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常見遞推數(shù)列通項的求法
類型1、 型
解題思路：利用累差迭加法，將，=，…，=,各式相加，正負抵消，即得.
例1、在數(shù)列{}中，,，求通項公式.
解：原遞推式可化為：
則
，……，
逐項相加得：.故.
例2．在數(shù)列中，且，求通項.
解：依題意得，，，把以上各式相加，得
【評注】由遞推關(guān)系得，若是一常數(shù)，即第一種類型，直接可得是一等差數(shù)列；若非常數(shù)，而是關(guān)于的一個解析式，可以肯定數(shù)列不是等差數(shù)列，將遞推式中的分別用代入得個等式相加，目的是為了能使左邊相互抵消得，而右邊往往可以轉(zhuǎn)化為一個或幾個特殊數(shù)列的和。
例3、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。
解：由
得
則
所以
評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，即得數(shù)列的通項公式。
練習(xí)：
已知滿足，求的通項公式。
已知的首項，（）求通項公式。
已知中，，，求。
類型2． 型
解題思路：利用累乘法, 將各式相乘得，，即得.
例4．在數(shù)列中，，，求通項.
解：由條件等式得，，得.
【評注】此題亦可構(gòu)造特殊的數(shù)列，由得，，則數(shù)列是以為首項，以1為公比的等比數(shù)列，得.
例5、設(shè)數(shù)列{}是首項為1的正項數(shù)列，且則它的通項公式是=▁▁▁（2000年高考15題）.
解：原遞推式可化為：
=0
∵ ＞0，
則 ……，
逐項相乘得：，即=.
練習(xí)：1、已知：，（）求數(shù)列的通項。
2、已知中，且求數(shù)列通項公式。
類型3、 型
解題思路：利用待定系數(shù)法，將化為的形式，從而構(gòu)造新數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.
例6．?dāng)?shù)列滿足，求.
解：設(shè)，即對照原遞推式，便有
故由得，即，得新數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列。
（n=1,2,3…），，即通項
【評注】本題求解的關(guān)鍵是把遞推式中的常數(shù)“”作適當(dāng)?shù)姆蛛x，配湊成等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)造出一個新的等比數(shù)列。
練習(xí)：1、已知滿足，求通項公式。
2、已知中，，（）求。
分析：構(gòu)造輔助數(shù)列， ，則
[同類變式]
1、已知數(shù)列滿足，且，求通項
分析：（待定系數(shù)），構(gòu)造數(shù)列使其為等比數(shù)列，
即，解得
求得
2、已知：，時，，求的通項公式。
解：設(shè)
∴ 解得： ∴
∴ 是以3為首項，為公比的等比數(shù)列
∴ ∴
3、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。
解：兩邊除以，得，
則，
故
因此，
則
評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而求出+…+，即得數(shù)列的通項公式，最后再求數(shù)列的通項公式。
類型4．型
例7 已知數(shù)列的前項和滿足
寫出數(shù)列的前3項；
求數(shù)列的通項公式.
解：（1）由，得.
由,得,
由,得
(2)當(dāng)時,有,即 ①
令,則,與①比較得,
是以為首項,以2為公比的等比數(shù)列.
,故
引申題目：
1、已知中，，（）求
2、在數(shù)列{}中，求通項公式。
解：原遞推式可化為：
①
比較系數(shù)得=-4，①式即是：.
則數(shù)列是一個等比數(shù)列，其首項，公比是2.
∴即.
3、已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式。
解：兩邊除以，得，則，
故數(shù)列是以為首，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得，所以數(shù)列的通項公式為。
評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出，進而求出數(shù)列的通項公式
4、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個數(shù)列的通項公式
5、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個數(shù)列的通項公式
6、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。
解：設(shè) ④
將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得，則x=－1，代入④式，
得 ⑤
由≠0及⑤式，得，則，則數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，故
評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。
類型5、取倒數(shù)
例8、已知數(shù)列{}中，其中，且當(dāng)n≥2時，，求通項公式。
解： 將兩邊取倒數(shù)得：，這說明是一個等差數(shù)列，首項是，公差為2，所以，即.
例9、數(shù)列中，且，，求數(shù)列的通項公式.
[提示]
例10、，求
解：即
則
例11、數(shù)列中，，，求的通項。
解： ∴
設(shè) ∴ ∴
∴
……

∴ ∴
練習(xí)：
1、在數(shù)列中，求．
類型6、取對數(shù)法
例12 若數(shù)列{}中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項公式是=▁▁▁
解 由題意知＞0，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項，公比為2的等比設(shè) ∴ ∴
∴
……

∴ ∴
練習(xí)：
1、在數(shù)列中，求．
類型6、取對數(shù)法
例12 若數(shù)列{}中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項公式是=▁▁▁
解 由題意知＞0，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列，
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