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簡化解析幾何運算的5個技巧
技法二
設而不求,整體代換
對于直線與圓錐曲線相交所產(chǎn)生的中點弦問題,涉及
求中點弦所在直線的方程,或弦的中點的軌跡方程的問題
時,常常可以用代點法求解
典例已知橢圓p.S21(a>b>0的右焦點為F3,
0),過點F的直線交E于A,B兩點.若AB的中點坐標為(1,
1),則E的標準方程為
A.,
45136
B.36
=1
27
2718
D.+A=1
189
[解析]設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2,y1+y2=-2,
①
②
①一②得
(x1+x2)(x1-x2),(1+y2)(
=0
所以kmn=二_b(x1+x)b2
2
(1+y2)
7,12,所21
又6、0+11
又9=c2=a2-b2,解得b2=9,a2=18,
所以橢圓E的方程為8+=1
[答案]D
[方法點撥]
本題設出A,B兩點的坐標,卻不需求出A,B兩點的
坐標,巧妙地表達出直線AB的斜率,通過將直線AB的斜
率“算兩次”建立幾何量之間的關系,從而快速解決問題
「對點演練
過點M(1,1)作斜率為-,的直線與橢圓C:2+2=1(a>b>0相
交于A,B兩點,若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率等
于
解析:設A(x1,y),B(x2,y2),則
y2
12=1
(x1-x2)(x1+x2)1(n=y21+y2
0,
V1-V2
6'x1tx2
xi-x2
a'yity2
y1-y21
Ⅺ122,x+x2=2,+y2=2,
2b2.
又∵b2=a2-c2,∴,a2=2(a2-c
=2c,
a
2
即橢圓C的離心率e=
2答案:12
2
技法
巧用“根與系數(shù)的關系”,化繁為簡
某些涉及線段長度關系的問題可以通過解方程、求坐標,
用距離公式計算長度的方法來解;但也可以利用一元二次方
程,使相關的點的同名坐標為方程的根,由根與系數(shù)的關系
求出兩根間的關系或有關線段長度間的關系.后者往往計算
量小,解題過程簡捷
[典例(2016全國甲卷)已知橢圓E:+3=1的焦點在x軸上,
A是E的左頂點,斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點,點N在
E上,MA⊥NA
(1)當t=4,|AM=N時,求△AMN的面積;
(2)當24M=4N時,求k的取值范圍
解]設M(x1,y),則由題意知y>0
(1當r=4時,E的方程為+3=1,A(-20
由已知及橢圓的對稱性知,直線AM的傾斜角為4
因此直線AM的方程為y=x+2
將x=y-2代入4+3=1,得72-12y=0
解得y=0或p12
12
所以y
7
11212144
因此△AMN的面積SAM=2×2×7×7=49

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