資源簡介

總復習
一　圓
一、圓的認識(一)
1. 圓的特征:由一條曲線圍成的封閉圖形,圓上任意一點到圓心的距離都相等。
2.圓的畫法。
(1)手指畫圓法。
以拇指為固定點,食指與拇指間的距離不變,將食指繞拇指旋轉一周,食指的運動軌跡就形成了一個圓。
(2)實物畫圓法。
把圓形物體放在紙上固定不動,用筆沿實物的邊緣描一周,就畫成了一個圓。
(3)系繩畫圓法。
用一個圖釘、一根線(沒有彈力)和一支筆畫圓的方法:用圖釘將線的一端固定在一點上,用筆將線拉直并繞這個固定的點旋轉一周,就畫成了一個圓。
(4)圓規畫圓法。
根據圓心到圓上任意一點的距離(即半徑)都相等,可以用圓規來畫圓。步驟如下:
①把圓規的兩腳分開,定好兩腳間的距離(即半徑);
②把帶有針尖的一只腳固定在一點(即圓心)上;
③把帶有鉛筆的一只腳繞這個固定點旋轉一周,就可以畫出一個圓。
3. 圓的各部分名稱。
(1)圓心。
畫圓時,圓規帶有針尖的腳所在的點叫圓心。
圓心一般用字母O表示。
(2)半徑。
用圓規畫圓時,圓規兩腳之間的距離就是所畫圓的半徑,即圓心到圓上任意一點的距離叫半徑。
半徑一般用字母r表示。
在同一個圓里,所有半徑的長度都相等。
(3)直徑。
通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫作直徑。直徑一般用字母d表示。在同一個圓里,所有直徑的長度都相等。
4. 圓的各部分之間的關系。
圓有無數條直徑,無數條半徑;同圓(或等圓)中的直徑都相等,半徑都相等;直徑的長度是半徑的2倍,可以表示為d=2r或r=d2。
5. 圓心和半徑的作用:圓心確定圓的位置,半徑決定圓的大小。
6. 圓在生活中的應用。
汽車車輪、自行車的車輪、球、齒輪、方向盤、圓規、井蓋、鐘表、水杯、環島……
二、圓的認識(二)
1. 圓的對稱性:圓是軸對稱圖形,直徑所在的直線是圓的對稱軸。圓有無數條對稱軸。
2 . 常見的軸對稱圖形的對稱軸的數量。
正方形有4條、長方形有2條、等邊三角形有3條、等腰三角形有1條、等腰梯形有1條和圓有無數條。
3. 利用圓的對稱性確定圓心的方法。
方法一　把圓形紙片按下面的方法對折,兩條折痕的交點就是圓心。
方法二　把圓形紙片沿不同的方向任意折出兩條直徑(直徑所在的直線即對稱軸),兩條直徑(折痕)的交點就是圓心。　
4.圓與內接或外接正多邊形組成的組合圖形的對稱軸是經過圓心的正多邊形的對稱軸。
三、欣賞與設計
綜合運用旋轉、軸對稱和平移的知識設計圖案。
四、圓的周長
1.圓的周長的意義。
圓的周長就是圓一周的長度,也可以理解為將圓滾動一圈的長度。直徑的長短決定圓周長的大小。
2.圓周長的測量方法。
方法一　用滾動法測量圓的周長。
在圓形硬紙板的邊緣上點一點A,使點A對準直尺的0刻度,然后使圓形硬紙板在直尺上向右滾動一周,點A所指的新刻度就是這個圓形硬紙板的周長。
方法二　用繞線法測量圓的周長。
在圓形硬紙板的邊緣上點一點A,使點A對準線的一個點,然后用線從點A開始繞圓形硬紙板一周,做好標記,再拉直并測量繞圓形硬紙板一周的線的長度,該長度就是圓形硬紙板的周長。　　　　
3.圓周率的意義。
圓的周長除以直徑的商是一個固定的數,我們把它叫作圓周率,用字母π表示,計算時通常取3.14。
4.圓的周長的計算公式。
如果用字母C表示圓的周長,那么C=πd或C=2πr。
5.圓的周長計算公式的應用。
已知圓的半徑、直徑和周長三種量中的一種量,就可以求出另外兩種量。
(1)已知圓的半徑,求圓的周長:C=2πr。
(2)已知圓的直徑,求圓的周長:C=πd。
(3)已知圓的周長,求圓的半徑:r=C÷π÷2。
(4)已知圓的周長,求圓的直徑:d=C÷π。
五、圓的面積
1.圓的面積的含義。
圓形物體所占平面的大小或圓形物體表面的大小就是圓的面積。
2.圓面積的計算方法:
方法一　用數格子的方法估算出圓的面積。
在圓內畫方格數一數,得到圓的面積。
此方法無法得到圓的面積的精確值。
方法二　 轉化法:將圓轉化成平行四邊形。
(1)將一個圓形紙片分別分成8等份、16等份后剪切、拼接。
　　等分圓時,要沿著半徑剪開;拼接時,也要使半徑重合。
發現:把圓分成8等份、16等份后,可以拼成近似的平行四邊形。
(2)將一個圓形紙片分成32等份后剪切、拼接。
發現:把圓平均分成的份數越多,每一份就會越小,拼成的圖形就越接近平行四邊形。
3.拼成的平行四邊形和圓之間的比較。
觀察圓和剪拼后的圖形,可以發現:(1)在剪拼的過程中,圖形面積的大小沒有發生變化,只是形狀改變了,即圓的面積等于拼成的平行四邊形的面積。(2)拼成的平行四邊形的高相當于圓的半徑,它的底相當于圓的周長的一半。
4.公式推導。
圓的面積=平行四邊形的面積
=底×高
=C2×r
=πr×r
=πr?
圓的面積計算公式:(1)文字公式為圓的面積=圓周率×半徑的平方;(2)如果用S表示圓的面積,r表示圓的半徑,那么圓的面積計算公式是S=πr?。
5. 把圓轉化成三角形,推導圓的面積計算公式。
(1)把一個由草繩編織成的圓形茶杯墊片沿一條半徑剪開,得到許多長短不同的草繩,然后把草繩按由短到長的順序排列,拼成一個三角形。
(2)三角形的面積相當于圓的面積,三角形的底相當于圓的周長,高相當于圓的半徑。三角形的面積=底×高2,所以圓的面積公式為S=2πr×r2=πr?。
6.圓的面積計算公式。
如果用S表示圓的面積,r表示圓的半徑,那么圓的面積計算公式是S=πr?。
7.圓的面積計算公式的應用。
求圓的面積必須知道圓的半徑。當已知圓的直徑或周長,求面積時,必須先求出圓的半徑。　
(1)已知圓的半徑,求圓的面積:S=πr?。
(2)已知圓的直徑,求圓的面積:r=d2,S=πr?=πd22。
(3)已知圓的周長,求圓的面積:r=C÷π÷2,S=πr?=π(C÷π÷2) ? 。
8. 圓環的面積計算公式。
內圓面積:S內=πr?
外圓面積:S外=πR?
圓環面積:S環=πR?-πr?=π(R?-r?)
半圓的面積=圓的面積÷2
組合圖形的面積:
幾種基本圖形的面積相加;
幾種基本圖形的面積相減。
在食指繞拇指旋轉一周的過程中,拇指所按的點不變,食指與拇指間的距離不變。
用圖釘、線和筆畫圓時,圖釘要固定好,線要拉直。
用圓規畫圓,針尖所在的位置是圓心,兩腳間的距離是半徑。
1.同一個圓里有無數條半徑,長度都相等。
2.直徑是圓內最長的線段。
1.判斷直徑和半徑時,一定要看其是否經過圓心。
2.圓的大小與半徑的長短有關,與它所在的位置無關。
3. 在同圓(或等圓)中,“d=2r”才能成立。
　圓的對稱軸是直徑所在的直線,而不是直徑。
易錯點:對稱軸是一條直線,所以直徑所在的直線是圓的對稱軸。
利用圓可以設計出美麗的圖案,并且設計圖案時可以綜合運用平移、旋轉和軸對稱的知識。
繞線時,要選擇沒有彈性的線,并使線與圓形硬紙板的邊緣完全重合。
　 所有圓的圓周率都相等,約等于3.14。
易錯點:圓的周長的一半與半圓的周長不同,半圓的周長包括圓周長的一半和一條直徑的長度。 半圓的周長用公式表示為C=πr+d=πr+2r。
錯例:π=3.14
分析:在計算時,圓周率π通常取3.14,3.14是一個近似值。π是一個無限不循環小數,它的近似值是3.14,但它并不等于3.14。
正解:π≈3.14
把圓平均分成的份數越多,每一份就會越小,拼成的圖形就越接近平行四邊形。
1.拼接后的圖形總有兩條邊是曲線,所以只能叫“近似平行四邊形”。
2.圓的面積公式的推導過程中運用了轉化的思想。
　 r?與2r的區別:
r?表示的是r×r,讀作r的平方;2r表示的是r+r。半徑越長,圓的面積。
　 錯例:一個圓的半徑是1.5 cm,它的面積是多少?
錯解:
3.14×1.5×2=3.14×3=9.42(cm?)。
正解:
3.14×1.52=3.14×2.25=7.065(cm?)。
　 先算內圓的面積,后算外圓的面積,最后用外圓面積減去內圓面積。
半圓的面積:
S=πr?÷2
二　分數混合運算
　　一、分數混合運算(一)
1.分數混合運算的運算順序與整數混合運算的運算順序相同,沒有括號的,按從左到右的順序計算;有括號的,要先算括號里面的,再算括號外面的。
2. “連續求一個數的幾分之幾是多少” 的解題方法:依據分數乘法的意義,用這個數連續乘幾分之幾。
3.分數連乘的運算順序:沒有括號的,按從左到右的順序計算;有括號的,要先算括號里面的,再算括號外面的。
4.根據“除以一個數,等于乘這個數的倒數”,可以把分數乘除混合運算或分數連除直接改寫成分數連乘進行計算。
　　二、分數混合運算(二)
1.整數的運算律在分數運算中同樣適用。在分數混合運算中運用運算律,可以使計算簡便。
2.“已知一個數比另一個數多(或少)幾分之幾,求這個數”的解題方法:
(1)先根據分數乘法的意義,求出多(或少)的幾分之幾是多少,再用加(或減)法求這個數;
(2)先求出另一個數占單位“1”的幾分之幾,再根據分數乘法的意義,用乘法計算。
　　3.“已知總量及一部分量占總量的幾分之幾,求另一部分量”的解題方法:
(1)總量-總量×已知部分量占總量的分率=另一部分量;
(2)總量×(1-已知部分量占總量的分率)=另一部分量。
三、分數混合運算(三)
1.“已知比一個數多(或少)幾分之幾的數是多少,求這個數”的解題方法:
(1)先求比這個數多(或少)的數占這個數(即單位“1”)的幾分之幾,再根據分數乘法的意義列方程解答;
(2)先求出比這個數(即單位“1”)多(或少)的幾分之幾是多少,再根據加減關系列方程解答。
　　
　　2.“已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量,求總量”的解題方法(用方程解):
把總量看作單位“1”,可以根據“總量×(1-已知部分量占總量的分率)=另一部分量”列方程解答;也可以根據“總量-總量×已知部分量占總量的分率=另一部分量”列方程解答。
先找準題中不同的單位“1”,再根據已知或未知的量確定計算方法。
在分數混合運算中運用運算律,可以使計算簡便。
乘加、乘減混合運算中包含兩級運算,計算時要先進行第二級運算,再進行第一級運算。
求單位“1”是多少,用方程法解答比較簡便。
畫圖理解數量關系時,要先畫表示單位“1”的量。
三　觀 察 物 體
　　一、搭積木比賽
1.辨認并畫出從不同方向(上面、正面、左面)觀察到的立體圖形(不超過5個小正方體組合)的形狀。
要想正確畫出從不同方向(上面、正面、左面)觀察到的立體圖形(5個小正方體組合)的形狀,應選好觀察的方向,并確定觀察到的立體圖形畫成平面圖形后的正確位置。
　　2.根據給定的從兩個方向觀察到的平面圖形,確定搭成這個立體圖形所需要的小正方體的數量范圍。
(1)根據給定的從兩個方向觀察到的平面圖形,確定搭成這個立體圖形所需要的小正方體的數量范圍時,可以采取根據給出的平面圖形還原立體圖形的方法,將可能搭成的立體圖形的各種情況一一列舉出來,然后數出需要的小正方體的數量。
(2)根據從兩個方向看到的形狀搭立體圖形的方法是不唯一的。
3.根據給定的從一個方向觀察到的平面圖形和小正方體的數量還原立體圖形。
根據給定的從一個方向觀察到的平面圖形和小正方體的數量可以還原成不同的立體圖形,要把可能搭成的立體圖形的各種情況一一列舉出來。
檢驗方法:根據平面圖形擺立體圖形時,擺完后要進行觀察,驗證所看到的形狀與已知平面圖形是否相符。
4.三視圖:三視圖是觀察者從三個不同方向觀察同一個立體圖形而畫出的平面圖形。一個物體有六個視圖:從物體的前面向后面看,所得到的視圖稱為主視圖,也叫正視圖,能反映物體前面的形狀;從物體的上面向下面看,所得到的視圖稱為俯視圖,能反映物體上面的形狀;從物體的左面向右面看,所得到的視圖稱為左視圖,也叫側視圖,能反映物體左面的形狀;其他三種視圖不常用。三視圖就是主視圖(從正面看)、俯視圖(從上面看)、左視圖(從左面看)的總稱,能夠基本完整地表達物體的外部結構。
二、觀察的范圍
1. 觀察點的位置越低,觀察到的范圍越窄(小);觀察點的位置越高,觀察到的范圍越廣(大)。
　　
　　2.觀察物體的時候,觀察點距離被觀察物體越近,觀察到的物體越大,觀察景物的范圍越小;觀察點距離被觀察物體越遠,觀察到的物體越小,觀察景物的范圍越大。
三、天安門廣場
1.判斷拍攝地點與照片的對應關系的方法:可以假設自己在拍攝地點,根據照片中景物的特點,聯系生活經驗判斷;也可以借助實物模擬,創設模擬情境,親身觀察,得出結論。
2.判斷連續拍攝的一組照片的先后順序的方法:可以假設自己隨著拍攝者的行走路線游覽,想象自己會依次看到哪些景物;也可以聯系生活實際,借助實物模擬,創設模擬情境,親身觀察,得出結論。
要綜合從不同方向看到的所有平面圖形,才能確定原來的立體圖形是什么形狀。
錯例:
選擇:觀察下面的立體圖形,下面的說法中正確的是( C )。
A.從正面和右面觀察到的形狀相同
B.從上面和左面觀察到的形狀相同
C.從左面和右面觀察到的形狀相同
分析:左、右的位置具有相對性,一般情況下,從左面和右面觀察到的形狀有所不同。題中的立體圖形從不同位置觀察到的形狀如下:
　　因此,從正面和右面觀察到的形狀相同。
正解: A
溫馨提示:解答這類題時,要先畫出從不同位置觀察到的形狀,再從中選擇相同的。
　觀察物體時,觀察點的位置距離觀察物體的遠近、高低發生變化時,所觀察到的畫面及范圍也會發生相應的變化。
四　百　分　數
　　一、百分數的認識
1.百分數的意義:表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫作百分數。百分數也叫百分比、百分率。
2.百分數的讀寫:寫數時,去掉分數線和分母,在分子后面寫“%”;讀百分數時,先讀百分號,再讀百分號前面的數。
3. 百分數和分數的區別與聯系:
聯系:都可以表示兩個數量的倍比關系。
區別:①意義不同,百分數只表示兩個數量的倍比關系,不可以表示具體數量,后面不能帶單位名稱;分數既可以表示具體的數量,又可以表示兩個數量的倍比關系,表示具體數量時可以帶單位名稱。
②百分數的分子可以是整數,也可以是小數,而分數的分子不能是小數,只能是除0以外的自然數;百分數不可以約分,而分數一般能通過約分化成最簡分數。
③任何一個百分數都可以寫成分母是100的分數,而分母是100的分數不一定具有百分數所表示的意義。
④應用范圍不同,百分數在生產和生活中,常用于調查、統計、分析和比較,而分數常常在計算、測量中得不到整數結果時使用。在計算過程中,要注意部分與整體之間的關系。
　　二、合格率
1.合格率:合格的產品數量占產品總數的百分之幾。
2.小數化成百分數:可以先把小數化成分母是100的分數,再改寫成百分數;也可以先把小數的小數點向右移動兩位,再在后面添上“%”。
3.分數化成百分數:可以先把分數化成小數(除不盡時,通常保留三位小數),再改寫成百分數;也可以先把分數化成分母是100的分數,再改寫成百分數。
　　　4. 一些常見的百分率的意義和計算方法。
發芽率:發芽的種子數量占種子總數的百分之幾。
發芽率=發芽種子數種子總數
出米率:米的質量占稻谷質量的百分之幾。
出米率=米的質量稻谷的質量
出勤率:出勤人數占應出勤人數的百分之幾。
出勤率=出勤人數應出勤人數
及格率:及格人數占考試人數的百分之幾。
及格率=及格人數考試人數
　　
　　5. 百分率的應用。
(1)求一個數是另一個數的百分之幾的應用題的解題方法與求一個數是另一個數的幾分之幾的應用題的解題方法相同,只是要將計算結果化成百分數。
(2)求百分率問題的實質就是求一個數是另一個數的百分之幾,結果要化成百分數。
三、營養含量
1.百分數化成小數:把百分號去掉,同時把小數點向左移動兩位(位數不夠時,用“0”補足)。
2.百分數化成分數:把百分數改寫成分母是100的分數,能約分的要約成最簡分數。
3. “求一個數的百分之幾是多少”的問題的解題方法:與“求一個數的幾分之幾是多少”的問題的解題方法相同,都用乘法計算,即用這個數乘百分之幾。
4.在計算時,要根據具體情況,先把百分數轉化成分數或小數,再計算。
四、這月我當家
1.百分數的應用題與分數應用題的解題思路相同,都要找準單位“1”,單位“1”已知,求部分量,可以直接用乘法計算。
2.“已知一個數的百分之幾是多少,求這個數”的解題方法:可以根據等量關系式“單位‘1’×百分之幾=已知量”列方程解答。
3.“已知一個數的百分之幾是多少,求這個數”也可以用除法計算。
　
在寫百分號時,兩個圓圈要寫的小些,以免和數字0混淆。
百分數表示的是兩個數的倍比關系,不表示一個具體的值。
易錯點:
判斷:25 m可以寫成40% m。(　√　)
分析:雖然分數可以化為百分數,但當分數表示具體數量時,不能化為百分數,因為百分數不能表示具體的數量,后面不能加單位名稱。
正解:?
　 百分率一般指部分占整體的百分之幾,用部分除以整體,最后的結果要化成百分數,除不盡的百分號前面一般保留一位小數。
出勤率、成活率、合格率、發芽率、及格率等最高是100%;完成率、增長率、利潤率等可以超過100%。
計算合格率的方法與求一個數是另一個數的幾分之幾的方法相同,只是結果用百分數表示。
百分數化成小數,去掉百分號后,千萬不要忘記把小數點向左移動兩位。
一位小數表示十分之幾,兩位小數表示百分之幾,三位小數表示千分之幾……
當小數點向右移動兩位時,所得的數就擴大到原來的100倍,再添上百分號,又使它縮小到現在的1100,所以數的大小是不變的。
整數可以看作小數部分為0的小數。如2=2.0=2.00。
一個數的小數點,向左移動兩位,位數不夠時用“0”補足。
整數也可以看作分母是“1”的分數。如5=51。
五　數 據 處 理
一、扇形統計圖
1.扇形統計圖。
扇形統計圖是以一個圓作為總體,表示各部分量占單位“1”的量。根據各部分量所占的百分比,用大小不同的扇形在這個圓中表示部分量,所以稱為扇形統計圖。扇形所占的百分比越大,扇形的面積就越大;扇形所占的百分比越小,扇形的面積就越小。
2. 扇形統計圖的特點:能清楚地看出部分與整體之間的關系,也就是部分占整體的百分比的大小。
3. 從扇形統計圖中獲取信息的方法:先與整體比較,看各部分占整體的百分比是多少,再看各部分之間誰占的百分比大,在此基礎上仔細分析,得出結論。
二、統計圖的選擇
選擇統計圖的方法:條形統計圖便于看出數據的多少;折線統計圖便于看出數據的變化趨勢,也能看出數據的多少;扇形統計圖能清楚地看出部分與整體及部分與部分之間的關系。
扇形統計圖不能直接表示數量的多少。
條形統計圖的特點與作用:
特點:1. 用一個單位長度表示一定的數量;
2. 用直條的長短表示數據的多少。
作用:能清楚地看出各數據的多少,便于相互比較。
折線統計圖的特點與作用:
特點:1. 用一個單位長度表示一定的數量;
2. 用折線的起伏表示數據的增減變化情況。
作用:能清楚地看出數據的增減變化情況和數據的多少。
扇形統計圖的特點與作用:
特點:用整個圓的面積表示總體,用圓內的扇形面積表示各部分量占總體的百分比。
作用:能清楚地看出各部分占總體的百分比及部分與部分之間的關系。
三、身高的情況
分段整理、分析數據的方法:可以先把數據排列,并根據需要把數據按一定的標準分段整理,再用統計圖描述數據,最后對數據作出全面的分析,并解決問題。
四、身高的變化
1. 繪制復式折線統計圖的方法和步驟:繪制復式折線統計圖的方法和步驟與繪制單式折線統計圖的方法相同,只是在同一統計圖中用兩種或兩種以上的線表示不同的量,并要標明圖例。
2.觀察統計圖的方法:通過運用橫向觀察、縱向觀察、對比觀察等多種方法,從中獲取更多信息,提出并解決問題及作出合理的預測。
3.比較兩組數據的方法:
(1)比較兩組數據中的最大值或最小值;
(2)比較兩組數據的平均值;
(3)把兩組數據分段比較。
1. 要按一定的標準對數據進行合理分段。整理時注意不要遺漏數據。
2.要分段整理數據,對整理后的數據進行分析。觀察統計圖時,不僅要看每個數據的大小,還要把數據進行比較。
在依據統計圖解決問題時,要能夠選擇合適的統計量,進行比較和分析不同數據的區別,并且能夠預測它們的變化趨勢。
扇形統計圖中,各個扇形占整個圓的百分比之和應等于100%,大于100%或小于100%都是錯誤的。
為了區分扇形統計圖中的各種量,代表不同量的扇形應涂有不同的顏色。
　 在選擇統計圖時,要根據題中數據的特點來選擇合適的統計圖。
錯例:將小紅2006~2013年身高的變化情況制成統計圖,應繪(A)統計圖。
A.條形　B.折線　C.扇形
分析:將小紅2006~2013年身高的變化情況制成統計圖,除了想在統計圖中看到小紅這幾年來每一年的身高,還想知道這幾年來小紅身高的變化情況。既能清楚地看出數據的多少,又能看出數據的變化情況的是折線統計圖,而條形統計圖只能清楚地看出數據的多少。
正解:B
六　比 的 認 識
一、生活中的比
1.生活中兩個量之間存在倍比關系。
2. 比的意義:兩個數相除,又叫作這兩個數的比。
3.比的各部分名稱:“∶”是比號,讀作“比”。比號前面的數是比的前項,比號后面的數是比的后項。比的前項除以比的后項,所得的商叫作比值。
4. 求比值的方法:用比的前項除以后項得到一個數,這個數就是比值。比值可以是分數,也可以是小數或整數。
5. 比與除法、分數的關系:
(1)比的前項相當于被除數、分子,比的后項相當于除數、分母,比值相當于商、分數值,比號相當于除號、分數線。因為除數和分母不能為0,所以比的后項也不能為0。
(2)用字母表示比與除法、分數三者之間的關系,可以表示為a∶b=a÷b=ab(b≠0)。
6. 連比。三個或三個以上的數的關系也可以用比來表示。例如:一個長方體的長、寬、高的比是2∶3∶4(讀作2比3比4),這樣的比稱為連比。
7. 比在生活中的應用。
(1)兩個同類量進行比較時,它們的比值表示這兩個數量之間的倍比關系。
(2)兩個相關聯的非同類量進行比較時,它們的比值表示一個新的量,要加單位名稱。
　　 二、比的化簡
1.最簡整數比。
比的前項和比的后項都是整數,并且比的前項和后項的最大公因數是1。
2. 把一個比化成最簡整數比的過程,叫作化簡比。
3. 比的基本性質。
比的前項和后項同時乘或除以同一個不為0的數,比值的大小不變。
4. 比的前項和后項不能同時乘或除以0的原因。
(1)因為除數不能為0,所以比的前項和后項不能同時除以0。
(2)因為比的前項和后項同時乘0后,比的后項變為0,而0不能作比的后項,所以比的前項和后項也不能同時乘0。
5.化簡比的方法。
(1)整數比的化簡方法:
方法一,先把比改寫成分數的形式,再把這個分數進行約分,最后改寫成最簡整數比;
方法二,把比改寫成除法算式,根據商不變的規律,把被除數和除數同時除以它們的最大公因數,求出商后再化成最簡整數比;
方法三,把比的前項、后項同時除以它們的最大公因數,直接化成最簡整數比。
　　(2)分數比的化簡方法:
方法一:根據比與除法的關系,將比改寫成除法算式,并求出結果,商用最簡分數表示,然后將最簡分數轉化成最簡整數比的形式;
方法二:把比的前項和后項同時乘它們分母的最小公倍數,然后按照整數比的化簡方法化成最簡整數比。
(3)小數比的化簡方法:
方法一:根據比與除法的關系,將比改寫成除法算式,根據商不變的規律,將被除數與除數同時擴大到原來的相同的倍數(0除外),從而化成整數比,然后按照整數比的化簡方法化成最簡整數比;
方法二:根據比的基本性質,先把比的前項和后項的小數點向右移動相同的位數,將小數比化成整數比,然后按照整數比的化簡方法化成最簡整數比。
　　6.化簡比和求比值的區別。
(1)在計算依據上,化簡比依據除法中商不變的規律、分數中分數的基本性質及比的基本性質;求比值依據比值的意義。
(2)在計算方法上,化簡比時可以改寫成分數約分化簡,也可以改寫成除法求商化簡,還可以把比的前項和后項同時乘或除以同一個不為0的數;求比值則是用比的前項除以比的后項。
(3)在結果的表現形式上,化簡比的最終結果是一個最簡整數比;求比值的最終結果是一個數,可以是分數、小數或整數。
三、比的應用
1. 按一定的比進行分配的意義。
在工農業生產和日常生活中,常常需要把一個數量按照一定的比進行分配,這種分配方法通常叫作按一定的比進行分配。
2.按一定的比進行分配問題的解法。
(1)按一定的比進行分配的問題,應先求出總量一共被平均分成了幾份,再找出各部分量占總量的份數,采用平均分的方法求出每份具體的數量,最后用分數乘法求出各部分相應的具體數量;
(2)先求出總量一共被平均分成了幾份,再用相應的分數來表示各部分量,最后用分數乘法來解答;
(3)列方程解答,先設每份的量為x,再用每份的量乘分成的份數,表示各部分量,最后根據“部分量+部分量=總量”列方程解答。
3.按一定的比進行分配解決問題方法的應用。
(1)已知總量及兩個部分量間的比的關系,求部分量。
(2)已知一個部分量及兩個部分量間的比的關系,求總量。
(3)已知一個部分量及兩個部分量間的比的關系,求另一個部分量。
-5080042545
1.比表示兩個數之間的倍比關系。
2.比與除法、分數之間可以相互轉換,但三者的意義不同。
3. 比是有序的,如果顛倒比的順序,就會得到另一個比,表示的意義也不同。
4. 比與除法、分數的區別:比表示一種關系,除法是一種運算,分數是一個數。
易混點:教材中所講的“比”與體育比賽中的“比”意義不同。體育比賽中的“比”是記錄比賽雙方得分的一種形式,它可以記作2∶0,表示一個隊得2分,另一個隊得0分,而教材中的“比”表示倍比關系。
易錯點:因為除數和分母不能為0,所以比的后項也不能為0。
　 1.在化簡比的過程中必須保證比值不變,且最后結果仍然是兩個數的比。
2. 比的基本性質與分數的基本性質、商不變的規律是一樣的。
3. 利用比的基本性質解答有關比的實際問題時,要注意的是比的前項和后項同時乘或除以同一個不為0的數,而不是同時加上或減去相同的數。
錯例:
選擇:把10 g鹽放入90 g水中,鹽和鹽水的質量比是(A)。
A.1∶9　 B.9∶10
　　C.1∶10　D.10∶1
　 分析:此題錯在鹽水的質量應是鹽和水的質量和。答案A中的1∶9是鹽和水的質量比,答案B中的9∶10是水和鹽水的質量比,答案D中的10∶1是鹽水和鹽的質量比。鹽和鹽水的質量比應該是10∶(10+90)=1∶10。鹽水是由鹽與水組成的,判斷時要正確理解“鹽水”等溶液的組成成分。求比時,一般都要化成最簡整數比。
正解:C
　 1. 根據兩個數的比,可以求出其中一個數占這兩個數總和的幾分之幾。
2. 解決按比分配的問題時,一定要注意已知量所對應的份數是多少,已知量÷已知量對應的份數=一份量。
3. 解決按比分配的問題時,不但要找準分配的比,還要找準被分配的量。需要注意的是被分配的量一定是各部分量的和。
4. 解決按比分配的問題時,一定要找準單位“1”的份數,以便準確確定分數的分母。
5. 在實際生活中,要使分配方法更合理,按比分配,這樣才能使結果公平合理。
數 學 好 玩
一、反彈高度
活動任務
籃球、乒乓球從高處落地后都會反彈。通過實驗讓兩種球從同一高度自由落下,測試哪種球會反彈高一些以及各自的反彈高度是多少。　
1.實驗方案的內容。
(1)設計實驗步驟。
(2)明確小組分工。
(3)收集并記錄數據。
2.實驗步驟。
(1)選一塊靠墻的平地,在墻上量出三個高度并做上標記。
(2)選擇籃球分別從這三個高度自由落下,在墻上標出球的反彈高度,記錄量得的數據,并求出每次反彈的高度是起始高度的幾分之幾。
(3)選擇乒乓球分別從這三個高度自由落下,在墻上標出球的反彈高度,記錄量得的數據,并求出每次反彈的高度是起始高度的幾分之幾。
3.分工。
以小組為單位進行實驗。在小組內部成員中,有落球人員、測量人員、觀察人員和記錄人員,大家分工明確,各司其職。
4.收集并記錄數據。
用米尺分別測量籃球、乒乓球每次下落前和反彈后的高度,并列表記錄。
5.結論:不同的球從同一高度自由落下,其反彈高度一般不同;同一種球從不同高度落下,其反彈高度也不相同。
6.在活動中,用到的知識和方法。統計的知識、分數的知識、測量的方法等。
7.(1)足球落下的高度和反彈高度的關系。 可通過實驗獲得數據。
(2)影響反彈高度的因素? 風的阻力、場地的材質、反彈的方向、起始高度、空氣的阻力、施加的力度、測試地點的情況等。
　　二、 看圖找關系
問題1:汽車行駛速度。
1. 觀察上圖,橫軸表示時間,橫軸上的1,2,3…分別表示1分,2分,3分……縱軸表示速度,縱軸上的100,200,300…分別表示100米/分,200米/分,300米/分……表示點A的意思時,要根據點A的位置聯系橫軸、縱軸的含義說。點A表示時間為0.5分,汽車的速度為200米/分。汽車從橫軸“0”的位置(解放路站)到“4”的位置(商場站)之間共行駛了4分。
2. 汽車速度的變化。汽車從解放路站到商場站共行駛了4分,速度在變化。要根據折線走向的變化情況分段進行描述。在第1分內,折線呈上升趨勢,說明汽車的速度在上升。1分所對應的速度為400米/分,說明汽車在第1分內的速度從0米/分增加到400米/分。在1分到3分之間是一條水平線段,說明汽車在勻速行駛,速度保持不變,為400米/分。在3分到4分之間,折線呈下降趨勢,說明汽車的速度在下降。從3分所對應的400米/分下降到4分所對應的0米/分,汽車停止。
3. 汽車從1分到3分行駛路程的大致變化情況。在1分到3分之間是一條水平線段,汽車以400米/分的速度在勻速行駛,由“路程=速度×時間”可知,隨著時間的推移,路程也在逐漸增加。
　　問題2:足球場內的聲音。
1. 上圖是對某足球比賽場內聲音起伏情況的描述,橫軸表示時間,縱軸表示音量,隨著時間的變化,音量也在變化,音量的變化與時間存在關聯。
2. 從觀眾開始進場到全部退場,一共經過了2時45分,即165分。
3. 比賽開始前半時,足球場內的音量的變化:比賽開始前半時,足球場內的聲音逐漸變大,從開始沒有聲音到逐漸變成聲音大。
4. 上半場足球場內聲音變得非常大的時間段,可能發生的事情:上半場20分(即19:50)時,足球場內的聲音變得非常大,可能是主場球隊進了球,球迷們在歡呼。
5. 下半場足球場內音量的變化情況以及比賽的情形。如下半場前半時比較安靜直至21:00,可能由于主場球隊又進了球,球迷們再次歡呼起來,聲音再次變得非常大;聲音慢慢地變小,直到比賽結束,足球場內的音量迅速變得非常大,估計是主場球隊的球迷在歡呼。
6.比賽結束到觀眾全部退場的音量變化。比賽結束時,足球場內的聲音迅速變得非常大,估計是主場球隊的球迷在歡呼,到觀眾全部退場,聲音逐漸減小,直至恢復了無聲的狀態。
三、比賽場次(乒乓球比賽)
問題1:一共要比賽多少場?
六(1)班10名同學進行乒乓球比賽,每兩名同學之間要進行一場比賽。
1. 方案一:列表格找規律。
(1)列表格找規律,橫格和豎格分別表示參賽的同學,橫格上的每名同學和豎格上的每名同學分別進行比賽,用“????”表示比賽場數,因為自己不能和自己比賽,也不能重復比賽,所以可以把表格的一半去掉。
(2)比賽場數是從1開始的幾個連續自然數的和,最后一個加數為人數減1。
2. 方案二:畫圖找規律。
(1)把人數看作圖形的頂點(端點),任意兩點間能畫多少條線就代表有多少場比賽。
(2)畫圖找規律,用點表示同學,用兩點之間的連線表示兩名同學之間的比賽,通過數連線條數的方法來尋找比賽場數的規律。兩名同學時,只有1條線;3名同學時,增加了2條線,1+2=3(條);4名同學時,又增加了3條線,1+2+3=6(條);5名同學時,再增加4條線,1+2+3+4=10(條);從而發現規律,5名同學時,比賽場數為1到4四個數的和;6名同學時,比賽場數為1到5五個數的和,依此類推,10名同學時,比賽場數為1到9九個數的和,共45場比賽。
3. 運用列表法和畫圖法從簡單的情形開始對比賽場數進行探究時,發現:如果2人參加比賽,只能進行1場比賽;如果3人參加比賽,比賽場數為1+2=3(場);如果4人參加比賽,比賽場數為1+2+3=6(場)……如果,n人參加比賽,比賽場數為1+2+3+…+(n-1)=n×(n-1)÷2。
問題2:聯絡方式(需要多長時間通知完)。
1. 畫圖找規律,用點表示聯絡的人數,通過數點的方法來尋找聯絡方式的規律。
(1)規律1:1分能通知到兩名同學;2分能通知到2+4=6(名)同學;3分能通知到2+4+8=14(名)同學;4分能通知到2+4+8+16=30(名)同學;5分能通知到2+4+8+16+32=62 (名)同學……每增加1分,增加的人數是前一次通知到的人數的2倍。由圖可知,5分能通知到2+4+8+16+32=62(名)同學,所以6分能通知到2+4+8+16+32+64=126(名)同學,即通知126名同學需要6分。
(2)規律2:1分能通知到2名同學;
2分能通知到6名同學,6=2×2+2;
3分能通知到14名同學,14=6×2+2;
4分能通知到30名同學,30=14×2+2;　
5分能通知到62名同學,62=30×2+2。
(3)發現:n分能通知到的人數比前(n-1)分能通知到的人數的2倍還多2人。5分能通知到62名,62×2+2=126(名),所以6分能通知到126名同學。
2. n分能通知到的人數:前(n-1)分能通知到的人數×2+2。
1.球從指定高度落下時,要將球的上沿(或下沿)與高度標記齊平。
2.要細心觀察球的反彈高度,并根據反彈的最高點(或最低點)及時做上標記,測量反彈高度時,可以保留整厘米數。
3.要及時記錄實驗中的數據。
4.為了保證數據的準確性,可以多做幾次實驗。
用語言表述事件發生的過程時,要特別注意特殊時段發生的事件。
在數學上,可以用圖形來描述事件或行為。
隨著時間的變化,事件有時也會發生相應的變化;有時隨著周圍環境的變化,某事件也會相應地變化。
關于聯絡方式的問題,可以采用畫圖的方法來解決。
七　百分數的應用
　　一、百分數的應用(一)
1.確定單位“1”的方法:與哪個量相比,那個量就是單位“1”。
2.求一個數比另一個數多(或少)百分之幾的方法:
(1)先求一個數比另一個數多(或少)的具體量,再除以單位“1”的量,即兩數差量÷單位“1”的量;
(2)把另一個數看作單位“1”,即100%。
二、百分數的應用(二)
1. 求“比一個數增加(減少)百分之幾的數是多少”的方法:
方法一:先求出增加(減少)部分的具體數量,然后用單位“1”所對應的具體數量加上(減去)增加(減少)部分的具體數量。
方法二:先求出增加(減少)后的數量是單位“1”的百分之幾,然后用單位“1”所對應的具體數量乘這個百分數。
2. 成數的意義。
在工農業生產和日常生活中經常用到成數,成數可以表示各行各業的發展變化情況。“幾成”就是十分之幾,也就是百分之幾十。
3.解決成數問題的方法。
解決成數的問題,關鍵是先將成數轉化為百分數,然后按照百分數問題的解法進行解答。
　　三、百分數的應用(三)
1. 已知兩個部分量的差(和)及兩個部分量對應的百分數,求總量,這類問題用方程解有兩種方法:
(1)A%x±B%x=兩個部分量的差(和);
(2)(A%±B%)x=兩個部分量的差(和)。(x代表總量;A%代表較大的部分量所占的百分數;B%代表較小的部分量所占的百分數)
2.用方程解“已知比一個數增加百分之幾的數是多少,求這個數”的問題有兩種解答方法:
(1)單位“1”的量×(1+比單位“1”多的百分率)=已知量;
(2)單位“1”的量+單位“1”的量×比單位“1”多的百分率=已知量。
3. 用方程解“已知一個部分量占總量的百分之幾及另一個部分量,求總量”的問題有兩種解答方法:
(1)總量×(1-已知部分量占總量的百分率)=另一部分量;
(2)總量-總量×已知部分量占總量的百分率=另一部分量。
四、百分數的應用(四)
1.本金、利息、利率的含義。
(1)存入銀行的錢叫作本金。
(2)取款時銀行多支付的錢叫作利息。
(3)利息與本金的比值叫作利率(利率有按年計算的,有按月計算的。利率按年計算的通常稱作年利率,利率按月計算的通常稱作月利率)。
2.利息的計算公式:利息=本金×利率×時間。
3.已知利息、利率、時間,求本金:因為利息=本金×利率×時間,可以利用乘法各部分間的關系進行推導,得出本金=利息÷利率÷時間,也可以把本金用x表示,以利息的公式為“等量關系”,列方程解答。
4.已知利息、本金、利率,求時間:因為利息=本金×利率×時間,可以利用乘法各部分間的關系進行推導,得出時間=利息÷本金÷利率,也可以把時間用x表示,以利息的公式為“等量關系”,列方程解答。
5.已知利息、本金、時間,求利率:因為利息=本金×利率×時間,可以利用乘法各部分間的關系進行推導,得出利率=利息÷本金÷時間,也可以把利率用x表示,以利息的公式為“等量關系”,列方程解答。
　8890-60325
1. 解決百分數問題時,把單位“1”看作100%。
2. 求甲比乙增加百分之幾:(甲-乙)÷乙
求乙比甲減少百分之幾:(甲-乙)÷甲
3. 線段圖是解決百分數問題的好幫手。
甲比乙增加(或減少)百分之幾,就是甲比乙多(或少)的部分相當于乙的百分之幾。
成數問題的解題思路和解題方法與百分數的問題相同,只是要注意成數與百分數之間的轉化。
1.根據乘除法的互逆關系,可以用算術法解決求整體的百分數問題。
2.百分數的應用題與分數應用題的問題類型和解題方法完全相同,百分之幾與幾分之幾的意義相同。
1.存款利率以“年利率”為主,但存款時間有按月計算的。
“年利率”對應的時間單位為“年”。
2.根據乘除法的互逆關系,可以推導出本金、利率和時間的計算公式。
計算利息時可以把利率改寫成分母是100的分數,再約分計算。
在本金、利率相同的情況下,存款時間越長,所獲得的利息越多。
到期取回的總錢數=本金+利息
在計算利息時,一要注意存款的時間,二要注意對應的利率。
　知識巧記
銀行儲蓄好處多,
安全增收援建設。
利息計算莫馬虎,
公式牢記在心里。
本金利率和時間,
三量連乘利息得。

展開更多......

收起↑