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第十四講
公式與通項歸納
通項簡單的說就是一個數列的規律，通過題目中的數據與等差數列，等比數列的通項公式之間的聯系，推導出新數列的規律。
通項歸納法需要借助于代數，將算式化簡，將“形似”的復雜算式及數列，用字母表示后化簡為常見的一般形式。
1.能用數列的通項公式解題。
2.用代數的形式表示數，并通過化簡代數式來化簡算式。
例1：________
。
分析：方法一：令，則，兩式相減，得。
方法二：找規律計算得到
答案：
例2：在一列數：中，從哪一個數開始，1與每個數之差都小于？
分析：這列數的特點是每個數的分母比分子大2，分子為奇數列，要1－＜，解出n＞999.5，從n＝1000開始，即從開始，滿足條件
答案：
例3：計算：
分析：先找通項公式
原式
答案：
例4：
分析：（法1）：可先找通項
原式
（法2）：原式
答案：
例5：計算：
．
分析：本題的通項公式為，沒辦法進行裂項之類的處理．注意到分母，可以看出如果把換成的話分母的值不變，所以可以把原式子中的分數兩兩組合起來，最后單獨剩下一個．
將項數和為100的兩項相加，得
，所以原式．（或者，可得原式中99項的平均數為1，所以原式）
答案：
例6：計算：
分析：通項歸納，
原式
答案：
A
1.
計算：
分析：先找通項：
原式
答案：
2.計算：
分析：先通項歸納：，
原式
答案：
3.
分析：
原式＝＝
答案：
4.
分析：
原式
答案：
5.
計算：
分析：通項公式：，
原式
答案：
B
6.
分析：找通項
原式，
通過試寫我們又發現數列存在以上規律，這樣我們就可以輕松寫出全部的項，所以有
原式
答案：
7.計算：
分析：由于，則，
原式
答案：
8.計算：
分析：（法1）：可先來分析一下它的通項情況，
原式=
（法2）：
答案：
9.
分析：通項為：，
原式
答案：
10.
分析：
原式==
答案：
C
11.
分析：雖然很容易看出＝，＝……可是再仔細一看，并沒有什么效果，因為這不象分數裂項那樣能消去很多項．我們再來看后面的式子，每一項的分母容易讓我們想到公式，
于是我們又有．．
減號前面括號里的式子有10項，減號后面括號里的式子也恰好有10項，是不是“一個對一個”呢？
＝
＝
＝
＝＝
＝＝．
答案：
12.計算：
分析：通項歸納：
原式=
答案：
13.計算：
分析：原式
通項歸納，
原式
答案：
14.計算：（共條分數線）
分析：
………………
，所以條分數線的話，答案應該為
答案：
1.下面的算式是按一定規律排列的,那么第100個算式的得數是多少?
4+3,5+6,6+9,7+12,…
解答：
仔細觀察可知:
每個算式的第一個加數組成一個公差為1的等差數列:4,5,6,7,…;
每個算式的第二個加數組成一個公差為3的等差數列:3,6,9,12,…;
若要求第100個算式的得數,只要分別算出每個等差數列的第100項即可.
根據通項:
.
第一個加數為:4+(100-1)×1=4+99=103;
第二個加數為:3+(100-1)×3=3+99×3=3×100=300.
所以第100個算式的得數為:103+300=403.
2.
若干人圍成8圈,一圈套一圈,從外向內各圈人數依次少4人.如果共有304人,最外圈有幾人?
解答：
最外圈人數有:+(8-1)×4=(+28)人.
所以共有人數可表示為:
(+28)×8÷2=304
+28=76
=48
=24
最外圈有:
24+28=52(人).
3.
在1~100這一百個自然數中所有不能被11整除的奇數的和是多少?
解答：
(1+3+5+7+…+97+99)-(11+22+33+44+55+66+77+88+99)
=(1+99)×50÷2-[(11+99)×4+55]
=2500-495
=2005.
4.
在2949,2950,2951,…2997,2998這五十個自然數中,所有偶數之和比所有奇數之和多多少?
解答：
根據題意可列出算式:
(2950+2952+…+2998)-(2949+2951+…+2997)
注意到這兩個等差數列的項數相等,公差相同,且對應項差為1,所以25項就差25個1,即
原式=(2950-2949)+(2952-2951)+…+(2998-2997)
=1+1+1+…+1
=25.
5.
求一切除以4后余1的兩位數的和?
解答：
除以4后余1的最小兩位數是多少?
12+1=13.
除以4后余1的最大兩位數是多少?
96+1=97.
除以4后余1的兩位數一共有多少個?
96÷4-2=22(個).
它們的和是:
13+17+21+…+97
=(13+97)×22÷2
=1210.
1.在1000到2000之間，所有個位數字是7的自然數之和是多少？
解答：
首先寫出符合條件數列，在求值。
數列為：1007,1017,1027….1997
和為
(1007+1997)×100÷2=150200
2.在1～100這一百個自然數中，所有不能被9整除的數的和是多少？
解答：
我們先計算1～100得自然數和，再減去能被9整除的自然數和，就是所有不能被9整除的自然數和了
1+2+……+100＝(1+100)×100÷2=5050
9+18+27+……+99＝(9+99)×11÷2=594
所有不能被9整除的自然數和：5050-594=4456
3.在1～100這一百個自然數中，所有不能被9整除的奇數的和是多少？
解答：
先計算1～100的奇數和，再減去能被9整除的奇數和。
1+3+……+99-(9+27+45+……+99)＝(1+99)×50÷2－(9+99)×6÷2=2176
4.在1～200這二百個自然數中，所有能被4整除或能被11整除的數的和是多少？
解答：
先求出能被4整除的自然數和，再求出能被11整除的自然數和，將二者相加，但是此時得到的不是題目需要的和，因為44、88等數在兩個數列中都存在，也就是說能被44整除的數列被計算了兩次，所以我們還應改減去能被44整除的數列和。
(4+8+12+……+200)+(11+22+33+……+198)-(44+88+132+176)=(4+200)×50÷2+(11+198)×18÷2-(44+176)×4÷2＝6541
5.有一列數：1，1993，1992，1，1991，1990，1，……，從第三個數起，每一個數都是它前面兩個數中大數減小數的差。求從第一個數起到第1993個數這1993個數之和。
解答：
經過觀察可以發現，這是由兩個數列組成的數列，一個是全1，另一個是公差為1，首項為1993的等差數列，把1,1993,1992這樣三個數算為一組，整個數列到第1993個的時候應該有1993÷3＝664組，最后一個數是1，所以總共有665個1，等差數列有664×2項，最后四個數是1,667,666,1
分為兩個數列求和：
(1993+666)×1328÷2+1×665＝1766241
6.求所有加6以后能被11整除的三位數的和。
解答：
我們可以先求能被11整除的三位數和，然后再減去
項數×6，同時還要求這些三位數減去6后仍然是三位數。
110-6+121-6+……+990-6+1001-6=(110+1001)×92÷2-6×92＝50554
7.利用公式，計算：
解答：
公式是一個從1到n2的和，而要求計算的是152到212的和，我們可以通過適當的變換，將要求的算式變成能套用公式的形式。
=
=
=2296
8.求和
解答：
這類題我們可以用裂項的辦法來求解。我們知道：
將題目中每項都按照上面的公式拆分，就可以很方便的計算出結果。
＝
＝
＝
＝330
9.計算：
解答：
上面序列的通項公式為，我們可以這樣來裂項：
＝
＝
＝362879第十四講
公式與通項歸納
通項簡單的說就是一個數列的規律，通過題目中的數據與等差數列，等比數列的通項公式之間的聯系，推導出新數列的規律。
通項歸納法需要借助于代數，將算式化簡，將“形似”的復雜算式及數列，用字母表示后化簡為常見的一般形式。
1.能用數列的通項公式解題。
2.用代數的形式表示數，并通過化簡代數式來化簡算式。
例1：________
。
例2：在一列數：中，從哪一個數開始，1與每個數之差都小于？
例3：計算：
例4：
例5：計算：
．
例6：計算：
A
1.
計算：
2.計算：
3.
4.
5.
計算：
B
6.
7.計算：
8.計算：
9.
10.
C
11.
12.計算：
13.計算：
14.計算：（共條分數線）
1.下面的算式是按一定規律排列的,那么第100個算式的得數是多少?
4+3,5+6,6+9,7+12,…
2.
若干人圍成8圈,一圈套一圈,從外向內各圈人數依次少4人.如果共有304人,最外圈有幾人?
3.
在1~100這一百個自然數中所有不能被11整除的奇數的和是多少?
4.
在2949,2950,2951,…2997,2998這五十個自然數中,所有偶數之和比所有奇數之和多多少?
5.
求一切除以4后余1的兩位數的和?
1.在1000到2000之間，所有個位數字是7的自然數之和是多少？
2.在1～100這一百個自然數中，所有不能被9整除的數的和是多少？
3.在1～100這一百個自然數中，所有不能被9整除的奇數的和是多少？
4.在1～200這二百個自然數中，所有能被4整除或能被11整除的數的和是多少？
5.有一列數：1，1993，1992，1，1991，1990，1，……，從第三個數起，每一個數都是它前面兩個數中大數減小數的差。求從第一個數起到第1993個數這1993個數之和。
6.求所有加6以后能被11整除的三位數的和。
7.利用公式，計算：
8.求和
9.計算：

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