資源簡介

初高中數學的銜接講義（全套，新課標人教A版）
如何做好高、初中數學的銜接
●
第一講
如何學好高中數學
●
初中生經過中考的奮力拼搏，剛跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中課程學好的愿望。但經過一段時間，他們普遍感覺高中數學并非想象中那么簡單易學，而是太枯燥、乏味、抽象、晦澀，有些章節如聽天書。在做習題、課外練習時，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知從何下手。相當部分學生進入數學學習的“困難期”，數學成績出現嚴重的滑坡現象。漸漸地他們認為數學神秘莫測，從而產生畏懼感，動搖了學好數學的信心，甚至失去了學習數學的興趣。造成這種現象的原因是多方面的，但最主要的根源還在于初、高中數學教學上的銜接問題。下面就對造成這種現象的一些原因加以分析、總結。希望同學們認真吸取前人的經驗教訓，搞好自己的數學學習。
一
高中數學與初中數學特點的變化
1
數學語言在抽象程度上突變。不少學生反映，集合、映射等概念難以理解，覺得離生活很遠，似乎很“玄”。確實，初、高中的數學語言有著顯著的區別。初中的數學主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數學一下子就觸及抽象的集合語言、邏輯運算語言以及以后要學習到的函數語言、空間立體幾何等。
2
思維方法向理性層次躍遷。高中數學思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學生將各種題建立了統一的思維模式，如解分式方程分幾步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等,分別確定了各自的思維套路。因此，初中學習中習慣于這種機械的、便于操作的定勢方式。高中數學在思維形式上產生了很大的變化，數學語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當然，能力的發展是漸進的，不是一朝一夕的。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應，故而導致成績下降。高一新生一定要能從經驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初步形成辯證型思維。
3
知識內容的整體數量劇增。高中數學在知識內容的“量”上急劇增加了。例如：高一《代數》第一章就有基本概念52個，數學符號28個；《立體幾何》第一章有基本概念37個，基本公理、定理和推論21個；兩者合在一起僅基本概念就達89個之多，并集中在高一第一學期學習，形成了概念密集的學習階段。加之高中一年級第一學期只有七十多課時，輔助練習、消化的課時相應地減少了。使得數學課時吃緊，因而教學進度一般較快，從而增加了教與學的難度。這樣，不可避免地造成學生不適應高中數學學習，而影響成績的提高。這就要求：第一，要做好課后的復習工作，記牢大量的知識。第二，要理解掌握好新舊知識的內在聯系，使新知識順利地同化于原有知識結構之中。第三，因知識教學多以零星積累的方式進行的，當知識信息量過大時，其記憶效果不會很好，因此要學會對知識結構進行梳理，形成板塊結構，實行“整體集裝”。如表格化，使知識結構一目了然；類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統一；使幾類問題同構于同一知識方法。第四，要多做總結、歸類，建立主體的知識結構網絡。
二
不良的學習狀態
1
學習習慣因依賴心理而滯后。初中生在學習上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分數，初中數學教師將各種題型都一一羅列，學生依賴于教師為其提供套用的“模子”；第二，家長望子成龍心切，回家后輔導也是常事。升入高中后，教師的教學方法變了，套用的“模子”沒有了，家長輔導的能力也跟不上了。許多同學進入高中后，還象初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉，沒有掌握學習的主動權。表現在不定計劃，坐等上課，課前沒有預習，對老師要上課的內容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”。
2
思想松懈。有些同學把初中的那一套思想移植到高中來。他們認為自已在初一、二時并沒有用功學習，只是在初三臨考時才發奮了一、二個月就輕而易舉地考上了高中，有的還是重點中學里的重點班，因而認為讀高中也不過如此。高一、高二根本就用不著那么用功，只要等到高三臨考時再發奮一、二個月，也一樣會考上一所理想的大學的。存有這種思想的同學是大錯特錯的。有多少同學就是因為高一、二不努力學習，臨近高考了，發現自己缺漏了很多知識再彌補后悔晚矣。
3
學不得法。老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分同學上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆；課后又不能及時鞏固、總結、尋找知識間的聯系，只是趕做作業，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機械模仿，死記硬背。還有些同學晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結果是事倍功半，收效甚微。
4
不重視基礎。一些“自我感覺良好”的同學，常輕視基礎知識、基本技能和基本方法的學習與訓練，經常是知道怎么做就算了，而不去認真演算書寫，但對難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高騖遠，重“量”輕“質”，陷入題海。到正規作業或考試中不是演算出錯就是中途“卡殼”。
5
進一步學習條件不具備。高中數學與初中數學相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎知識與技能為進一步學習作好準備。高中數學很多地方難度大、方法新、分析能力要求高。如二次函數值的求法、實根分布與參變量的討論、，三角公式的變形與靈活運用、空間概念的形成、排列組合應用題及實際應用問題等。有的內容還是初中教材都不講的脫節內容，如不采取補救措施，查缺補漏，就必然會跟不上高中學習的要求。
三
科學地進行學習
高中學生僅僅想學是不夠的，還必須“會學”，要講究科學的學習方法，提高學習效率，才能變被動學習為主動學習，才能提高學習成績。
1
培養良好的學習習慣。反復使用的方法將變成人們的習慣。什么是良好的學習習慣？良好的學習習慣包括制定計劃、課前自學、專心上課、及時復習、獨立作業、解決疑難、系統小結和課外學習幾個方面。
(1)制定計劃使學習目的明確，時間安排合理，不慌不忙，穩扎穩打，它是推動主動學習和克服困難的內在動力。但計劃一定要切實可行，既有長遠打算，又有短期安排，執行過程中嚴格要求自己，磨煉學習意志。
(2)課前自學是上好新課、取得較好學習效果的基礎。課前自學不僅能培養自學能力，而且能提高學習新課的興趣，掌握學習的主動權。自學不能走過場，要講究質量，力爭在課前把教材弄懂，上課著重聽老師講思路，把握重點，突破難點，盡可能把問題解決在課堂上。
(3)上課是理解和掌握基礎知識、基本技能和基本方法的關鍵環節。“學然后知不足”，課前自學過的同學上課更能專心聽課，他們知道什么地方該詳，什么地方可以一帶而過，該記的地方才記下來，而不是全抄全錄，顧此失彼。
(4)及時復習是高效率學習的重要一環。通過反復閱讀教材，多方面查閱有關資料，強化對基本概念知識體系的理解與記憶，將所學的新知識與有關舊知識聯系起來，進行分析比效，一邊復習一邊將復習成果整理在筆記本上，使對所學的新知識由“懂”到“會”。
(5)獨立作業是通過自己的獨立思考，靈活地分析問題、解決問題，進一步加深對所學新知識的理解和對新技能的掌握過程。這一過程也是對意志毅力的考驗，通過運用使對所學知識由“會”到“熟”。
(6)解決疑難是指對獨立完成作業過程中暴露出來對知識理解的錯誤，或由于思維受阻遺漏解答，通過點撥使思路暢通，補遺解答的過程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精神。做錯的作業再做一遍。對錯誤的地方要反復思考。實在解決不了的要請教老師和同學，并要經常把易錯的知識拿來復習強化，作適當的重復性練習，把求老師問同學獲得的東西消化變成自己的知識，使所學到的知識由“熟”到“活”。
(7)系統小結是通過積極思考，達到全面系統深刻地掌握知識和發展認識能力的重要環節。小結要在系統復習的基礎上以教材為依據，參照筆記與資料，通過分析、綜合、類比、概括，揭示知識間的內在聯系，以達到對所學知識融會貫通的目的。經常進行多層次小結，能對所學知識由“活”到“悟”。
(8)課外學習包括閱讀課外書籍與報刊，參加學科競賽與講座，走訪高年級同學或老師交流學習心得等。課外學習是課內學習的補充和繼續，它不僅能豐富同學們的文化科學知識，加深和鞏固課內所學的知識，而且能夠滿足和發展興趣愛好，培養獨立學習和工作的能力，激發求知欲與學習熱情。
2
循序漸進，防止急躁。由于同學們年齡較小，閱歷有限，為數不少的同學容易急躁。有的同學貪多求快，囫圇吞棗；有的同學想靠幾天“沖刺”一蹴而就；有的取得一點成績便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同學們要知道，學習是一個長期地鞏固舊知、發現新知的積累過程，決非一朝一夕可以完成的。為什么高中要學三年而不是三天！許多優秀的同學能取得好成績，其中一個重要原因是他們的基本功扎實，他們的閱讀、書寫、運算技能達到了自動化或半自動化的熟練程度。
3
注意研究學科特點，尋找最佳學習方法。數學學科擔負著培養運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力以及運用所學知識分析問題、解決問題的能力的重任。它的特點是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求較高。學習數學一定要講究“活”，只看書不做題不行，只埋頭做題不總結積累也不行。對課本知識既要能鉆進去，又要能跳出來，結合自身特點，尋找最佳學習方法。華羅庚先生倡導的“由薄到厚”和“由厚到薄”的學習過程就是這個道理。方法因人而異，但學習的四個環節（預習、上課、作業、復習）和一個步驟（歸納總結）是少不了的。
●
第二講
初中數學與高中數學銜接緊密的知識點
●
1
絕對值：
⑴在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值。
⑵正數的絕對值是他本身，負數的絕對值是他的相反數，0的絕對值是0，即
⑶兩個負數比較大小，絕對值大的反而小
⑷兩個絕對值不等式:；或
2
乘法公式：
⑴平方差公式：
⑵立方差公式：
⑶立方和公式：
⑷完全平方公式：，
⑸完全立方公式：
3
分解因式：
⑴把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②運用公式法，③分組分解法，④十字相乘法。
4
一元一次方程：
⑴在一個方程中，只含有一個未知數，并且未知數的指數是1，這樣的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，未知數系數化為1。
⑶關于方程解的討論
①當時，方程有唯一解；
②當，時，方程無解
③當，時，方程有無數解；此時任一實數都是方程的解。
5
二元一次方程組：
（1）兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。
（2）適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解。
（3）二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。
（4）解二元一次方程組的方法：①代入消元法，②加減消元法。
6
不等式與不等式組
（1）不等式：
①用符不等號（>、≠、<）連接的式子叫不等式。
②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。
③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數，不等號方向不變。
④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號方向相反。
（2）不等式的解集：
①能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。
②一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。
③求不等式解集的過程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：
左右兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是1的不等式叫一元一次不等式。
（4）一元一次不等式組：
①關于同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。
②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。
③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。
7
一元二次方程：
①方程有兩個實數根
②方程有兩根同號
③方程有兩根異號
④韋達定理及應用：
,
8
函數
（1）變量：因變量，自變量。
在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸上的點自變量，用豎直方向的數軸上的點表示因變量。
（2）一次函數：①若兩個變量,間的關系式可以表示成（為常數，不等于0）的形式，則稱是的一次函數。②當=0時，稱是的正比例函數。
（3）一次函數的圖象及性質
①把一個函數的自變量與對應的因變量的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。
②正比例函數=的圖象是經過原點的一條直線。
③在一次函數中，當0，
O，則經2、3、4象限；當0，0時，則經1、2、4象限；當0，
0時，則經1、3、4象限；當0，
0時，則經1、2、3象限。
④當0時，的值隨值的增大而增大，當0時，的值隨值的增大而減少。
（4）二次函數：
①一般式：()，對稱軸是
頂點是；
②頂點式：()，對稱軸是頂點是；
③交點式：()，其中（），（）是拋物線與x軸的交點
（5）二次函數的性質
①函數的圖象關于直線對稱。
②時，在對稱軸
（）左側，值隨值的增大而減少；在對稱軸（）右側；的值隨值的增大而增大。當時，取得最小值
③時，在對稱軸
（）左側，值隨值的增大而增大；在對稱軸（）右側；的值隨值的增大而減少。當時，取得最大值
9
圖形的對稱
（1）軸對稱圖形：①如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關于對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。
（2）中心對稱圖形：①在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180度，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。
10
平面直角坐標系
（1）在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系。水平的數軸叫做軸或橫軸，鉛直的數軸叫做軸或縱軸，軸與軸統稱坐標軸，他們的公共原點稱為直角坐標系的原點。
（2）平面直角坐標系內的對稱點：設，是直角坐標系內的兩點，
①若和關于軸對稱，則有。
②若和關于軸對稱，則有。
③若和關于原點對稱，則有。
④若和關于直線對稱，則有。
⑤若和關于直線對稱，則有或。
11
統計與概率：
（1）科學記數法：一個大于10的數可以表示成的形式，其中大于等于1小于10，是正整數。
（2）扇形統計圖：①用圓表示總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統計圖叫做扇形統計圖。②扇形統計圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數與360度的比。
（3）各類統計圖的優劣：①條形統計圖：能清楚表示出每個項目的具體數目；②折線統計圖：能清楚反映事物的變化情況；③扇形統計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。
（5）平均數：對于個數，我們把()叫做這個個數的算術平均數，記為。
（6）加權平均數：一組數據里各個數據的重要程度未必相同，因而，在計算這組數據的平均數時往往給每個數據加一個權，這就是加權平均數。
（7）中位數與眾數：①N個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。②一組數據中出現次數最大的那個數據叫做這個組數據的眾數。③優劣比較：平均數：所有數據參加運算，能充分利用數據所提供的信息，因此在現實生活中常用，但容易受極端值影響；中位數：計算簡單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數據的信息；眾數：各個數據如果重復次數大致相等時，眾數往往沒有特別的意義。
（8）調查：①為了一定的目的而對考察對象進行的全面調查，稱為普查，其中所要考察對象的全體稱為總體，而組成總體的每一個考察對象稱為個體。②從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查，其中從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。③抽樣調查只考察總體中的一小部分個體，因此他的優點是調查范圍小，節省時間，人力，物力和財力，但其調查結果往往不如普查得到的結果準確。為了獲得較為準確的調查結果，抽樣時要主要樣本的代表性和廣泛性。
（9）頻數與頻率：①每個對象出現的次數為頻數，而每個對象出現的次數與總次數的比值為頻率。②當收集的數據連續取值時，我們通常先將數據適當分組，然后再繪制頻數分布直方圖。
（10）數據的波動：①極差是指一組數據中最大數據與最小數據的差。②方差是各個數據與平均數之差的平方和的平均數。③標準差就是方差的算術平方根。④一般來說，一組數據的極差，方差，或標準差越小，這組數據就越穩定。
（11）事件的可能性：①有些事情我們能確定他一定會發生，這些事情稱為必然事件；有些事情我們能肯定他一定不會發生，這些事情稱為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的。②有很多事情我們無法肯定他會不會發生，這些事情稱為不確定事件。③一般來說，不確定事件發生的可能性是有大小的。
（12）概率：①人們通常用1（或100%）來表示必然事件發生的可能性，用0來表示不可能事件發生的可能性。②游戲對雙方公平是指雙方獲勝的可能性相同。③必然事件發生的概率為1，記作（必然事件）；不可能事件發生的概率為，記作（不可能事件）；如果A為不確定事件，那么
●
第三講
銜接知識點的專題強化訓練
●
★
專題一
數與式的運算
【要點回顧】
1．絕對值
[1]絕對值的代數意義：
．即
．
[2]絕對值的幾何意義：
的距離．
[3]兩個數的差的絕對值的幾何意義：表示
的距離．
[4]兩個絕對值不等式:；．
2．乘法公式
我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：
[1]平方差公式：
；
[2]完全平方和公式：
；
[3]完全平方差公式：
．
我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：
[公式1]
[公式2](立方和公式)
[公式3]
(立方差公式)
說明:上述公式均稱為“乘法公式”．
3．根式
[1]式子叫做二次根式，其性質如下：
(1)
；(2)
；(3)
；
(4)
．
[2]平方根與算術平方根的概念：
叫做的平方根，記作，其中叫做的算術平方根．
[3]立方根的概念：
叫做的立方根，記為
4．分式
[1]分式的意義
形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當M≠0時，分式具有下列性質：
（1）
；
（2）
．
[2]繁分式
當分式的分子、分母中至少有一個是分式時，就叫做繁分式，如，
說明：繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1)
利用除法法則；(2)
利用分式的基本性質．
[3]分母（子）有理化
把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程
【例題選講】
例1
解下列不等式：（1）
（2）＞4．
例2
計算：
（1）
（2）
（3）
（4）
例3
已知，求的值．
例4
已知，求的值．
例5
計算(沒有特殊說明，本節中出現的字母均為正數)：
（1）
（2）
（3）
（4）
例6
設，求的值．
例7
化簡：（1）
（2）
（1）解法一：原式=
解法二：原式=
（2）解：原式=
說明：(1)
分式的乘除運算一般化為乘法進行，當分子、分母為多項式時，應先因式分解再進行約分化簡；(2)
分式的計算結果應是最簡分式或整式．
【鞏固練習】
1．
解不等式
2．
設，求代數式的值．
3．
當，求的值．
4．
設，求的值．
5．
計算
6．化簡或計算：
(1)
(2)
(3)
(4)
★
專題二
因式分解
【要點回顧】
因式分解是代數式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形．在分式運算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用．是一種重要的基本技能．
因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等．
1．公式法
常用的乘法公式：
[1]平方差公式：
；
[2]完全平方和公式：
；
[3]完全平方差公式：
．
[4]
[5](立方和公式)
[6]
(立方差公式)
由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，運用上述公式可以進行因式分解．
2．分組分解法
從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式．而對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取．因此，可以先將多項式分組處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關鍵在于如何分組．
常見題型：（1）分組后能提取公因式
（2）分組后能直接運用公式
3．十字相乘法
（1）型的因式分解
這類式子在許多問題中經常出現，其特點是：①二次項系數是1；②常數項是兩個數之積；③
一次項系數是常數項的兩個因數之和．
∵，
∴
運用這個公式，可以把某些二次項系數為1的二次三項式分解因式．
（2）一般二次三項式型的因式分解
由我們發現，二次項系數分解成，常數項分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．這種借助畫十字交叉線分解系數，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必須注意，分解因數及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解．
4．其它因式分解的方法
其他常用的因式分解的方法：（1）配方法
（2）拆、添項法
【例題選講】
例1
（公式法）分解因式：(1)
；(2)
例2
（分組分解法）分解因式：（1）
（2）
例3
（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)
(2)
(3)
(4)
解：（1）
（2）
（3）分析：把看成的二次三項式，這時常數項是，一次項系數是，把分解成與的積，而，正好是一次項系數．
解：
(4)
由換元思想，只要把整體看作一個字母，可不必寫出，只當作分解二次三項式．解：
例4
（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)
；(2)
解：(1)
(2)
說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要．當二次項系數不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關常數分解，交叉相乘后，若原常數為負數，用減法”湊”，看是否符合一次項系數，否則用加法”湊”，先”湊”絕對值，然后調整，添加正、負號．
例5
（拆項法）分解因式
【鞏固練習】
1．把下列各式分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2．已知，求代數式的值．
3．現給出三個多項式，，，，請你選擇其中兩個進行加法運算，并把結果因式分解.
4．已知，求證：．
★
專題三
一元二次方程根與系數的關系
【要點回顧】
1．一元二次方程的根的判斷式
一元二次方程，用配方法將其變形為：
．
由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：
對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
[1]當Δ
0時，方程有兩個不相等的實數根：
；
[2]當Δ
0時，方程有兩個相等的實數根：
；
[3]當Δ
0時，方程沒有實數根．
2．一元二次方程的根與系數的關系
定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么：
說明：一元二次方程根與系數的關系由十六世紀的法國數學家韋達發現，所以通常把此定理稱為”韋達定理”．上述定理成立的前提是．
特別地，對于二次項系數為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知
x1＋x?2＝－p，x1·x2＝q，即
p＝－(x1＋x?2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化為
x2－(x1＋x?2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x?2)x＋x1·x2＝0．因此有
以兩個數x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數為1）是
x2－(x1＋x?2)x＋x1·x2＝0．
【例題選講】
例1
已知關于的一元二次方程，根據下列條件，分別求出的范圍：
（1）方程有兩個不相等的實數根；
（2）方程有兩個相等的實數根
（3）方程有實數根；
（4）方程無實數根．
例2
已知實數、滿足，試求、的值．
例3
若是方程的兩個根，試求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
例4
已知是一元二次方程的兩個實數根．
(1)
是否存在實數，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
(2)
求使的值為整數的實數的整數值．
解：(1)
假設存在實數，使成立．∵
一元二次方程的兩個實數根，∴
，又是一元二次方程的兩個實數根，∴
∴
，但．
∴不存在實數，使成立．
(2)
∵
∴
要使其值是整數，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數的實數的整數值為．
【鞏固練習】
1．若是方程的兩個根，則的值為(
)
A．
B．
C．
D．
2．若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關系是(
)
A．
B．
C．
D．大小關系不能確定
3．設是方程的兩實根，是關于的方程的兩實根，則=
___
__
，=
_
____
．
4．已知實數滿足，則=
___
__
，=
_____
，=
_____
．
5．已知關于的方程的兩個實數根的平方和等于11，求證：關于的方程有實數根．
6．若是關于的方程的兩個實數根，且都大于1．
(1)
求實數的取值范圍；(2)
若，求的值．
★
專題四
平面直角坐標系、一次函數、反比例函數
【要點回顧】
1．平面直角坐標系
[1]
組成平面直角坐標系。
叫做軸或橫軸，
叫做軸或縱軸，軸與軸統稱坐標軸，他們的公共原點稱為直角坐標系的原點。
[2]
平面直角坐標系內的對稱點：
對稱點或對稱直線方程
對稱點的坐標
軸
軸
原點
點
直線
直線
直線
直線
2．函數圖象
[1]一次函數：
稱是的一次函數，記為：(k、b是常數，k≠0)
特別的，當=0時，稱是的正比例函數。
[2]
正比例函數的圖象與性質：函數y=kx(k是常數，k≠0)的圖象是
的一條直線，當
時，圖象過原點及第一、第三象限，y隨x的增大而
；當
時，圖象過原點及第二、第四象限，y隨x的增大而
．
[3]
一次函數的圖象與性質：函數(k、b是常數，k≠0)的圖象是過點(0，b)且與直線y=kx平行的一條直線.設(k≠0)，則當
時，y隨x的增大而
；當
時，
y隨x的增大而
．
[4]反比例函數的圖象與性質：函數(k≠0)是雙曲線，當
時，圖象在第一、第三象限，在每個象限中，y隨x的增大而
；當
時，圖象在第二、第四象限.，在每個象限中，y隨x的增大而
．雙曲線是軸對稱圖形，對稱軸是直線與；又是中心對稱圖形，對稱中心是原點．
【例題選講】
例1
已知、，根據下列條件，求出、點坐標．
(1)
、關于x軸對稱；(2)
、關于y軸對稱；(3)
、關于原點對稱．
例2已知一次函數y＝kx＋2的圖象過第一、二、三象限且與x、y軸分別交于、兩點，O為原點，若ΔAOB的面積為2，求此一次函數的表達式。
例3如圖，反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于，兩點．
（1）求反比例函數與一次函數的解析式；
（2）根據圖象回答：當取何值時，反比例函數的值大于一次函數的值．
解：（1）在的圖象上，，
又在的圖象上，，即
，解得：，，
反比例函數的解析式為，一次函數的解析式為，
（2）從圖象上可知，當或時，反比例函數圖象在一次函數圖象的上方，所以反比例函數的值大于一次函數的值。
【鞏固練習】
1．函數與在同一坐標系內的圖象可以是（
）
2．如圖，平行四邊形ABCD中，A在坐標原點，D在第一象限角平分線上，又知，，求點的坐標．　
3．如圖，已知直線與雙曲線交于兩點，且點的橫坐標為．
（1）求的值；
（2）過原點的另一條直線交雙曲線于兩點（點在第一象限），若由點為頂點組成的四邊形面積為，求點的坐標．
★
專題五
二次函數
【要點回顧】
1．
二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質
問題[1]
函數y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關系？
問題[2]
函數y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關系？
由上面的結論，我們可以得到研究二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：
由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，
所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，
二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質：
[1]當a＞0時，函數y＝ax2＋bx＋c圖象開口方向
；頂點坐標為
，對稱軸為直線
；當
時，y隨著x的增大而
；當
時，y隨著x的增大而
；當
時，函數取最小值
．
[2]當a＜0時，函數y＝ax2＋bx＋c圖象開口方向
；頂點坐標為
，對稱軸為直線
；當
時，y隨著x的增大而
；當
時，y隨著x的增大而
；當
時，函數取最大值
．
上述二次函數的性質可以分別通過上圖直觀地表示出來．因此，在今后解決二次函數問題時，可以借助于函數圖像、利用數形結合的思想方法來解決問題．
2．二次函數的三種表示方式
[1]二次函數的三種表示方式：
（1）．一般式：
；
（2）．頂點式：
；
（3）．交點式：
．
說明：確定二此函數的關系式的一般方法是待定系數法，在選擇把二次函數的關系式設成什么形式時，可根據題目中的條件靈活選擇，以簡單為原則．二次函數的關系式可設如下三種形式：
①給出三點坐標可利用一般式來求；
②給出兩點，且其中一點為頂點時可利用頂點式來求．
③給出三點，其中兩點為與x軸的兩個交點.時可利用交點式來求．
3．分段函數
一般地，如果自變量在不同取值范圍內時，函數由不同的解析式給出，這種函數，叫作分段函數．
【例題選講】
例1
求二次函數y＝－3x2－6x＋1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減小）？并畫出該函數的圖象．
例2
某種產品的成本是120元/件，試銷階段每件產品的售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間關系如下表所示：
x
/元
130
150
165
y/件
70
50
35
若日銷售量y是銷售價x的一次函數，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？
例3
已知函數，其中，求該函數的最大值與最小值，并求出函數取最大值和最小值時所對應的自變量x的值．
例4
根據下列條件，分別求出對應的二次函數的關系式．
（1）已知某二次函數的最大值為2，圖像的頂點在直線y＝x＋1上，并且圖象經過點（3，－1）；
（2）已知二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等于2；
（3）已知二次函數的圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．
例5
在國內投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封xg(0＜x≤100)的信應付多少郵資（單位：分）？寫出函數表達式，作出函數圖象．
分析：由于當自變量x在各個不同的范圍內時，應付郵資的數量是不同的．所以，可以用分段函數給出其對應的函數解析式．在解題時，需要注意的是，當x在各個小范圍內（如20＜x≤40）變化時，它所對應的函數值（郵資）并不變化（都是160分）．
解：設每封信的郵資為y（單位：分），則y是x的函數．這個函數的解析式為
由上述的函數解析式，可以得到其圖象如圖所示．
【鞏固練習】
1．選擇題：
（1）把函數y＝－(x－1)2＋4的圖象的頂點坐標是
（
）
（A）（－1，4）
（B）（－1，－4）
（C）（1，－4）
（D）（1，4）
（2）函數y＝－x2＋4x＋6的最值情況是
（
）
（A）有最大值6
（B）有最小值6
（C）有最大值10
（D）有最大值2
（3）函數y＝2x2＋4x－5中，當－3≤x＜2時，則y值的取值范圍是
（
）
（A）－3≤y≤1
（B）－7≤y≤1
（C）－7≤y≤11
（D）－7≤y＜11
2．填空：
（1）已知某二次函數的圖象與x軸交于A(－2，0)，B(1，0)，且過點C（2，4），則該二次函數的表達式為
．
（2）已知某二次函數的圖象過點（－1，0），（0，3），（1，4），則該函數的表達式為
．
3．根據下列條件，分別求出對應的二次函數的關系式．
（1）已知二次函數的圖象經過點A（0，），B（1，0），C（，2）；
（2）已知拋物線的頂點為（1，），且與y軸交于點（0，1）；
（3）已知拋物線與x軸交于點M（，0），（5，0），且與y軸交于點（0，）；
（4）已知拋物線的頂點為（3，），且與x軸兩交點間的距離為4．
4．如圖，某農民要用12m的竹籬笆在墻邊圍出一塊一面為墻、另三面為籬笆的矩形地供他圈養小雞．已知墻的長度為6m，問怎樣圍才能使得該矩形面積最大？
5．如圖所示，在邊長為2的正方形ABCD的邊上有一個動點P，從點A出發沿折線ABCD移動一周后，回到A點．設點A移動的路程為x，ΔPAC的面積為y．
（1）求函數y的解析式；
（2）畫出函數y的圖像；
（3）求函數y的取值范圍．
★
專題六
二次函數的最值問題
【要點回顧】
1．二次函數的最值．
二次函數在自變量取任意實數時的最值情況(當時，函數在處取得最小值，無最大值；當時，函數在處取得最大值，無最小值．
2．二次函數最大值或最小值的求法．
第一步確定a的符號，a＞0有最小值，a＜0有最大值；
第二步配方求頂點，頂點的縱坐標即為對應的最大值或最小值．
3．求二次函數在某一范圍內的最值．
如：在（其中）的最值．
第一步：先通過配方，求出函數圖象的對稱軸：；
第二步：討論：
[1]若時求最小值或時求最大值，需分三種情況討論：
①對稱軸小于即，即對稱軸在的左側；
②對稱軸，即對稱軸在的內部；
③對稱軸大于即，即對稱軸在的右側。
[2]
若時求最大值或時求最小值，需分兩種情況討論：
①對稱軸，即對稱軸在的中點的左側；
②對稱軸，即對稱軸在的中點的右側；
說明：求二次函數在某一范圍內的最值，要注意對稱軸與自變量的取值范圍相應位置，具體情況，參考例4。
【例題選講】
例1求下列函數的最大值或最小值．
（1）；
（2）．
例2當時，求函數的最大值和最小值．
例3當時，求函數的取值范圍．
例4當時，求函數的最小值(其中為常數)．
分析：由于所給的范圍隨著的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其范圍的相對位置．
解：函數的對稱軸為．畫出其草圖．
(1)
當對稱軸在所給范圍左側．即時：當時，；
(2)
當對稱軸在所給范圍之間．即時：
當時，；
(3)
當對稱軸在所給范圍右側．即時：當時，．
綜上所述：
例5某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發現這種商品每天的銷售量(件)與每件的銷售價(元)滿足一次函數．
(1)
寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤與每件銷售價之間的函數關系式；
(2)
若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？
【鞏固練習】
1．拋物線，當=
_____
時，圖象的頂點在軸上；當=
_____
時，圖象的頂點在軸上；當=
_____
時，圖象過原點．
2．用一長度為米的鐵絲圍成一個長方形或正方形，則其所圍成的最大面積為
________
．
3．設，當時，函數的最小值是，最大值是0，求的值．
4．已知函數在上的最大值為4，求的值．
5．求關于的二次函數在上的最大值(為常數)．
★
專題七
不
等
式
【要點回顧】
1．一元二次不等式及其解法
[1]定義：形如
為關于的一元二次不等式．
[2]一元二次不等式與二次函數及一元二次方程的關系(簡稱：三個二次)．
（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以結合相應的二次函數、一元二次方程求解，步驟如下：
(1)
將二次項系數先化為正數；
(2)
觀測相應的二次函數圖象．
①如果圖象與軸有兩個交點，此時對應的一元二次方程有兩個不相等的實數根(也可由根的判別式來判斷)
．則
②如果圖象與軸只有一個交點，此時對應的一元二次方程有兩個相等的實數根(也可由根的判別式來判斷)
．則：
③如果圖象與軸沒有交點，此時對應的一元二次方程沒有實數根
(也可由根的判別式來判斷)
．則：
（ⅱ）解一元二次不等式的步驟是：
(1)
化二次項系數為正；
(2)
若二次三項式能分解成兩個一次因式的積，則求出兩根．那么“”型的解為(俗稱兩根之外)；“”型的解為(俗稱兩根之間)；
(3)
否則，對二次三項式進行配方，變成，結合完全平方式為非負數的性質求解．
2．簡單分式不等式的解法
解簡單的分式不等式的方法：對簡單分式不等式進行等價轉化，轉化為整式不等式，應當注意分母不為零.
3．含有字母系數的一元一次不等式
一元一次不等式最終可以化為的形式．
[1]當時，不等式的解為：；
[2]當時，不等式的解為：；
[3]當時，不等式化為：；
①
若，則不等式的解是全體實數；②
若，則不等式無解．
【例題選講】
例1
解下列不等式：(1)
(2)
⑴解法一：原不等式可以化為：，于是：或所以，原不等式的解是．
解法二：解相應的方程得：，所以原不等式的解是．
(2)
解法一：原不等式可化為：，即于是：
，所以原不等式的解是．
解法二：原不等式可化為：，即，解相應方程，得，所以原不等式的解是．
說明：解一元二次不等式，實際就是先解相應的一元二次方程，然后再根據二次函數的圖象判斷出不等式的解．
例2
解下列不等式：(1)
(2)
(3)
例3
已知對于任意實數，恒為正數，求實數的取值范圍．
例4
解下列不等式：
(1)
(2)
例5
求關于的不等式的解．
解：原不等式可化為：
(1)
當時，，不等式的解為；
(2)
當時，．
①
時，不等式的解為；
②
時，不等式的解為；
③
時，不等式的解為全體實數．
(3)
當時，不等式無解．
綜上所述：當或時，不等式的解為；當時，不等式的解為；當時，不等式的解為全體實數；當時，不等式無解．
【鞏固練習】
1．解下列不等式：
(1)
(2)
(3)
(4)
2．解下列不等式：
(1)
(2)
(3)
(4)
3．解下列不等式：
(1)
(2)
4．解關于的不等式．
5．已知關于的不等式的解是一切實數，求的取值范圍．
6．若不等式的解是，求的值．
7．取何值時，代數式的值不小于0？
●
各專題參考答案
●
專題一數與式的運算參考答案
例1
（1）解法1：由，得；
①若，不等式可變為，即；
②若，不等式可變為，即，解得：．綜上所述，原不等式的解為．
解法2：
表示x軸上坐標為x的點到坐標為2的點之間的距離，所以不等式的幾何意義即為x軸上坐標為x的點到坐標為2的點之間的距離小于1，觀察數軸可知坐標為x的點在坐標為3的點的左側，在坐標為1的點的右側．所以原不等式的解為．
解法3：，所以原不等式的解為．
（2）解法一：由，得；由，得；
①若，不等式可變為，即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可變為，即1＞4，∴不存在滿足條件的x；
③若，不等式可變為，即＞4，
解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．
綜上所述，原不等式的解為x＜0，或x＞4．
解法二：如圖，表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x軸上點P到坐標為2的點B之間的距離|PB|，即|PB|＝|x－3|．
所以，不等式＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，
可知點P
在點C(坐標為0)的左側、或點P在點D(坐標為4)的右側．
所以原不等式的解為x＜0，或x＞4．
例2（1）解：原式=
說明：多項式乘法的結果一般是按某個字母的降冪或升冪排列．
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
例3解：
原式=
例4解：
原式=
①
②，把②代入①得原式=
例5解：（1）原式=
（2）原式=
說明：注意性質的使用：當化去絕對值符號但字母的范圍未知時，要對字母的取值分類討論．
（3）原式=
（4）
原式=
例6解：
原式=
說明：有關代數式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當直接代入運算較復雜時，可根據結論的結構特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量．
【鞏固練習】
1．
2．
3．或
4．
5．
6．
專題二因式分解答案
例1分析：(1)
中應先提取公因式再進一步分解；(2)
中提取公因式后，括號內出現，可看著是或．
解：(1)
．
(2)
例2（1）分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式．
解：
（2）分析：先將系數2提出后，得到，其中前三項作為一組，它是一個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續分解因式．
解：
例5
解：
【鞏固練習】
1．
．
2．；
3．
其他情況如下：；
.
4．
專題三一元二次方程根與系數的關系習題答案
例1解：∵，∴(1)
；
(2)
；
(3)
；(4)．
例2解：可以把所給方程看作為關于的方程，整理得：
由于是實數，所以上述方程有實數根，因此：，
代入原方程得：．綜上知：
例3解：由題意，根據根與系數的關系得：
(1)
(2)
(3)
(4)
說明：利用根與系數的關系求值，要熟練掌握以下等式變形：，，，等等．韋達定理體現了整體思想．
【鞏固練習】
1．
A；
2．A；
3．；
4．；
5．
(1)當時，方程為，有實根；(2)
當時，也有實根．6．(1)
；
(2)
．
專題四
平面直角坐標系、一次函數、反比例函數參考答案
例1
解：(1)因為、關于x軸對稱，它們橫坐標相同，縱坐標互為相反數，所以，，則、．
(2)因為、關于y軸對稱，它們橫坐標互為相反數，縱坐標相同，所以，，，則、．
(3)因為、關于原點對稱，它們的橫縱坐標都互為相反數，所以，，則、．
例2分析：因為直線過第一、三象限，所以可知k>0，又因為b＝2，所以直線與y軸交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面積為2，由此可推算出OA＝2，而直線過第二象限，所以A點坐標為（－2，0），由A、B兩點坐標可求出此一次函數的表達式。
解：∵B是直線y＝kx＋2與y軸交點，∴B（0，2），∴OB＝2，
，過第二象限，
【鞏固練習】
1．
B
2．
D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．
3．（1）．（2）點的坐標是或．
專題五二次函數參考答案
例1
解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函數圖象的開口向下；對稱軸是直線x＝－1；頂點坐標為(－1，4)；
當x＝－1時，函數y取最大值y＝4；
當x＜－1時，y隨著x的增大而增大；當x＞－1時，y隨著x的增大而減小；
采用描點法畫圖，選頂點A(－1，4))，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖2－5所示）．
說明：從這個例題可以看出，根據配方后得到的性質畫函數的圖象，可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確．
例2
分析：由于每天的利潤＝日銷售量y×(銷售價x－120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數關系，然后，再由它們之間的函數關系求出每天利潤的最大值．
解：由于y是x的一次函數，于是，設y＝kx＋（B），將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
解得
k＝－1，b＝200．∴
y＝－x＋200．
設每天的利潤為z（元），則z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，
∴當x＝160時，z取最大值1600．
答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元．
例3
分析：本例中函數自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論．
解：（1）當a＝－2時，函數y＝x2的圖象僅僅對應著一個點(－2，4)，所以，函數的最大值和最小值都是4，此時x＝－2；
（2）當－2＜a＜0時，由圖2．2－6①可知，當x＝－2時，函數取最大值y＝4；當x＝a時，函數取最小值y＝a2；
（3）當0≤a＜2時，由圖2．2－6②可知，當x＝－2時，函數取最大值y＝4；當x＝0時，函數取最小值y＝0；
（4）當a≥2時，由圖2．2－6③可知，當x＝a時，函數取最大值y＝a2；當x＝0時，函數取最小值y＝0．
說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論．此外，本例中所研究的二次函數的自變量的取值不是取任意的實數，而是取部分實數來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數圖象來直觀地解決問題．
例4（1）分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點位置，從而可以將二次函數設成頂點式，再由函數圖象過定點來求解出系數a．
解：∵二次函數的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，∴頂點的縱坐標為2．又頂點在直線y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴頂點坐標是（1，2）．設該二次函數的解析式為，∵二次函數的圖像經過點（3，－1），∴，解得a＝－2．
∴二次函數的解析式為，即y＝－2x2＋8x－7．
說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設出二次函數的頂點式，最終解決了問題．因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題．
（2）
分析一：由于題目所給的條件中，二次函數的圖象所過的兩點實際上就是二次函數的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數的表達式設成交點式．
解法一：∵二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴可設二次函數為y＝a(x＋3)
(x－1)
(a≠0)，展開，得
y＝ax2＋2ax－3a，
頂點的縱坐標為
，由于二次函數圖象的頂點到x軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函數的表達式為y＝，或y＝－．
分析二：由于二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x＝－1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或－2，于是，又可以將二次函數的表達式設成頂點式來解，然后再利用圖象過點(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數的表達式．
解法二：∵二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴對稱軸為直線x＝－1．又頂點到x軸的距離為2，∴頂點的縱坐標為2，或－2．于是可設二次函數為y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函數圖象過點(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－，或a＝．所以，所求的二次函數為y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．
說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當的方法來解決問題．
（3）解：設該二次函數為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函數圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
解得
a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函數為y＝－2x2＋12x－8．
【鞏固練習】
1．（1）D
（2）C
（3）D
2．（1）y＝x2＋x－2
（2）y＝－x2＋2x＋3
3．（1）．（2）．
（3）．（4）
4．當長為6m，寬為3m時，矩形的面積最大．
5．（1）函數f（x）的解析式為
（2）函數y的圖像如圖所示
（3）由函數圖像可知，函數y的取值范圍是0＜y≤2．
專題六二次函數的最值問題參考答案
例1分析：由于函數和的自變量x的取值范圍是全體實數，所以只要確定它們的圖象有最高點或最低點，就可以確定函數有最大值或最小值．
解：（1）因為二次函數中的二次項系數2＞0，所以拋物線有最低點，即函數有最小值．因為=，所以當時，函數有最小值是．
（2）因為二次函數中的二次項系數-1＜0，所以拋物線有最高點，即函數有最大值．因為=，所以當時，函數有最大值．
例2解：作出函數的圖象．當時，，當時，．
說明：二次函數在自變量的給定范圍內，對應的圖象是拋物線上的一段．那么最高點的縱坐標即為函數的最大值，最低點的縱坐標即為函數的最小值．
根據二次函數對稱軸的位置，函數在所給自變量的范圍的圖象形狀各異．下面給出一些常見情況：
例3解：作出函數在內的圖象．
可以看出：當時，，無最大值．所以，當時，函數的取值范圍是．
例5解：(1)
由已知得每件商品的銷售利潤為元，那么件的銷售利潤為，又．
(2)
由(1)知對稱軸為，位于的范圍內，另拋物線開口向下
當時，
當每件商品的售價定為42元時每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為432元．
【鞏固練習】
1．4
14或2，
2．
3．．
4．或．
5．當時，，此時；當時，，此時．
專題七不等式答案
例2解：(1)
不等式可化為∴
不等式的解是
(2)
不等式可化為
∴
不等式的解是；(3)
不等式可化為．
例3解：顯然不合題意，于是：
例4分析：(1)
類似于一元二次不等式的解法，運用“符號法則”將之化為兩個一元一次不等式組處理；或者因為兩個數(式)相除異號，那么這兩個數(式)相乘也異號，可將分式不等式直接轉化為整式不等式求解．
(2)
注意到經過配方法，分母實際上是一個正數．
解：(1)
解法(一)原不等式可化為：
解法(二)
原不等式可化為：．
(2)
解：原不等式可化為：
說明：(1)
轉化為整式不等式時，一定要先將右端變為0．
(2)
本例也可以直接去分母，但應注意討論分母的符號：
【鞏固練習】
1．；
2．；
3．(1)
無解
(2)
全體實數
4．(1)當時，；(2)當時，；(3)
當時，取全體實數．
5．；
6．
7．．
37-42

展開更多......

收起↑