資源簡介

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軸對稱圖形
軸對稱：
把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱；
注意：其中這條直線叫對稱軸；
兩個圖形的對應(yīng)點叫對稱點；
軸對稱圖形：
如果把一個圖形沿一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形；
注意：軸對稱圖形也有對稱軸和對稱點；
軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別于聯(lián)系：
區(qū)別：1、軸對稱是指兩個圖形折疊重合。軸對稱圖形是指本身折疊重合，
軸對稱對稱點在兩個圖形上；軸對稱圖形對稱點在一個圖形上；
3、軸對稱只有一條對稱軸；軸對稱圖形至少有一條對稱軸；
聯(lián)系：若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，那么這個整體是一個軸對稱圖形；
若把一個軸對稱圖形位于對稱軸的兩部分看作兩個圖形，那么這兩個圖形
就成軸對稱。
圖文解釋：
△ABC和△DEF關(guān)于直線MN對稱， △ABC關(guān)于直線MN對稱
MN是對稱軸，我們稱這兩個三角形關(guān)于 MN為對稱軸，我們稱
直線MN成軸對稱，點C點F為對稱點， △ABC為軸對稱圖形。
點B點E為對稱點，點A點D為對稱點。
軸對稱的性質(zhì)：
成軸對稱的兩個圖形全等；
成軸對稱的兩個圖形，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分；
垂直平分線：
作點關(guān)于直線的對稱點，連接這兩點的線段。我們定義：垂直并且平分一條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線。又稱“中垂線”
注意：判斷一條直線是否是線段的垂直平分線，必須滿足兩個條件。
這條直線過線段的中點；
這條直線垂直于線段；
通過研究線段或者某個圖形關(guān)于直線的對稱：
軸對稱還有如下的性質(zhì)：
成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分。
注意：這個性質(zhì)其實告訴如何確定對稱軸：
即成軸對稱的兩個圖形，對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線。
畫一個圖形關(guān)于一條直線對稱的圖形步驟：
首先我們要明白一個事實：點構(gòu)成線，線構(gòu)成面。
關(guān)鍵是確定某些點關(guān)于這條直線的對稱點。
順次將對稱點連接起來。
（注意：成軸對稱的兩個圖形的任何對應(yīng)的部分也成軸對稱！！！）
圖文解析：
畫點關(guān)于直線的對稱點：
①畫AO⊥L，垂足為O；
②在AO的延長線上截取OA’使得OA’=OA；
則點A’就是點A關(guān)于直線L的對稱點。
畫線段關(guān)于直線的對稱點：
①先畫出點A點B分別關(guān)于直線L的對稱點A’、B’;
②連接點A’、B’；
則線段A’B’是線段AB關(guān)于直線L的對稱線段。
畫一個圖形關(guān)于直線的對稱點：
①先畫出點A、B、C分別關(guān)于直線L的對稱點A’、B’、C’;
②順次連接點A’、B’、C’；
則圖形是圖形ABC關(guān)于直線L的對稱圖形。
如果要確定成軸對稱兩個圖形的對稱軸，只要做一對對稱點連線的垂直平分線。
線段、角的軸對稱性
線段的對稱軸：線段的垂直平分線就是它的對稱軸。
角的對稱軸：角平分線所在的直線是它的對稱軸。
注意：1、角和線段都是軸對稱圖形
2、角只有一條對稱軸。
3、線段有兩條對稱軸，除了它的垂直平分線，還有它本身所在的直線。
線段垂直平分線的性質(zhì)定理：
線段垂直平分線上的點線段兩端的距離相等；
線段垂直平分線的判定定理：
到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上；
（由兩個定理可得：線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等點的集合！！！）
角平分線的性質(zhì)定理：
角平分線上的點到角的兩邊距離相等；
角平分線的判定定理：
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上；
用尺規(guī)作線段AB的垂直平分線步驟：
分別以點A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點C、D.
過C、D兩點作直線。直線CD就是線段AB的垂直平分線。
AO=B0
AB⊥CD

用尺規(guī)作∠AOB的平分線步驟：
以O(shè)為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA，OB為點D，點E；
分別以點D，點E為圓心，大于DE長度為半徑畫弧，兩弧交于點C；
過O，C兩點作直線，直線OC就是∠AOB的角平分線。
若過點C分別作OA和OB的垂線，通過全等三角形的證明，可以得到角平分線上的點到角的兩邊距離相等。
等腰三角的軸對稱性
等腰三角形的對稱軸：頂角平分線所在直線是它的對稱軸。
根據(jù)等腰三角形是軸對稱圖形我們可以得到如下定理：
等腰三角形的底角相等（簡稱“等邊對等角”）
等腰三角形底邊上的中線、高線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）
利用三角形的全等可證明上述定理：
圖文：已知等腰△ABC
作頂角的平分線 作底邊的垂線 作底邊的中線

∵AB-AC ∠1=∠2 AD=AD ∵AB-AC AD⊥BC AD=AD ∵AB-AC BD=DC AD=AD
∴△ABC≌△ACD（SAS） ∴△ABC≌△ACD（HL） ∴△ABC≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C BD=DC AD⊥BC ∴∠B=∠C BD=DC ∠1=∠2 ∴∠1=∠2 ∠B=∠C AD⊥BC
用尺規(guī)作等腰三角形ABC步驟：
使得底邊BC=a,高AD=h
作線段BC=a；
作線段BC的垂直平分線MN，MN交BC于點D；
在MN上截取線段DA，使得DA＝h；
連接AB，AC;則△ABC為所求作的等腰三角形。
等腰三角形的判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱“等角對等邊”）
等邊三角形的判定：1、三邊相等或三個角都相等的三角形是等邊三角形。
2、有一個角是60°的三角形是等邊三角形。
等邊三角形的性質(zhì)：1、等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì)；
2、有三條對稱軸；
3、每個內(nèi)角都是60°
直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
注意：1、若三角形的一邊中線等于該邊長的一半，那么三角形為直角三角形。
2、若有一個角為30°的直角三角形，那么30°所對的邊是斜邊的一半。
圖文說明：
在AB上取一點D, CD為△ABC的中線 在AB上取一點使得
使得∠BCD=∠B 且CD=AB AD=CD
即BD=CD ∵AD=BD=CD ∵∠A=30° AD=CD
∵∠BCA=90° ∴∠B=∠DCB ∴∠BDC=60°
∴∠BCD+∠DCA=90° ∠A=∠DCA ∵∠ACB=90°
∠B+∠A=90° ∵∠A+∠B+∠DCA+∠DCB=180° ∴∠B=60°
∴∠A=∠DCA ∴∠DCA+∠DCB=90° ∴△BCD為等邊三角形
∴AD=CD ∴∠ACB=90° ∴BC=CD=BD=AD
即AD=CD=BD ∴BC=AB
(直角三角形斜邊的 （三角形的一邊中線等于該邊 (在直角三角形中，30°
中線等于斜邊的一半) 的一半，那么三角形 所對的邊是斜邊的一半)
為直角三角形。）
拓展知識點：
如圖，△ABC中，AB，AC的垂直平分線，L1，L2相交于點O，
求證：求證點O在BC的垂直平分線上。
證明：連接OA、OB、OC
∵點O是AB、AC邊的垂直平分線的交點
∴OA=OB OA=OC
(垂直平分線的點到線段的兩端距離相等)
∴OB=OC
∴點O在BC的垂直平分線上
(到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上)
（注意：此題引出三角形的外心定義：三角形三條邊垂直平分線的交點為三角形的外心。三角形外心到三角形三個頂點距離相等！！！）
如圖，△ABC的角平分線AD，BE相交于點P，
求證：點P在∠C的平分線上。
證明：過點P分別作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC
垂足分別為點F、M、N
∵點P是∠ABC、∠BAC平分線的交點
∴PF=PM PF=PN
(角平分線上的點到角的兩邊距離相等)
∴PM=PN
∴點P在∠ACB的平分線上。
(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上)
（注意：此題引出三角形的內(nèi)心定義：三角形三個內(nèi)角平分線的交點為三角形的內(nèi)心。三角形內(nèi)心到三角形三條邊距離相等！！！）
如圖，△ABC的兩個內(nèi)角∠BAC、∠BCA的外角平分線相交于點P，
求證：點P在∠B的平分線上。
證明：過點P分別作PM⊥AB，PN⊥BC，PF⊥AC
垂足分別為點M、N、F
∵點P是∠BAC、∠BCA的外角平分線的交點
∴PM=PF、PN=PF、
(角平分線上的點到角的兩邊距離相等)
∴PM=PN
∴點P在∠B的平分線上。
(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上)
（注意：此題引出三角形的旁心定義：三角形一個內(nèi)角平分線和其它兩個內(nèi)角的外角平分線的交點為三角形的旁心。三角形的旁心到三角形三條邊距離相等！！！）
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