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排列組合問題的12個經典模型
模型1.從7個不同的元素中每次取出m個不同元素作排列或組合,規定某k個
元素都包含在內,則:
組合數:M=Cm-k
排列數:N2=
Amc
I
例1.全組有12個同學,其中有3個女同學,現要選出5個,如果3個女同學
都必須當選,試問在下列情形中,各有多種不同的選法?
(1)組成一個文娛小組;(2)分別擔任不同的工作
解:(1)由于要選出的5人中,3個女同學都必須當選,因此還需要選2人,這
可從9個男同學中選出,故不同的選法有:M=C1-3=36(種)
(2)在上述組合的基礎上,因為還需要考慮選出5人的順序關系,故不同的選
法有:N2=A8C12-3=A8C=120×36=4320(種)
模型2.從η個不同的元素中每次取出m個不同元素作排列或組合,規定某k個
元素都不包含在內,則:
組合數:M=Cm-k
排列數:N2=AmCm-k=Am-k
例2.某青年突擊隊有15名成員,其中有5名女隊員,現在選出7人,如果5
名女隊員都不當選,試問下列情形中,各有多少種不同的選法?
(1)組成一個搶修小組;(2)分別但任不同的搶修工作
解:(1)由于5名女隊員都不當選,因此只能從10名男同學選出,故不同的選
法有:
M=C15-5=C=C0=120(種)
(2)由于還需考慮選出的7個人的順序問題,故不同的選法有
M2=A15-5=A10=10×9×8×7×6×5×4=604800(種)
模型3.從η個不同的元素中每次取出m個不同元素作排列或組合,規定每一個
排列或組合,都只包含某k個元素中的某s個元素。則組合數:M=Cm-k
排列數:N=AmCm=k
例3.全組12個同學,其中有3個女同學,現要選出5人,如果3個女同學中,
只有甲當選,試問在下列情形中,各有多少種不同的選法?
(1)組成一個數學小組;(2)分別擔任不同的工作
解:(1)由于女同學中只有甲當選,所以還需4人,這4人要從男同學中選,因
此不同選法有:
M=C12-13=C=126(種)
(2)由于選出的人要分別擔任不同的工作,所以不同的選法有:M2=A3C12-3
=A8C=15120(種)
模型4.從π個不同的元素中每次取出k個不同元素作排列或組合,規定每一個
排列或組合,都只包含某r個元素中的S個元素。則:組合數:N=C#C隋-♀
排列數:N2=ACC哈
例4.全組12個同學,其中有3個女同學,現要選出5人,如果3個女同學中,
只有1人當選,試問在下列情形中,各有多少種不同的選法?
(1)組成一個數學小組;(2)分別擔任不同的工作
解:(1)由于女同學中只有1人當選,所以從3個女同學中選1人,從9個男同
學中選4人,不同的選法有:M=C%C2-3=OC=378(種)
(2)由于選出的人要分別擔任不同的工作,所以不同的選法有
N2=A8C3C2-3=ACC=45360種)
模型5.從個不同的元素中每次取出k個不同元素作排列或組合,規定每一個
排列或組合,都至少包含某個元素中的§個元素.則
組合數:M1=C=+G+C=-1+C#+2C帖=-2+
+CrO
排列數:M=A(CHC階=+CF+C=-1+CP+2C階=#-2+……+CC=#)
例5.全組12個同學,其中有3個女同學,現要選出5人,如果3個女同學中
至少有1人當選,試問在下列情形中,各有多少種不同的選法?
(1)組成一個數學小組;(2)分別擔任不同的工作
解:M=OO+O3C+O8C=666(種),
N2=A8(CC+OC+CC)=120×666=79920(種)
模型6.從η個不同的元素中每次取出k個不同元素作排列或組合,規定每一個
排列或組合,都至多包含某T個元素中的S個元素,則:
組合數:M1=CHC-+CC隋-}+CC=2+……十CC隋
排列數:M2=A(CC-+CC=+CPC=2+……十CC隋=
例6.全組12個同學,其中有3個女同學,現要選出5人,如果3個女同學中
至多有2人當選,試問在下列情形中,各有多少種不同的選法?
(1)組成一個數學小組;(2)分別擔任不同的工作
解:M=CC+CC+O3C=766(種),
N2=A8(CC8+CC+CC)=120×766=91920(種)
模型7.從π個不同的元素中每次取出k個不同元素作排列,規定某T個元素都
包含在內,并且分別占據指定的位置.則N=A=F

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