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極值點偏移中點問題的探究
【例題呈現】
1.(2010天津理)已知函數f(x)=xe(x∈R)如果x≠x2,且f(x)=f(x2),證明:x+x2>2
【解析】法一:f(x)=(-x)e.令f"(x)=(1-x)e=0,則x
所以f(x)在區間(-∞,1)內是增函數,在區間(,+∞)內是減函數
函數f(x)在x=1處取得極大值f(1)·且f(1)
.IT..I
記F(x)=f(1+x)-f(1-x),則F(x)=f"(1+x)+f(-x)=xe(e2-1)
當x>0時,F'(x)>0,當x<0時,F(x)>0.于是函數F(x)在區間R上是增函數
因此當x<0時,F(x)若(x1-1)(x2-1)=0,由f(x)單調性及f(x)=f(x2),得x1=x2,與x≠x2矛盾
若(x-1)(x2-1)>0,由f(x)單調性及f(x)=f(x2),得x=x,與x≠x2矛盾
因此(x1-1)(x2-1)<0.不妨設x1<1f(x)=f(x2)=f(1-(1-x2)>f(1+(1-x2)=f(2-x2)
為x2>1,所以2=x2<1,又x<1,又f(x)在區間(-∞,1)內是增函數,
所以x1>2-x2,即x1+x2>2
法二由題意:xe=xe分e=2,設t=x2-x,(>0),則x2=1+耳
x
2t
x1+x2=t+
因為x+x2>2分{+-2;>2臺(t-2)(-1)+2>0
設g()=(-2)(-1)+2(>0,g()=(t-1le+1g"t)=l>0,
g()在!∈(0,+∞)單調遞增,g()>g(O)=0,所以g(1)在t∈(0,+∞)單調遞增,g()>g(0)=0,
從而(-2)(-1)+2>0,即x+x2>2.(注:也可利用1=,(>1)換元來實現)
點評】兩種方法均是為了實現將雙變元的不等式轉化為單變元不等式,方法一利用歸納的通法通過
消元來實現,法二則是通過換元來實現,x,x2能否用代換的變元t來表示是關鍵
法三:直接換元證法
x=h血互=,設x1,則x=,
xx
In
tx
In
x,
lnt+lnx=t→
In
t
In,=In
tx
,=Int+Inx=Int
nt
tIn
t
x.x.>eslnx
+Inx>29-Int
>2
Int>
t+1
點評】1.方法一通過取對數化歸到極值點左移,對方程的合理變形是關鍵(這正是解決方程與不等式
問題的關鍵所在),因為要證x+hnx2>2,因此變形的方向是:lnx1,lnx2是新構建的函數的兩個零
點,1是該函數的極值點
2方法二是在方程組血x=αxhx=αx無法求解得根的情況下,變形消去變元a,將原不等式轉換為證
h-如2>2,集中變元后換元實現化單變元,法三是先構建xx2的等量關
lnxx,再
直接換元1=2來實現化單變元,

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