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高中數(shù)學(xué)題庫
1. 求下列函數(shù)的值域：

2
解法 2 令 t＝ sinx，則 f(t)＝－ t＋ t＋ 1，∵ |sinx|≤ 1, ∴ |t|≤ 1.問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)
于 t的二次函數(shù) f(t)在閉區(qū)間 [－ 1,1]上的最值．

本例題 (2)解法 2通過換元，將求三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
問題，從而達(dá)到解決問題的目的，這就是轉(zhuǎn)換的思想．善于從不同角度去觀察問題，溝通數(shù)
學(xué)各學(xué)科之間的內(nèi)在聯(lián)系，是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)換的目的是將數(shù)學(xué)問題由陌生化熟悉，由
復(fù)雜化簡單，一句話：由難化易．可見化歸是轉(zhuǎn)換的目的，而轉(zhuǎn)換是實(shí)現(xiàn)化歸段手段。

2. 設(shè)有一顆慧星沿一橢圓軌道繞地球運(yùn)行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此慧星離
地球相距 萬千米和 萬千米時(shí)，經(jīng)過地球和慧星的直線與橢圓的長軸夾角分別為
，求該慧星與地球的最近距離。
解： 建立如下圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)地球位于焦點(diǎn) 處，橢圓的方程為
（圖見教材 P132頁例 1）。
當(dāng)過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角為 時(shí)，由橢圓的幾何意義可知，彗星 A 只
能滿足 。作
故由橢圓第二定義可知得
兩式相減得

答：彗星與地球的最近距離為 萬千米。
說明： （ 1）在天體運(yùn)行中，彗星繞恒星運(yùn)行的軌道一般都是橢圓，而恒星正是它的一個(gè)焦點(diǎn)，
該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，一個(gè)是近地點(diǎn)，另一個(gè)則是遠(yuǎn)地點(diǎn)，這兩點(diǎn)到恒星的距離一個(gè)是 ，
另一個(gè)是
（ 2）以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數(shù)學(xué)概念為根基充分體現(xiàn)
了數(shù)形結(jié)合的思想。另外，數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的解決在數(shù)學(xué)化的過程中也要時(shí)刻不忘審題，善于
挖掘隱含條件，有意識地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)。

3. A， B， C是我方三個(gè)炮兵陣地， A在 B正東 6 ， C在 B正北偏西 ，相距 4 ，
P為敵炮 陣地，某時(shí)刻 A處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號，由于 B， C兩地比 A距 P地遠(yuǎn)，
因此 4 后， B， C 才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號，此信號的傳播速度為 1 ， A 若炮擊 P
地，求炮擊的方位角。（圖見優(yōu)化設(shè)計(jì)教師用書 P249例 2）
解： 如圖，以直線 BA 為 軸，線段 BA 的 中 垂 線 為 軸 建 立 坐 標(biāo) 系 ， 則
，因?yàn)?，所以點(diǎn) P在線段 BC的垂直平分線上。
因?yàn)?， BC中點(diǎn) ，所以直線 PD的方程為 （ 1）
又 故 P 在以 A， B 為焦點(diǎn)的雙曲線右支上。設(shè) ，則雙曲線方程為
（ 2）。聯(lián)立（ 1）（ 2），得 ，
所以 因此 ，故炮擊的方位角北偏東 。
說明： 本題的關(guān)鍵是確定 P點(diǎn)的位置，另外還要求學(xué)生掌握方位角的基本概念。

4. 河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂 5 米時(shí)，水面寬度為 8 米，一小船寬 4 米，高 2
米，載貨后船露出水面的部分高 0.75 米，問水面上漲到與拋物線拱頂距多少時(shí)，小船
開始不能通行？
解：建立平面直角坐標(biāo)系 ,設(shè)拱橋型拋物線方程為 。將 B（ 4,-5）代入
得 P=1.6
船兩側(cè)與拋物線接觸時(shí)不能通過
則 A(2,yA)，由 22=-3.2 yA得 yA = - 1.25
因?yàn)榇冻鏊娴牟糠指?0.75米
所以 h=︱ yA︱ +0.75=2米
答：水面上漲到與拋物線拱頂距 2米時(shí)，小船開始不能通行
[思維點(diǎn)拔 ] 注意點(diǎn)與曲線的關(guān)系的正確應(yīng)用和用建立拋物線方程解決實(shí)際問題的技巧。．

5. 如圖所示，直線 和 相交于點(diǎn) M， ，點(diǎn) ，以 A、 B為端點(diǎn)的曲線段 C
上任一點(diǎn)到 的距離與到點(diǎn) N的距離相等。若 為銳角三角形，
，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段 C的方程。
解：以直線 為 x軸，線段 MN的垂直平分線為 y軸，建立直角坐標(biāo)系，由條件可知，曲
線段 C是以點(diǎn) N為焦點(diǎn)，以 為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中 A、 B分別為曲線段 C的端
點(diǎn)。
設(shè)曲線段 C的方程為 ，其中 為 A、 B的
橫坐標(biāo)， ，所以 ，由 ，得
（ 1）
（ 2），（ 1）（ 2）聯(lián) 立解得 ，代入（ 1）式，并由
解得 ，因?yàn)?為銳角三角形，所以 ，故舍去 ，所
以
由點(diǎn) B在曲線段 C上，得 ，綜上，曲線段 C的方程為

[思維點(diǎn)拔 ]本題體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思路，考查了定義法，待定系數(shù)法求曲線方程的步驟，
綜合考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

6. 設(shè)拋物線 的焦點(diǎn)為 A,以 B(a+4,0)點(diǎn)為圓心，︱ AB︱?yàn)榘霃剑?x 軸
上方畫半圓，設(shè)拋物線與半圓相交與不同的兩點(diǎn) M， N。點(diǎn) P是 MN的中點(diǎn)。
（ 1）求︱ AM︱ +︱ AN︱的值
（ 2）是否存在實(shí)數(shù) a，恰使︱ AM︱︱ AP︱︱ AN︱成等差數(shù)列？若存在，求出 a，不存在，
說明理由。
解： (1)設(shè) M,N,P在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為 M′ ,N′ ,P′ .
︱ AM ︱ + ︱ AN ︱ = ︱ MM ′︱ + ︱ NN ′︱ =xM+xN+2a 又圓方程

將 代入得
得︱ AM︱ +︱ AN︱ =8
(2)假設(shè)存在 a
因?yàn)棣?AM︱ +︱ AN︱ =︱ MM′︱ +︱ NN′︱ =2︱ PP′︱
所以︱ AP︱ =︱ PP′︱ ， P點(diǎn)在拋物線上，這與 P點(diǎn)是 MN的中點(diǎn)矛盾。故 a不存在。

7. 拋物線 上有兩動點(diǎn) A， B及一個(gè)定點(diǎn) M， F為焦點(diǎn)，若
成等差數(shù)列
（ 1） 求證線段 AB的垂直平分線過定點(diǎn) Q
（ 2） 若 （ O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求拋物線的方程。
（ 3） 對于（ 2）中的拋物線，求 △ AQB面積的最大值。
解 ：（ 1 ）設(shè) ，則 ， ，
，由題意得 ， 的中點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為 ，其中
（否則 ），
而 ，故 AB 的 垂 直 平 分 線 為
，即 ，可知其過定點(diǎn)
（ 2）由 ，得 ，聯(lián)立解得 。
（ 3 ）直線 AB ： ， 代 入 得 ，
，

， 又 點(diǎn) 到 AB 的 距 離 ，

令 ，則 ，令 即
，得 或 或 ， 時(shí)
。
[思維點(diǎn)拔 ]設(shè)而不求法和韋達(dá)定律法是解決圓錐曲線中的兩大基本方法， 必須熟練掌握，對
定點(diǎn)問題和最值的處理也可由此細(xì)細(xì)的品味。

8、 已知直線 交橢圓 于 A、 B 兩點(diǎn)，若 為 的傾斜角，
且 的長不小于短軸的長，求 的取值范圍。
解：將 的 方 程 與 橢 圓 方 程 聯(lián) 立 ， 消 去 ，得


由 ，
的取值范圍是
[思維點(diǎn)拔 ]對于弦長公式一定要能熟練掌握、靈活運(yùn)用民。本題由于 的方程由 給出，
所以可 以認(rèn)定 ，否則涉及弦長計(jì)算時(shí)，還要討論 時(shí)的情況。

9、 已知拋物線 與直線 相交于 A、 B兩點(diǎn)
（ 1） 求證：
（ 2） 當(dāng) 的面積等于 時(shí)，求 的值。
（ 1） 證明：圖見教材 P127頁，由方程組 消去 后，整理得 。
設(shè) ，由韋達(dá)定理得 在拋物線 上，


（ 2） 解：設(shè)直線與 軸交于 N，又顯然 令



[思維點(diǎn)拔 ]本題考查了兩直線垂直的充要條件，三角形的面積公式，函數(shù)與方程的思想，以
及分析問題、解決問題的能力。

2
10、 在拋物線 y=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線 y=kx+3對稱，求 k的取值范圍。
2
〖解〗設(shè) B、 C關(guān)于直線 y=kx+3對稱，直 線 BC方程為 x=-ky+m代入 y=4x得：
2
y+4ky-4m=0， 設(shè) B（ x1， y1）、 C（ x2， y2）， BC中點(diǎn) M（ x0， y0），則
2
y0=（ y1+y2） /2=-2k。 x0=2k+m，
2
∵點(diǎn) M（ x0， y0）在直線上。∴ -2k（ 2k+m） +3，∴ m=- 又 BC 與拋物線交于不
2
同兩點(diǎn)，∴⊿ =16k+16m>0把 m代入化簡得 即 ，
解得 -1[思維點(diǎn)拔 ]對稱問題要充分利用對稱的性質(zhì)特點(diǎn)。

11、 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) F1（ 0， -2 ），對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為 y=- ，且離心率 e滿足：
2/3， e， 4/3成等比數(shù)列。
（ 1） 求橢圓方程；
（ 2） 是否存在直線 ，使 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M、 N，且線段 MN 恰被直線 x=- 平
分。若存在，求 的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由。
〖解〗依題意 e=
（ 1）∵ -c= -2 = ，又 e= ∴ =3， c=2 ， b=1，又 F1（ 0， -2 ），
對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為 y=- 。∴橢圓中心在原點(diǎn)，所求方程為：
=1
（ 2）假設(shè)存在直線 ，依題意 交橢圓所得弦 MN被 x=- 平分，∴直線 的斜率存在。設(shè)
直線 ： 由
=1消去 y，整理得
=0
2 2 2 2
∵直線 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M、 N∴⊿ =4km-4(k+9)(m-9)>0
2 2
即 m-k-9<0 ①
設(shè) M （ x1， y1）、 N（ x2， y2）
∴ ，∴ ②
把②代入①可解得：
∴直線 傾斜角

[思維點(diǎn)拔 ] 傾斜角的范圍，實(shí)際上是求斜率的范圍。

12、 設(shè) x， y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù) z=ax+by（ a>0， b>0）的值是最大
值為 12，則 的最小值為（ ）
A． B． C． D． 4
答案： A
解析： 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分 ,當(dāng)直線 ax+by= z（ a>0， b>0）過直線
x-y+2=0 與直線 3x-y-6=0 的交點(diǎn)（ 4,6）時(shí)，目標(biāo)函數(shù) z=ax+by（ a>0， b>0）取得最大 12，
即 4a+6b=12，即 2a+3b=6, 而 = ，故選
A．
點(diǎn)評： 本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題．要求能準(zhǔn)確
地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值，對于形如已知 2a+3b=6，求
的
最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答．

13、 本公司計(jì)劃 2008年在 甲、乙兩個(gè)電視臺做總時(shí)間不超過 300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用
不超過 9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為 元 /分鐘和 200元 /分鐘，規(guī)定甲、
乙兩個(gè)電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為 0． 3萬元和 0． 2萬
元．問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益
是 萬元．
答案： 70
解析 ：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時(shí)間分別為 分鐘和 分鐘，總收益為
y
元，由題意得
500
400
目標(biāo)函數(shù)為 ．
300
二元一次不等式組等價(jià)于
l 200 M
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域． 100
如圖：作直線 ，即 ．
0 100 200 300 x
平 移直線，從圖中可知，當(dāng)直線過 點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．
聯(lián)立 解得 ． 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．
（元）．
點(diǎn)評 ： 本題是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，需要通過 審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，
找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合解答問題． 用線性規(guī)劃的方法解
決實(shí)際問題能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，隨著課改的深入，這類試題應(yīng)該是高考
的熱點(diǎn)題型之一．

14、 設(shè) 為實(shí)數(shù)，函數(shù) ．
(1)若 ，求 的取值范圍；
(2)求 的最小值；
(3)設(shè)函數(shù) ， 直接寫出 ． ． ． ． (不需給出演算步驟 )不等式 的
解集．
解析： （ 1）若 ，則 ；
（ 2）當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， ，
綜上 ；
（ 3） 時(shí)， 得 ，

當(dāng) 時(shí)， ；
當(dāng) 時(shí)，△ >0，得： ；
討論得：當(dāng) 時(shí)，解集為 ；
當(dāng) 時(shí)，解集為 ；
當(dāng) 時(shí)，解集為 ．
點(diǎn)評： 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識，考查
靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力．

15、 知函數(shù) ．
（Ⅰ）設(shè) 是正 數(shù)組成的數(shù)列，前 n項(xiàng)和為 ，其中 ．若點(diǎn) (n
∈ N*)在函數(shù) 的圖象上，求證：點(diǎn) 也在 的圖象上；
（Ⅱ）求函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的極值．
解析： (Ⅰ )證明： 因?yàn)?所以 ，
由點(diǎn) 在函數(shù) 的圖象上 ,
， 又 ，
所以 ， 是 的等差數(shù)列，
所以 ,又因?yàn)?,所以 ,
故點(diǎn) 也在函數(shù) 的圖象上．
(Ⅱ )解 : ,令 得 ．
當(dāng) x變化時(shí) , ﹑ 的變化情況如下表 :
x (-∞ ,-2) -2 (-2,0
)
f(x) + 0 -
f(x) ↗ 極大值 ↘
注意到 ,從而
①當(dāng) ,此時(shí) 無極小
值；
②當(dāng) 的極小值為 ,此時(shí) 無極大值；
③當(dāng) 既無極大值又無極小值．
點(diǎn)評： 本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識，考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)
學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力．

16、 設(shè) 若 是 與 的等比中項(xiàng)，則 的最小值為（ ）
A． 8 B． 4 C． 1 D．
答案 ： B
解析： 因?yàn)?，所以 ，
，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)“ =”成立，故選擇 B．
點(diǎn)評： 本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運(yùn)用，考查了變通
能力．
17、 設(shè)數(shù)列 滿足 為實(shí)數(shù)．
（ Ⅰ ）證明： 對任意 成立的 充分必要條件是 ；
（ Ⅱ ）設(shè) ，證明： ；
（ Ⅲ ）設(shè) ，證明： ．
解析 ： (1) 必要性 ： ， 又 ， 即
．
充分性 ： 設(shè) ，對 用數(shù)學(xué)歸納法證明
，
當(dāng) 時(shí)， ．假設(shè)
，
則 ，且
，
，由數(shù)學(xué)歸納法知 對所有 成立．
(2) 設(shè) ，當(dāng) 時(shí)， ，結(jié)論成立．
當(dāng) 時(shí)，
，
,由（ 1）知 ，所以 且
，
，

，

．
(3) 設(shè) ，當(dāng) 時(shí)， ，結(jié)論成立，
當(dāng) 時(shí)，由（ 2）知
，

，

．
點(diǎn)評： 該題綜合考查了等比數(shù)列的求和、不等式的性質(zhì)的應(yīng)用、充分必要條件和數(shù) 學(xué)歸
納法等，具有較高的難度，對邏輯推理能力的考查要求較高．

18、 將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析： 一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有 個(gè)，其中為等差數(shù)列有三類：
（ 1）公差為 0的有 6個(gè)；（ 2）公差為 1或 -1的有 8個(gè)；（ 3）公差為 2或 -2的有 4個(gè)，
共 有 18個(gè)，成等差數(shù)列的概率為 ，選 B．
點(diǎn)評 ：本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn)，題型新穎而別開生面，有采取分類討論，分類
時(shí)要做到不遺漏，不重復(fù)．
19、 等差數(shù)列 {an}和 {bn}的前 n項(xiàng)和分別用 Sn和 Tn表示，若 ，則 的值為 ( )
A B C D
答案 ： A
解析 ： ∵ ； ．
∴ ．
點(diǎn)評：考查等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和的變形。

2
(a＋ b)
20、 已知 x＞ 0， y＞ 0， x， a， b， y成等差數(shù)列， x， c， d， y成等比數(shù)列，則 的最小
cd
值是 ________．
答案 ： 4
2 2 2
(a＋ b) (x＋ y) (2 xy)
解析 ： ∵ ＝ ≥ ＝ 4．
cd xy xy
點(diǎn)評：考查等差等比數(shù)列的基本知識，均值不等式。

21、 命題 實(shí)數(shù) 滿足 ，其中 ，命題 實(shí)數(shù) 滿足
或 ，且 是 的必要不充分條件，求 的取值范圍．
解析 ： 設(shè) ，

=
因?yàn)?是 的必要不充分條件，所以 ，且 推不出
而 ，
所以 ， 則 或
即 或 ．
點(diǎn)評： 考查邏輯用語，一元二次方程及其含參數(shù)的解集。

22、 已知二次函數(shù) 的二次項(xiàng)系數(shù)為 a ，且不等式 的解集為（ 1 , 3）．
（ l）若方程 有兩個(gè)相等的根，求 的解析式；
（ 2）若 的最大值為正數(shù)，求 a 的取值范圍．
解析 ： （ 1）因?yàn)?的解集為（ 1， 3），所以 且 ．
因而 （ 1）
由方程 得： （ 2）
因?yàn)榉匠蹋?2）有兩個(gè)相等的根．
所以 ，即 ．
解得： （舍去）或 ，
將 代入（ 1）得 的解析式為： ，
（ 2） ，
有 a < 0，可得 的最大值為 ，
所以 > 0，且 a < 0．
解得： ，
故當(dāng) 的最大值為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù) a的取值范圍是 ．
點(diǎn)評 ：含參數(shù)的未知一元二次方程，求函數(shù)表達(dá)式以及參數(shù)的取值范圍。計(jì)算量比較大，且
要求對一元二次函數(shù)的知識熟練。

23、 已知數(shù)列 中， 是其前 項(xiàng)和，并且 ，
⑴設(shè)數(shù)列 ，求證：數(shù)列 是等比數(shù)列；
⑵設(shè)數(shù)列 ，求證：數(shù)列 是等差數(shù)列；
⑶求數(shù)列 的通項(xiàng)公式及前 項(xiàng)和。
分析 ：由于 {b }和 {c }中的項(xiàng)都和 {a }中的項(xiàng)有關(guān)， {a }中又有 S =4a +2，可由
S -S 作切入點(diǎn)探索解題的途徑．
解 ： (1)由 S =4a ， S =4a +2，兩式相減，得 S -S =4(a -a )，即
a =4a -4a ． (根據(jù) b 的構(gòu)造，如何把該式表示成 b 與 b 的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注
意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練 )
a -2a =2(a -2a )，又 b =a -2a ，所以 b =2b ①
已知 S =4a +2， a =1， a +a =4a +2，解得 a =5， b =a -2a =3 ②
由 ① 和 ② 得，數(shù)列 {b }是首項(xiàng)為 3，公比為 2的等比數(shù)列，故 b =3· 2 ．



當(dāng) n≥ 2時(shí)， S =4a +2=2 (3n-4)+2；當(dāng) n=1時(shí)， S =a =1也適合上式．
綜上可知，所求的求和公式為 S =2 (3n-4)+2．
說明： 1．本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為 等差，等比數(shù)列，求數(shù)列
通項(xiàng)與前 項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件 得出遞推公式。
2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后
面求解的過程中適時(shí)應(yīng)用．

24、 設(shè)實(shí)數(shù) ，數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，記
，
求證：當(dāng) 時(shí)，對任意自然數(shù) 都有 =
解 ： 。



記 ①
②
① +②得 ③


說明 ：本例主要復(fù)習(xí)利用錯位相減解決差比數(shù)列的求和問題。關(guān)鍵是先研究通項(xiàng)，確定
是等差數(shù)列， 等比數(shù)列。

25、 設(shè)正數(shù)數(shù)列 {a }為一等比數(shù)列，且 a =4， a =16．




說明： 這是 2000年全國高考上海試題，涉及對數(shù)、數(shù)列、極限的綜合題，主要考查等
比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式，對數(shù)計(jì)算，求數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識，以
及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力．

26、 （ 2004年北京春季高考 20）下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：
4 7 （） （） （） …… ……
7 12 （） （） （） …… ……
（） （） （） （） （） …… ……
（） （） （） （） （） …… ……
…… …… …… …… …… …… …… ……
…… ……
…… …… …… …… …… …… …… ……
其中每行、每列都是等差數(shù)列， 表示位于第 i行第 j列的數(shù)。
（ I）寫出 的值；（ II）寫出 的計(jì)算公式；
（ III）證明：正整數(shù) N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是 2N+1可以分 解成兩個(gè)不是 1的正整
數(shù)之積。
分析： 本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題
和解決問題的能力。
解： （ I）
（ II）該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為 4，公差為 3的等差數(shù)列：

第二行是首項(xiàng)為 7，公差為 5的等差數(shù)列：

……
第 i行是首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列， 因此

（ III）必要性：若 N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù) i， j使得
從而
即正整數(shù) 2N+1可以分解成兩個(gè)不是 1的正整數(shù)之積。
充分性：若 2N+1可以分解成兩個(gè)不是 1的正整數(shù)之積，由于 2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個(gè)
不是 1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù) k， l，使得
，從而
可見 N在該等差數(shù)陣中。
綜上所述，正整數(shù) N在該等差數(shù)陣中的充要條件是 2N+1可以分解成兩個(gè)不是 1的正整數(shù)之
積。
27、 已知點(diǎn)的序列 （ ， 0）， ，其中 =0， ， A3是線錢 A1A2的中點(diǎn)，
A4是線段 A2A3的中點(diǎn)， … ， An是線段 的中點(diǎn)， … 。
（ I）寫出 與 、 之間的關(guān)系式（ ≥3 ）
（ II）設(shè) ，計(jì)算 ， ， ，由此推測數(shù)列 { }的通項(xiàng)公式，并加以證明 。
（ I）解： 當(dāng) n≥3 時(shí)，
（ II）解：

.
由此推測。
證法一 ：因?yàn)?，且
（ n≥2 ）所以 。
證法二 ：（用數(shù)學(xué)歸納法證明：）
（ i）當(dāng)時(shí)， ，公式成立，
（ ii）假設(shè)當(dāng) 時(shí)，公式成立，即 成立。
那么當(dāng) 時(shí)，
= 式仍成立。
根據(jù)（ i）與（ ii）可知，對任意 ，公式 成立
評注： 本小題主要考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、等比數(shù)列等基本知識，考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力。

28、 （ 94年全國理 )設(shè)｛ an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為 Sn，并且對所有自然數(shù) n， an與 2
的等差中項(xiàng)等于 Sn與 2的等比中項(xiàng) .
(1)寫出數(shù)列｛ an｝的前三項(xiàng)； (2)求數(shù)列｛ an｝的通項(xiàng)公式 (寫出推證過程 )；
(3)令 bn= (n∈N) ，求： b1+b2+…+ bn-n.
解： (1)由題意 = an＞ 0
令 n=1時(shí)， = S1=a1解得 a1=2
令 n=2時(shí)有 = =a1+a2 解得 a2=6
令 n=3時(shí)有 = S3=a1+a2+a3解得 a3=10
故該數(shù)列的前三項(xiàng)為 2、 6、 10.
(2)解法一 ：由 (1)猜想數(shù)列｛ an｝有通項(xiàng)公式 an=4n-2，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列｛ an｝的通項(xiàng)
公式是 an=4n-2(n∈N)
1° 當(dāng) n=1時(shí)，因?yàn)?4×1 -2＝ 2，又在 (1)中已求得 a1=2，所以上述結(jié)論正確 .
2° 假設(shè) n=k時(shí)，結(jié)論正確，即有 ak=4k-2
2
由題意有 得 ak=4k-2,代入上式得 2k= ,解得 Sk=2k
2 2
由題意有 = Sk+1=Sk+ak+1得 Sk=2k 代入得 =2(ak+1+2k)
2 2
整理 ak+1-4ak+1+4-16k=0 由于 ak+1＞ 0，解得： ak+1=2+4k
所以 ak+1=2+4k=4(k+1)-2
這就是說 n=k+1時(shí)，上述結(jié)論成立 .
根據(jù) 1° ， 2° 上述結(jié)論對所有自然數(shù) n成立 .
2
解法二： 由題意有， = (n∈N) 整理得 Sn= (an+2)
2 2 2
由此得 Sn+1= (an+1+2) 所以 an+1=Sn+1-Sn= ［（ an+1+2)-(an+2)］
整理得 (an+1+an)(an+1-an-4)=0由題意知 an+1+an≠0, 所以 an+1-an=4
即數(shù)列｛ an｝為等差數(shù)列，其中 a1=2,公差 d=4，
所以 an=a1＋ (n-1)d=2+4(n-1) 即通項(xiàng)公式 an=4n-2.
(3)令 cn=bn-1,
則 cn= = =
b1+b2+…+ bn-n=c1+c2+…+ cn
=
說明 ： 該題的解題思路是從所給條件出發(fā)，通過觀察、試驗(yàn)、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)
律，然后再對歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明 .對于含自然數(shù) n的命題，可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行
證明，該題著重考查了歸納、概括和數(shù)學(xué)變換的能力 .

29、 （江蘇 18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中， M、 N分別是橢圓 的頂點(diǎn)，
過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于 P、 A兩點(diǎn)，其中 P在第一象限，過 P作 x軸的垂線，垂足為 C，
連接 AC，并延長交橢 圓于點(diǎn) B，設(shè)直線 PA的斜率為 k
（ 1）當(dāng)直線 PA平分線段 MN，求 k的值；
（ 2）當(dāng) k=2時(shí)，求點(diǎn) P到直線 AB的距離 d；
（ 3）對任意 k>0，求證： PA⊥ PB

本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離
等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，滿分 16分 .
解：（ 1）由題設(shè)知， 所以線段 MN 中點(diǎn)的坐標(biāo)為
，由于直線 PA平分線段 MN，故直線 PA過線段 MN的中點(diǎn)，又直線 PA過坐標(biāo)
原點(diǎn)，所以
（ 2）直線 PA的方程
解得
于是 直線 AC的斜率為

（ 3）解法一：
將直線 PA的方程 代入
則
故直線 AB的斜率為
其方程為
解得 .
于是直線 PB的斜率
因此
解法二：
設(shè) .
設(shè)直線 PB， AB的斜率分別為 因?yàn)?C在直線 AB上，所以
從而


因此

30、 （安徽理 21）設(shè) ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為（ 1,1），點(diǎn) 在拋物線 上運(yùn)動，點(diǎn) 滿足
，經(jīng)過 點(diǎn)與 軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn) ，點(diǎn) 滿足 ,
求點(diǎn) 的軌跡方程。














本題考查直線和拋物線的方程，平面向量的概念，性質(zhì)與運(yùn)算，動點(diǎn)的軌跡方程等基本知識，
考查靈活運(yùn)用知識探究問題和解決問題的 能力，全面考核綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng) .
解：由 知 Q， M， P三點(diǎn)在同一條垂直于 x軸的直線上，故可設(shè)
①
再設(shè)
解得 ②
將①式代入②式，消去 ，得
③
又點(diǎn) B在拋物線 上，所以 ，再將③式代入 ，得

故所求點(diǎn) P的軌跡方程為

31、 （北京理 19）
已知橢圓 .過點(diǎn)（ m,0）作圓 的切線 I交橢圓 G于 A， B兩點(diǎn) .
（ I）求橢圓 G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（ II）將 表示為 m的函數(shù)，并求 的最大值 .
（ 19）（共 14分）
解：（Ⅰ）由已知得
所以
所以橢圓 G的焦 點(diǎn)坐標(biāo)為
離心率為
（Ⅱ）由題意知， .
當(dāng) 時(shí)，切線 l的方程 ，點(diǎn) A、 B的坐標(biāo)分別為
此時(shí)
當(dāng) m=－ 1時(shí)，同理可得
當(dāng) 時(shí)，設(shè)切線 l的方程為
由
設(shè) A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ，則

又由 l與圓
所以


由于當(dāng) 時(shí)，
所以 .
因?yàn)?
且當(dāng) 時(shí)， |AB|=2，所以 |AB|的最大值為 2.

32、 （福建理 17）已知直線 l： y=x+m， m∈ R。
（ I）若以點(diǎn) M（ 2,0）為圓心的圓與直線 l相切與點(diǎn) P，且點(diǎn) P在 y軸上，求該圓的方程；
（ II）若直線 l關(guān)于 x軸對稱的直線為 ，問直線 與拋物線 C： x2=4y是否相切？說明理由。
本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、
數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。滿分 13分。
解法一：
（ I）依題意，點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 0， m）
因?yàn)?，所以 ，
解得 m=2，即點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 0， 2）
從而圓的半徑

故所求圓的方程為
（ II）因?yàn)橹本€ 的方程為
所以直線 的方程為
由

（ 1）當(dāng) 時(shí)，直線 與拋物線 C相切
（ 2）當(dāng) ，那 時(shí)，直線 與拋物線 C不相切。
綜上，當(dāng) m=1時(shí)，直線 與拋物線 C相切；
當(dāng) 時(shí) ，直線 與拋物線 C不相切。
解法二：
（ I）設(shè)所求圓的半徑為 r，則圓的方程可設(shè)為
依題意，所求圓與直線 相切于點(diǎn) P（ 0， m），
則
解得
所以所求圓的方程為
（ II）同解法一。

33、 （廣東理 19）
設(shè)圓 C與兩圓 中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切。
（ 1）求 C的圓心軌跡 L的方程 ;
（ 2）已知點(diǎn) M ，且 P為 L上動點(diǎn)，求 的最大值及此時(shí)
點(diǎn) P的坐標(biāo)．

（ 1）解：設(shè) C的圓心的坐標(biāo)為 ，由題設(shè)條件知

化簡得 L的方程為

（ 2）解：過 M， F的直線 方程為 ，將其代入 L的方程得

解得
因 T1在線段 MF外， T2在線段 MF內(nèi)，故
，若 P不在直線 MF上，在 中有

故 只在 T1點(diǎn)取得最大值 2。
34、 （湖北理 20）
平面內(nèi)與兩定點(diǎn) ， 連續(xù)的斜率之積等于非零常數(shù) 的點(diǎn)的軌跡，
加上 、 兩點(diǎn)所成的曲線 可以是圓、橢圓成雙曲線．
（Ⅰ）求曲線 的方程，并討論 的形狀與 值得關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，對應(yīng)的曲線為 ；對給定的 ，對應(yīng)的曲線為 ，
設(shè) 、 是 的兩個(gè)焦點(diǎn)。試問：在 撒謊個(gè)，是否存在點(diǎn) ，使得△ 的面積
。若存在，求 的值；若不存在，請說明理由。
本小題主要 考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查推理運(yùn)算的能力，以及分類與
整合和數(shù)形結(jié)合的思想。（滿分 14分）
解：（ I）設(shè)動點(diǎn)為 M，其坐標(biāo)為 ，
當(dāng) 時(shí)，由條件可得
即 ，
又 的坐標(biāo)滿足
故依題意，曲線 C的方程為
當(dāng) 曲線 C的方程為 是焦點(diǎn)在 y軸上的橢圓；
當(dāng) 時(shí)，曲線 C的方程為 ， C是圓心在原點(diǎn)的圓；
當(dāng) 時(shí)，曲線 C的方程為 ， C是焦點(diǎn)在 x軸上的橢圓；
當(dāng) 時(shí)，曲線 C的方程為 C是焦點(diǎn)在 x軸上的雙曲線。
（ II）由（ I）知，當(dāng) m=-1時(shí)， C1的方程為
當(dāng) 時(shí)，
C2的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為
對于給定的 ，
C1上存在點(diǎn) 使得 的充要條件是
①
②

由①得 由②得
當(dāng)
或 時(shí)，
存在點(diǎn) N，使 S=|m|a2；
當(dāng)
或 時(shí)，
不存在滿足條件的點(diǎn) N，
當(dāng) 時(shí)，
由 ，
可得
令 ，
則由 ，
從而 ，
于是由 ，
可得
綜上可得：
當(dāng) 時(shí)，在 C1 上，存在點(diǎn) N，使得

當(dāng) 時(shí)，在 C1 上，存在點(diǎn) N，使得

當(dāng) 時(shí)，在 C1 上，不
存在滿足條件的點(diǎn) N。

35、 （湖南理 21）
如圖 7，橢圓 的離心率為 ， x 軸被曲線 截得
的線段長等于 C1的長半軸長。
（Ⅰ）求 C1， C2的方程；
（Ⅱ）設(shè) C2與 y軸 的焦點(diǎn)為 M，過坐標(biāo)原點(diǎn) O 的直線 與 C2相交于點(diǎn) A,B,直線 MA,MB
分別與 C1相交與 D,E．
（ i）證明： MD⊥ ME;
（ ii）記△ MAB,△ MDE 的面積分別是 ．問：是否存在直線 l,使得 ?請說明理
由。
解 ：（Ⅰ）由題意知
故 C1， C2的方程分別為
（Ⅱ）（ i）由題意知，直線 l的斜率存在，設(shè)為 k，則直線 l的方程為 .
由 得
.
設(shè) 是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是

又點(diǎn) M的坐標(biāo)為（ 0， — 1），所以


故 MA⊥ MB，即 MD⊥ ME.
（ ii）設(shè)直線 MA的斜率為 k1，則直線 MA的方程為 解得

則點(diǎn) A的坐標(biāo)為 .
又直線 MB的斜率為 ，
同理可得點(diǎn) B的坐標(biāo)為
于是
由 得
解得
則點(diǎn) D的坐標(biāo)為
又直線 ME的斜率為 ，同理可得點(diǎn) E的坐標(biāo)為
于是 .
因此
由題意知，
又由點(diǎn) A、 B的坐標(biāo)可知，
故滿足條件的直線 l存在，且有兩條，其方程分別為

36、 （遼寧理 20）
如圖，已知橢圓 C1的中心在原點(diǎn) O，長軸左、右端點(diǎn) M，
N 在 x 軸上，橢圓 C2 的短軸為 MN，且 C1， C2的離心率
都為 e，直線 l⊥ MN， l與 C1交于兩點(diǎn)，與 C2交于兩點(diǎn)，
這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為 A， B， C， D．
（ I） 設(shè) ，求 與 的比值；
（ II）當(dāng) e 變化時(shí)，是否存在直線 l，使得 BO∥ AN，并說
明理由．

解：（ I）因?yàn)?C1， C2的離心率相同，故依題意可設(shè)

設(shè)直線 ，分別與 C1， C2的方程聯(lián)立，求得
………………4 分
當(dāng) 表示 A， B的縱坐標(biāo)，可知
………………6 分
（ II） t=0 時(shí)的 l不符合題意 . 時(shí)， BO//AN當(dāng)且僅當(dāng) BO的斜率 kBO 與 AN的斜率
kAN相等，即

解得
因?yàn)?
所以當(dāng) 時(shí)，不存在直線 l，使得 BO//AN；
當(dāng) 時(shí)，存在直線 l使得 BO//AN. ………………12 分

37、 （全國大綱理 21）
已知 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， F為橢圓 在 y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過 F且斜率為 的
直線 與 C交于 A、 B兩點(diǎn)，點(diǎn) P滿足
（Ⅰ）證明：點(diǎn) P在 C上；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn) P關(guān)于點(diǎn) O的對稱點(diǎn)為 Q，證明： A、 P、 B、 Q四點(diǎn)在同一圓上．









解：
（ I） F（ 0， 1）， 的方程為 ，
代入 并化簡得
………… 2分
設(shè)
則

由題意得
所以點(diǎn) P的坐標(biāo)為
經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn) P的坐標(biāo)為 滿足方程
故點(diǎn) P在橢圓 C上。 ………… 6分
（ II）由 和題設(shè)知，
PQ的垂直平分線 的方程為
①
設(shè) AB的中點(diǎn)為 M，則 ， AB的垂直平分線為 的方程為
②
由①、②得 的交點(diǎn)為 。 ………… 9分

故 |NP|=|NA|。
又 |NP|=|NQ|， |NA|=|NB|，
所以 |NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，
由此知 A、 P、 B、 Q四點(diǎn)在以 N為圓心， NA為半徑的圓上

38、 （全國新課標(biāo)理 20）
在平面直角坐標(biāo)系 xOy中， 已知點(diǎn) A（ 0， -1）， B點(diǎn)在直線 上， M點(diǎn)滿足 ，
， M點(diǎn)的軌跡為曲線 C．
（ I）求 C的方程；
（ II） P為 C上動點(diǎn)， 為 C在點(diǎn) P處的切線，求 O點(diǎn)到 距離的最 小值．

解：
(Ⅰ )設(shè) M(x， y)，由已知得 B(x， -3)， A(0， -1).
所以 =（ -x， -1-y）， =(0， -3-y)， =(x， -2).
再由題意可知（ + ） ? =0， 即（ -x， -4-2y） ? (x， -2)=0.
所以曲線 C的方程式為 y= x -2.
(Ⅱ )設(shè) P(x ， y )為曲線 C： y= x -2上一點(diǎn)，因?yàn)?y = x，所以 的斜率為 x
因此直線 的方程為 ，即 ．
則 O點(diǎn)到 的距離 .又 ，所以

當(dāng) =0時(shí)取等號，所以 O點(diǎn)到 距離的最小值為 2.
39、 （山東理 22）
已知動直線 與橢圓 C: 交于 P 、 Q 兩不同點(diǎn)，且△ OPQ的面積
= ,其中 O為坐標(biāo)原點(diǎn) .
（Ⅰ）證明 和 均為定值 ;
（Ⅱ）設(shè)線段 PQ的中點(diǎn)為 M，求 的最大值；
（Ⅲ）橢圓 C上是否存在點(diǎn) D,E,G，使得 ?若存在，判斷△ DEG
的形狀；若不存在，請說明理由 .
（ I）解：（ 1）當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí)， P， Q兩點(diǎn)關(guān)于 x軸對稱，
所以
因?yàn)?在橢圓上，
因此 ①
又因?yàn)?
所以 ②
由①、②得
此時(shí)
（ 2）當(dāng)直線 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 的方程為
由題意知 m ，將其代入 ，得
，
其中
即 …………（ *）
又
所以
因?yàn)辄c(diǎn) O到直線 的距離為
所以


又
整理得 且符合（ *）式，
此時(shí)

綜上所述， 結(jié)論成立。
（ II）解法一：
（ 1）當(dāng)直線 的斜率存在時(shí)，
由（ I）知
因此
（ 2）當(dāng)直線 的斜率存在時(shí)，由（ I）知


所以

所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立 .
綜合（ 1）（ 2）得 |OM|· |PQ|的最大值為
解法二：
因?yàn)?

所以
即 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立。
因此 |OM|· |PQ|的最大值為
（ III）橢圓 C上不存在三點(diǎn) D， E， G，使得
證明：假設(shè)存在 ，
由（ I）得

因此 D， E， G只能在 這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，
而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過原點(diǎn)，
與 矛盾，
所以橢圓 C上不存在滿足條件的三點(diǎn) D， E， G.

40、 （陜西理 17）
如圖，設(shè) P 是圓 上的動點(diǎn)，點(diǎn) D是 P 在 x軸上的攝影， M為 PD上一點(diǎn)，且

（Ⅰ）當(dāng) P在圓上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn) M的軌跡 C的方程；
（Ⅱ）求過點(diǎn)（ 3， 0）且斜率為 的直線被 C所截線段的長度






解：（ Ⅰ）設(shè) M的坐標(biāo)為（ x,y） P的坐標(biāo)為（ xp,yp）
由已知得
∵ P在圓上， ∴ ，即 C的方程為
（Ⅱ）過點(diǎn)（ 3， 0）且斜率為 的直線方程為 ，
設(shè)直線與 C的交點(diǎn)為
將直線方程 代入 C的方程，得
即
∴ ∴ 線段 AB的長度為

注：求 AB長度時(shí)，利用韋達(dá)定理或弦長公式求得正確結(jié)果，同樣得分。
41、 （上海理 23） 已知平面上的線段 及點(diǎn) ，在 上任取一點(diǎn) ，線段 長度的最小值
稱為點(diǎn) 到線段 的距 離，記作 。
（ 1）求點(diǎn) 到線段 的距離 ；
（ 2）設(shè) 是長為 2的線段，求點(diǎn)集 所表示圖形的面積；
（ 3）寫出到兩條線段 距離相等的點(diǎn)的集合 ，其中
，
是下列三組點(diǎn)中的一組。對于下列三組點(diǎn)只需選做一種，滿分分別是① 2分，②
6分，③ 8分；若選擇了多于一種的情形，則按照序號較小的解答計(jì)分。
。
② 。
③ 。
解：⑴ 設(shè) 是線段 上一點(diǎn)，則
，當(dāng) 時(shí)，
。
⑵ 設(shè)線段 的端點(diǎn)分別為 ，以直線 為 軸， 的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則 ，點(diǎn)集 由如下曲線圍成
，

其面積為 。
⑶ ① 選擇 ，
② 選擇 。

③ 選擇 。
















42、 （四川理 21）
橢圓有兩頂點(diǎn) A（ -1， 0）、 B（ 1， 0），過其焦點(diǎn) F（ 0， 1）的直線 l與橢圓交于 C、 D兩點(diǎn)，
并與 x軸交于點(diǎn) P．直線 AC與直線 BD交于點(diǎn) Q．
（ I）當(dāng) |CD | = 時(shí)，求直線 l的方程；
（ II）當(dāng)點(diǎn) P異于 A、 B兩點(diǎn)時(shí)，求證： 為定值。

解：由已知可得橢圓方程為 ，設(shè) 的方程為 為 的斜率。
則

的方程為
43、 （天津理 18）在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) 為動點(diǎn)， 分別為
橢圓 的左右 焦點(diǎn)．已知△ 為等腰三角形．
（Ⅰ）求橢圓的離心率 ；
（Ⅱ）設(shè)直線 與橢圓相交于 兩點(diǎn)， 是直線 上的點(diǎn)，滿足 ，
求點(diǎn) 的軌跡方程．
本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代
數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問題能力與運(yùn)算能力 .滿分 13
分 .
（ I）解：設(shè)
由題意，可得
即
整理得 （舍），
或 所以
（ II）解：由（ I）知
可得橢圓方程為
直線 PF2方程為
A， B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
消去 y并整理，得
解得
得方程組的解
不妨設(shè)
設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 ，
由
于是
由
即 ，
化簡得
將
所以
因此，點(diǎn) M的軌跡方程是

44、 （浙江理 21）
已知拋物線 : ＝ ，圓 : 的圓心為點(diǎn) M
（Ⅰ）求點(diǎn) M到拋物線 的準(zhǔn)線的距離；
（Ⅱ）已知點(diǎn) P是拋物線 上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn) P作圓 的兩條切線，交拋物線 于
A， B兩點(diǎn)，若過 M， P兩點(diǎn)的直線 垂直于 AB，求直線 的方程









本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線、圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查解析
幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 滿分 15分。
（ I）解：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為：
所以圓心 M（ 0， 4）到準(zhǔn)線的距離是
（ II）解：設(shè) ，
則題意得 ，
設(shè)過點(diǎn) P的圓 C2的切線方程為 ，
即 ①
則
即 ，
設(shè) PA， PB的斜率為 ，則 是上述方程的兩根，所以

將①代入
由于 是此方程的根，
故 ，所以

由 ，得 ，
解得
即點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ，
所以直線 的方程為

45、 （重慶理 20）如題（ 20）圖，橢圓的中心為原點(diǎn) ，離心率 ，一條準(zhǔn)線的方程
為 ．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)動 點(diǎn) 滿足： ，其中 是橢圓上的點(diǎn)，直線 與
的斜率之積為 ，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn) ，使得 為定值？若存在，求
的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．


解：（ I）由
解得 ，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（ II）設(shè) ，則由
得

因?yàn)辄c(diǎn) M， N在橢圓 上，所以
，
故

設(shè) 分別為直線 OM， ON的斜率，由題設(shè)條件知
因此
所以
所以 P 點(diǎn)是橢圓 上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為 F1， F2，則由橢
圓的定義 |PF1|+|PF2|為定值，又因 ，因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為


46、 A， B是拋物線 上的兩點(diǎn)，且 OA （ O為坐標(biāo)原點(diǎn)）求證：
（ 1） A， B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別是定植；
（ 2）直線 AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)
證明： （ 1）設(shè)
兩式相乘得

所以直線 AB過定點(diǎn) (2p,0)

47、 （ 2005年春季北京， 18）如圖， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 在 軸和 軸上的截距分別是 和
，且交拋物線 兩點(diǎn)。
（ 1） 寫出直線 的截距式方程
（ 2） 證明：
（ 3） 當(dāng) 時(shí)，求 的大小。（圖見教材 P135頁例 1）
解： （ 1）直線 的截距式方程為 。 （ 1）
（ 2）、由（ 1）及 消去 可得 （ 2）
點(diǎn) M， N的坐標(biāo) 為（ 2）的兩個(gè)根。故
所以
（ 3）、設(shè)直線 OM、 ON的斜率分別為
當(dāng) 時(shí)，由（ 2）知，
因此 。
說明：本題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問
題的能力。

48、 （ 2005 年黃岡高三調(diào)研考題） 已知橢圓 C 的方程為 ，雙曲線
的兩條漸近線為 ，過橢圓 C 的右焦點(diǎn) F 作直線 ，使 ，又 與 交
于 P點(diǎn)，設(shè) 與橢圓 C的兩個(gè)交點(diǎn)由上而下依次為 A、 B。（圖見教材 P135頁例 2）
（ 1） 當(dāng) 夾角為 ，雙曲線的焦距為 4時(shí)，求橢圓 C的方程
（ 2） 當(dāng) 時(shí)，求 的最大值。
解： （ 1） 雙曲線的漸近線為 ，兩漸近線的夾角為 ，又 ，

（ 3） 由已知
由 得 ，將 A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得


說明：本題考查了橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)知識，及向量、定比分點(diǎn)公式、重要不等式的應(yīng)
用。解決本題的難點(diǎn)是通過恒等變形，利用重要不等式解決問題的思想。本題是培養(yǎng)學(xué)
生分析問題和解決問題能力的一道好題。

49、 A， F分別是橢圓 的一個(gè)上頂點(diǎn)與上焦點(diǎn)，位于 x軸的正半軸上
的動點(diǎn) T（ t,0）與 F的連線交射線 OA于 Q，求：
（ 1） 點(diǎn) A， F的坐標(biāo)及直線 TQ的方程 ;
（ 2） 三角形 OTQ的面積 S與 t的函數(shù)關(guān)系式及該函數(shù)的最小值
（ 3） 寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 ,并證明 .
解 :(1)由題意得 A(1,3),F(1,1)
直線 TQ得方程為 x+(t-1)y-t=0
(2)射線 OA的方程 y=3x

所以 S(t)的最小值為
(3)S(t)在 上是增函數(shù)


所以該函數(shù)在
2
50、 過拋物線 y＝ 2px的焦點(diǎn) F任作一條直線 m，交這拋物線于 P1、 P2兩點(diǎn)，求證：以
P1P2為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切．
分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷．
證明：如圖 2-17．設(shè) P1P2的中點(diǎn)為 P0，過 P1、 P0、 P2分別向準(zhǔn)線 l引垂線 P1Q1， P0Q0，
P2Q2，垂足為 Q1、 Q0、 Q2，則
｜ P1F｜＝｜ P1Q1｜，｜ P2F｜＝｜ P2Q2｜
∴｜ P1P2｜＝｜ P1F｜＋｜ P2F｜
＝｜ P1Q1｜＋｜ P2Q2｜＝ 2｜ P0Q0｜
所以 P0Q0是以 P1P2為直徑的圓 P0的半徑，且 P0Q0⊥ l，因而圓 P0和準(zhǔn)線 l相切 ．
[思維點(diǎn)拔 ]以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．類似有：以橢圓焦點(diǎn)弦為直徑的
圓與相對應(yīng)的準(zhǔn)線相離；以雙曲線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交．以上結(jié)論均可用第
二定義證明之 ．
變式： 求證：以雙曲線的任意焦半 徑為直徑的圓，與以實(shí)軸為直徑的圓相切．


取 F1P 的中點(diǎn)為 O1，連結(jié) O1O， 只須證明：以 F1P 為直徑的圓與實(shí)軸 A1A2為
直徑的圓內(nèi)切．

在 △ PF1F2中， O1O 為△ PF1F2的中位線


故以雙曲線的任 意焦半徑為直徑的圓，與以實(shí)軸為直徑的圓內(nèi)切．

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