資源簡介

2021年中考數(shù)學(xué)暑假重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
專題一
數(shù)與式
一、有理數(shù)
1、有理數(shù)的基本概念
(1)正數(shù)和負(fù)數(shù)
定義：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。在正數(shù)前加上符號“-”(負(fù))的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。
(2)有理數(shù)
正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)。正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。
2、數(shù)軸
規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。
3、相反數(shù)
代數(shù)定義：只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。
幾何定義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁，離開原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)。
一般地，a和-a互為相反數(shù)。0的相反數(shù)是0。
a
=-a所表示的意義是：一個(gè)數(shù)和它的相反數(shù)相等。很顯然，a
=0。
4、絕對值
定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。
一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。
即：如果a
>0，那么|a|=a；
如果a
=0，那么|a|=0；
如果a
<0，那么|a|=-a。
a
=|a|所表示的意義是：一個(gè)數(shù)和它的絕對值相等。很顯然，a≥0。
5、倒數(shù)
定義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。即：如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。
所表示的意義是：一個(gè)數(shù)和它的倒數(shù)相等。很顯然，a
=±1。
6、數(shù)的大小比較
法則：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。
7、乘方
定義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方。乘方的結(jié)果叫做冪。
如：讀作a的n次方（冪），在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。
性質(zhì)：負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0。
8、科學(xué)記數(shù)法
定義：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù))，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法。小于-10的數(shù)也可以類似表示。
用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)絕對值大于10的數(shù)時(shí)，n是原數(shù)的整數(shù)數(shù)位減1得到的正整數(shù)。
用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)絕對值小于1的數(shù)（a×10-n）時(shí)，n是從小數(shù)點(diǎn)后開始到第一個(gè)不是0的數(shù)為止的數(shù)的個(gè)數(shù)。
9、近似數(shù)
一般地，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)數(shù)近似到哪一位，也叫做精確到哪一位。
精確到十分位——精確到0.1；精確到百分位——精確到0.01；···。
10、有理數(shù)的加法
加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。
加法運(yùn)算律：①交換律
a+b=b+a；
②結(jié)合律
(a+b)+c=a+(b+c)。
11、有理數(shù)的減法
減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即：a
-b=
a
+(-b)。
12、有理數(shù)的乘法
乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。任何數(shù)與0相乘，都得0。
乘法運(yùn)算律：①交換律ab=ba；②結(jié)合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。
13、有理數(shù)的除法
除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即：。
兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何一個(gè)不等于0
的數(shù)，都得0。
14、有理數(shù)的混合運(yùn)算
混合運(yùn)算的順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；③如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行。
二、實(shí)數(shù)
1、平方根
定義1：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。a的算術(shù)平方根記作，讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù)。即。
規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0。
定義2：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。即。
定義3：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。
正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。
2、立方根
定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，記作。即。
求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方。
正數(shù)的立方根是正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；0的立方根是0。
3、無理數(shù)
無限不循環(huán)小數(shù)又叫做無理數(shù)。在理解無理數(shù)時(shí)，要抓住“無限不循環(huán)”這一實(shí)質(zhì)，歸納起來有四類：
（1）開方開不盡的數(shù)，如等；
（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率，或化簡后含有π的數(shù)，如等；
（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函數(shù)，如sin60°等
4、實(shí)數(shù)
有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。即實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)。
備注：最小的正整數(shù)是1，最大的負(fù)整數(shù)是-1，絕對值最小的數(shù)是0。
有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實(shí)數(shù)。
5、實(shí)數(shù)的分類
分法一：
分法二：
6、實(shí)數(shù)的比較大小
有理數(shù)的比較大小的法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)同樣適用。
（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。
（2）求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，
，
，
（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，
（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。
（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。
備注：遇到有理數(shù)和帶根號的無理數(shù)比較大小時(shí)，讓“數(shù)全部回到根號下”，再比較大小。
7、實(shí)數(shù)的運(yùn)算
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方及開方運(yùn)算，而且有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立
1、加法交換律
2、加法結(jié)合律
3、乘法交換律
4、乘法結(jié)合律
5、乘法對加法的分配律
6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序
先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。
實(shí)數(shù)范圍內(nèi)混合運(yùn)算的順序：①先乘方開方，再乘除，最后加減；②同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；③如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行。
三、整式
1、定義
(1)代數(shù)式：用運(yùn)算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。
(2)單項(xiàng)式：用數(shù)或字母的乘積表示的式子叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。
單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。
注意：單項(xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如，這種表示就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫成。一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。如是6次單項(xiàng)式
(3)多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。
單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。
(4)同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。
(5)合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。
合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變。
2、整式的運(yùn)算
(1)整式的加減：幾個(gè)整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項(xiàng)。
去括號法則：同號得正，異號得負(fù)。即括號外的因數(shù)的符號決定了括號內(nèi)的符號是否改變：
如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相同；
如果括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相反。
(2)整式的乘除運(yùn)算
①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。
②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。
③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
④單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。
⑤單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
⑥多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做完全平方公式。
⑦同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。
任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。
⑧單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法：單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。
⑨多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。
注：以上公式及法則在分式和二次根式的運(yùn)算中同樣適用。
(3)添括號法則
同號得正，異號得負(fù)。即括號前的符號決定了括號內(nèi)各項(xiàng)的符號是否改變：
如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不變符號；
如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項(xiàng)都改變符號。
3、因式分解
定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。
以上公式都可以用來對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步驟：
（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式
（3）分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。
四、分式
1、分式的定義
一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
2、分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。
；（C≠0）。
3、分式的約分和通分
定義1：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。
定義2：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式。
定義3：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
定義4：各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡公分母。
4、分式的乘除
①乘法法則：。分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。
②除法法則：。分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。
③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分別乘方。
④整數(shù)負(fù)指數(shù)冪：。
5、分式的加減
同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；
異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p。
①同分母分式的加減：；
②異分母分式的加法：。
注：不論是分式的哪種運(yùn)算，都要先進(jìn)行因式分解。
五、
二次根式
1、二次根式的定義
一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式的基本性質(zhì)
①
(a≥0)；
②
(a≥0)；
③
(a取全體實(shí)數(shù))。
3、二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法：①；
②
(a≥0，
b≥0)。
(2)二次根式的除法：①；
②
(a≥0，
b＞0)。
4、最簡二次根式
最簡二次根式滿足的條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。
5、二次根式的加減
二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。2021年中考數(shù)學(xué)暑假重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
專題五
平行四邊形與圓
一、平行四邊形
1、四邊形
定義1：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。
定義2：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
定義3：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線。
定義4：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。
n邊形內(nèi)角和等于(n-2)×180°，對角線條數(shù)為。多邊形的外角和等于360°。
2、平行四邊形
(1)定義
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號“□ABCD”表示，如平行四邊形ABCD記作“□ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。
(2)平行四邊形的性質(zhì)
平行四邊形的對邊平行且相等；
平行四邊形的對角相等；
平行四邊形的對角線互相平分。
平行四邊形的判定
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
（4）兩條平行線的距離
兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。
平行線間的距離處處相等。
（5）平行四邊形的面積
S平行四邊形=底×高
(6)中位線
定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。
中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。
3、矩形
(1)定義
有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。
(2)矩形的性質(zhì)
矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對角線相等。
推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
(3)矩形的判定
有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；
對角線相等的平行四邊形是矩形；
有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。
4、菱形
(1)定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
(2)菱形的性質(zhì)
菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；
菱形的四條邊都相等；
菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線都平分一組對角。
(3)菱形的判定
一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
四條邊相等的四邊形是菱形。
（4）菱形的面積
S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半
5、正方形
正方形是最特殊的四邊形，它具有矩形的性質(zhì)，也具有菱形的性質(zhì)。
二、
圓
1、圓
在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓。固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑，以點(diǎn)O為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”。
連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。
圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。小于半圓的弧叫做劣弧。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。
能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。在同圓或等圓中，能重合的弧叫等弧。
2、垂徑定理
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。
推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧．
3、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系
定義：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等。
注：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弦，兩條弧、兩個(gè)弦的弦心距中，有一組量相等，那么其余各組量也分別相等
4、圓周角
定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。
圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。
推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。
圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。
5、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為OP=d，則有：
點(diǎn)P在圓外d＞r
；
點(diǎn)P在圓上d=r
；
點(diǎn)P在圓內(nèi)d＜r
。
性質(zhì)：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。
定義：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。
6、直線和圓的位置關(guān)系
直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說這條直線和圓相交。這條直線叫做圓的割線。
直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說這條直線和圓相切。這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)。
直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，我們說這條直線和圓相離。
設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離d，則有：
直線l和⊙O相交d＜r
；
直線l和⊙O相切d=r
；
直線l和⊙O相離d＞r
。
切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。
經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。
切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心。
7、正多邊形和圓
定義：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。
8、弧長和扇形面積
n°的圓心角所對的弧長l為：。
圓心角為n°的扇形面積S為：；
圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為
，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有．
圓錐與側(cè)面展開圖的等量關(guān)系：，2021年中考數(shù)學(xué)暑假基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)
專題一
代數(shù)學(xué)
第一部分
有理實(shí)數(shù)
一、實(shí)數(shù)相關(guān)概念
1、有理數(shù)
（1）定義：凡能寫成為整數(shù)形式的數(shù)都是有理數(shù)。
（2）分類:
①
②
2、實(shí)數(shù)分類
★3、數(shù)軸：數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的一條直線。
①數(shù)軸三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度；
②實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的。
★4、相反數(shù)：符號不同的兩個(gè)數(shù)，互為相反數(shù)；0的相反數(shù)還是0。其中：互為相反數(shù)。
★5、絕對值
（1）定義：數(shù)軸上表示某數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離。
正數(shù)的絕對值是其本身，0的絕對值是0，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。
（2）絕對值可表示為：
或
★6、倒數(shù)：用1除以一個(gè)數(shù)的商，叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中0沒有倒數(shù)；
①若，那么的倒數(shù)是；
②實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，則；
二、有理數(shù)運(yùn)算
1、有理數(shù)運(yùn)算法則
加法交換律：
加法結(jié)合律：
同號兩數(shù)相加，取相同的符號并把絕對值相加；異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的符號，用較大的絕對值減去較小的絕對值
減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即。
乘法交換律：、乘法結(jié)合律：、乘法分配律：.
兩數(shù)相乘，同號為正，異號為負(fù)，并把絕對值相乘；幾個(gè)數(shù)相乘，某因式為零，則積為零；各因式不為零，積的符號由負(fù)因式的個(gè)數(shù)決定.
除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；
注意：零不能做除數(shù)，.
求相同因式積的運(yùn)算，叫做乘方；
乘方中，相同的因式叫做底數(shù)，相同因式的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)，乘方的結(jié)果叫做冪；
⑴先算乘方，再算乘除，最后加減；⑵有括號先算括號；⑶同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行。
★2、科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)數(shù)或有限小數(shù)記成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．
①原數(shù)的絕對值大于10時(shí)，利用科學(xué)記數(shù)法，寫成的形式，
注意,等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1，也是小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)的位數(shù)，如：．
②原數(shù)的絕對值小于10時(shí)，利用科學(xué)記數(shù)法，寫成的形式，
注意，等于原數(shù)左邊第一個(gè)非0的數(shù)字前的所有0的個(gè)數(shù)，是小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)的位數(shù)，如：．
★3、近似數(shù)的精確：一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到那一位，就說這個(gè)近似數(shù)的精確到那一位.
4、有效數(shù)字：從左邊第一個(gè)不為零的數(shù)字起，到精確的位數(shù)止，所有數(shù)字叫近似數(shù)的有效數(shù)字.
第二部分
無理實(shí)數(shù)
一、根式
1、算術(shù)平方根：如果一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)非負(fù)數(shù)叫做的算術(shù)平方根。
一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根記作讀作根號或者讀作二次根號。
★小結(jié)：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：①負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根被開方數(shù)
②非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)且為正數(shù)的算術(shù)平方根等于本身
2、平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)數(shù)叫做的平方根。
一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根記做讀作正負(fù)根號或者讀作正負(fù)二次根號。
★小結(jié)：正數(shù)的平方根有兩個(gè)，互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根
開平方：求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開平方，非負(fù)數(shù)叫做被開方數(shù)。
3、立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于，即，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根三次方根。
一個(gè)數(shù)的立方根記做讀作三次根號。
★小結(jié)：①任何一個(gè)數(shù)且只有一個(gè)立方根。
②正數(shù)的立方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根為負(fù)數(shù)，0的立方根為0。
二、二次根式
1、二次根式的定義：一般地，把形如的式子叫做二次根式。稱為二次根號。
★2、二次根式的性質(zhì):
二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時(shí)，式子才是二次根式，才有意義.
化簡時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡.
中可以取任何實(shí)數(shù)，而中的必須取非負(fù)數(shù)；
3、最簡二次根式：滿足以下條件的根式叫最簡二次根式
①被開方數(shù)不含分母（分母中也不能含有根號）；
②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式。
4、同類二次根式：
化為最簡二次根式后的被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式。
★5、二次根式的運(yùn)算
（1）乘除法法則：算術(shù)平方根的積等于積的算術(shù)平方根：，
算術(shù)平方根的商等于商的算術(shù)平方根．，
（2）加減法法則：一般地，二次根式加減時(shí)，先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并．二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則、運(yùn)算律仍然適用．
★6、分母有理化：指將該原為無理數(shù)的分母化為有理數(shù)的過程，也就是將分母中的根號化去．
①單項(xiàng)式分母的分母有理化（運(yùn)用有理化）：
②分母中有一根號一數(shù)字或兩個(gè)根號的分母有理化（運(yùn)用平方差公式）：
7、實(shí)數(shù)大小的比較：
（1）作差法：任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，若：
（2）作商法：任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，若：
（3）平方法：對含有根號的式子可以通過比較平方數(shù)的大小得根式大小。
8、絕對值、二次根式、平方三者都具有非負(fù)性，它們的任意搭配和為。
第三部分
整式與分式
一、整式概念與計(jì)算
1、整式：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。
（1）單項(xiàng)式：數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)。
（2)多項(xiàng)式：單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。每個(gè)單項(xiàng)式叫多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)，單項(xiàng)式的次數(shù)是幾，就叫幾次項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式中有幾項(xiàng)，就叫?幾項(xiàng)式。多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做多項(xiàng)式的次數(shù)。
（3）同類項(xiàng)：字母相同、字母的指數(shù)也相同叫同類項(xiàng)。同類項(xiàng)與系數(shù)、字母位置無關(guān)。合并是指同類項(xiàng)的系數(shù)相加作為新的系數(shù)，同類項(xiàng)的字母和字母的指數(shù)不變。
2、整式的運(yùn)算
（1）整式的加減法運(yùn)算：
①幾個(gè)整式相加減，用括號把每個(gè)整式括起來，用加減號連接；然后去括號、合并同類項(xiàng)。
②化簡求值的步驟：去括號合并同類項(xiàng)化到最簡代入特殊值
★（2）指數(shù)冪運(yùn)算
①：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。逆用公式：?
②：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。逆用公式：
③：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。逆用公式：
④：積的乘方，等于積的因式乘方積。?逆用公式：
⑤任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。即
⑥負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：
（3）整式乘除法運(yùn)算：
①單項(xiàng)式的乘除法法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個(gè)因式;單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只有被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.
②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則:
?單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即
③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.
★（4）整式乘法公式
?
平方差公式：
?
完全平方公式：
以下是常見的變形：
?
二、因式分解
1、概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。
★2、因式分解的方法：
（1）提公因式法：多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式。把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，即。
①用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.如：
②當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先提出“—”號，使括號內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號.如：
③用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸埃被颉埃保灰言擁?xiàng)漏掉，或認(rèn)為是而出現(xiàn)錯(cuò)誤。
如：
★（2）公式法：利用平方差公式：和完全平方公式：對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的方法。如：
對多項(xiàng)式可以先用整體法，即先令，則上式變?yōu)?簡單明了，繼續(xù)用公式法分解因式。
★（3）十字相乘法
：利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法。
對于二次三項(xiàng)式，若存在
，則
判斷方法：拆二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘和為一次項(xiàng)即可用該方法。判斷時(shí)十字交叉，書寫時(shí)橫向相加再相乘。在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：
按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，則二次三項(xiàng)式可分解為兩因式與之積，即.
舉例：
三、分式概念與計(jì)算
1、分式定義：如果表示兩個(gè)整數(shù)，并且中含有字母，那么式子叫做分式。
★2、與分式有關(guān)的條件
①分式有意義：分母不為
分式無意義：分母為
②分式值為：分子為且分母不為,
★3、分式的性質(zhì)
①基本性質(zhì)：,為不等于的整式.
②最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡.
3、分式的運(yùn)算
（1）分式的加減：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減，
異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p，.
★關(guān)于通分：單項(xiàng)式分母以數(shù)字最小公倍數(shù)和字母最高次項(xiàng)的積為公分母。
多項(xiàng)式先進(jìn)行因式分解，然后以公因式和各項(xiàng)的獨(dú)因式積為公分母。
整式與分式相加減時(shí)，對整式進(jìn)行通分，以分式的分母為分母，整式乘分母為分子。
（2）分式的乘除法法則：
分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，
分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，
★①分式與分式相乘，若分子和分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，看能否約分，然后再乘。
②整式與分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是的代數(shù)式）和分式的分子相乘作為分子，分母不變.當(dāng)整式是多項(xiàng)式時(shí)，同樣要先分解因式，便于約分。
（3）分式的乘方法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，用字母表示為：
★分式乘方時(shí)，應(yīng)把分子、分母分別看作一個(gè)整體.如.2021年中考數(shù)學(xué)暑假重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
專題四
圖形初步與三角形
一、圖形初步認(rèn)識(shí)
1、直線、射線、線段
(1)直線：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。簡稱：兩點(diǎn)確定一條直線。
(2)相交線：當(dāng)兩條不同的直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們就稱這兩條直線相交。這個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn)。
(3)兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。
簡稱：兩點(diǎn)之間，線段最短。
連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離。
(4)線段的中點(diǎn)：線段上的一個(gè)點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn)。
(5)直線沒有端點(diǎn)，向兩方無限延伸，不可度量；
射線有一個(gè)端點(diǎn)，向一方無限延伸，不可度量；
線段有兩個(gè)端點(diǎn)，不向任何一方延伸，能度量。
2、角
(1)定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角。這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，兩條射線是角的兩條邊。
(2)角的度量
1°=60′
1′=60″
(°、′、″分別是：度、分、秒)
(3)角的分類
①銳角(0°<
α
<
90°)
②直角(α
=
90°)
③鈍角(90°<
α
<
180°)
④平角(α
=180°)
⑤周角(α
=360°)
(4)角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線。
(5)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。
(6)余角與補(bǔ)角
余角：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說這兩個(gè)角互為余角。
補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。
性質(zhì)：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的補(bǔ)角相等。
二、
命題、定理與證明
1、命題與定理
定義1：判斷一件事情的語句，叫做命題。
命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。數(shù)學(xué)中的命題常可以寫成“如果……，那么……”的形式。“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論。
定義2：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，
這樣的命題叫做真命題。
定義3：題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題。
定義4：如果一個(gè)命題的正確性是經(jīng)過推理證實(shí)的，這樣得到的真命題叫做定理。
定義5：兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆命題。其中一個(gè)叫做原命題，另外一個(gè)叫做逆命題。
如果定理的逆命題是正確的，那么它也是一個(gè)定理，我們把這個(gè)定理叫做原定理的逆定理。
2、證明
一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理才能作出判斷，這個(gè)推理過程叫做證明。
3、證明的一般步驟
（1）根據(jù)題意，畫出圖形。
（2）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出已知、求證。
（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。
三、相交線與平行線
1、鄰補(bǔ)角與對頂角
鄰補(bǔ)角：有一條公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個(gè)角，叫做互為鄰補(bǔ)角。
對頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，這兩個(gè)角叫做對頂角。
注：對頂角相等。
如：∠1和∠2互為鄰補(bǔ)角，∠2和∠3互為對頂角。
2、垂線
(1)定義：兩直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角時(shí)，我們就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另外一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。
(2)性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；
連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。
(3)點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。
3、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角
如圖，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是內(nèi)錯(cuò)角，∠2和∠4是同旁內(nèi)角。
4、平行線
(1)定義：在平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。
(2)平行公理
經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；
如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
(3)平行線的性質(zhì)
兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；
兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；
兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
(4)平行線的判定
同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。
兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；
兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行；
兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。
四、
圖形的變換
1、平移
(1)定義：把一個(gè)圖形沿著某一直線方向移動(dòng)，這種圖形的平行移動(dòng)，簡稱為平移。
(2)平移的性質(zhì)：平移后的圖形與原圖形全等；對應(yīng)角相等；對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行(或在同一條直線上)且相等。
(3)坐標(biāo)的平移：點(diǎn)（x，y）向右平移a個(gè)單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁+a，y）；
點(diǎn)（x，y）向左平移a個(gè)單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁-a，y）；
點(diǎn)（x，y）向上平移a個(gè)單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁，y+a）；
點(diǎn)（x，y）向下平移a個(gè)單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁，y-a）。
2、軸對稱
(1)軸對稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對稱。這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)。
(2)軸對稱圖形：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形。這條直線叫做它的對稱軸。
(3)軸對稱的性質(zhì)：關(guān)于某條直線對稱的圖形是全等形。
經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。
如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。
(4)線段垂直平分線的性質(zhì)
線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；
與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上。
(5)坐標(biāo)與軸對稱：點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，-y）；
點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，
y）；
3、旋轉(zhuǎn)
(1)旋轉(zhuǎn)
定義：把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P′，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)。
旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。
(2)中心對稱
定義：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱。這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心。這兩個(gè)圖形在旋轉(zhuǎn)后能重合的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對稱中心的對稱點(diǎn)。
中心對稱的性質(zhì)：①中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分；②中心對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。
(3)中心對稱圖形
定義：如果一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形。這個(gè)點(diǎn)叫做它的對稱中心。
(4)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)
兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號相反，即點(diǎn)P(x，y)關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為
P′(-x，-y)。
五、
投影與視圖
1、投影
(1)投影：用光線照射物體，在某個(gè)平面上得到的影子叫做物體的投影。
(2)平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影。
(3)中心投影：由同一點(diǎn)發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影。
(4)正投影：投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。
2、視圖
(1)視圖：從某一方向觀察一個(gè)物體時(shí)，所看到的平面圖形叫做物體的一個(gè)視圖。
視圖可以看作物體在某一方向光線下的正投影。
(2)主視圖、俯視圖、左視圖
對一個(gè)物體在三個(gè)投影面內(nèi)同時(shí)進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖。
主視圖與俯視圖的長對正；主視圖與左視圖的高平齊；左視圖與俯視圖的寬相等。
六、三角形
1、三角形的基本概念
(1)三角形的概念
由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
(2)三角形的分類
①按邊之間的關(guān)系分：
三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形；
有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形；
三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。
②按角分類：
三個(gè)角都是銳角的三角形叫做銳角三角形；
有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形；
有一個(gè)角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。
(3)三角形的三邊之間的關(guān)系
三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊。
三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：
①判斷三條已知線段能否組成三角形
②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍。
③證明線段不等關(guān)系。
三角形的高、中線、角平分線
角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。
中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。
高線：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。
三角形的穩(wěn)定性
三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個(gè)性質(zhì)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。
(6)三角形的角
①三角形的內(nèi)角和等于180°。
推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。
②三角形的外角
定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。
內(nèi)外角的關(guān)系：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。
三角形的外角和等于360°。
(7)三角形的面積
三角形的面積=×底×高
2、特殊三角形
(1)等腰三角形
1、等腰三角形的性質(zhì)
（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：
定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）
推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。
推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性質(zhì)：
①等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。
③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為，底邊長為，則④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推論：
定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等。
推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形
推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
(3)直角三角形
①在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
②在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。
③勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2。
④勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
七、全等三角形
1、全等三角形的概念
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。
把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角。
2、全等三角形的性質(zhì)
全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。
3、三角形全等的判定
(1)邊邊邊(SSS)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。
(2)邊角邊(SAS)：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。
(3)角邊角(ASA)：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。
(4)角角邊(AAS)：兩角和其中一個(gè)角的對邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。
(5)斜邊、直角邊(HL)：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等。
4、全等變換
只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。
全等變換包括一下三種：
（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。
（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對稱變換。
（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。
八、
圖形的相似
1、比例線段的相關(guān)概念
如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n
在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。
在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段
若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段的d叫做a，b，c的第四比例項(xiàng)。
如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng)。
2、比例的性質(zhì)
（1）基本性質(zhì)
①a：b=c：dad=bc
②a：b=b：c
（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）
（交換內(nèi)項(xiàng)）
（交換外項(xiàng)）
（同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）
（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：
（4）合比性質(zhì)：
（5）等比性質(zhì)：
3、黃金分割
把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB
4、平行線分線段成比例定理
三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。
推論：
（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。
逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。
平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。
5、相似多邊形
定義1：形狀相同的圖形叫做相似圖形。
定義2：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比。
性質(zhì)相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。
6、相似三角形的判定
定義：三個(gè)角分別相等，三條邊成比例的兩個(gè)三角形相似。
定理：平行線分線段成比例定理
兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。
推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例。
判定1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
判定2：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。
判定3：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。
判定4：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似。
7、相似三角形的性質(zhì)
相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；
相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；
相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比；
相似三角形周長的比等于相似比；
相似三角形面積的比等于相似比的平方。
相似三角形模型
模型一：A、8模型
已知：，結(jié)論
模型二：共邊共角型
已知：
結(jié)論：
模型三：一線三角型
模型四：相似與旋轉(zhuǎn)
模型五：垂直相似
如圖，在Rt三角形ABC中，∠C=90°，CD為斜邊AB上的高
結(jié)論：
9、位似圖形
定義：如果兩個(gè)圖形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。這時(shí)的相似比又叫位似比。
性質(zhì)：每一組對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比都等于位似比。
由一個(gè)圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換。利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小。
九、
銳角三角函數(shù)
銳角三角函數(shù)
1.在直角三角形中，一個(gè)銳角的對邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的正弦.銳角A的正弦記作sinA
2.在直角三角形中，一個(gè)銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的余弦.銳角A的余弦記作cosA.
3.在直角三角形中，一個(gè)銳角的對邊與鄰邊的比叫做這個(gè)銳角的正切.銳角A的正切記作tanA.
正弦：
余弦：；
正切：。
常見三角函數(shù)值：
銳角α
三角函數(shù)
30°
45°
60°
1
2、解直角三角形
解直角三角形就是應(yīng)用勾股定理、兩銳角的關(guān)系、三角函數(shù)等進(jìn)行求解。除直角外，共5個(gè)元素(三邊、兩銳角)，若知道其中2個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊)，就可以求出其余3個(gè)未知元素。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c
（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）
（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°
（3）邊角之間的關(guān)系：
3．解直角三角形的類型
已知條件
解　法
兩直角邊
(如a，b)
由tan
A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝
斜邊、一直角邊(如c，a)
由sin
A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝
一銳角與鄰邊(如∠A，b)
∠B＝90°－∠A；a＝b·tan
A；c＝
一銳角與對邊(如∠A，a)
∠B＝90°－∠A；b＝；
c＝
斜邊與一銳角(如c，∠A)
∠B＝90°－∠A；a＝c·sin
A；
b＝c·cos
A
4、銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
1．日常生活中的很多問題可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，因此，銳角三角函數(shù)在解決實(shí)際問題中有較大的作用，在應(yīng)用時(shí)要注意以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：
(1)審題，認(rèn)真分析題意，將已知量和未知量弄清楚，找清已知條件中各量之間的關(guān)系，根據(jù)題目中的已知條件，畫出它的平面圖或截面示意圖．
(2)明確題目中的一些名詞、術(shù)語的含義，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等．
(3)是直角三角形的，根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；若不是直角三角形，應(yīng)大膽嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形或矩形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行
解決．
(4)確定合適的邊角關(guān)系，細(xì)心推理計(jì)算．
(5)在解題過程中，既要注意解有關(guān)的直角三角形，也應(yīng)注意到有關(guān)線段的增減情況．
5、銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用中的相關(guān)概念
(1)仰角、俯角
如圖①，在測量時(shí)，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角．
(2)坡度(坡比)、坡角
如圖②，坡面的高度h和水平距離l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tan
α＝，坡面與水平面的夾角α叫坡角．
(3)方向角
指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如圖③，OA是表示北偏東60°方向的一條射線．
注意：東北方向指北偏東45°方向，東南方向指南偏東45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我們一般畫圖的方位為上北下南，左西右東。
(4)方位角
從指北方向線按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角叫做方位角.
6、三角函數(shù)常見模型
圖1
圖2
如圖1是基本圖形，若B、C、D在同一直線上，且∠ABC等于90°，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，AB=x，則有x=BD·tanβ，x=CB·tanα，∴，
變式為圖2，則結(jié)論為2021年中考數(shù)學(xué)暑假基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)
專題二
幾何學(xué)
第一部分
相交線與平行線
一、相交線
1、對頂角與鄰補(bǔ)角
有公共頂點(diǎn)
的兩邊與
的兩邊互為反向延長線
對頂角相等
即
有公共頂點(diǎn)
與有一條邊公共，另一邊互為反向延長線.
鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即
2、垂線
①定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，
其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖所示，符號語言記作：
，垂足為。
②垂線的性質(zhì)：
垂線性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
(與平行公理相比較記)。
垂線性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短。
③點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。如圖，，點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長.
二、平行線
★1、性質(zhì)與判定
①性質(zhì)：兩直線平行同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)
②判定：同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行
2、平行線的構(gòu)造
三、命題與平移
1、命題：判斷一件事情的語句，叫做命題．每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。
2、常見結(jié)論及其否定形式
是
不是
至少有一個(gè)
一個(gè)也沒有
都是
不都是
至多有一個(gè)
至少有兩個(gè)
大于
不大于（小于等于）
至少有個(gè)
至多有（）個(gè)
小于
不小于（大于等于）
至多有個(gè)
至少有（）個(gè)
對所有，成立
存在某，不成立
或
且
對任何，不成立
存在某，成立
且
或
3、平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移。
平移的性質(zhì)：平移后，對應(yīng)線段平行(或共線)且相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)所連線段平行(或共線)且相等
第二部分
三角形
一、三角形的性質(zhì)
★1、構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊或兩邊之和小于第三邊
★2、三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為
推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和。
3、分類
①按角分類：
②按邊分類：
★4、多邊形
①多邊形內(nèi)角和。若正多邊形每個(gè)內(nèi)角為，則有
②多邊形外角和。若正多邊形每個(gè)外角為，則有
③多邊形對角線條數(shù)
★5、三角形中的線段
從三角形的一頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線。
在底邊上的高為。
三角形的一頂點(diǎn)與它的對邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線．
在底邊上的中線為。
三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.
在頂角
上的角平
分線為。
三角形兩邊中點(diǎn)的連線叫中位線。
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。
5、三角形的三心
（1）重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心。
重心性質(zhì)：重心和三角形頂點(diǎn)組成的個(gè)三角形面積相等
重心到頂點(diǎn)的距離與重心到底邊中點(diǎn)距離之比為
三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)則重心坐標(biāo)為
（2）內(nèi)心：三角形三內(nèi)角角平分線交點(diǎn)叫三角形內(nèi)心，是三角形內(nèi)切圓圓心。
內(nèi)心性質(zhì)：內(nèi)心到三角形三邊的距離相等
三角形面積與內(nèi)切圓半徑關(guān)系：
（3）外心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)叫三角形外心，是三角形外接圓圓心。
外心性質(zhì)：外心到三角形三頂點(diǎn)的距離相等；三角形面積與外接圓半徑關(guān)系：
二、特殊三角形
等腰三角形
定義
有兩條邊相等的三角形，叫等腰三角形。相等的兩邊叫腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫頂角，底邊與腰的夾角叫做底角
性質(zhì)
①等腰三角形是軸對稱圖形
②等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對等角)
③等腰三角形的頂角平分線、底邊中線、高線相互重合(三線合一)
判定
①兩邊相等、兩底角相等為等腰三角形。
②兩線合一兩三角形全等為等腰三角形。
等邊三角形
定義
三條邊都相等的三角形是等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形。
性質(zhì)
等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。
判定
①三邊都相等的三角形是等邊三角形。
②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。
③有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。
④有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
直角三角形
定義
有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形。
性質(zhì)
①直角三角形的兩銳角互余。
②在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
③在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。
④勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方，即。
判定
①含有°角（兩銳角互余）的三角形是直角三角形。
②勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊存在關(guān)系“”，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
③如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
實(shí)記勾股數(shù)
三、全等三角形
兩三角形全等對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等。
①邊邊邊：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
②邊角邊：兩邊分別相等且夾角也相等的兩個(gè)三角形全等
③角邊角:兩角對應(yīng)相等且夾邊也相等的兩個(gè)三角形全等
④角角邊:兩角對應(yīng)相等且有一邊也相等的兩個(gè)三角形全等
⑤:直角三角形中對應(yīng)直角邊和斜邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
在與中
∵
∴≌
四、相似三角形
★
1、定義：三個(gè)角對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫相似三角形，相似比記為
∽，則
★2、性質(zhì)：
①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；
②對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比、周長的比都等于相似比；
③相似三角形面積比等于相似比的平方。
★3、判定：
①兩個(gè)角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似。
②兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似.
③三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。
★4、常見的相似模型
第二部分
四邊形
一、平行四邊形
1、平行四邊形性質(zhì)與判定
定義
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形
性質(zhì)
①對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分、鄰角互補(bǔ)
②
判定
①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
②兩組對邊分別相等（平行）的四邊形是平行四邊形；
③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
定義
有一個(gè)角為的平行四邊形叫做矩形
性質(zhì)
①對角線相等、3個(gè)內(nèi)角為直角
②
判定
①有一（三）個(gè)角是直角的平行四邊形（四邊形）是矩形；
②對角線相等的平行四邊形是矩形。
定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
性質(zhì)
①四邊相等、對角線平分對角
②對角線互相垂直且平分
③菱形面積
=
對角線乘積的一半
判定
①有一組鄰邊（四邊）相等的平行四邊形（四邊形）是菱形；
②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
③對角線平分對角的平行四邊形是菱形。
定義
4條邊相等4個(gè)角為直角的四邊形叫做矩形
性質(zhì)
①四邊相等，四個(gè)角都為
②對角線互相垂直、相等且互相平分。
③邊長×邊長＝×對角線×對角線
判定
①對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形
②鄰邊相等（對角線互相垂直）的矩形是正方形
③有一個(gè)角是直角（對角線相等）的菱形是正方形
2、思路總結(jié)
3、平行四邊形面積模型
平行四邊形邊上一點(diǎn)與兩對邊形成的兩個(gè)三角形面積和等于平行四邊形面積一半。
①
②
平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)與兩對邊形成的兩個(gè)三角形面積和等于平行四邊形面積一半。
①
②
平行四邊形外一點(diǎn)與兩對邊形成的兩個(gè)三角形面積和（差）為平行四邊形面積一半。
①
②
二、中點(diǎn)四邊形
定義：任意畫一個(gè)四邊形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)新四邊形，這個(gè)新四邊形就叫做原四邊形的中點(diǎn)四邊形．如下圖點(diǎn)分別是四邊形的邊、、、的中點(diǎn)；
對于任意四邊形，四邊形是平行四邊形．
若對角線，則四邊形是矩形．
若對角線，則四邊形是菱形．
對角線且，則四邊形是正方形．
第三部分
圓
一、圓的有關(guān)概念
在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓．圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，其對稱軸是任意一條過原點(diǎn)的直線，對稱中心是圓心。圓用⊙表示，半徑為
弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長的弦。
弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。
圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
扇形：一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫扇形。
弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形。
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。
推論：平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。
二、圓周角、圓心角定理
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。
定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相等，且都等于它所對的圓心角的一半。
如圖：
推論1：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弧（或弦）是半圓（或直徑）。
如圖：
推論2：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。
如圖：，．
三、直線與圓位置關(guān)系
1、直線和圓的關(guān)系
直線與⊙相交
直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，直線叫做圓的割線。
直線與⊙相切
直線與圓有唯一交點(diǎn)，直線叫做圓的切線，交點(diǎn)叫做圓的切點(diǎn)。
直線與⊙相離
直線與圓沒有交點(diǎn)。
★2、切線判定定理
定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
根據(jù)圓的切線判定定理，以后在題中證明圓的切線，連半徑，證垂直。
★3、切線長定理：
切線長：過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)間線段的長，叫點(diǎn)到圓的切線長．
切線長定理：過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長相等，并且這點(diǎn)和圓心的連線
平分兩條切線的夾角．
如圖所示，、分別與⊙切于點(diǎn)、，則，平分．
4、三角形的外接圓
①確定圓的條件：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．
②外接圓定義：經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的
圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫
做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．
5、三角形的內(nèi)切圓
和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的
內(nèi)心，內(nèi)心是三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．
四、圓冪定理
弦切角：切線與弦的夾角。
弦切角定理：弦切角等于它所夾弧的圓周角。
如圖：．
相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長乘積相等。如圖：．
切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。
如圖：．
割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。
如圖：．
五、扇形與圓錐
弧長公式：
面積公式：
圓錐展開：側(cè)面展開圖是扇形，底面是圓。
為扇形半徑，也叫圓錐母線長。
圓錐個(gè)考點(diǎn)：
①側(cè)面展開圖中：扇形弧長=底面圓周長。即：
②在圓錐內(nèi)由勾股定理有：
第四部分
旋轉(zhuǎn)與視圖
一、旋轉(zhuǎn)與對稱
把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點(diǎn)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn),那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)。
（1）旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形是全等的
（2）旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等
（3）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角都是旋轉(zhuǎn)角
（1）首先確定旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角；
（2）其次在原圖中找?guī)讉€(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；
（3）再連接關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，讓關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段沿旋轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，得到線段的端點(diǎn)就是關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；
（4）最后依次連接各對應(yīng)點(diǎn)，就得到旋轉(zhuǎn)后的圖形。
定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心。
把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做對稱點(diǎn)，對應(yīng)線段叫做對稱線段。
軸對稱性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等形；
②對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線的垂直平分線。
（1）作出已知圖各頂點(diǎn)關(guān)于對稱軸（對稱中心）的對稱點(diǎn)——連接關(guān)鍵點(diǎn)和對稱軸（對稱中心），并延長一倍確定對稱點(diǎn).
（2）把各對稱點(diǎn)按已知圖形的連接方式依次連接起來，則所得到的圖形就是已知圖形關(guān)于對稱軸（對稱中心）對稱的圖形.
二、投影與視圖
1、投影與視圖
平行投影
用平行光線（太陽光）照射物體，在某個(gè)平面(地面或墻壁等)上得到的投影叫做平行投影。
在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長成正比例.
中心投影
用點(diǎn)光線（燈光）照射物體，在某個(gè)平面(地面或墻壁等)上得到的投影叫做中心投影。
中心投影中存在三角形相似
三視圖
一物體在三個(gè)投影面內(nèi)進(jìn)行正投影，在正面得到的的視圖叫主視圖；在水平面得到的叫俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的視圖叫左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.
長對正
高平齊
寬相等
★2、投影與視圖的考點(diǎn)
如圖，小美利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測量旗桿的高度．
（1）畫出此時(shí)旗桿在陽光下的投影；
（2）已知小美的身高為，在同一時(shí)刻測得小美和旗桿AB的投影長分別為和，求旗桿的高．
解答：（1）如下圖，假設(shè)小美為，她的影子為，
連接，過點(diǎn)作交地面于點(diǎn)，
連接，即為此時(shí)旗桿在陽光下的投影．
（2）由（1）可知，，都垂直于地面，且，
，，，．由題可知，，，，解得，旗桿的高為．
如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是（
?
）
A．B．C．D．
根據(jù)主視圖、左視圖、俯視圖可知，該幾何體為正方體缺少右前上的
一塊，故選．
第五部分
幾何解題方法與思路
一、尺規(guī)作圖
作一個(gè)角與相等
?
作的角平分線
作直線的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)
①點(diǎn)在線段上?????
②點(diǎn)在線段外
作圓，使它經(jīng)過不同一直線上的三點(diǎn)（即作以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的外接圓）
作以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的內(nèi)切圓
二、幾何輔助線
截長
（在上截取一點(diǎn)，使得,可證得）
補(bǔ)短
（延長到點(diǎn)，使得,連接,可證得）
斜邊中線(斜邊中線等于斜邊一半，即)
三角形中位線（三角形中位線第三邊，且等于第三邊一半，即且）
等腰三角形“三線合一”（①由兩線合一可以得出;
②三線中知其一可得其二）
倍長中線（延長三角形的中線到，使,可證得,）
類倍長中線（在幾何圖形中，為中點(diǎn)，延長到,使得,可證得）
連半徑（在圓中，證切線問題以及涉圓周角圓心角定理的內(nèi)容都需連接半徑）
直徑（題目提到直徑必用“直徑所對圓周角為直角”題圖若無圓周角則需自己做輔助線構(gòu)建圓周角）
構(gòu)建相似三角形
（中構(gòu)建射影相似，其它三角形一般構(gòu)建字形相似）
三、折疊、動(dòng)點(diǎn)問題
折疊前后2個(gè)幾何圖形全等
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)路徑長
全等三角形、勾股定理、特殊三角形、相似三角形
一般三角形性質(zhì)、相似三角形、坐標(biāo)體系下的幾何知識(shí)、平行四邊形性質(zhì)
偏幾何方向，以幾何關(guān)系為主，往往運(yùn)用勾股定理較多，還會(huì)涉及全等三角形與特殊三角形、相似三角形性質(zhì)
偏函數(shù)方程方向，由時(shí)間為參數(shù)構(gòu)建各類與時(shí)間有關(guān)系的方程式、函數(shù)式，用函數(shù)與方程觀點(diǎn)解決問題
四、幾何中的最值
★1、幾何最值的來源：
兩點(diǎn)之間，線段最短；點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短。
三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小魚第三邊。
⊙上一動(dòng)點(diǎn)與平面一定點(diǎn)之間，由三角形構(gòu)成條件
可得：，
即；當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號。
★2、幾何最值常考類型
的最小值為
的最大值為
周長的最小值為
的最小值為
五、圓的考點(diǎn)梳理
切線判定
①兩銳角互余或勾股定理
②證三角形全等
③公共角模型
④平行線判定
圓周角
圓心角
記住一條準(zhǔn)則：看到弧首先找出它所對的所有圓
心角和圓周角，且用來表示。
勾股定理
相
似
射影相似
字形相似
比值類問題需要將分子和分母分別設(shè)出來，作為已知量求解。
①題目直接給到比值：例如：，設(shè)，則
②三角函數(shù)問題：先在直角三角形中寫出三角函數(shù)定義式，在套用①
六、其它幾何考點(diǎn)
1、全等手拉手模型（共頂點(diǎn)模型）
，，
①,
②
③平分
與是等腰直角三角形
①,
②,
③平分
④
⑤
⑥分別是，上的點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，則（反之亦然）；②若，是的中點(diǎn)（反之亦然）
⑦
與是等邊三角形，三點(diǎn)共線
①,
②
③平分
④,
⑤為等邊三角形
，
①∽
②
2、對角互補(bǔ)模型
，平分
，平分
，
①
②
①
②
①
②
3、半角旋轉(zhuǎn)模型
①
②
①
②過點(diǎn)作，則
③連接，則2021年中考數(shù)學(xué)暑假基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)
專題四
統(tǒng)計(jì)概率
統(tǒng)計(jì)
數(shù)據(jù)收集整理描述
1、統(tǒng)計(jì)調(diào)查方法：全面調(diào)查（即普查）和抽樣調(diào)查．
★全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的優(yōu)缺點(diǎn)：
①全面調(diào)查收集的到數(shù)據(jù)全面、準(zhǔn)確，但一般花費(fèi)多、耗時(shí)長，而且某些調(diào)查不宜用全面調(diào)查；
②抽樣調(diào)查具有花費(fèi)少、省時(shí)的特點(diǎn)，但抽取的樣本是否具有代表性，
直接關(guān)系到對總體估計(jì)的準(zhǔn)確程度．③選取調(diào)查方法主要依據(jù)是調(diào)查對象的重要性，和樣本容量沒有聯(lián)系。例如人口普查，經(jīng)濟(jì)普查等。
2、統(tǒng)計(jì)學(xué)中的幾個(gè)基本概念：
①總體：我們把所要考察的對象的全體叫做總體；
②個(gè)體：把組成總體的每一個(gè)考察對象叫做個(gè)體；
③樣本：從總體中取出的一部分個(gè)體叫做這個(gè)總體的一個(gè)樣本；
④樣本容量：一個(gè)樣本包括的個(gè)體數(shù)量叫做樣本容量．（只是個(gè)數(shù)字，
沒有單位）
⑤樣本平均數(shù)：樣本中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。
⑥總體平均數(shù)：總體中所有個(gè)體的平均數(shù)叫，在統(tǒng)計(jì)中，通常用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)。
1、統(tǒng)計(jì)圖：常有條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，折線統(tǒng)計(jì)圖．
用單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量多少畫成長短不同的直條，把直條按一順序排列起來的統(tǒng)計(jì)圖
能清楚地反映每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)目；
折線統(tǒng)計(jì)圖由兩條代表不同標(biāo)目的數(shù)軸和折線組成，折線上被線段連接的各點(diǎn)同時(shí)反映不同的標(biāo)目．
能清楚地反映事物的變化情況；
用圓和扇形分別表示關(guān)于總體和各個(gè)組成部分?jǐn)?shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖叫做扇形統(tǒng)計(jì)圖．
能清楚反映出各部分在總體中所占的百分比，各部分?jǐn)?shù)量與總數(shù)之間的關(guān)系
★2、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)處理
（1）眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。
（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。
（3）平均數(shù)：對于個(gè)數(shù)，我們把叫做這個(gè)數(shù)的平均數(shù)；
（4）方差：在一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差。用“”表示。即
3、頻數(shù)（頻率）分布
（1）基本概念：①極差：一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差稱為這組數(shù)據(jù)的極差；
②頻數(shù)：將數(shù)據(jù)分組后落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)叫做該小組的頻數(shù)；
③頻率：每一小組的頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率；
★
頻數(shù)和頻率的基本關(guān)系式：
（2）頻數(shù)分布表。
①分布表概念：把各個(gè)類別及其對應(yīng)的頻數(shù)用表格的形式表示，
所得表格為頻數(shù)分布表．
②求頻數(shù)分布表的一般步驟：、計(jì)算最大值與最小值的差；
決定組距和組數(shù)；
確定分點(diǎn)；
列頻數(shù)分布表；
③頻數(shù)之和等于樣本容量
（3）頻數(shù)（頻率）直方圖
①頻數(shù)分布直方圖：是以小長方形的面積來反映數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的
頻數(shù)的大小，直方圖由橫軸、縱軸、條形圖三部分組成。
②頻數(shù)分布直方圖的畫法步驟：Ⅰ、計(jì)算最大值最小值的差；Ⅱ、決定組距和組數(shù)；Ⅲ、列頻數(shù)分布表；Ⅳ、畫頻數(shù)分布直方圖。
③條形圖與直方圖的識(shí)別：Ⅰ、條形圖突出各組的具體數(shù)據(jù)，側(cè)重比較數(shù)據(jù)之間的差別Ⅱ、直方圖側(cè)重表示各組頻數(shù)的分布情況，用于判別各組之間的頻數(shù)的差別Ⅲ、從圖表上看，條形圖橫軸上的數(shù)據(jù)是孤立的；直方圖橫軸上的數(shù)據(jù)是連續(xù)的
Ⅳ、條形圖中各長方形是分開的；而直方圖中各長方形是靠在一起的
★4、統(tǒng)計(jì)圖中的計(jì)算式：
數(shù)據(jù)百分比
概
率
1、事件
必然事件
在一定條件下，有些事件必然會(huì)發(fā)生
不可能事件
有些事件必然不會(huì)發(fā)生
在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。必然事件發(fā)生的可能性是，不可能事件發(fā)生的可能性是，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性在與之間
2、概率及常見類型
一般地，對于一個(gè)隨機(jī)事件，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件發(fā)生的概率，記為
一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件包含其中的種結(jié)果，那么事件發(fā)生的概率
1.在中，由定義可知進(jìn)而有
因此，
2.當(dāng)為必然事件時(shí)，，當(dāng)為不可能事件時(shí)，
3.事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近，反之，事件發(fā)生的可能性越小，它的概率越接近
（1）定義：發(fā)生的事件數(shù)有限，每個(gè)事件發(fā)生的可能性相等的概型。
（2）求基本事件個(gè)數(shù)方法：列舉法、圖表法
（1）定義：發(fā)生的事件數(shù)無限，每個(gè)事件發(fā)生的可能性相等的概型。
（2）求基本事件個(gè)數(shù)方法：計(jì)算圖形面積，線段長度
3、求事件可能結(jié)果的方法
（1）列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法。列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法。
要點(diǎn)詮釋：①列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問題；
②列表法適用于涉及兩步試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.
（2）樹形圖：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖。樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法。
要點(diǎn)詮釋：①
樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問題；
②用列表法或樹形圖法求可能事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.
典例：同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則事件“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和小于且為偶數(shù)”的概率是多少．
解答：方法一：根據(jù)題意，可畫以下樹狀圖：
由圖可知，共有種等可能的情況，其中“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和小于且為偶數(shù)”的共有，，，，，，，，共種情況，
“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和小于且為偶數(shù)”的概率為：，
方法二：根據(jù)題意，可列表如下：
由表格可知，共有種等可能的情況，其中“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和小于且為偶數(shù)”的有，，，，，，，，共有種情況，
兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和小于且為偶數(shù)”的概率為：．

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