資源簡介

小升初數學銜接課講義（160頁）（銜接版）（含答案）
目錄
巧算 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1
行程和工程問題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9
和差倍雞兔同籠 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14

幾何專題 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·20
整數和整除 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 54
素數合數分解素因數 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·59
最大公因數與最小公倍數 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 64
分數的意義和性質 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 70
分數的運算 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 75
分數與小數的互化 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 81
分數混合運算及應用 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·85
比的意義和性質 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 96
比例 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · 100
百分比的意義 · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · 108
百分比的應用及等可能事件 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·114
答案 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 130
第一講 巧算
一、【考點解讀】
測量物體時往往會得不到整數，于是就用小數來補充整數。小數是十進制分數的一種特殊表現形式。分母是10 ，100，1000……的分數也可以用小數表示。
二、【知識講解】
加法運算定律
加法交換律
加法交換律的概念為：兩個加數交換位置，和不變。 同時從
字母公式：a+b+c=（b+a）+c
加法結合律
加法結合律的概念為：先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變。
字母公式：a+b+c=a+(b+c)
乘法運算定律
乘法交換律
乘法交換律的概念為：兩個因數交換位置，積不變。
字母公式：a×b=b×a
乘法結合律
乘法結合律的概念為：先乘前兩個數，或者先乘后兩個數，積不變。
字母公式：a×b×c=a×(b×c)
乘法分配律
乘法分配律的概念為：兩個數與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相加。
字母公式：(a+b)×c=a×c+b×c
減法性質
減法性質的概念為：一個數連續減去兩個數，可以先把后兩個數相加，再相減。
字母公式：A-B-C=A-(B+C)
差不變的規律
字母公式：A-B=(AN)-(BN)=(A-B)/N （N≠0 B≠0)
除法的性質
除法性質的概念為：一個數連續除以兩個數，可以先把后兩個數相乘，再相除。
字母公式：a÷b÷c=a÷(b×c)
商不變的規
概念：被除數和除數同時乘上或除以相同的數（0除外）它們的商不變。 分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘上或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。比也是一樣的：兩個相比較的數擴大或縮小相同的倍數，比值不變。
字母公式：a÷b=(an)÷(bn)=(a÷n)÷(b÷n) （n≠0 b≠0)
小數的基本性質
小數的基本性質：小數的末尾添上“0”或去掉“0”，數的大小不變。
等差數列前n項和定義：一個數列的前n項的和為這個數列的和。
表達方式：常用來表示 。
求和公式：和=(首項+末項)項數，

【典例探究】
【例題1】湊整法：把和為整十和整百的放在一起，先把這樣的和算出來，然后算其他算式的和。用的方法有帶符號搬家、先拆分再湊整。
（1）6.3+2.32+0.68+3.7
=（6.3+3.7）+（2.32+0.68
=10+3
=13
分析：運用加法結合律，6.3與3.7剛好湊成10,2.32與0.68剛好湊成3，這樣湊整可使運算簡便。
（2） 11.48-2.34-5.66
=11.48-（2.34+5.66）
=11.48-8
=3.48
分析：2.34與5.66的和是整數8，所以根據減法的運算性質把原式變為11.48-（2.34+5.66），運算就簡便了。
（3）1999+199.9+19.99+1.999
=2000-1+200-0.1+20-0.01+2-0.001
=2000+200+20+2-1-0.1-0.01-0.001
=2220+0.889
=2220.889
分析：這幾個數每個數只要增加一點，就成為某個整十、整百或整千數，把這幾個數“湊整”以后，就容易計算了。當然要記住，“湊整”時增加了多少要減回去。1999接近整千數2000，其余各加數分別接近一個整數，可把各加數看作與它接近容易計算的數，再把多加的那部分減去。
【例題2】基準法：幾個數比較接近于某一整數的數相加時，選這個整數位“基準數”。
計算：8.1+7.8+8.2+8.4+7.9+7.7
=86+0.1-0.2+0.2+0.4-0.1-0.3
=48+0.1+（0.2-0.2）+（0.4-0.1-0.3）
=48+0.1
=48.1
分析：式中6個加數都在8的附近，可用8作為基準數，先求出6個8的和，再加上比8大的數中少加的那部分，減去比8小的數中多加的那部分。
【例題3】拆拼法:把算式中的特殊數“拆開、拼湊”分別與另外的數運算。
（1）12×5.5 （2）4.44×1.25 （3）36.8×0.25
（4）238÷1.25 （5）0.25×12.5×3.2
分析：（1）運用分解法巧算，把12分解為6×2，然后運用乘法結合律，把2×5.2結合，積為11，最后求出6與11的積。
（2）把4.44分解為4×1.11，然后運用乘法結合律。
（3）因為4×0.25=1，所以一個數乘0.25，相當于給這個數除以4.
（4）因為8×1.25=10，所以一個數除以1.25，相當于這個數除以10，再乘8，即先把被除數的小數點向左移動一位后，再乘8.
（5）把3.2分解為4×0.8，再把4與0.26結合，0.8與12.5結合，即可簡化運算。
【例題4】移動小數點位置
（1）0.0695×2500+695×0.24+51×6.95
=695×0.25+695×0.24+695×0.51
=695×（0.25+0.24+0.51）
=695×1
=695
分析：本題計算時，如果機械地按步計算，就很麻煩。如果能夠從整體上觀察其數字特征，就可以利用小數點位置移動引起的小數大小變化的規律，先將題中的小數進行適當的變化，如0.0695×2500變為6.95×25，695×0.24變為6.95×24，51×6.95變為6.95×51，這時，再利用乘法分配律計算就簡便得多了。
（2）2424.2424÷242.4
=24242.424÷2424
=（2424×10+2424×0.001）÷2424
=2424×10.001÷2424
=10.001
分析：根據小數除法的計算法則將除數轉化為整數，被除數也擴大到它的10倍為2424.424，顯然，24242.424可以寫成2424×10+2424×0.001=2424×10.001，于是計算就簡便多了。
【例題5】計算：1+2+3+4+……+99+100的值。
(思路1) 1+2+3+……+98+99+100
=（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51）=101×50=5050
思路2)這道題目，還可以這樣理解：
和=1+2+3+……+98+99+100
+和=100+99+98+……+3+2+1
2倍和=101+101+101+……+101
即 和=（101+1）×100÷2=5050
四、【課堂運用】
【基礎】
【練習1】
（1）5.32+2.06+19.4+1.84+7.68
（2）0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9
【練習2】
（1）11.2+10.9+11.5+11.3+10.4+10.8
（2）23.67-3.25-8.43-6.75-1.57
【練習3】
(1)16×5.5
(2)8.88×1.25

(3)37.6×0.25
(4)145÷1.25
0.25×16×1.25
【練習4】
(1)0.79×0.46+7.9×0.24+11.4×0.079
(2)2.005×390+20.05+200.5×2
(3)7.6×6.6+7.6+7.6×2.4
【鞏固】
(1)4.75-9.64+8.25-1.36=_____.
(2)3.71-2.74+4.7+5.29-0.26+6.3=_____.
(3)(5.25+0.125+5.75)×8=_____.
(4)34.5×8.23-34.5+2.77×34.5=_____.
【拔高】
(1)6.25×0.16+264×0.0625+5.2×6.25+0.625×20=_____.
(2)0.035×935+0.035+3×0.035+0.07×61×0.5=_____.
(3)19.98×37-199.8×1.9+1998×0.82=_____.
(4)13.5×9.9+6.5×10.1=_____.
(5)0.125×0.25×0.5×64=_____.
(6)11.8×43-860×0.09=_____.
【課后鞏固】
（1）0.035×935+0.035+3×0.035+0.07×61×0.5
（2）0.888×125×73+999×3
（3）20-0.1-0.2-0.3-……-0.9
（4）1.1+1.2+1.3+……+9.8+9.9
（5）3.03+3.06+3.09+……+7.02
6×7=
6.6×6.7=
6.66×66.7=
6.666×666.7=
6.6666×6666.7=
6.66666×66666.7=
行程問題+工程問題
一、【考點解讀】
行程問題：許多行程問題都是把相遇和追及的兩個形式綜合在一起，但語言的表述是有區別的，所以在應用的過程中，首先要學會判斷這次運動是相遇還是追及，這樣解題就有正對性。另外還要學會畫線段圖來幫助解題。?
工程問題：指的都是兩個人以上合作完成某一項工作，有時還將內容延伸到相遇運動和向水池注水等等。解答工程問題時，當工作總量不確定數值時，一般都是把總工作量看作單位“1”，把單位“1”除以工作時間看成工作效率，因此，工作效率就是工作時間的倒數。?
二、【知識講解】
行程問題
1.路程=速度時間
2.順水速度=靜水速度+水速
3.逆水速度=靜水速度-水速
相向運動：
1）甲乙未相遇：甲路程+乙路程=總路程-相距路程
2）甲乙相遇： 甲路程+乙路程=總路程 或 速度和時間=路程和
3）甲乙相遇且各自繼續向前走：甲路程+乙路程=總路程+相距路程
追及問題：
1）直線追及：甲在乙之后，甲的速度比乙快，當甲追上乙時：
甲路程-乙路程=最初相距路程 或 速度差時間=路程差
2） 圓周追及：甲乙在同一起點起跑，甲的速度比乙快，當甲再次和乙并肩時：
甲路程-乙路程=圓形跑到一周的路程

工程問題
工程問題關系式是：工作總量÷工作效率＝工作時間?
或：工作總量÷工作效率和＝合作時間?
三、【典例探究】
【例題1】甲、乙兩車分別從相距800千米的兩地同時出發相向而行，甲車每小時行52千米，乙車每小時行48千米，（1）幾小時后兩車還相距200千米？（2）幾小時后兩車相遇？（3）幾小時后兩車又相距400千米？
解析：先判定兩車是相向運動，其次是判定輛車的實際行駛總路程，利用以上公式及其變形來解答。
（1）兩車在相遇之前相距200千米，說明兩車只走了800-200=600千米。路程和速度和=時間（800-200）（52+48）=6（小時）
（2）兩車相遇，說明兩車一起走恰好走完了全程800千米。路程和速度和=時間800（52+48）=8（小時）
（3）兩車又相距400千米，是指兩車相遇之后，在已經走完了全程的基礎上，各自又繼續向前走，最終相距400千米，那么此時的總路程是800+400=1200千米。路程和速度和=時間（800+400）（52+48）=12（小時）
【例題2】兩輛汽車運送貨物，大卡車以每小時36千米的速度從甲地開往乙地，兩小時后小卡車以每小時48千米的速度也從甲地開往乙地，當小卡車追上大卡車時李甲地多遠？
解析：要求追上時離甲地多遠，必須先求出追及時間，再用小卡車的速度乘以追及時間就可以了。
路程差速度差=時間
362（48-36）=6（小時）
486=288（千米）
答：當小卡車追上大卡車時李甲地288千米？
【例題3】一篇稿件，甲、乙兩人合打。甲一個人完成要5小時，乙一個人完成要8小時，求兩人合打幾小時可以完成？?
解析：解答工程問題時，當工作總量不確定數值時，一般都是把總工作量看作單位“1”，把單位“1”除以工作時間看成工作效率，因此，工作效率就是工作時間的倒數。?
因此甲效率是false，乙的效率是false，合作效率是（false+false）。
工作總量÷工作效率和＝合作時間. 答：兩人合打需要false小時.
四、【課堂運用】
【基礎】 【練習1】現有兩列火車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行60千米，慢車每小時行45千米，經6小時兩車相遇，則甲乙兩地相距多少千米？
【練習2】甲乙兩人分別從兩地同時出發，甲在乙后面間隔10千米處，乙的速度為每小時40千米，經過2小時甲追上乙，則甲的速度是多少？
【練習3】師徒倆共同加工一批零件，6天可以完工。現在師傅先加工了5天后，有事讓徒弟接著加工，徒弟加工3天后，共完成這批零件的7/10，問師傅和徒弟單獨加工這批零件各要幾天？
【鞏固】
【練習1】A、B兩地相距496千米，甲車從A地開往B地，每小時32千米，甲車開出半小時后，乙車從B地開往A地，每小時行64千米，乙車開出幾小時后與甲車相遇？
【練習2】小偉和小李兩人在400米環形跑道上練習長跑，兩人速度分別是200米/分和160米/分，兩人同時從起點同向，當兩人起跑后第一次并肩時，經過了多長時間/
【練習3】一項工程，由甲隊單獨工作需要15天完成，由乙隊單獨工作需要12天完成，由丙隊單獨工作需要10天完成。現在由甲乙兩個工程共同工作了3天后，剩下的工程由丙隊單獨完成，丙隊還需要幾天才能完成這項工程？
【拔高】
【練習1】河水的流速是每小時2000米，一只船從這條河的上游甲地順流到達下游的丙地，然后調頭逆行向上到達中游的乙地，共用時8小時。已知這條船的順流速度是逆流速度的2倍，甲、乙兩地相距12千米，問甲、丙兩地相距多少千米？
【練習2】某人騎自行車從甲地到乙地，以每小時10千米的速度行進，下午1時到；以每小時15千米的速度行進，上午11時到。如果希望中午12時到，他應該以怎樣的速度行進？
【練習3】一項工程，甲隊單獨做需30天完成，乙隊單獨做需40天完成。甲隊先做若干天后，由乙隊接著做，共用35天完成了任務。甲隊做多少天?
五、【課后鞏固】
【練習1】郵遞員早晨7時出發送一份郵件到對面的山坳里，從郵局開始要走12千米的上坡路，8千米的下坡路。他上坡時每小時走4千米，下坡時每小時走5千米，到達目的地后停留1小時，又從原路返回，郵遞員什么時候可以回到郵局？
【練習2】一艘貨船從仙桃開往武漢順水二星，每小時行28千米，到武漢后又逆水而行回到仙桃，逆水比順水多行一小時，已知水速每小時4千米，甲乙兩地相距多少千米？
【練習3】一項工程，甲、乙兩隊合作每天能完成全工程的9/40。甲隊獨做3天，乙隊再獨做5天后，可完成全工程的7/8。如果全工程由乙隊單獨做，多少天可完成?
【練習4】某工程先由甲單獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成。如果甲、乙兩人合做，需48天完成。現在甲先獨做42天，然后再由乙單獨完成，還需要多少天?
【練習5】蓄水池有甲，丙兩條進水管和乙，丁兩條排水管。要管滿一池水，單開甲管需要3個小時，單開丙管需要5個小時。要排光一池水，單開丙管需要4個小時，單開丁管需要6個小時，現在池內有1/6池水，如果同時打開甲乙丙丁四管，問多少時間后水開始溢出水池？
第三講 和差倍雞兔同籠（方程解）
一【考點解讀 】 方程解應用題是非常重要的解題方法，和差倍，雞兔同籠問題也非常具有代表性。學會用方程的方法解題，快速找到題中的等量關系。
二 【知識講解】
知識點1 和差倍 ：
和差倍問題分為和差，和倍和差倍。我們只要弄清楚里面的等量關系用方程解答會非常方便。
知識點2 雞兔同籠
雞兔同籠常用方法是假設法，但是我們如果嘗試用方程去解的話也非常方便。
三【典例探究】
【例題1】 甲乙兩倉庫共有貨物1000噸，如果從甲倉庫調50噸貨物到乙倉庫，那么甲乙倉庫的貨物同樣多，問原來兩倉庫各存貨物多少噸？
分析：根據從甲倉庫調50噸貨物到乙倉庫，這時兩倉庫貨物相等，那么在調運之前，甲倉庫貨物比乙倉庫多50×2（噸），確定了甲乙兩倉庫的差，又知道甲乙兩倉庫的和是1000噸，問題就解決了。
解：設甲倉庫原來有x噸貨物 乙倉庫有（x-50×2）噸
X+X-50×2=1000
解得x=550
【例題2】學校里的足球只是只數是排球的3倍，籃球的只數是排球的5倍，足球和排球共72只，問三種求球各多少只？
分析：我們可以設排球的只數為x只，則足球為3x只 籃球的只數為5x ,在利用足球和籃球的和為72求解。
解：設排球有x只，足球有3x只，籃球有5x只
3x+5x=72
解得 x=9 3x=27 5x=45
【例題3】 甲乙兩根繩子，甲繩長63米，乙繩長29米，兩根繩子剪去同樣的長度，剩下的甲繩長是乙繩的3倍，問剪去的繩子長多少米？
分析：等量關系是剩下的甲繩是乙繩的3倍，可列出方程。
解： 設剪去的繩子長X米。
x）=3（29-x）
解得 x=12
【例題4】 雞兔同籠，共有35個頭，94只腳，問雞兔各多少只？
分析 我們可以設雞的只數為x，則兔的只數就是（35-x）只，在利用雞腳加兔腳等于94列出方程即可。
解：設雞的只數為x只，兔的只數為（35-x）只
2x+4（35-x）=94
解得 x=23
四【課堂運用】
【基礎】 【練習1 】
水果店運進香蕉蘋果生梨共846千克，運來的香蕉比蘋果的2倍還多17千克，運來的生梨比蘋果的3倍少11千克，問運來香蕉多少千克？
【練習2 】
甲乙丙丁四個人一共做了370個零件，如果把甲做的個數加上2，乙做的個數減去3，丙做的個數乘以2，丁做的個數除以2，四人所做的零件個數正好相等，問四個人各做了多少個零件？
【練習3 】
兩袋鹽重量相等，甲袋取出24千克，乙袋裝入28千克，這時乙袋的重量是甲帶的3倍，問甲袋，乙袋原來各有鹽多少千克？
【練習4】
清涼山小學的教師和學生共100人去植樹，教師每人栽3棵樹，學生平均3個人載一棵樹，一共栽100棵，問教師和學生各多少人？
【鞏固】
【練習1】
商店運來橘子 ,蘋果,香蕉共53千克，橘子的重量是蘋果的3倍少3千克，香蕉的重量是蘋果的2倍多2千克，問橘子重多少千克？
【練習2】
兄弟兩人各有鉛筆若干支，如果弟弟給哥哥6支，則哥哥的支數是弟弟的3倍，如果哥哥給弟弟6只，則兩人的支數相同，問兄弟兩人原來各有多少支？
【練習3】
小華和小明各有一些錢，如果小明給小華15元，那么兩人的錢一樣多，如果小華給小明15元，那么小明的錢是小華的3倍，問原來兩人各有多少錢？
【練習4】
食品工廠在生產蛋糕時規定，每個工人每天做50個，每做一個好的記8分，每做壞一個扣2分，張師傅在一天的工作中獲得了300分，則他做壞了多少個蛋糕？
【拔高】
【練習1】
雞兔共有160只腳，若將雞兔數量互換，則共有腳200只，問雞兔各有多少只？
【練習2】
王港小學內有一群雕塑，共有兩種類型，甲種為8根柱子1個裝飾物，乙種為1根柱子8個裝飾物。現有柱子133根，裝飾物182個，則共有多少件雕塑？
【練習3】
小敏外出逛商店，她先進了一家服裝店，用去了所帶錢的一半多10元，又進入了化妝品店，花去了余下錢的一半多10元，她又進了一家寵物店，買了一只小兔子，用去了她余下錢的一半，最后用剩下的10元錢買了些日用品，則小敏出去時共帶了多少元錢？
五 【課后鞏固】
【練習1】
雞兔同籠，共有1000只，且雞腳比兔腳少70只，則雞兔各多少只？
【練習2】
某學校進行一次數學競賽，共有20題，做對一題得5分，做錯或沒做一題扣2分，小英共得了86分，她做對了多少題？
【練習3】
精英小學新購買了24件課桌椅，共花去1536元，每把椅子31元，每張桌子97元，則購買椅子多少把？桌子多少張？
【練習4】
小芳和小梅今年的年齡和是39歲，小梅比小芳大3歲，小芳今年多少歲？
【練習5】
兩個玻璃杯里共有50顆彈珠，如果從第一個玻璃杯中拿走6顆，兩個杯中的彈珠數就相同了，原來第一個玻璃杯中有多少個彈珠？
【練習6】
果園里有桃樹，梨樹，蘋果樹共552棵，桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，問桃樹，梨樹，蘋果樹各多少棵？
【練習7】
甲乙丙三人，甲的年齡是乙的2倍還大3歲，乙的年齡是丙的2倍小2歲，三個人的年齡和是109歲，甲乙丙各幾歲？
【練習8】
甲水池有水1500升，乙水池有水1200升，每分鐘從甲水池流入乙水池25升水，問多少分鐘后乙水池的水是甲水池的2倍？
第四講 幾何專題
幾何（一） 平面圖形
一、【考點解讀】小學升初中這個階段的平面幾何問題，是以等積變形為主導思想，結合五大模型的變化應用，交織而成。攻克平面幾何，一定要從等積變形開始。
知識框架
false【知識講解】
1、等積變形。
等積變形，它的特點是利用面積相等而進行相互轉換，面積相等的兩個圖形我們就稱之為等積形。我們所研究的等積變形，更多的是三角形的等積變形，三角形等積變形的中心思想是等底等高，因為三角形的面積=底×高÷2，所以說等底等高的兩個三角形面積相等。另外，等底等高的平行四邊形、梯形（梯形等底應理解為兩底和相等）的面積也相等。在實際中，我們經常用到的與等積變形相關的性質主要有以下幾點：
﹙1﹚直線false平行于false，可知false；
反之，如果false，則可知直線false平行于false。
（因為平行線間的距離是處處相等的哦！，聰明的你想到了嗎？）
﹙2﹚兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；
兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；
特別地，我們有 等腰三角形底邊上的高線平分三角形面積；三角形一邊上的中線平分這個三角形的面積；平行四邊形的對角線平分它的面積
﹙3﹚共邊定理：若△false和△false的公共邊false所在直線與直線false交于false，則false；
﹙4﹚共角定理：在△false和△false中，若false或false，則false。
﹙5﹚過矩形內部的一點引兩條直線分別與兩組邊平行，所分得的四個小矩形，其面積滿足：false。

﹙6﹚E為矩形ABCD內部的任意一點，則
false；當E落在矩形的某條邊上時，也成立。
特別地，（5）（6）兩條性質對于平行四邊形同樣成立。
2、五大模型。
我們把學習中經常遇到的問題歸納為五個基本的模型，總的來說，這五個基本模型都是用來解決三角形邊與面積之間關系互相轉換的問題。讓我們一起來感受一下模型的魅力吧！
模型一：在同一三角形中，相應面積與底成正比關系：
即：兩個三角形高相等，面積之比等于對應底邊之比。
或：兩個三角形底相等，面積之比等于對應的高之比。

S1︰S2 =a︰b ；
拓展： 等分點結論（“鳥頭定理”）
如圖，三角形AED占三角形ABC面積的false×false=false
鳥頭定理是對模型一的一個拓展，有興趣的話，你可以試著證明一下哦！
模型二：任意四邊形中的比例關系 （“蝴蝶定理”）
①S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4
404812572390②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）
蝴蝶定理為我們提供了解決不規則四邊形的面積問題的一個途徑。構造模型，一方面我們可以使不規則四邊形的面積關系與四邊形內的三角形相聯系，另一方面，我們也可以得到與面積對應的對角線的比例關系。
模型三：梯形中比例關系（“梯形蝴蝶定理”）
①S1︰S3=a2︰b2
②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ；
③S的對應份數為（a+b）2
梯形蝴蝶定理，給我們提供了解決梯形面積與上下底之間關系互相轉換的渠道。構造模型，直接應用結論，往往有事半功倍的效果。
模型四：相似三角形性質
113665113665_
h
_
h
_
H
_
c
_
b
_
a
_
C
_
B
_
A
_
a
_
c
_
b
_
H
_
C
_
B
_
A
_
S1
_
S2
_
h
_
h
_
H
_
c
_
b
_
a
_
C
_
B
_
A
_
a
_
c
_
b
_
H
_
C
_
B
_
A
_
S1
_
S2
00_
h
_
h
_
H
_
c
_
b
_
a
_
C
_
B
_
A
_
a
_
c
_
b
_
H
_
C
_
B
_
A
_
h
_
h
_
H
_
c
_
b
_
a
_
C
_
B
_
A
_
a
_
c
_
b
_
H
_
C
_
B
_
A
①false ；
②S1︰S2=a2︰A2
所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小
不同的三角形，（只要其形狀不改變，不
論大小怎樣改變他們都相似），與相似三
角形相關，常用的性質及定理如下：
﹙1﹚相似三角形的對應角相等，對應邊成比例。
﹙2﹚相似三角形的一切對應線段（對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于它們的相似比。
﹙3﹚相似三角形周長的比等于它們的相似比。
﹙4﹚相似三角形面積的比等于它們相似比的平方。?
﹙5﹚特別的，連接三角形兩邊中點的線段我們叫做三角形的中位線。關于三角形的中
我們有這樣一個結論：
三角形中位線定理：三角形的中位線長等于他所對應的底邊長的一半。
對于梯形，我們也有類似的結論。連接梯形兩腰得到的線段我們叫做梯形的中位線。
梯形的中位線長等于它上下底邊之和的一半。
﹙6﹚那么如何判斷三角形是不是相似呢？我們一般有三種方法：
a：三個角對應相等的三角形相似，（事實上只要有兩個角相等就可以了）。
b：有兩邊對應成比例且其兩條邊的夾角相等的三角形相似。
c：三邊分別對應成比例的三角形相似。
注意：在小學奧數里，最多出現的情況是因為兩條平行線而出現相似三角形，如模型四。
相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關系相互轉化的工具。
2950210122555模型五：燕尾定理
S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△EGC＝BE：EC；
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△FGC＝AF：FC；
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；
燕尾定理因為圖形類似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應底邊之間提供互相聯系的途徑。
3、計算過程中連接輔助線的四個原則。
幾何作為數形結合的學科，圖形的運用往往在解題過程中起到至關重要的作用。在小學階段的平面幾何學習中，我們在運用圖形連接輔助線時一般遵循以下四個原則：
把四邊形或多邊形變為三角形，如： （2）連接等分點，例如：

（3）構造模型，例如： ﹙4﹚做高線，構造直角三角形

三、【典例探究】
【例1】如下左圖。將三角形ABC的BA邊延長1倍到D，CB邊延長2倍到E，AC邊延長3倍到F。如果三角形ABC的面積等于1，那么三角形DEF的面積是_____。
【分析與解】： 題目中給出的已知條件都是邊的倍比關系，其余的條件中只有一個三角形ABC的面積是已知，要想辦法使已知條件能夠相互關聯，使邊的倍比關系可以轉化為面積之比，可以選擇模型一應用。
詳解過程：
解：連結AE、BF、CD（如上右圖） 由EB=2BC，得S△ABE=2。同理可得S△AED=2
S△BEF=2×S△CBF =6 S△CFD =3×S△ACD =3。 所以 S△DEF= 1+2+3+1+2+6+3=18。
點評：這是北京市第一屆“迎春杯”刊賽第32題，非常經典。解題過程中通過連接AE、BF、CD，使題目中所給的邊的倍比關系可以構造模型一相互關聯，再通過共高三角形面積與相應底邊之間的對應比例關系求解。
【例2】設false，false，false，如果三角形false的面積為19平方厘米，那么三角形false的面積是_________平方厘米。

【分析與解】和【例1】類似，題目已知條件中邊的倍比關系比較多，可以考慮應用模型一。
解：false false
false S△ABC=(false+false+false) S△ABC+19 ∴false
點評：圖形長得很普通，而題目當中又給了那么多的倍比關系，那我們是不是可以考慮構造模型一呢？整體看，false，除了false，其余三個我們可以直接用“鳥頭定理”。鳥頭定理也是本題的一個中心考點。
【例3】四邊形false的對角線false與false交于點false（如圖）所示。如果三角形false的面積等于三角形false的面積的false，且false，false，那么false的長度是false的長度的_________倍。

【分析與解】在本題中四邊形ABCD為任意四邊形，且出現S△ABD：S△BCD=1：3。聯想模型二蝴蝶定理結論。
詳解過程：
解法一：false ∴false
∴false

解法二：
∵false ∴false ∴false
∴false ∴false ∴false
點評：在本題中，三角形false和三角形false的面積之比如何轉化是關鍵。方法一直接應用模型二蝴蝶定理的結論，而我們也可以不應用蝴蝶定理，那么觀察題目中給出的已知條件是面積的關系，轉化為邊的關系，我們需要一個中介，于是做false垂直false于H，false于false，面積比轉化為高之比。再應用模型一的結論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出AO=falseCO。
【例4】：如下圖所示，AE︰EC＝1︰2，CD︰DB＝1︰4，BF︰FA＝1︰3，
三角形ABC的面積等于1，那么四邊形AFHG的面積是__________。

【分析與解】：四邊形AFHG的面積可以看作是三角形ABC的面積減去三角形BEC的面積再分別減去三角形BFH和三角形AGE的面積得到的。如何把三角形邊的倍比關系和要求的面積相聯系，是這道題的重點問題。
詳解過程：以下各圖為了強調相關部分，暫去掉另外線條。
解： 如圖所示，我們分別求出BFH、AGE的面積問題也就解決。
如上圖，我們設BFH＝x，則AFH＝3x；設AHE＝y，則CEH＝2y；
于是有ABE＝4x+y＝false ACF＝3y+3x＝false
有false，則9x＝false，所以x＝false；
如下圖，我們設AEG＝a，則CEG＝2a；
設CDG＝b，則BDG＝4b；于是有ACD＝3a+b＝false BCE＝2a+5b＝false
有false，則13a＝false，所以a＝false；
這樣，AFHG＝ABE－BFH－AEG＝false－false－false＝false。
點評： 求四邊形false，可由三角形false的面積減去三角形false的面積，再分別減去三角形BFH和三角形AGE的面積。而三角形false的面積可從三角形面積與底邊的比例關系得到，于是問題轉化為如何求false及false。false與false可由二元一次方程組分別解得。注意考點： 鳥頭定理和蝴蝶定理的應用
【例5】設正方形的面積為1，下圖中E、F分別為AB、BD的中點，GC=falseFC。求陰影部分面積。
【分析與解】：陰影部分為三角形，知道底邊為正方形邊長的一半，只要求出高，便可解出面積。
解： 作FH垂直BC于H；GI垂直BC于I
根據相似三角形定理 CG︰CF=CI︰CH=1︰3
又∵CH=HB ∴CI︰CB=1︰6即BI︰CB=（6-1）︰6=5︰6
S△BGE=false×false×false=false。
點評：本題考查模型四，利用三角形相似的性質，求出三角形對應邊的比例關系及長度，從而確定陰影部分的面積。
【例6】ABCD是平行四邊形，面積為72平方厘米，E、F分別為AB，BC的中點，則圖中陰影部分的面積為＿＿平方厘米。
【分析與解】：題目中出現E、F分別為邊的中點， 可以考慮應用中位線定理。
解：設G、H分別為AD、DC的中點，連接GH、EF、BD。可得 S△AED=falseS平行四邊形ABCD
1028700234315607695217170對角線BD被EF、AC、GH平均分成四段，
DO︰ED = ︰ BD︰ BD=2︰3
OE︰ED=（ED-OD）︰ED=（3-2）︰3=1︰3
所以 S△AE0=false×falseS平行四邊形ABCD=false×false×72=6 S△ADO= 2×S△AEO=12。
同理可得S△CFM=6，S△CDM=12。 所以 S△ABC- S△AEO- S△CFM=24
于是 陰影部分的面積=24+12+12=48
點評：連接EF，BD，根據模型4以及三角形的中位線定理，判斷出O，M分別是其所在線段的三等分點，由此求出S△AEO及S△CFM，最后得出陰影部分的面積。
注意：本題應用了三角形的中位線定理以及平行線的相關性質。
【例7】（☆☆☆）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE=EC，CF=2FD。
求陰影面積與空白面積的比。
【分析與解】：題目中陰影部分不規則，但是有邊的倍比關系，BE=EC，CF=2FD可以考慮將邊的倍比關系轉化為為面積之間的關系。
解法：連接CG，CH，AC交BD于O，設S△BEG=a，
根據燕尾定理S△BEG=S△EGC=falseS△ABG=falseS△AGC S△DHF=falseS△CFH=falseS△AHD=falseS△ACH
又因為S△AGC=S△ACH 所以S△BEG=3S△DHF S△AGO=S△CGO=falseS△ABG S△AOH=S△HOC=S△AHD
所以S□ABCD=4S△ABO=4×（a+2a）=12a
陰影面積：S△BEG+ S△AGH+ S△DFH=a+2.5a+0.5a=4a
空白面積：12a-4a=8a
所以陰影面積與空白面積的比4a︰8a=1︰2
另解：設S△BEG=a，則S△ECG=S△GCO=S△AGO=a, S△ABG=2a;
設S△HFD=b,則S△HFC=2b,
設S△HCO=x,則S△AHO=S△HCO=x
false=false=false
點評： 連接CG，CA，CH，構造模型五，應用燕尾定理，分別求出三個陰影三角形面積，再求出平行四邊形ABCD的面積，用四邊形面積減去三個陰影三角形面積即為空白面積。亦可得到陰影面積與空白部分的面積之比。
注意：本題考點：燕尾定理的應用。
四、【課堂運用】
【基礎】
【練習1】如圖，三角形ABC中，D為BC的中點，E為AB上的一點，且BE=falseAB,已知四邊形EDCA的面積是35，求三角形ABC的面積.


【練習2】四個完全一樣的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方(如圖)如果小正方形面積是1平方米，大正方形面積是5平方米，那麼直角三角形中，最短直角邊長是_____米.
【練習3】如圖在長方形ABCD中，△ABE、△ADF、四邊形AECF的面積相等。△AEF的面積是長方形ABCD面積的______ (填幾分之幾)。
。
【鞏固】
【練習1】如圖1，一個長方形被切成8塊，其中三塊的面積分別為12，23，32，則圖中陰影部分的面積為_____

false
【練習2】右圖中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四邊形ABDE的面積是 平方厘米．


【練習3】如右圖所示，已知三角形ABC面積為1，延長AB至D，使BD=AB；延長BC至E，使CE=2BC；延長CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面積。
305752517780
【拔高】
【練習1】如圖所示，已知三角形false中，false，false，false，連結false、BZ和false，三條線段分別交于false，false，false。若false（面積是1平方米，那么陰影false的面積是多少平方米？false
【練習2】如圖，四邊形false的面積是66平方米，false，
266700259080false，false，false，求四邊形false的面積。
【練習3】如下圖，已知D是BC的中點，E是CD的中點，F是AC的中點，且false的面積比false的面積大6平方厘米。false
false
【課后鞏固】
【習題1】在梯形ABCD中，AD︰BE=4︰3，BE︰EC=2︰3，且△BOE
的面積比△AOD的面積小10平方厘米。梯形ABCD的面積是 平方厘米。
【習題2】如圖所示，三角形BDF、三角形CEF、三角形BCF的面積分別是2、3、4，問四邊形ADFE的面積是多少？

【習題3】如圖，在△ABC中，延長BD=AB，CE=falseBC，
F是AC的中點，若△ABC的面積是2，則△DEF的面積是多少？
【習題4】如圖，長方形ABCD中，E為AD中點，AF與BE、
BD分別交于G、H，已知AH=5cm，HF=3cm，求AG。
【習題5】在邊長為1的正方形ABCD中，BE=2EC，DF=2FC；
求四邊形ABGD的面積。

【習題6】正方形ABCD面積為1，M是AD邊上的中點，求圖中陰影部分的面積。

【習題7】已知四邊形ABCD，CHFG為正方形，S甲︰S乙=1︰8，a與b是兩個正方形的邊長，求a︰b=？

【習題8】右圖是一塊長方形耕地，它由四個小長方形拼合而成，其中三個小長方形的面積分別為15、18、30公頃，問圖中陰影部分的面積是多少？
3343275245745
【習題9】長方形ABCD的面積為36平方厘米，E、F、G分別為邊AB、BC、CD的中點，H為AD邊上的任一點。求圖中陰影部分的面積是多少？
3145155156845
3237865486410【習題10】如圖，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長分別是10厘米和12厘米，求陰影部分的面積。

【習題11】正方形ABFD的面積為100平方厘米，直角三角形ABC的面積，比直角三角形（CDE的面積大30平方厘米，求DE的長是多少？
3610610132715
幾何（二） 曲線圖形
一、【考點解讀】知識地圖
false
二【知識講解】
小學數學當中，我們學習了一些簡單的幾何圖形，充分掌握這些圖形的性質特點及周長和面積的計算方法是我們解決平面幾何問題的重要前提。
﹙1﹚組合圖形的面積
在求解組合圖形的面積時，中心思想只有一個：把不規則的變為規則的，把不可求的變為可以求的，把不熟悉的變為我們熟悉的。在小學奧數的幾何問題中，這個思想不單單可以在求組合圖形面積的時候應用，求解立體圖形的表面積和體積問題時候一樣也是解決問題的法寶，甚至可以說是小升初幾何問題的思想精髓。
在求解組合圖形的面積時，我們通常可以通過以下思考方法把圖形轉化我們所熟知的圖形。
加減法 把要求的圖形轉化為幾個規則圖形相加或者相減的形式，這種解決圖形補問題的方法，稱為加減法。
割補法 把要求的圖形通過切割再拼補成規則圖形，這種方法稱為割補法。
旋轉平移法。 圖形的一部分通過旋轉或者平移，正好可以和圖形的其他部分拼成規則圖形，這種方法稱為旋轉平移法。
重疊法 要求的組合圖形可以看作是幾個規則圖形的重疊部分，可以應用容斥原理求得圖形的面積，這種方法稱為重疊法。
比例法 把要求的圖形分成幾個部分，通過尋找各個部分之間的比例關系求解的方法稱為比例法。
﹙2﹚圖形旋轉的問題 在這里，我們主要研究的是平面圖形在平面旋轉所產生的問題。一般情況下，我們所能遇到的有以下兩種問題：
1、求圖形一邊掃過的面積
在遇到這類問題時，我們只要先找到要求的是哪條邊掃過的面積，再看這條邊是以哪個點為圓心運動，首先你讓這條邊以這個點為圓心按照題目的要求轉動，旋轉停止后，這條邊旋轉所得的面積就是你要求的圖形一邊掃過的面積。
2、求圖形掃過的面積
在求圖形一邊掃過的面積的基礎之上，要注意，圖形中最長處旋轉時所成圖形，我們在旋轉的圖形一邊停止旋轉時，在相應的位置補上圖形的其他部分就可以很容易的找到整個圖形掃過的部分。
﹙3﹚幾個特殊問題
1、活動范圍：讓我們先來看看下面幾個問題：
A、假設茫茫的草原上有一個木樁，樁子上用一根30米的繩子栓著一只羊，問羊能吃到的草的面積是多大？
B、草場的主人因為業務發展，準備建羊圈，但是因為資金短缺，所以只先建了一道墻，于是把羊還是用30米的繩子栓在了墻角邊，問羊這個時候能吃到草的面積是多大？
C、羊圈建成了，羊在平時被栓在羊圈的西北角，羊圈長20米，寬10米，問羊這個時候能吃到的草的面積是多大？
注意到了嗎？栓著羊的繩子在碰到墻拐角的地方運動的圓心在變化，羊所能吃到草的范圍活動的半徑也在跟著變化。
我們說看變化，找規律，是解決羊吃草一類問題重要思想。另外，數學源自生活，通過想象生活中的情景，比照數學題，尋找變化的規律也是一種不錯的方法。
2、滾硬幣的問題
請你一起動手來做一做：把兩個一角錢的硬幣挨放在一起，固定其中一個，把另一個延著其周圍滾動。當滾動回到硬幣原來的位置時，想一想滾動的那個硬幣它自己自轉了多少周？
注意觀察，滾動的硬幣繞著不動的硬幣走一周的距離實際上是以兩個硬幣的半徑為半徑的一個圓周長，而硬幣自轉的周長是以自身為半徑，前者是后者的幾倍，即是硬幣自轉了幾周。這也是一切硬幣滾動類問題特點。常見有齒輪，滑輪等。
3752850140970三、【典例探究】
【例題1】如圖，兩個正方形擺放在一起，其中大正方形邊長為12，小正方形邊長為4，那么陰影部分面積是多少？（false取3）
【分析與解】false
416242589535【例題2】（04年我愛數學夏令營）已知小圓的面積均為false平方厘米，則圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（false取3.14）
4362450954405【分析與解】由題意可得小圓的半徑為false，正方形的邊長為2，陰影面積為：false
【例題3】如右圖，求陰影部分的面積，其中OABC是正方形. （false取3）
【分析與解】關鍵在于求出正方形的面積，我們知道正方形是特殊的菱形，菱形面積為對角線乘積的一半，所以正方形面積為18，陰影面積為false圓的面積減去正方形面積為9。也可以這樣想，連接OB，將上半部分移至下面，可形成一個扇形減去三角形的陰影面積，這樣也非常容易得到答案。
3790950139700利用“割、補、移”思想解答問題
【例題4】如圖，陰影部分的面積是多少？
【分析與解】將右邊部分的空白平移，我們會發現兩個空白部分恰好構成一個邊長為4的正方形，因而，陰影部分的面積為8 .
437197526670
【例題5】計算右圖陰影部分面積。（false取3）
4371975464820【分析與解】法1：扇形面積減去半個圓面積再減去三角形面積等于圓外陰影部分面積，半圓面積減去三角形面積等于圓內陰影部分面積，上面兩個陰影部分面積的和既是陰影面積：（25π-50）÷4=25/4。
法2：如右圖，我們添加兩條輔助線，而后發現可將圓內弓形割補到上部，那么陰影部分面積=1/4大圓-正方形=1/4×3×5×5-1/2×5×5=25/4。 注：正方形也是菱形，菱形面積是對角線乘積的一半。
43815009525【例題6】如右圖，ABC是等腰直角三角形，D是半圓周上的中點，BC是半圓的直徑，且AB=BC=10，求陰影部分面積。（π取3）

【分析與解】連接BD。正方形加上半圓的面積為：10×10＋1/2×5×5×3＝137.5；三角形的面積為：1/2×15×10＝75；則陰影部分面積為：(137.5－75)÷2＝31.25。
443865076200【例題7】在右圖中，兩個四分之一圓弧的半徑分別是2和4，求兩個陰影部分的面積差。（false取3）
【分析與解】我們只要看清楚陰影部分如何構成則不難求解。
左邊的陰影 = 大扇形-小扇形-1個長方形中的不規則白色部分
=大扇形 - 小扇形 -（長方形-右邊的陰影）= 大扇形 - 小扇形 - 長方形 + 右邊的陰影，
448627581915可得：左邊的陰影 - 右邊的陰影 = 大扇形 - 小扇形 - 長方形 = 1 。
4448175803910【例題8】草場上有一個長20米、寬10米的關閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊（見右圖）。親愛的小朋友能算出這只羊能夠活動的范圍有多大嗎？（false取3）

【分析與解】（此題十分經典）羊活動的范圍可以分為A，B，C三部分，其中A是半徑為30米的false個圓，B、C分別是半徑為20米和10米的false個圓，羊活動的范圍是：false（平方米）。
四、【課堂運用】
【基礎】
【練習1】計算下列各圖陰影部分的面積。（false取3）
【練習2】如圖，兩個正方形邊長分別是10和6，求陰影部分的面積。（false取3）
3540760143510

3607435499110【練習3】如右圖所示，用一塊面積為36平方厘米鋁板下料，可裁出七個同樣大小的圓鋁板。問余下的邊角料的總面積是多少平方厘米？



【鞏固】
【練習1】如圖，在平行四邊形false中，已知三角形false、false的面積分別是73、100，求三角形false的面積。



4200525569595【練習2】如圖，一個半徑為1厘米的小圓盤沿著一個半徑為4厘米的大圓盤外側做無滑動的滾動，當小圓盤的中心圍繞大圓盤中心轉動90度后，小圓盤運動過程中掃過的面積是多少平方厘米？（false取3）
4417060340360【練習3】一只狗被拴在底座為邊長3米的等邊三角形建筑物的墻角上（如右圖），繩長是4米，求狗所能到的地方的總面積。（false取3.14）

五、【課后鞏固】
【習題1】計算下列各圖陰影部分的面積。（false取3）


3333750356235【習題2】右圖中，正方形的邊長是5cm，兩個頂點正好在圓心上，求圖形的總面積是多少？（false取3）
【習題3】一只狗被拴在底座為邊長4米的等邊三角形建筑物的墻角上（如右圖）， 繩長是5米，求狗所能到的地方的總面積。（false取3.14）
383857551435
3657600219075【習題4】如右圖所示，三個同心圓的半徑分別是2、6、10，求圖中陰影部分占大圓面積的百分之幾？
【習題5】如圖1，半徑為7個單位的3個圓弧（04年南京市數學智力冬令營）如圖1，半徑為7個單位的3個圓弧圍成圖示的區域，其中AB弧與AD弧的四分之一圓，而BCD弧是一個半圓，則此區域的面積是多少平方單位？

【習題6】右圖是一個直徑為3cm的半圓，讓這個半圓以A點為軸沿逆時針方向旋轉60°，此時B點移動到B′點，求陰影部分的面積。（圖
中長度單位為cm，圓周率按3計算）
337185062865
幾何（三） 立體圖形
一、【考點解讀】
false
二、【知識詳解】
萬丈高樓平地起。我們可以這樣說：把平面圖形從平面拎到空間，讓平面圖形在空間上產生高度就形成了這一講我們要研究的立體圖形。在現階段，我們主要研究的立體圖形有以下幾種：
立體圖形
表面積
體積
443865196850
false
false
191770305435
false
false
34417035560
false
false
441960-600710
false
注：false是母線，即從頂點到底面圓上的線段長。
false
363220-705485
false
false
特別的：關于球體還有這樣一個結論：
如果一個球體的直徑與一個圓柱的直徑與高都相等，那么：
球體的體積等于以球大圓為底球的直徑為高的圓柱體積的三分之二；
球體的表面積等于以球大圓為底球的直徑為高的圓柱的側面積；
球體的體積還等于以球大圓為底，球的半徑為高的圓錐的體積的4倍。
這個圖就是有名的阿基米德圓柱容球。
二、求立體圖形的表面積和體積
規則立體圖形的表面積和體積我們可以直接應用公式進行計算。
不規則的立體圖形的表面積和體積，一方面，我們可以應用和平面圖形相同思考的方法來考慮把它轉化為規則的立體圖形進行計算；而另一方面，我們更注重的是觀察圖形從規則變為不規則的變化過程，通常這個過程我們需要以圖形整體考慮為出發點。
這也就是我們求解此類問題常用方法的思想基礎：
方法一：陽光照面
陽光照面法從圖形整體考慮出發，觀察圖形表面積特點。
方法二：與時俱進
圖形的變化，是從整體的變到不變的過程，找到變化的規律，注意圖形的變化過程，觀察求解，與時俱進，就是解決問題的秘籍寶典。
方法三：面包切片
我們都有這樣的經驗：一個大的桃李早餐面包，從上向下切一刀，橫截面是一個正方形。如果是奶黃夾心面包，則橫截面是一個環正方形。同樣道理，解題過程中你可以想象，把圖形切開，橫截面的特點可以幫助我們了解圖形內部結構，達到解題的目的。
方法四：借來還去
這里的借來還去可以說是平面幾何加減思想的一種變形。可以這樣解釋，把一部分借來與原來的組成一個規則可以求得圖形，再把借來的部分從規則中拿去。借來還去的思想在解決求解不規則立體圖形的表面積和體積的問題中經常可以用到。
例如：
三、最短路線和展開圖的形狀
立體圖形的展開圖形狀總結如下：
對于不規則的立體圖形的展開圖就要充分發揮我們的想象，用“脫衣服”方法，層層剝離展開。在解決這類問題的時候，要注意培養自己的空間想象能力，必要時可以借用紙片等輔助工具幫助想想理解。
例如：

和立體圖形的展開圖結合最為緊密的是圖形側面的最短路線問題。你需要把握的重要一點是：兩點之間永遠直線線段最短。
四、染色問題
﹙1﹚奧數的經典問題，重要的是掌握幾個關于染色問題的數據，其余的問題需要具體問題具體分析，把握好什么地方染到了顏色，什么地方沒有染到顏色是解決此類問題的關鍵。
對于由n3塊小正方體構成的n×n×n正方體，三面涂有紅色的有8塊，兩面涂有紅色的有12×（n－2）塊，一面涂有紅色的有6×（n－2）2塊，沒有涂色的有（n-2）3塊。
例如： 右圖是4×5×6正方體，如果將其表面涂成紅色，那么其中一面、二面、三面被涂成紅色的小正方體各有多少塊？
分析：三面涂紅色的只有8個頂點處的8個立方體；
兩面涂紅色的在棱長處，共（4-2）×4+（5-2）×4+（6-2）×4=36塊；
一面涂紅的表面中間部分：
（4-2）×（5-2）×2+（4-2）×（6-2）×2+（5-2）×（6-2）×2=52塊。
36576000沒涂紅色的小方塊有：（4-2）×（5-2）×（6-2）=24塊。
三面——頂點
二面——棱
一面——面
0面——芯
一句話：“角三 棱二 面唯一。”
﹙2﹚歐拉公式
嚴格的說，歐拉公式和我們這里所講的染色問題關系不是很密切。但這個公式卻是和多面體密切相關的完美公式。
首先請同學們觀察下面的幾個圖形的頂點數，面數和棱數之間的關系：
頂點V
面F
棱E
V-E+F=2
正四面體
4
4
6
2
正六面體
8
6
12
2
正八面體
6
8
12
2
正十二面體
20
12
30
2
正二十面體
12
20
30
2
通過觀察，我們發現了多面體的頂點數，面數，棱數之間存在著如下的關系：
V+F-E=2
那么這個公式也就給我們提供了一種解決染色或者多面體問題的思考方法——分類思考
由歐拉公式，我們可以很自然的想到，在解決如上問題的時候，我們思考問題可以從立體圖形的頂點數，面數和棱數的角度出發，分類思考。
三、【典例探究】
【例題1】一個由125個同樣的小正方體組成的大正方體，從這個大正方體中抽出若干個小正方體，把大正方體中相對的兩面打通，下圖就是抽空的狀態。右圖中剩下的小正方體有多少個？
24765135255
【分析與解】
解法一：（用“容斥原理”來解）由正面圖形抽出的小正方體有5×5=25個，由側面圖形抽出的小正方體有5×5=25個，由底面圖形抽出的小正方體有4×5=20個，正面圖形和側面圖形重合抽出的小正方體有1×2+2×1+2×2=8個，正面圖形和底面圖形重合抽出的小正方體有1×3+2×2=7個，底面圖形和側面圖形重合抽出的小正方體有1×2+1×1+2×2=7個，三個面的圖形共同重合抽出的小正方體有4個。根據容斥原理，25+25+20-8-7-7+4=52，所以共抽出了52個小正方體。
125-52=73，所以上圖中剩下的小正方體有73個。
注意這里的三者共同抽出的小正方體是4個，必須知道是哪4塊，這是最讓人頭疼的事。
但你可以先構造空的兩個方向上共同部分的模型，再由第三個方向來穿過“花墻”。
這里，化虛為實的思想方法很重要。
解法二：（用“切片法”來解）
可以從上到下切五層，得：
從上到下五層，如圖：

或者從右到左五片，如圖：

請注意這里的挖空的技巧是：先認一種方向。
比如：從上到下的每一層，首先都應該有第一層的空四塊的情況，即——
如果挖第二層：第（1）步，把中間這些位置的四塊挖走如圖：

第（2）步，把從右向左的兩塊成線地挖走。（請注意挖通的效果就是成線挖去），如圖：
第（3）步，把從前向后的一塊（請注意跟第二層有關的只是一塊！）挖成線！如圖：
總結一下“切片法”：全面打洞（例如本題，五層一樣）
挖塊成線（例如本題，在前一次的基層上，一條線一條線地挖）。
這里體現的思想方法是：化整為零，有序思考！
【例題2】（☆☆☆）如圖，在一個正方體的兩對側面的中心各打通一個長方體的洞，在上下底面的中心打通一個圓柱形的洞。已知正方體邊長為10厘米，側面上的洞口是邊長為4厘米的正方形，上下側面的洞口是直徑為4厘米的圓，求此立體圖形的表面積和體積。
審題要點：大正方形減去右邊圖形就是我們要求的體積。
9144005080

【分析與解】外側表面積為：6×10×10-4×4×4-false×22×2=536-8false。
內側表面積為：16×4×3+2×（4×4-false×22）+2×2false×2×3=192+32-8false+24false=224+16false。
總表面積=224+16false+536-8false=760+8false=785.12（平方厘米）。
計算體積時將挖空部分的立體圖形取出，如圖，只要求出這個幾何體的體積即可。
挖出的幾何體體積為：4×4×4×3+4×4×4+2××22×3=192+64+24=256+24。
所求幾何體體積為：10×10×10- （256+24）=668.64（立方厘米）。
點評：打通部分可看為兩個小圓柱，兩個小長方形和一個大長方形共五部分組成，這樣計算體積非常容易，但在計算表面積時要考慮公共面。 這道題是人大附中分班考試題目。
總結：本題考點 不規則圖形的表面積及體積。
【例題3】（☆☆☆）一個酒瓶里面深30cm，底面內直徑是10cm，瓶里酒深15cm。把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立這時酒深25cm。酒瓶的容積是多少？
【分析與解】觀察前后，酒瓶中酒的總量沒變，即瓶中液體體積不變。
解法： 酒的體積：15π× （10/2） ×（10/2）=375π
瓶中剩余空間的體積（30-25） π×（10/2）×（10/2）=125π
酒瓶容積：375π+125π=500π=1500（ml）
點評：當酒瓶倒過來時 酒深25cm，因為酒瓶深30cm，這樣所剩空間為高5cm的圓柱，再加上原來15cm高的酒即為酒瓶的容積。
注意：本題考點立體圖形的等積變形。
【例題4】（☆☆☆☆）如圖，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，對角線AC，BD相交0.圖中的陰影部分以CD為軸旋轉一周，則陰影部分掃出的立體的體積是多少立方厘米？
【分析與解】：以CD為軸確定陰影部分旋轉后的形狀。

解法：設三角形BCO以CD為軸旋轉一周所得到的立體的體積是V，V等于高為10厘米，底面半徑是6厘米的圓錐的體積減去2個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積。
即：false（立方厘米），false
點評：這個立體圖形可看為兩個圓錐削掉上半部然后疊加，但還要減去兩個小圓錐，才是陰影部分掃出的立體圖形的真實體積。 可以考慮多種方法，比如應用容斥原理或者加減的思想都是不錯的選擇。。
總結：本題考點 平面圖形旋轉為立體圖形的體積問題。
四、【課堂運用】
【基礎】
【練習1】一個正方形紙盒中恰好能放入一個體積為628立方厘米的圓柱，紙盒的容積有多大？（false=3.14）
393192076200【練習2】圖中的立體圖形是由14個棱長為5cm的立方體組成的，求這個立體圖形的表面積？

4219575118110【練習3】如下圖，一個正方體形狀的木塊，棱長1米，沿水平方向將它鋸成3片，每片又鋸成4長條，每條又鋸成5小塊，共得到大大小小的長方體60塊。那么，這60塊長方體表面積的和是多少平方米？
【鞏固】
427672580010【練習1】下圖是一個棱長為2厘米的正方體，在正方體上表面的正中，向下挖一個棱長為1厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個棱長為1/2厘米的正方形小洞，第三個正方形小洞的挖法和前兩個相同，棱長為1/4厘米，那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米？

【練習2】把一個棱長6分米的正方體木塊，削成一個最大的一圓柱體，這個圓柱的體積是多少立方分米？
???????????
【練習3】右圖是一個圓柱體，如果把它的高截短3厘米，它的表面積減少94.2平方厘米。這個圓柱體積減少多少立方厘米？
?????????????
【拔高】
【練習1】如下圖給出了一個立體圖形的正視圖、左視圖和俯視圖，圖中單位為厘米。立體圖形的體積（　　　　）立方厘米。
2false （B）2.5false （C）3false （D）3.5false
left3810
【練習2】把一個棱長為2CM正方體在同一平面的邊的中點用線段連接起來，如圖。然后把正方體頂點上的三角錐鋸掉，請問最后所得的立體圖形的表面積的多少平方厘米？（1.732×1.732=3）
五、【課后鞏固】
【習題1】一個圓柱的側面積展開是一個邊長15.7厘米的正方形。這個圓柱的表面積是多少平方厘米？
【習題2】一個圓柱形的游泳池，底面直徑是10米，高是4米。在它的四周和底部涂水泥，每千克水泥可涂5平方米，共需多少千克水泥？
【習題3】把一個底面半徑是2分米，長是9分米的圓柱形木頭鋸成長短不同的三小段圓柱形木頭，表面積增加了多少平方分米？
【習題4】用塑料繩捆扎一個圓柱形的蛋糕盒（如下圖），打結處正好是底面圓心，打
結用去繩長25厘米。
（１）、扎這個盒子至少用去塑料繩多少厘米？
（２）、在它的整個側面貼上商標和說明，這部分的面積至少多少平方厘米？
【習題5】把一個橫截面為正方形的長方體木塊,削成一個最大的圓錐體,已知圓錐的底面周長是12.56厘米,高5厘米,長方體的體積是多少?

第五講 整數和整除
【考點解讀】
本節課主要學習整數和整除的意義，因數和倍數的概念，能被2和5整除的數的特點，需要在理解的基礎上要學會正確的判斷。
【知識講解 】
知識點： 整數： 任意自然數如0，1,2,3,4,5 以及它們的負數例如-1，-2，-3，-4.
整除的概念： 整數a除以整數b,如果除得的商是整數而且余數為0，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。
因數和倍數： 整數a能被整數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的因數。
被2整除的數的特征：個位是0，2,4,6,8的整數。
能被5整除的數的特征：個位上是0或5的整數。
奇數，偶數： 在自然數中，是2的倍數的數叫做偶數，不是2的倍數的數叫做奇數也就是個位數是02,4,6,8的數都是偶數，個位數是1,3,5,7,9的數都是奇數。
【典例探究】
【例題1】
從下列數中選擇適當的數填入相應的方框內:
-25 13 2.47 -8.75 0 29
自然數 正整數 負整數 整數
解析： 正負整數的劃分比較清晰，容易出錯的是自然數和整數，要注意不要把零漏掉。
自然數 正整數 負整數 整數
13 0 29
13 29
-25
-25 13 0 29
【例題2】
已知12÷4=3，根據此式，判斷下列說法中不正確的是（ ）
A 12是4的倍數 B 12是倍數 C 4是12 的因數 D 4是12 的約數
解析： 根據因數和倍數的概念可知，選項A C D 都是正確的，而B 選項沒說是是誰的倍數，因此不正確。
答案 B .
【例題3】
判斷題
任何一個偶數加上1之后，得到的都是一個奇數。 （ ）
奇數和偶數的積一定是奇數。 （ ）
能同時被2,5整除的數，一定能被10整除。 （ ）
在自然數中最小的偶數是2. （ ）
解析 （1） 正確.理由：因為相鄰的偶數和奇數相差1，所以這句話是正確的.
錯.因為奇數與偶數相乘后的乘積能被2整除，所以此題的結論是錯誤的，改正：奇數和偶數的積一定是偶數.
正確.理由 ：因為能夠被2整除的數的個位上是0，2,4，6,8能被5整除的數個位上是0或5，所以能同時被2,5整除的數的個位上一定是0，因此這句話是正確的。
因為能夠被2整除的數是偶數，而自然數0也能被2整除，所以此題的結論是錯誤的，改正：在自然數中最小的偶數是0.
答案：（1）√ （2）× （3）√ （4）×
【課堂運用】
【基礎】 【練習1】
填空題
（1）18÷6=3，我們可以說 能被 整除，也可以說 能整除 .
（2） , ,和 都是整數.
（3）從下列數中選擇適當的數填入相應的圈內
1 -2 25% 27 0.3 -100 3.4 56

自然數 負整數 整數
（4）把下面的算式填入適當的圈內；
30÷6 120÷5 75÷6 2÷6 8÷16 48÷12 1.5÷3 9÷0.25

被除數能被除數整除的 能除盡的
（5） 把下面的數填入適當的圈內：
26 38 47 150 171 95 234 600

2的倍數 5的倍數
（6）找出1-25以內符號條件的數

20的因數 4的倍數
【鞏固】
【練習1】一個數是4的倍數，又是100的因數，求這個數。
【練習2】已知一個三位數11□，能被5整除，求這個三位數。
【練習3】小紀念冊每本5元，大紀念冊每本7元，張軍買了這兩種紀念冊共花了142元，求兩種紀念冊最少買了幾本？
【提高】【練習1】
有n 個人都屬猴，而且生日都在11月10日，某年，它們的年齡數的乘積為207025，他們的年齡數之和是102，究竟n指的是多少人？
【課后鞏固】
【練習1】判斷題
（1）1是自然數，并且是最小的自然數. （ ）
整數包括負整數和正整數。 （ ）
若整數a除以整數b恰好除盡，那么我們稱a能被b整除。 （ ）
1是任何整數的因數，任何整數都是1的倍數。 （ ）
任何一個整數都是它本身的倍數，也是它本身的因數。 （ ）
一個正整數正好有兩個因數。 （ ）
個位上是0,5的數都能被5整除。 （ ）
兩個偶數的和是偶數，兩個奇數的和是奇數。 （ ）
偶數的因數一定是偶數，奇數的因數一定是奇數。 （ ）
相鄰的自然數相差1，相鄰的偶數相差2，相鄰的奇數相差3. （ ）
【練習2】填空題
（1）10以內的自然數有 。
最大的負整數是 ，最小的正整數是 ，最小的自然數是 ，最小的非負整數是 。
在6 9 12 15 30 45 66 中
能被2整除的有 .
能被5整除的有 。
既是2的倍數，又能被5整除的數有 。
在自然數中最小的偶數是 。
在150到200之間5的倍數有 個。
一個數的最大因數與最小倍數之和是2018，這個數是 。
連續3個偶數和是42，則它們中最小的偶數是 。
一個兩位數的偶數，被3除余1，被5除余3，此數最大是 。
【練習3】一個三位數，能同時被3和5整除，如果是奇數，那么最大的數是幾？如果是偶數，那么最小的數是幾？
【練習4】用0 4 5 6 四個數字，按要求組成一個沒有重復數字的四位數。
既能被2整除，又能被5整除，
不能被2整除，只能被5整除。
第六講素數合數分解素因數
【考點解讀】
掌握正整數可以分為1，素數，合數三類，熟記20以內的全部素數，掌握用分解素因數求兩個數的最大公因數的方法。理解素數合數素因數和分解素因數的意義，理解公因數，最大公因數，公倍數和徐曉公倍數的意義，理解互素的意義，會判斷兩個數是不是互素，理解用短除法求最大公因數的算理，會用短除法求兩個數的最大公因數，理解用短除法求最小公倍數的算理，會用短除法求兩個數的最小公倍數。
【知識要點】
知識點1 素數和合數：一個正整數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做素數，也叫做質數。如果除了1和它本身以外還有別的因數，這樣的數叫做合數。
知識點2 分解素因數：每個合數都可以寫成幾個素數相乘的形式，其中每個素數都是這個合數的因數，叫做這個合數的素因數，把一個合數用素因數相乘的形式表示出來，叫做分解素因數。
知識點3 最大公因數：幾個數公有的因數，叫做這幾個數的公因數，其中最大的一個叫做這幾個數的最大公因數。
知識點4 最小公倍數 ：幾個數公有的倍數叫做它們的公倍數，其中最小的一個叫做它們的最小公倍數。
知識點5 互素：如果兩個整數只有公因數1，那么稱這兩個數互素。
【典例探究】
【例題1】判斷
最小的素數是1，最小的合數是4. （ ）
兩個連續自然數可能都是素數。 （ ）
三個連續自然數可能都是合數。 （ ）
12的分解素因數是：12=1×2×2×3. （ ）
只有兩個素數之間才會互素。 （ ）
分析： （1）一個正整數若只有1和它本身兩個因數，他叫素數，如果還有別的因數，叫做合數，顯然，1既不是素數也不是合數，最小的素數2，最小的合數是4.
(2)例如：2和3
(3)例如：8 9 10
(4)1不是素數
(5)概念上理解錯誤，素數說的是一個數的屬性，二互素講的是兩個或兩個以上的數與數之間的關系，素數與互素沒有必然的聯系。
解：（1）× （2）√ （3） √ （4） × （5） ×
【例題2】判斷12 19 21 25 是素數還是合數。
分析：寫出12 19 21 25 的因數。
解：12的因數有 1 2 3 4 6 12
19的因數有1 19
21的因數有1 3 7 21
25的因數有1 5 25
通過檢查每個數的因數個數，可以知道19是素數，12,21,和25是合數。
【例題3】用450個邊長為1厘米的正方形拼成一個長方形，如果長和寬都大于15厘米，問這個長方形的長和寬各是多少厘米？
分析：先將450分解素因數，再根據條件找出合適的因數
解：450=2×3×3×5×5=（2×3×3） ×（5×5）=18×25
答：長方形的長和寬分別是25厘米和18厘米。
【例題4】
找出下列各組數的最大公因數和最小公倍數：
（1）14和56 （2）13和16 （3）24和36
分析 ：（1）一般，當a是b的倍數時，b就是它們兩個數的最大公因數，a就是它們的最小公倍數
(2)一般，當幾個數彼此互素時，它們的公因數只有1 ，所以最大公因數就是1.最小公倍數就是它們的乘積。
(3)一般，從公有的最小素因數開始除，直到兩個商互素為止，短除式的左列數字的乘積就是它們的最大公因數，做列數字乘積再乘以它們的商就是它們的最小公倍數，在數感好的情況下，也可以用兩個數的公因數去除，得到商互素即可。
解：（1）因為14是56 的因數，所以14是它們兩個數的最大公因數。
(2)因為13和16互素，所以它們的最大公因數是1.
(3)24和36既沒有因數倍數的關系，也不互素，所以用短除法尋找它們的最大公因數和最小公倍數。
2| 24 36
2| 12 18
3| 6 9
2 3
24和36的最大公因數是2×2×3=12， 最小公倍數是 2×2×3×2×3=72
【課堂運用】
【基礎】
【練習1】
判斷題
所有的素數都是奇數。 （ ）
所有的偶數都是合數。 （ ）
1既不是素數也不是合數。 （ ）
任何一個素數都有兩個素因數 （ ）
兩個素數必然互素。 （ ）
兩個合數必然不互素。 （ ）
互素的兩個數沒有最大公因數。 （ ）
兩個數的最大公因數和最小公倍數一樣，這兩個數相等。 （ ）
有若干個數，它們的公因數和公倍數都有無數個。 （ ）
【鞏固】
【練習1】 將下列各數分解素因數：
（1）84 （2）770
【練習2】 求下列各組數的最大公因數和最小公倍數。
（1）16和48 （2）70和105
（3）42和72 （4）50和125
【提高】
【練習1】現在有邊長1厘米的正方形共18個，可以拼成幾種不同的長方形？這些長方形的長和寬分別是多少？
【練習2】在地鐵人民廣場站，地鐵一號線每隔4分鐘有一列車開出，地鐵二號線每隔6分鐘有一列車開出，在早上8點恰好地鐵1號線與2號線同時有車從這個車站發車，在正午12點之前，有多少次它們兩條地鐵線同時發車？
【練習3】去醫院看病一般經過掛號，就診，取藥三大環節，在看病高峰期，擔任掛號工作的護士每小時可以給28個病人掛號，為病人診斷病情的醫生每小時可以給8位病人診斷，發放藥品的藥劑師能在一小時給20名患者配發藥品，為了在這些過程中不產生病人排隊等待現象，各個環節協調進行，每個環節分別需要安排多少名相關工作人員？
【課后鞏固】
【練習1】
判斷題
兩個素數的和一定是偶數。 （ ）
兩個連續正整數的和一定是素數。 （ ）
一個合數至少有兩個因數。 （ ）
如果兩個數互素，那么這兩個數不可能都是合數。 （ ）
任意兩個奇數都互素，任意兩個偶數都不互素。 （ ）
【練習2】
填空題
（1）2130的因數中，能被5整除的數共有 個。
（2）1001是三個素數的乘積，這三個素數是 。
（3）兩個互素的數的最小公倍數是216，并且這兩個數都是合數，那么它們是 。
（4）兩個數沒有倍數關系，它們的最小公倍數是90，最大公因數是15，那么這兩個數分別是 。
（5）中山公園站有765路和67路公交車站，765路每15分鐘有一輛車進站，67路每9分鐘有一輛進站，這兩路車同時進站后，至少再過 分鐘再次同時進站。
【練習3】
簡答題
把1260分解素因數。
（2）求最大公因數和最小公倍數。
12和18 36和60
（3）甲乙丙三個數，甲與乙的最小公倍數是24，乙與丙的最小公倍數是40，丙與甲的最小公倍數是30，求甲乙丙三個數。
（4）甲乙兩個加油站，間距為3600米，路旁有路標，原來每40米一個（起點，終點各有1個），現在要改成50米一個，將有多少個舊路標可以留用？
第七講 最大公因數與最小公倍數
一、【考點解讀】
1、認識最小公倍數與最大公因數，掌握其表示方法 2、會用短除法和分解質因數求解最大公因數和最小公倍數 3、理解輾轉相除法求最大公因數 4、能夠利用最大公因數與最小公倍數的求法，解決生活中的一些應用
二、【知識講解】
（一）概念
1、最大公因數：幾個數共同的因數中最大的 記做： （a，b）
2、最小公倍數：幾個數共同的倍數中最小的 記做：[a，b]
3、互質： （a，b）=1
（二）求法
1、短除法 （1）最大公因數：除數相乘（乘半邊） 多個數時，除到組內互質 （2）最小公倍數：除數乘商（乘一圈） 多個數時，除到兩兩互質
2、分解質因數 （1）最大公因數：大家都有 （2）最小公倍數：誰有都算
三、【典例探究】
【例題1】要找到兩個數的最大公因數，我們可以先依次分別寫出兩個數的因數，然后在這當中找到它們的公因數，其中最大的就是兩個數的最大公因數。
例如：27的因數有：1，3，9，27；45的因數有：1，3，5，9，15，45；
27和45的公因數有：1，3，9；27和45的最大公因數是：9。
2.對于一些有特殊關系的數，我們可以迅速判斷它們的最大公因數。
（1）公因數只有1的關系：
兩個數如果是公因數只有1關系，它們的最大公因數就是1。
公因數只有1的關系一般有4種情況：
①兩個素數公因數只有1，如3和7
②相鄰兩個自然數公因數只有1，如15和16
③1和任何自然數公因數只有1，如1和18
④其他，如4和15，就需要我們自己判斷，看看它們是不是只有公因數1
（2）倍數關系：如12和72，8和64，15和60等等。
兩個數如果是倍數關系，它們的最大公因數就是其中較小的數。
3.兩個數如果沒有特殊關系，我們也可以用短除法迅速地求出它們的最大公因數。
在以下各組數下面的橫線上寫出每組數的最大公因數。
10和20 6和17 25和50
5|10 20 (6,17)=1 5|25 50
2| 2 4 5|5 10
1 2 1 2
(10,20)=2×5=10 (25,50)=5×5=25
【例題2】求兩個數最小公倍數的方法整理。
1、要找到兩個數的最小公倍數，我們可以依次分別寫出兩個數的倍數（一般寫5到6個），然后在這當中找出它們的公倍數，再找出兩個數的最小公倍數。
例如，8的倍數有：8,16,24,32,40,48,56,64,72,80;10的倍數有：10,20,30,40,50,60,70,80；
8和10的公倍數有：40,80……;8和10的最小公倍數是：40。
2、對于一些有特殊關系的數，我們可以迅速判斷它們的最小公倍數。
（1）公因數只有1的關系：兩個數如果是公因數只有1的關系，最小公倍數是它們的乘積。
（2）倍數關系：兩個數如果是倍數關系，最小公倍數是其中較大的數。
（3）兩個數如果沒有特殊關系，我們也可以用短除法迅速地求出它們的最小公倍數。
3、在以下各組數下面的橫線上寫出每組數的最小公倍數。
20和30 7和17
10|20 30 7和17互素，所以最小公倍數就是兩數的乘積
2 3 [7，17]=7×17=119
[20,30]=10×2×3=60
【課堂運用】
【基礎】 【練習1】有一些糖果，分給8個人或分給10個人，正好分完，這些糖果最少有多少粒？
【練習2】有一包糖，不論分給8個人，還是分給10個人，都能正好分完。這包糖至少有多少塊？
【練習3】一個數被2除余1，被3除余2，被4除余3，，被5除余4被6除余5，此數最小是幾？
【練習4】五年級學生參加植樹活動，人數在30~50之間。如果分成3人一組，4人一組，6人一組或者8人一組，都恰好分完。五年級參加植樹活動的學生有多少人？
【練習5】利用每一小塊長6公分，寬4公分的長方形彩色瓷磚在墻壁上貼成正方形的圖案。問：拼成的正方形的面積最小是多少？
【鞏固】
【練習1】有一堆蘋果 ，每8千克一份，9千克一份，或10千克一份，都會多出3千克，這堆蘋果至少有多少千克？
【練習2】學校合唱隊排練時，如果7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱隊至少有多少人？
【練習3】把37支鋼筆和38本書，平均獎給幾個學習成績優秀的學生，結果鋼筆多出一支，書還缺2本，最多有幾個學習成績優秀的同學？
【練習4】有24個蘋果，32個梨，要分裝在盤子里，每盤的蘋果和梨的個數相同，最多可以裝多少盤？每個盤子里蘋果和梨各多少？
【練習5】阜沙市場是20路和21路汽車的起點站。20路汽車每3分鐘發車一次，21路汽車每5分鐘發車一次。這兩路汽車同時發車以后，至少再過多少分鐘又同時發車？
【練習6】中心小學五年級學生，分為6人一組，8人一組或9人一組排隊做早操，都剛好分完。這個年級至少有學生多少人？
【練習7】有一盤水果，3個3個地數余2個，4個4個數余3，5個5個數余4個，問個盤子里最少有多少個水果？
【練習8】有一個電子表，每走9分鐘亮一次燈，每到整點響一次鈴，中午12點整，電子表既響鈴又亮燈，請問下一次既響鈴又亮燈的是幾點鐘？
【拔高】
【練習1】數學興趣小組有24個男同學，20個女同學，現要分成小組，每個小組男、女同學人數分別相同，最多可以分成多少個小組？每組至少有多少個男同學？多少個女同學？
【練習2】有38支鉛筆和41本練習本平均獎給若干個好少年，結果鉛筆多出3支，練習本還缺1本。得獎的好少年有多少人？
【練習3】兩個整數的最小公倍數為140，最大公約數為4，且小數不能整除大數，求這兩個數。
【練習4】已知A與B的最大公約數為6，最小公倍數為84，且A=42，求B？
【練習5】兩個數的最大公因數為12，最小公倍數為180，且這兩個數不是倍數，求這兩個數？
五、【課后鞏固】 【練習1】有一個數是4、 5、 6的倍數，這個數最小是多少？
【練習2】 甲、乙、丙三人早晨在體育場跑步，甲跑完一圈要3分鐘，乙跑完一圈要7分鐘，丙跑完一圈要6分鐘，三人同時從起點出發，經過多長時間三人再次在起點處相遇？
【練習3】美美客運有A、B兩種車，A車每45分發車一次，B車每1小時發車一次，兩車同時由上午6點發車，下一次同時發車是什么時候？
【練習4】上一次9月18號五年級一班去劃船，他們算一下，如果增加一條船，正好每船坐6個，如果減少一條船，正好每船坐9人，這個班有多少人？
【練習5】 有一塊長方形紙板，長24厘米，寬15厘米，將這塊紙板裁成同樣大小的正方形，不能有剩余，每塊小正方形的邊長是最長是多少？可以裁成多少塊？
【練習6】一張長方形紙，長96厘米 ，寬60厘米，如果把它裁成同樣大小且邊長為整厘米的最大正方形，且保持紙張沒有剩余，每個正方形的邊長是幾厘米？每個正方形的面積是多少？可以裁多少個這樣的正方形？
【練習7】甲乙兩數公因數為15，720為公倍數為，當這兩個數為何值時，它們的差最小。
【練習8】已知A和B的最大公約數是31，且A×B=5766,求A和B。
【練習9】五（1）班和五（2）班兩個班的同學去野炊，吃飯時，他們3人一個菜碗，4人一個湯碗，他們共用了28個碗，這兩個班參加野炊的同學共有多少人？
【練習10】一盒鉛筆，可以平均分給4,5,6個小朋友，都沒有剩余，這盒鉛筆最少有多少只？
【練習11】王伯伯有三個小孩，老大3天回家一次，老二4天回家一次，老三6天回家一次，這次10月1日一起回家，則上一次是幾月幾日一起回家？
【練習12】有一包奶糖，無論分給6個小朋友，8個小朋友，還是10個小朋友，都正好分完，這包糖至少有多少塊？
第八講 分數的意義和性質
一、【考點解讀】
本節課主要學習分數的意義和性質，會根據分數的意義和性質進行解題，能應用分數的意義和性質解決簡單的分數問題。
二、【知識講解】
知識點1---
分數的意義：把一個總體平均分成若干份，其中的1份或若干份可以用分數表示.
分數與除法：除法中的被除數相當于分數中的分子，除法中的除數相當于分數中的分母，除法中的除號相當于分數中的分數線，除法中的商相當于分數的分數值。
知識點2---
分數的基本性質：分數的分子和分母同時擴大或縮小相同的倍數（0除外），分數的大小不變。這叫做分數的基本性質。
知識點3---
分子和分母只有公因數1的分數，叫做最簡分數。
知識點4---
把一個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做約分。
約分的方法就是分子和分母同時除以它們的公因數。
知識點5---
分數的大小比較：
同分母的分數比較大小：分子越大,分數越大；
同分子的分數比較大小：分母越小,分數越大；
不同分母,不同分子的比較：先通分成同分母,然后按照同分母的分數比較大小的方法比較。
知識點6---
把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。
通分時，要把兩個分母的最小公倍數作公分母，別忘了分子和分母要同時乘相同的數。
三、【典例探究】
【例題1】用分數表示下列各式的商．
（1）3÷7； （2）15÷26.
【解】 (1)3÷7=false；(2)15÷26=false.
【例題2】不用畫數軸，請判別下列分數哪些在數軸上表示同一個點？
（1）false；（2）false；（3）false；（4）false.
【解】 （1）false=false；（2）false=false（3）false=false；（4）false=false；
答：false，false在數軸上表示同一個點.
【例題3】
把下列分數化成最簡分數．
（1）false； （2）false； （3）false；（4）false.
【解】（1） （2） （3） （4）
【例題4】下列哪些分數是最簡分數．
（1）false；（2）false；（3）false；（4）false；（5）false.
【解】、
【例題5】 把、、通分，并比較大小。
【解】

四、【課堂運用】
【基礎】 【練習1】判斷題：（正確的在括號內填入“√”，錯誤的在括號內填入“×”）
（1）將分數化成最簡分數的過程叫約分. （ ）
（2）最簡分數的分子、分母一定是素數. （ ）
（3）分子、分母的公因數只有1的分數是最簡分數. （ ）
（4）分子、分母都是奇數的分數是最簡分數. （ ）
（5）分子、分母都是偶數的分數一定不是最簡分數. （ ）
（6）分子、分母都是合數的分數一定不是最簡分數. （ ）
（7）分子、分母都是素數的分數是最簡分數. （ ）
（8）分子、分母是連續的兩個正整數的分數是最簡分數. （ ）
【練習2】一個分子為24的分數經過約分后，結果為false，這個分數原來為（ ）
（A）false （B）false （C）false （D）false
【練習3】分數、、、中,最簡分數的個數為（ ）
（A）0 （B） 1 （C） 2 （D）3
【練習4】一個分數的分子、分母的最大公因數是12，經過約分后得false，則原來分數是 .
【練習5】在false中，與分數false相等的分數是　　__________.
【練習6】比較分數的大小
○ ○ ○
○ ○ ○
【鞏固】【練習1】一個分數的分子、分母的差為28，經過約分后得false，求原來分數.
【練習2】寫出大于false且小于false，分母是20的所有最簡分數.
【練習3】寫出大于false且小于false，分子是6的所有最簡分數.
【練習4】判斷
1、比較分數的大小要看分子，分子大的分數大。 （ ）
2、> ， > 。 （ ）
3、 < （ ， 均是不為0的整數），則 < 。 ( )
4、因為6 > 5，所以 < 。 （ ）
5、真分數小于1，假分數大于1。 （ ）
6、分數單位是的最大真分數是 。 （ ）
【拔高】【練習1】把false的分子和分母同時加一個數，使它的結果等于false，求加上的數.
【練習2】陰影部分把一個正方形的 表示出來.（至少四種）
11017252349521107401968531115002349520002519685
【練習3】字母A、B各表示一個互不相等，且都不超過10的正整數，如果false=false，求A、B各表示哪個數？
【練習4】加工同樣多的零件，李師傅3小時完成總量的，張師傅3小時完成總量的，哪位師傅完成得快？
五、【課后鞏固】
【練習1】用分數表示3÷7的商是_____________.
【練習2】false中有________個false；5個false是__________.
【練習3】把1米長的繩子平均分成6份，那么每份長是false米，如果一根12米長的繩子，也把它平均分成6份，每份是原來的（ ）
A.false B.false米 C.false D.false米
【練習4】把10千克糖果平均分成3份，下列說法正確的是（ ）
A、每份糖果是false千克 B、每份糖果是false千克
C、每份糖果是false千克 D、每份糖果是false千克
【練習5】把4米長的木料平均分成5段，每段長是幾分之幾米？每段長是這根木料的幾分之幾？
【練習6】小明家養了23只灰鴿子，11只白鴿子，白鴿子是灰鴿子的幾分之幾？
【練習7】下列說法，正確的是（ ）
分數的分子和分母都乘以一個數，分數的大小不變
一個分數的分子增加3倍，分母減少3倍，這個分數比原來擴大了9倍
24分鐘就是false小時
false
【練習8】在括號內填上適當的數，使等式成立。
⑵
⑷
⑹
【練習9】小明的媽媽在28歲時生了小明，小明今年剛好10歲。問：
⑴小明今年的年齡是他媽媽年齡的幾分之幾？
(2)過12年，小明的年齡是他媽媽年齡的幾分之幾？
【練習10】有三根繩子，第一根長米，第二根長米，第三根長米，哪一根繩子長些，哪一根繩子短些？
【練習11】小紅、小琴、小倩、小蘭四個同學分別看相同的一本故事書，一周后，她們分別看了這本書的，，，.請把她們看書的多少按照從大到小排列起來。
第九講 分數的運算
一、【考點解讀】
本知識點屬于計算板塊的部分，難度并不大。要求學生在運算順序正確的前提下，通過一定題目的訓練，熟悉分數計算法則。
二、【知識講解】
知識點1---
分數的加法和減法
（1） 同分母分數加、減法 （分母不變，分子相加減）
（2） 異分母分數加、減法 （通分后再加減）
（3） 分數加減混合運算：同整數。
（4） 結果要是最簡分數
帶分數加減法: 帶分數相加減，整數部分和分數部分分別相加減，再把所得的結果合并起來。
知識點2---
分子比分母小的分數叫真分數。真分數小于1。
分子比分母大或分子和分母相等的分數叫做假分數。假分數大于1或等于1。
帶分數包括整數部分和分數部分，分數部分應當是真分數。帶分數大于1。
把假分數化成帶分數的方法是用分子除以分母，商是整數部分，余數是分子，分母不變。
把帶分數化成假分數的方法是用整數部分乘分母的積加原來的分子作分子，分母不變。
知識點3---
分數乘法的運算方法：分數的分子與分子相乘，分母與分母相乘，能約分的要先約分。
知識點4---
分數甲除以分數乙就是分數甲乘以分數乙的倒數。
分數除法的意義：與整數除法的意義相同，都是已知兩個因數的積與其中一個因數求另一個因數。被除數分子乘除數分母，被除數分母乘除數分子。
倒數：是指數學上設一個數x與其相乘的積為1的數，記為，過程為“乘法逆”，除了0以外的數都存在倒數， 分子和分母相倒并且兩個乘積是1的數互為倒數，0沒有倒數。
三、【典例探究】
【例題1】計算：false false
【解】false； = false
【例題2】計算：false×false＝　　　 false×false＝
false×false＝　 　 15×false＝　
【解】false；false；false；3
【例題3】計算：false= false= false
【解】false；false；false
四、【課堂運用】
【基礎】
【練習1】計算
false false


【練習2】運用簡便方法計算下列各題
false false
false false



【練習3】計算：56×false＝　 　false×false＝　　

【練習4】計算：false 11÷false false
【鞏固】
【練習1】運用簡便方法計算下列各題
false false
【練習2】計算：3.6×false＝　　 false×1.6＝
false×false＝　　 1false×8＝　　
【練習3】一塊正方形木板，它的周長是false米，它的邊長是多少？
【拔高】
【練習1】運用簡便方法計算下列各題
false false
false false
【練習2】計算：false×false×false＝　　 false×3.3－0.9＝　　
1false×21＝　 false×1false＝　
【練習3】把一根false米的木料鋸成長度相等的幾段，一共鋸了2次，平均每段長多少米？
【練習4】給一條false千米的人行道鋪地磚，4天完成了任務的一半，平均每天鋪多少千米？
【練習5】一根false米長的鋼繩重2千克，這種鋼繩每米重多少千克？每千克鋼繩有多長？
五、【課后鞏固】
【練習1】計算（能簡算的要簡算）

false false false
false false false
++ － ( ＋ )
11－ － 　　 　 － ＋0.56　　　
【練習2】計算：
3.3×2false＝ 14×4false＝　　　

2false×12＝　 false×7false＝　　
　
【練習3】王阿姨到菜場買了false千克的白菜，用去false元。每千克白菜多少元？

【練習4】一臺榨油機false小時榨油false噸，平均每小時榨油多少噸？榨一噸油需要多少小時？
【練習5】甲數的false與乙數的false相等。甲數是false，乙數是多少？
【練習6】小華把自己的圖書平均分成4份，把其中的一份送給了妹妹，這一份相當于妹妹原來圖書的2倍，現在妹妹的圖書相當于小華的幾分之幾？
【練習7】一輛汽車每小時行120千米，從甲地到乙地行了false小時，甲乙兩地相距多少千米？從乙地到丙地行了40分鐘，乙丙兩地相距多少千米？
【練習8】某小學有男同學840人，女同學人數比男同學少false，女同學人數比男同學少多少人？這個學校共有學生多少人？
第十講 分數與小數的互化
一、【考點解讀】
分數與小數互化也是小升初過度階段必須掌握的重要知識點，規律不多，考法也離不開根據轉換規律或利用解決周期類問題的方法等
二、【知識

展開更多......

收起↑