 b-1=b-a2，且 1=a，解得 a=1，b∈R．
例 1-5-33 已知函數 y=f(x)是定義在區間(-∞，0]上，并且
f(x+1)=x2+2x
則f -1( 2) = ．
解 - 1+ 2 由f (x +1) = x2 + 2x = (x + 1) 2 1，知y = f (x) = x2
1( ∞，0]，其反函數為y = x + 1．所以f 1( 2 ) = 2 + 1．
例1 - 5 -34 已知函數y = - 1- x2 的反函數是y = - 1- x 2 ( 1≤x≤
0)，則原函數的定義域是 ．
解 [-1，0]
4 + x
例1 -5 - 35 已知函數f(x) = (x≥1)，求f -1[f(x)]及f[f -1(x)]．
2 + 3x
解 f-1[f(x)]=f[f-1(x)]=x
2
x -1
例1 -5 - 36 已知函數f(x) =

(x≥1)，f -1(x)是f(x)的反函
x + 1
1
數，又g(x) = 1 + x + 2，求f
1 (x)及其定義域、單調區間和g(x)
f (x)
的最小值．
x 1 x 1 2
解 因為x≥1，所以0≤ ＜1，所以0≤ ＜1，即函數f
x + 1 x + 1
(x)的值域為[0，1)，f 1(x)的定義域為[0，1)．
2
x -1 1+ x
由f(x) = ，得f
-1(x) = (0≤x＜1)．
x +1 1- x
設 0≤x1＜x2＜1，那么
1+ x1 1+ xf -1(x ) f 1(x ) = 21 2 1 x1 1 x2
2( x - x )
= 1 2 ＜0
(1 x1 )(1 x2 )
所以 f-1(x1)＜f-1(x2)
故 f-1(x)在[0，1)上為增函數，[0，1)為 f(x)的遞增區間．于是
2
g(x) = + (1+ x )≥2 2
1+ x
2
當且僅當 = 1+ x，即x = 3 2 2時，上式取等號．所以當x =
1+ x
3 2 2，g(x) max = 2 2．
1
例1 -5 - 37 函數y = x3與y = x 3的兩個圖象之間的關系是
[ ]
A．關于原點對稱 B．關于 x軸對稱
C．關于 y軸對稱 D．關于直線 y=x 對稱
解 D
1-5-38 函數 y=f(x)的圖像經過第三、四象限，那么 y=-f-1(x)的
圖象經過 [ ]
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
解 B 第三、四象限關于直線 y=x 對稱的點分別位于第三、二象限，
而第三、二象限關于 x軸對稱的點分別位于二、三象限．
x +1(x＞0)
例1 -5 - 39 函數f(x) = 的反函數圖象是
x -1(x＜0)
[ ]
解 C
例 1-5-40 函數 y=-f(x)與 y=-f-1(x)的圖象一定關于直線______
對稱．
解 y=-x 因為 f(x)與 f-1(x)的圖象關于直線 y=x 對稱，而 f(x)
與-f(x)，f-1(x)與-f-1(x)的圖象分別關于 x軸對稱．
例1 - 5 - 41 若點A(1，2) 既在函數y = ax + b圖象上，又在其反函
數的圖象上，則 a=______，b=______．
解 - 3，7 由題設知點A(1，2)及A′(2，1)均在y = ax + b的圖
象上，所以
2 = a + b a = -3

1 = 2a + b b = 7
例1 - 5 -42 求函數f(x) = 1- 1- x2 (-1≤x＜0)的反函數，并在同一直
角坐標系中畫出原函數及其反函數的圖象．
解 y = 1 - 1 - x 2 (-1≤x＜0)的值域是(0，1]．
由已知函數的解析式得x = - 2y - y 2，對換x，y得反函數為
f 1(x) = 2x x2 ，x∈(0，1]
圖象如右．
例 1-5-43 設 c∈R，c≠0，c≠1，且
x -1 1
y = (x∈R，x≠ )
cx -1 c
試證：
(1)經過這個函數圖象上任意兩個不同點的直線與 x軸不平行．
(2)這個函數的圖象關于直線 y=x 成軸對稱圖形．
解 (1)設 P(x1，y1)與 Q(x2，y2)是圖象上兩個不同點，且 PQ 與 x
軸平行，則 x1≠x2，y1=y2．于是
x1 1 x2 1=
cx1 1 cx2 1
去分母并整理，得 c(x1-x2)=x1-x2．因此 c=1，與已知條件矛盾，故 PQ
不與 x軸平行．
x -1 y -1
(2)由y = 解得x = ，對換x，y得
cx -1 cy -1
x -1
y =
cx -1
x -1 x -1
即y = 的反函數就是其自身，所以y = 的圖象關于直線y = x
cx -1 cx -1
對稱．
習題
1 - 5 - 27 函數y = x + 5(x≥ 5)的反函數是
[ ]
A．y=x2+5(x≥-5) B．y=x2-5(x≥-5)
C．y=x2+5(x≥0) D．y=x2-5(x≥0)
1-5-28 若 f(2x-1)=x+1，則 f-1(x)= [ ]
A．x-1 B．2x-3
1 3
C． x + D．2x + 3
2 2
1-5-29 對于 x∈[0，1]的所有 x值，函數y=x2 與其反函數 f-1(x)
的相應的函數值之間一定成立的關系是 [ ]
A．f(x)≤f-1(x) B．f(x)≥f-1(x)
C．f(x)=f-1(x) D．不能確定
x + a -1 - x + 51 -5 -30 函數f(x) = (a，b，c為常數)的反函數是f (x) = ，
bx + c 2x -1
則 a，b，c 的值是 [ ]
A．a=5，b=2，c=-1 B．a=2，b=1，c=5
C．a=5，b=2，c=1 D．a=1，b=2，c=5
1 - 5 - 31 (1)函數f(x) = 2 1 - x 2 (-1≤x≤0)的反函數是 ．
1
(2)函數y = ( )4 (x＜0)的反函數是 ．
x
1 - 5 - 32 設函數f(x) = x 2 - 2x + 3，x∈(-∞，1]，則f -1(x) 的定義
域是______．
1-5-33 y=f(x)和其反函數 y=f-1(x)的定義域都為(0，+∞)，且 f(x)
是(0,+∞)上的增函數，則 f-1(1)和 f-1(3)的大小關系是______．
1-5-34 求下列函數的反函數：
x，x∈(-1，0]
(1)f(x) = 2x2 - x + 1(x≥1) (2)f(x) =
x
2，x∈(0，2)
1-5-35 已知 y=f(x)在其定義域內是增函數，求證 y=f(x)的反函數
y=f-1(x)在它的定義域內也是增函數．試判斷對于減函數，這一結論是
否正確．
1-5-36 點(a，b)在函數 y=f(x)圖象上，則下列各點必在其反函數
圖象上的點是 [ ]
A．P1(a，f-1(a)) B．P2(f-1(b)，b)
C．P3(f-1(a)，a) D．P4(b，f-1(b))
1-5-37 審查下面四個命題：
(i)因為函數y=f(x)和其反函數y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱，
所以原函數與反函數的圖象不能相交；
(ii)函數 y=f-1(x)的反函數是 y=f(x)；
(iii)關于直線y=x成軸對稱的兩個圖象一定是互為反函數的一對函
數的圖象；
(iv)若 M(a，b)在 y=f(x)的圖象上，則 M′(b，a)一定在其反函數
y=f-1(x)圖象上，其中錯誤的命題有 [ ]
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
1-5-38 函數 y=ax+b 與它的反函數是同一函數時，a，b 的值為
[ ]
A．a=1，b=0
B．a=-1，b=0
C．a=±1，b=0
D．a=1，b=0，或 a=-1，b∈R
1-5-39 已知兩個函數的圖象關于直線 y=x 對稱，如果其中一個函
數
是y = - x -1(x≥1)，那么另一個函數是 ．
3x + 6 (x≥0)
1- 5 - 40 函數f(x) = ，則f[f -1(1)] = ．
x + 5 (x＜0)
2x +1 1
1- 5 - 41 已知y = (a≠ )．
x + a 2
(1)求它的反函數；
(2)若已知函數及其反函數的圖象相同，求實數 a；
-1 2(3)若f (3) = - ，求實數a．
a
(六)指數函數和對數函數
提要
(1)可通過指數函數或對數函數的單調性來比較兩個指數式或對數
式的大小．
(2)求函數 y=af(x)的單調區間，應先求出 f(x)的單調區間，然后根
據 y=au 的單調性來求出函數 y=af(x)的單調區間．求函數y=logaf(x)的
單調區間，則應先求出 f(x)的單調區間，然后根據 y=logau 的單調性來
求出函數 y=logaf(x)的單調區間．
(3)根據對數的定義，可將一些對數問題轉化為指數問題來解．
(4)通過換底，可將不同底數的對數問題轉化為同底的對數問題來
解．
(5)指數方程的解法：
(i)a f(x) = ag(x) (a＞0且a≠1) f(x) = g(x)；
(ii)a f(x) = bg(x) (a＞0，a≠1，b＞0，b≠1) f(x)lga = g(x)lgb；
(iii)對于方程 f(ax)=0，可令 ax=y，換元化為 f(y)=0．
(6)對數方程的解法：
f(x)＞0

(i)loga f(x) = log ag(x)(a≠0且a≠1) g(x)＞0

f(x) = g(x)
(ii)對數方程 f(logax)=0，可令 logax=y 化為 f(y)=0．
(7)對于某些特殊的指數方程或對數方程可通過作函數圖象來求其
近似解．
1．指數函數
例題
x 1
π 1
例1 -6 -1 函數y = 的圖象可能是
2
[ ]
解 A
例 1-6-2 f(x)=3x+5，則 f-1(x)的定義域是 [ ]
A．(0，+∞) B．(5，+∞)
C．(6，+∞) D．(-∞，+∞)
解 B 因為 f(x)=x2+5＞5，即 f(x)的值域為(5，+∞)，故 f-1(x)
的定義域為(5，+∞)．
例 1-6-3 下列函數中，值域是(0，+∞)的一個函數是 [ ]
1 1
1 x

A．y = 32-x + 1 B．y = 5
1 x
C．y = 1 D．y = 1- 2 x 3
解 B
例 1-6-4 函數 y=(a2-1)x 在(-∞，+∞)上是減函數，則 a 的取值
范圍是 [ ]
A．|a|＞1 B．|a|＜2 C．a＞ 2 D．1＜|a|＜ 2
解 D 由題設，有0＜a2 -1＜1，所以1＜ |a|＜ 2．
例 1-6-5 已知 a＞b，ab≠0．審查下列不等式．
2 2 a b 1 1(i)a ＞b (ii)2 ＞2 (iii) ＜
a b
1 1 1 a
1
b

(iv)a 3＞b 3 (v) ＜ 3 3
其中恒成立的有 [ ]
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
解 C
2 3
解1 -6 -6 若m 3＞m 5 (m＞0)，則m∈ ．
解 (0，1)
例 1-6-7 使函數 yx2-x-12 遞減的 x的取值范圍是______．
1 1
解 (-∞， ) 因為u = x2 - x -12的遞減區間為(-∞， )，而y = 2u
2 2
1
為增函數，故所求范圍是(-∞， )．
2
例 1-6-8 根據不等式確定正數 a的取值范圍：
(1)a-0.3＜a0.2，則 a∈______；
(2)a7.5＜a3.9，a∈______；
7
(3)a 4＜1，a∈ ．
解 (1)(1，+∞) (2)(0，1) (3)(0，1)
1 1
例1 - 6 - 9 已知f(x) = x x + ． 2 1 2
(1)指出函數的奇偶數，并予以證明；
(2)求證：對任何 x(x∈R 且 x≠0)，都有 f(x)＞0．
解 (1)f(x)的定義域為R - U R+，關于原點對稱．又
1 1 2x 1
f ( x) = ( x) + = x 2 x 1 2 2 x 1 2
2x 1 1 1
= x x 1+ = x + = f (x) 2 1 2 2x 1 2
所以 f(x)是偶函數．
(2)當 x＞0 時，2x＞1，所以 f(x)＞0．
當 x＜0 時，由 f(x)為偶函數，有 f(x)=f(-x)＞0．
所以對一切 x∈R，x≠0，恒有 f(x)＞0．
注 利用函數的奇偶性常可使解法簡化．如本例(2)，當 x＜0 時，
證明 f(x)＞0 較繁．若注意到 f(x)為偶函數，則只須證明，當 x＞0 時
f(x)＞0，而這是顯然的．
例1 -6 -10 比較 n 1 a n 與n a n+1 (a＞0，a≠1，n＞1，n∈N)的大小．
n n+1
解 n -1 a n = a n-1，n a n +1 = a n
n n +1 1 n n + 1
因為 - = ＞0，所以 ＞ ．
n 1 n n(n -1) n 1 n
由指數函數的單調性，知當a＞1時，n 1 a n＞ n a n+1；當0＜a＜1時，
n 1 a n ＜n a n+1．
a x 1
例1 -6 -11 已知函數f(x) = (a＞1)．
a x +1
(1)判斷函數 f(x)的奇偶性；
(2)證明 f(x)是區間(-∞，+∞)上的增函數；
(3)求函數的值域．
解 (1)f(x)的定義域為 R．又
1
a-x 1 x 1a 1 - a
x
f(-x) = x = 1 = x = -f(x) a + 1 1 + a
a x
+ 1
所以 f(x)為奇函數．
a x 1 a x + 1 2 2
(2)f(x) = =
a x + 1 a x
= 1
+ 1 a x + 1
2
因為a＞1，所以a x在R上遞增，所以 x 在R上增減．所以f(x) a + 1
在 R上為增函數．
2 2
(3)因為0＜ x ＜2，所以 -1＜1 - x ＜1，即值域為(-1，1)． a + 1 a + 1
習題
1-6-1 若 a＞1，-1＜b＜0，則函數 y=ax+b 的圖象一定經過
[ ]
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
1-6-2 在同一坐標系下，函數 y=ax2 和 y=(-a)x 的圖象可能是
[ ]
1-6-3 對任何實數 a＞0，且 a≠1，函數 f(x)=ax-1+3 的反函數的
圖象必經過點 [ ]
A．(5，2) B．(2，5) C．(4，1) D．(1，4)
x
1 1 1
1 -6 - 4 函數y = ，y = ，y = x 3 3 ，y = 3
x ，y = 3|x|中在(0，
3 x
+∞)上為增函數有 [ ]
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
1-6-5 已知 x＞y＞1，且 0＜a＜1，則 [ ]
1 1
A．x -a＜y -a B．a -x＜a -y C．xa＜ya D．a x ＜a y
1 3x
1- 6 - 6 函數y = a x-1，y = a x-1，y = 的定義域分別為M，N，
x -1
P，則 M，N，P的包含關系是______．
1-6-7 已知函數 f(x)=ax+k 的圖象過點(1，3)，又其反函數 f-1(x)
的圖象過點(2，0)，則 f(x)=______．
1-6-8 不等式 0.2|2x+1|＞0.2|x|的解集是______．
1-6-9 若 am＞an(a＞0 且 a≠1)，試比較 m，n的大小．
x y 2 11 - 6 - 10 已知9 + 4 = a (a＞ )，求3x + 22 y+1的量大值．
4
1
1 - 6 - 11 已知y = (a x + a-x )，a＞1．
2
(1)用x表示函數z = y + y2 1，并化簡；
(2)z 是 x 的奇函數還是偶函數．
a
1 - 6 - 12 已知f(x) = (a x2 - a
-x )，(a＞0且a≠1)是R上的增函數，
a 2
求 a的取值范圍．
2．對數
例題
α + β α β
A． sinαcosβ = 2(sin + sin )
2 2
B． cosαsinβ = 2[sin(α + β) cos(α + β)]
[ ]
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．c＜b＜a
解 C
例1 -6 -13 a = log (7 - 4 3)，則
(2- 3)
[ ]
A．a∈N B．a∈Z且a∈/ N
C．a∈Q，且a∈/ Z D．a∈R且a∈/ Q
解 A ∵7 - 4 3 = (2 - 3) 2，∴a = log (2 - 3) 2 = 2
(2- 3 )
例 1-6-14 對數式 loga(x+1)，logax2，loga(-x)，loga(1-|x|)
中的 x的
取值范圍分別為A，B，C，D，則(A U B) I(CU D) =
[ ]
A．(-1， +∞) B．(-∞，1)
C．(-1，1) D．(-∞，0)U(0， + ∞)
解 B ∵A = ( 1， + ∞)，B = ( ∞，0)U(0， + ∞)，C = ( ∞，0)，
D = ( 1，1)
∴ A U B = R，CU D = ( ∞，1)
∴ (A U B) I(C U D) = ( ∞，1)．
例 1-6-15 如果 f(lgx)=x，則 f(3)的值等于 [ ]
A．log3 B．log310 C．l03 D．310
解 C 令 lgx=3，則 x=103．
例 1-6-16 若 log2x=log3y=log5z＞0，則 [ ]
1 1 1 1 1 1
A．x 2＞y 3＞z 5 B．y 3＞x 2＞z 5
1 1 1 1 1 1
C．y 3＞z 5＞x2 D．z 5＞x 2 ＞y 3
解 B 令 log2x=log3y=log5z=k，有 x=2k，y=3k，z=5k．于是
1 k
x 2 = 2 2 = ( 2 ) k = (6 8) k = (10 32) k
1 k
y 3 = 33 = (3 3) = (6 9) k
1 k
z5 = 55 = (10 25) k
1 1 1
所以 y3＞x 2＞z 5
例 1-6-17 已知 ab=M(a＞0，b＞0，M≠1)且 logMb=x，則 logMa 的
值為 [ ]
1
A．1- x B．1 + x C． D．x -1
x
解 A 因為 ab=M，所以 logMab=logMM=1，即 logMa+logMb=1．但
logMb=x，所以 logMa=1-x．
例 1-6-18 計算：
(1)25log53=______
(2)( 2) log 23 =
解 (1)9 25log5 3 = 52log5 3 = 5 log33
2
= 9
(2) 3
1 - a
例1 6 19 已知 log 3 2 = ，則 log 12 = ．a 3
2
解
a
log 12 = log (3×22 ) = log 3 + 2 log 2
3 3 3 3
1 - a 2
= 2 + 2 =
a a
例 1-6-20 設 M={0，1}，N={11-a，log10a，2a，a}，是否存在
a的值使M I N = {1}？
解 不存在a的值使M I N = {1}成立．
事實上，若 lga=1，則 a=10．此時 11-a=1，從而 11-a=lga=1，此與
集合元素互異性矛盾．
若 2a=1，則 a=0．此時 lga 無意義．
若a = 1，此時lga = 0，從而M I N = {0，1}與條件不符；若11 - a =
1，則 a=10，從而 lga=1，與集合元素互異性矛盾．
1
x-
例1 -6 -21 已知f(x) = a 2，f(lga) = 10，求a．
1
lga-
解 ∵ f (lga) = a 2 = 10
1 1
∴ (lg a ) lga =
2 2
1
-
解得a = 10 2 或a = 10．經檢驗知都滿足要求．
例 1-6-22 化簡：
(1) lg2 99 - 2lg992 + 4
1
(2) lg(2x + 2 x2 1) lg2 + lg( x + 1 x 1) 2
解 (1)原式 = lg2 99 4 lg99 + 4 = (lg99 - 2) 2
=|lg99 - 2|= 2 - lg99(注意： lg99＜2．)
1 2
(2) 原式 = lg( x +1 + x 1) + lg( x +1 x 1) - lg2
2
= lg[( x +1 + x 1)( x + 1 x 1)] - lg2 = lg2 - lg2 = 0
例 1-6-23 設 a，b 同號，且 a2-2ab-9b2=0，求
lg(a2+ab-6b2)-lg(a2+4ab+15b2)
的值．
a
解 令 = x＞0，由a 2 - 2ab - 9b 2 = 0，得x2 - 2x - 9 = 0．所以x = 1
b
+ 10，且x2 = 2x + 9．所以
lg(a2 + ab - 6b2 ) - lg(a 2 + 4ab +15b2 )
x2 + x 6 (2x + 9) + x - 6
= lg 2 = lg x + 4x + 15 (2x + 9) + 4x +15
x +1 2 + 10 10 1
= lg = lg = lg = -
2(x + 4) 2(5 + 10) 10 2
習題
1
1 - 6 - 13 設x = 4 -3.3 ，y = 4 -log43 ，z = -log3 ，則 9
[ ]
A．x＞y＞z B．z＞y＞x
C．x＞z＞y D．z＞x＞y
1-6-14 審查下列各等式(a＞0 且 a≠1)：
-1 1 log 6(i)2a = (ii) a = loga 32a loga 2
3
log
(iii)(3·a a 3 - 3)0 = 1 (iv) log a 9 + log a 4 - 2loga 6 = 0
其中成立的有 [ ]
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
1-6-15 2logaM+3logaN= [ ]
A．loga(2M+3N) B．loga(2M·3N)
C．l

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