資源簡介

新課標人教版六年級數學上冊各單元知識點歸納
第一單元分數乘法
一、分數乘法
(一)分數乘法的意義：
1、分數乘整數與整數乘法的意義相同。都是求幾個相同加數的和的簡便運算。
例如：65×5表示求5個65的和是多少?
1/3×5表示求5個1/3的和是多少?
2、一個數乘分數的意義是求一個數的幾分之幾是多少。　
例如：1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。
4×3/8表示求4的3/8是多少.
(二)、分數乘法的計算法則：
1、分數與整數相乘：分子與整數相乘的積做分子，分母不變。(整數和分母約分)
2、分數與分數相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。注意：當帶分數進行乘法計算時，要先把帶分數化成假分數再進行計算。
3、為了計算簡便，能約分的要先約分，再計算。（盡量約分，不會約分的就不約，常考的質因數有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×19=361）
4、小數乘分數，可以先把小數化為分數，也可以把分數化成小數再計算（建議把小數化分數再計算）。
　(三)、
乘法中比較大小的規律
　一個數(0除外)乘大于1的數，積大于這個數。
　一個數(0除外)乘小于1的數(0除外)，積小于這個數。
　一個數(0除外)乘1，積等于這個數。
　　(四)、分數混合運算的運算順序和整數的運算順序相同。整數乘法的交換律、結合律和分配律，對于分數乘法也同樣適用。
　　乘法交換律：
a
×
b
=
b
×
a
　　乘法結合律：
(
a
×
b
)×c
=
a
×
(
b
×
c
)
　　乘法分配律：
(
a
+
b
)×c
=
a
c
+
b
c
　二、分數乘法的解決問題(已知單位“1”的量(用乘法)，即求單位“1”的幾分之幾是多少)
1、畫線段圖：(1)兩個量的關系：畫兩條線段圖，先畫單位一的量，注意兩條線段的左邊要對齊。(2)部分和整體的關系：畫一條線段圖。
2、找單位“1”：
單位“1”
在分率句中分率的前面；
或在“占”、“是”、“比”“相當于”的后面。
3、寫數量關系式的技巧：
(1)“的”
相當于
“×”
，“占”、“相當于”“是”、“比”是
“
=
”
(2)分率前是“的”字：用單位“1”的量×分率=具體量
例如：甲數是20，甲數的1/3是多少？列式是：20×1/3
4、看分率前有沒有多或少的問題；分率前是“多或少”的關系式：
（比少）：單位“1”的量×(1-分率)=具體量；
例如：甲數是50，乙數比甲數少1/2，乙數是多少？
列式是：50×（1-1/2）
（比多）：單位“1”的量×(1+分率)=具體量　
例如：小紅有30元錢，小明比小紅多3/5，小紅有多少錢？
列式是：50×（1+3/5）
3、求一個數的幾倍是多少：用
一個數×幾倍；
4、求一個數的幾分之幾是多少：
用一個數×幾分之幾。
5、求幾個幾分之幾是多少：用幾分之幾×個數
6、求已知一個部分量是總量的幾分之幾，求另一個部分量的方法：
(1)、單位“1”的量×(1-分率)=另一個部分量（建議用）
(2)、單位“1”的量-已知占單位“1”的幾分之幾的部分量=要求的部分量
例如：教材15頁做一做和16頁練習第七題（題目中有時候會有這種題的關鍵字“其中”）
第二單元位置與方向（二）
1、確定物體位置的方法：1、先找觀測點；2、再定方向（看方向夾角的度數）；3、最后確定距離（看比例尺）
2、描繪路線圖的關鍵是選好觀測點，建立方向標，確定方向和路程。
3、位置關系的相對性：1、兩地的位置具有相對性在敘述兩地的位置關系時，觀測點不同，敘述的方向正好相反，而度數和距離正好相等。
4、相對位置：東--西；南--北；南偏東--北偏西。
第三單元分數除法
　三、倒數
1、倒數的意義：
乘積是1的兩個數互為倒數。
強調：互為倒數，即倒數是兩個數的關系，它們互相依存，倒數不能單獨存在。　(要說清誰是誰的倒數)。
2、求倒數的方法：
(1)、求分數的倒數：交換分子分母的位置。
(2)、求整數的倒數：把整數看做分母是1的分數，再交換分子分母的位置。
(3)、求帶分數的倒數：把帶分數化為假分數，再求倒數。
(4)、求小數的倒數：
把小數化為分數，再求倒數。
　3、
1的倒數是1；
因為1×1=1；0沒有倒數，因為0乘任何數都得0，(分母不能為0)
　4、真分數的倒數大于1;假分數的倒數小于或等于1;帶分數的倒數小于1。
5、運用，a×2/3=b×1/4求a和b是多少。把a×2/3=b×1/4看成等于1,也就是求2/3的倒數和求1/4的倒數。
1、分數除法的意義：
乘法：
因數
×
因數
=
積
除法：
積
÷
一個因數
=
另一個因數
分數除法與整數除法的意義相同，表示已知兩個因數的積和其中一個因數，求另一個因數的運算。
例如：1/2÷3/5意義是：已知兩個因數的積是1/2與其中一個因數3/5，求另一個因數的運算。
2、分數除法的計算法則：
除以一個不為0的數，等于乘這個數的倒數。
3、分數除法比較大小時的規律：
(1)當除數大于1，商小于被除數;
(2)當除數小于1(不等于0)，商大于被除數;
(3)當除數等于1，商等于被除數。
　“[
]”叫做中括號。一個算式里，如果既有小括號，又有中括號，要先算小括號里面的，
再算中括號里面的。
　二、分數除法解決問題
1，解法：(1)方程：
根據數量關系式設未知量為X，用方程解答。
解：設未知量為X
（一定要解設）,再列方程
用
X×分率=具體量
例如：公雞有20只，是母雞只數的1/3，母雞有多少只。（單位一是母雞只數，單位一未知.）解：設母雞有X只。列方程為：X×1/3=20
(2)算術(用除法)：單位“1”的量未知用除法：
即已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。
分率對應量÷對應分率
=
單位“1”的量
例如：公雞有20只，是母雞只數的1/3，母雞有多少只。（單位一是母雞只數，單位一未知，）用除法，列式是：20÷1/3
2、看分率前有沒有比多或比少的問題；
分率前是“多或少”的關系式：
（比少）：具體量÷
(1-分率)=
單位“1”的量；
例如:桃樹有50棵，比蘋果樹少1/6，蘋果樹有多少棵。
列式是：50÷（1-1/6）
（比多）：具體量　÷
(1+分率)=
單位“1”的量
例如:一種商品現在是80元，比原價增加了1/7，原價多少？
列式是：80÷（1+1/7）
　3、求一個數是另一個數的幾分之幾是多少：
用一個數除以另一個數，結果寫為分數形式。
例如:男生有20人，女生有15人，女生人數占男生人數的幾分之幾。
列式是：15÷20=15/20=3/4　
4、求一個數比另一個數多幾分之幾的方法：
用兩個數的相差量÷單位“1”的量
=分數
即①求一個數比另一個數多幾分之幾：用（大數–小數）
÷另一個數（比那個數就除以那個數），結果寫為分數形式。
例如：5比3多幾分之幾？（5－3）÷3=2/3
②求一個數比另一個數少幾分之幾：用（大數–小數）
÷另一個數（比那個數就除以那個數），結果寫為分數形式。
例如：3比5少幾分之幾？（5－3）÷5=2/5
說明：多幾分之幾不等于少幾分之幾，因為單位一不同。
5、工程問題：把工作總量看作單位“1”，合做多長時間完成一項工程用1÷效率和，即1÷（1/時間+1/時間），（工作效率=1/時間）
例如：一項工程甲單獨做要5天完成，乙單獨做要10天完成，甲單獨做要3天完成，三人合做幾天可以完成？列式：1÷（1/5+1/10+1/3）
第四單元比
(一)、比的意義
1、比的意義：兩個數相除又叫做兩個數的比。
2、在兩個數的比中，比號前面的數叫做比的前項，比號后面的數叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。
例如
15
：10
=
15÷10=3/2(比值通常用分數表示，也可以用小數或整數表示)
15　
∶
　
10　
＝　
3/2
前項
比號
后項
　　
比值
3、比可以表示兩個相同量的關系，即倍數關系。例：長是寬的幾倍。
也可以表示兩個不同量的比，得到一個新量。例：
路程÷速度=時間。
4、區分比和比值
比：表示兩個數的關系，可以寫成比的形式，也可以用分數表示。
比值：相當于商，是一個數，可以是整數，分數，也可以是小數。
5、根據分數與除法的關系，兩個數的比也可以寫成分數形式。
6、　比和除法、分數的聯系：
比
前??項
比號“：”
后?項
比值
除?法
被除數
除號“÷”
除?數
商
分?數
分??子
分數線“—”
分?母
分數值
7、比和除法、分數的區別：除法是一種運算，分數是一個數，比表示兩個數的關系。
8、根據比與除法、分數的關系，可以理解比的后項不能為0。
9、體育比賽中出現兩隊的分是2：0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個數相除的關系。
10、求比值：用前項除以后項，結果最好是寫為分數（不會約分的就不約分）
例如：15∶
10　＝15÷10＝15／10＝3/2
　(二)、比的基本性質
1、根據比、除法、分數的關系：
商不變的性質：被除數和除數同時乘或除以相同的數(0除外)，商不變。
分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數時(0除外)，分數值不變。
比的基本性質：比的前項和后項同時乘或除以相同的數(0除外)，比值不變。
2、最簡整數比：比的前項和后項都是整數，并且是互質數，這樣的比就是最簡整數比。
3、根據比的基本性質，可以把比化成最簡單的整數比。
4.化簡比：
(2)用求比值的方法。注意：
最后結果要寫成比的形式。
例如：
15∶10
=
15÷10
=15／10＝
3/2
=
3∶2
還可以15∶10
=
15÷10
=
3/2　　　最簡整數比是3∶2
5、比中有單位的，化簡和求比值時要把單位化相同再化簡和求比值，結果沒有單位。
6.按比例分配：把一個數量按照一定的比來進行分配。這種方法通常叫做按比例分配。一般有兩種解題法
１，用分率解:按比例分配通常把總量看作單位一，即轉化成分率。要先求出總份數，再求出幾份占總份數的幾分之幾，最后再用總量分別乘幾分之幾。
例如：有糖水25克，糖和水的比為1:4，糖和水分別有幾克？
1+4=5
糖占1/5
用
25×1/5得到糖的數量，水占4/5
用
25×4/5得到水的數量。
2，用份數解：要先求出總份數，再求出每一份是多少，最后分別求出幾份是多少。
例如：有糖水25克，糖和水的比為1:4，糖和水分別有幾克？
糖和水的份數一共有1+4=5
一份就是25÷5=5糖有1份就是5×1水有4分就是5×4
第五單元圓的認識
一、認識圓形
1、圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。
2、圓心：將一張圓形紙片對折兩次，折痕相交于圓中心的一點，這一點叫做圓心。一般用字母O表示。它到圓上任意一點的距離都相等.
3、半徑：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用字母r表示。把圓規兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。
4、直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用字母d表示。直徑是一個圓內最長的線段。
5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
6、在同一個圓內或等圓內，有無數條半徑，有無數條直徑。所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。
7.在同圓或等圓內，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的1/2。用字母表示為：d=2r或r=d/2
8、軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。
9、長方形、正方形和圓都是對稱圖形，都有對稱軸。這些圖形都是軸對稱圖形。
10、只有1條對稱軸的圖形有：
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。只有2條對稱軸的圖形是：
長方形；只有3條對稱軸的圖形是：
等邊三角形；只有4條對稱軸的圖形是：
正方形;有無數條對稱軸的圖形是：
圓、圓環。
１１、畫對稱軸要用鉛筆畫，同時要用尺子（三角板）畫出虛線，這條虛線兩端要超出圖形一點。
　二、圓的周長
1、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。用字母C表示。
2、圓周率實驗：（滾動法）在圓形紙片上做個記號，與直尺0刻度對齊，在直尺上滾動一周，得到圓的周長。或者用線圍繞圓形紙片一周量出線的長度就是圓的周長（測繩法）。
發現，圓周長與它直徑的比值（圓周長除以直徑）是一個固定數即３倍多一點，我們把它叫做圓周率用字母π表示。
3、圓周率：任意一個圓的周長與它的直徑的比值是一個固定的數，我們把它叫做圓周率。用字母π(pai)
表示。世界上第一個把圓周率算出來的人是我國的數學家祖沖之。
(1)、一個圓的周長總是它直徑的3倍多一些，這個比值是一個固定的數。圓周率π是一個無限不循環小數。在計算時，一般取π
≈
3.14。
(2)、在判斷時，圓周長與它直徑的比值是π倍，而不是3.14倍。　
4、圓的周長公式：
圓的周長等于圓周率乘直徑用字母表示C=
πd
(1)、已知圓的周長求直徑用圓的周長除以圓周率，用字母表示
d
=
C
÷π或圓的周長等于２乘圓周率乘半徑，用字母表示C=2πr
(2)、已知圓的周長求半徑用圓的周長除以圓周率的２倍，
用字母表示
r
=
C
÷
2π（r
=
C
/
2π）
5、在一個正方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長。在一個長方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。
6、區分周長的一半和半圓的周長：
(1)、周長的一半：等于圓的周長÷2
計算方法：2π
r
÷
2
即C半=
π
r
(2)半圓的周長：等于圓的周長的一半加直徑。
計算方法：半圓的周長=5.14
r
（推導過程C半=2π
r
÷
2+d=πr+d=πr+2r
=5.14
r）
　三、圓的面積
1、圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。
用字母S表示。
2、圓面積公式的推導：(1)把一個圓等分(偶數份)成的扇形份數越多，拼成的圖像越接近長方形。　長方形的長相當于圓的周長的一半，長方形的寬相當于圓的半徑。
(2)拼出的圖形與圓的周長和半徑的關系。
　　圓的半徑
　　
=
　　長方形的寬
　　圓的周長的一半　
=
　　長方形的長
3、圓面積的計算方法：因為：長方形面積
=
長?×寬
　所以：圓的面積
=
圓周長的一半
×
圓的半徑
　即S圓
=
Ｃ÷2×
r＝πr
×
r＝πr
　圓的面積公式：S圓
=πr
→
　　
r
=
S
圓÷
π
4、環形的面積：一個環形，外圓的半徑用字母R表示，內圓的半徑用字母r表示。(R=r+環的寬度.)
S環
=
πR-πr或環形的面積公式：S環
=
π(R-r)（建議用這個公式）。
5、一個圓，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數。而面積擴大或縮小的倍數是這倍數的平方倍。
例如：在同一個圓里，半徑擴大3倍，那么直徑和周長就都擴大3倍，而面積擴大3的平方倍得到9倍。
6、兩個圓：
半徑比
=
直徑比
=
周長比；而面積比等于這比的平方。
例如：兩個圓的半徑比是2∶3，那么這兩個圓的直徑比和周長比都是2∶3，而面積比是4∶9
7、任意一個正方形與它內切圓的面積之比都是一個固定值，即：4∶π
8、當長方形，正方形，圓的周長相等時，圓面積最大，正方形居中，長方形面積最小。反之，面積相同時，長方形的周長最長，正方形居中，圓的周長最短。
9、常用各π值結果：π
=
3.14；2π
=
6.28
；5π=15.7　
10、外方內圓（內切圓）公式S=0.86r推導過程：S=S正-S圓=d-πr　=2r×2r-πr=4r-πr=r×(4-π)=0.86r新
(?http:?/??/?www.xkb1.com?/??)
11、外圓內方（外切圓）公式S=1.14r推導過程：S=S圓-S正=πr-dr/2×2=2r×r/2×r=πr-2r=r×(π-2)=1.14r（把正方形看成兩個面積相等的三角形，三角形的底就是直徑，高是半徑）
12、一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點在圓心的角叫做圓心角。扇形的面積與圓心角大小和半徑長短有關。
13、S扇=S圓×n/360；S扇環=S環×n/360
14、扇形也是軸對稱圖形，有一條對稱軸。
15、常見半徑與直徑的周長和面積的結果。
半徑
半徑的平方
直徑
周長
面積
1
1
2
6.28
3.14
2
4
4
12.56
12.56
3
9
6
18.84
28.26
4
16
8
25.12
50.24
5
25
10
31.4
78.5
6
36
12
37.68
113.04
7
49
14
43.96
153.86
8
64
16
50.24
200.96
9
81
18
56.52
254.34
10
100
20
62.8
314
1.5
2.25
3
9.42
7.065
2.5
6.25
5
15.7
19.625
3.5
12.25
7
21.98
38.465
4.5
20.35
9
28.26
63.585
5.5
30.25
11
34.54
94.985
7.5
56.25
15
47.1
176.625
第六單元百分數
一、百分數的意義和寫法
（一）、百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾。百分數是指的兩個數的比，因此也叫百分率或百分比。
（二）、百分數和分數的主要聯系與區別：
聯系：都可以表示兩個量的倍比關系。
區別：①、意義不同：百分數只表示兩個數的倍比關系，不能表示具體的數量，所以不能帶單位;
分數既可以表示具體的數，又可以表示兩個數的關系，表示具體數時可以帶單位。
②、百分數的分子可以是整數，也可以是小數;
分數的分子不能是小數，只能是除0以外的自然數。
3、百分數的寫法：通常不寫成分數形式，而在原來分子后面加上“%”來表示，讀作百分之。
二、百分數和分數、小數的互化
(一)百分數與小數的互化：
1、小數化成百分數：把小數點向右移動兩位（數位不夠用0補足），同時在后面添上百分號。
2.
百分數化成小數：把小數點向左移動兩位（數位不夠用0補足），同時去掉百分號。
(二)百分數的和分數的互化
1、百分數化成分數：先把百分數改寫成分母是100的分數，能約分要約成最簡分數。
2、分數化成百分數：
①
用分數的基本性質，把分數分母擴大或縮小成分母是100的分數，再寫成百分數形式。②先把分數化成小數(除不盡時，通常保留三位小數)，再把小數化成百分數。（建議用這種方法）
(三)常見分數小數百分數之間的互化；
三、用百分數解決問題
(一)一般應用題
1、常見的百分率的計算方法：
一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達到100%，出米率、出油率達不到100%，完成率、增長了百分之幾等可以超過100%。　
2、求一個數是另一個數的百分之幾用一個數除以另一個數，結果寫為百分數形式。
例如：例如:男生有20人，女生有15人，女生人數占男生人數的百分之幾。
列式是：15÷20=15/20=75﹪
3、已知單位“1”的量(用乘法)，求單位“1”的百分之幾是多少的問題，數量關系式和分數乘法解決問題中的關系式相同：
(1)百分率前是“的”：
單位“1”的量×百分率=百分率對應量
(2百分率前是“多或少”的數量關系：
單位“1”的量×(1±百分率)=百分率對應量
4、未知單位“1”的量(用除法)，已知單位“1”的百分之幾是多少，求單位“1”。
方法與分數的方法相同。
解法：　(1)方程：
根據數量關系式設未知量為X，用方程解答。
(2)算術(用除法)：
百分率對應量÷對應百分率
=
單位“1”的量
5、求一個數比另一個數多(少)百分之幾的方法與分數的方法相同。只是結果要寫為百分數形式。看百分率前有沒有比多或比少的問題；
百分率前是“多或少”的關系式：
（比少）：具體量÷
(1-百分率)=
單位“1”的量；
例如:大米有50千克，比面粉樹少50﹪，面粉有多少千克。
列式是：50÷（1-50﹪）
（比多）：具體量　÷
(1+百分率)=
單位“1”的量
例如:工人做110個零件，比原計劃多做了10﹪，原計劃做多少個？
列式是：110÷（1+10﹪）
6、求一個數比另一個數多百分之幾的方法：方法與分數的方法相同。
用兩個數的相差量÷單位“1”的量
=百分之幾
即①求一個數比另一個數多百分之幾：用（大數–小數）
÷另一個數（比那個數就除以那個數），結果寫為百分數形式。
甲比乙多幾分之幾的問題，方法A，（甲-乙）÷乙
（建議用）
方法B，甲÷乙-100﹪
例如：老師計劃改40本作業，實際改了50本，實際比計劃多改了百分之幾？
列式是：（50－40）÷40=0.25=25﹪
②求一個數比另一個數少幾分之幾：用（大數–小數）
÷另一個數（比那個數就除以那個數），結果寫為百分數形式。
乙比甲少幾分之幾的問題，方法A,（甲-乙）÷甲（建議用）
方法B，
100﹪-乙÷甲
例如：張三家用了100度電，李四家用了90度電，李四家比張三家少用百分之幾？
（100－90）÷100=0.1=10﹪
說明：多百分之幾不等于少百分之幾，因為單位一不同。
7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之幾，用a﹪÷（1±a﹪）
8、求價格先降a﹪又上升a﹪后的價格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假設原來的價格為“1”。求變化幅度（求降價后的價格是漲價后價格的百分之幾）用1-降價后又上升的百分率。
第七單元：扇形統計圖
一、扇形統計圖的意義：用整個圓的面積表示總數，用圓內各個扇形面積表示各部分數量同總數之間的關系。也就是各部分數量占總數的百分比(因此也叫百分比圖)。
二、常用統計圖的優點：
1、條形統計圖：可以清楚的看出各種數量的多少。
2、折線統計圖：不僅可以看出各種數量的多少，還可以清晰看出數量的增減變化情況。
3、扇形統計圖：能夠清楚的反映出各部分數量同總數之間的關系。（要在統計圖上寫出百分率）
三、扇形的面積大小：在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關，圓心角越大，扇形越大。(因此扇形面積占圓面積的百分比，同時也是該扇形圓心角度數占圓周角度數的百分比。)
四、應用：1.會觀察統計圖。
2、你得到什么數學信息？
回答①、
占總體的百分之幾；
②、
占的百分比最多，
占的百分比最少；
3、你還能提什么數學問題：
和
一共占百分之幾。
數學廣角：數與形
1、每幅圖的圓點總數都可以看作是兩個相同的數相乘的積，這些算式還可以用平方數的形式來表示。
1+3=22??1+3+5=32???1+3+5+7=42　　得出：從1起連續奇數的和等于奇數個數的平方。
2、從2起連續偶數的和等于偶數個數的平方加偶數個數（即（n2+n），或等于偶數個數乘比偶數個數大1的數即n×（n+1）。
3、

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