資源簡介

一元一次不等式（組）的應用
一、選擇題
7．（2020·杭州）在某次演講比賽中，五位評委給選手圓圓打分，得到互不相等的五個分數．若去掉一個最高分，平均分為x；去掉一個最低分，平均分為y；同時去掉一個最高分和一個最低分，平均分為z，則（　　）
A．
B．
C．
D．
{答案}A
{解析}本題考查了算術平均數，設五位評委給選手圓圓打分為a，b，c，d，e，其中a＜b＜c＜d＜e，則x＝(a＋b＋c＋d)，y＝(b＋c＋d＋e)，z＝(b＋c＋d)，所以x－z＝(a＋b＋c＋d)－(b＋c＋d)＝(3a－b－c－d)，因為a＜b，a＜c，a＜d，所以a＋a＋a＜b＋c＋d，即3a－b－c－d＜0，所以x－z＜0，所以x＜z，即z＞x．因為y－z＝(b＋c＋d＋e)－
(b＋c＋d)＝(3e－b－c－d)，因為b＜e，c＜e，d＜e，所以b＋c＋d＜3e，所以3e－b－c－d＞0，所以y－z＞0，所以y＞z．綜合知y＞z＞x，因此本題選A．
8．（2020·常德）如圖，將一枚跳棋放在七邊形ABCDEFG的頂點A處，按順時針方向移動這枚跳棋2020次．移動規則是：第k次移動k個頂點如第一次移動1個頂點，跳棋停留在B處，第二次移動2個頂點，跳棋停留在D處，按這樣的規則，在這2020次移動中，跳棋不可能停留的頂點是
A．C、E
B．E、F
C．G、C、E
D．E、C、F
{答案}
D{解析}設頂點A，B，C，D，E，F，G分別是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移動了k次后走過的總格數是，應停在第格，這時P是整數，且使，分別取，2，3，4，5，6，7時，，3，6，3，1，0，0，發現第2，4，5格沒有停棋，
若，設2，代入可得，，
由此可知，停棋的情形與時相同，
故第2，4，5格沒有停棋，即頂點C，E和F棋子不可能停到，因此本題選D．
7．（2020·重慶B卷）小明準備用40元錢購買作業本和簽字筆．已知每個作業本6元，每支簽字筆2.2元．小明買了7支簽字筆，他最多還可以買的作業本個數為（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
{答案}B
{解析}本題考查了不等式的應用，設小明買了x個作業本，根據題意，得6x+2.2×7≤40，解得x≤4.1，即他最多還可以買4個作業本，因此本題選B
10．（2020·宜賓）某單位為響應政府號召，需要購買分類垃圾桶6個，市場上有A型和B型兩種分類垃圾桶，A型分類垃圾桶500元/個，B型分類垃圾桶550元/個，總費用不超過3100元，則不同的購買方式有（　　）
A．2種
B．3種
C．4種
D．5種
{答案}B
{解析}設購買A型分類垃圾桶x個，則B型分類垃圾桶（6－x）個，根據“總費用不超過3100元”列出不等式500x＋550（6－x）≤3100，解得x≥4，又由于6－x≥0，得x≤6，因為x為整數，所以x＝4，5，6，6－x＝2，1，0，所以不同的購買方式有3種．
二、填空題
15．（2020·紹興）有兩種消費券：A券，滿60元減20元，B券，滿90元減30元，即一次購物大于等于60元、90元，付款時分別減20元，30元．小敏有一張A券，小聰有一張B券，他們都購了一件標價相同的商品，各自付款，若能用券時用券，這樣兩人共付款150元，則所購商品的標價是　
　元．
{答案}85或100
{解析}本題考查了一元一次方程的應用，分類討論思想．不妨設商品標價為x元，若x≤60，顯然不成立；若60＜x＜90，則2x-20=150，得x=85；若x≥90，則2x-20-30=150，x=100，綜上所述，x=85或100．因此本題答案為85或100．
16．（2020·綿陽）我市認真落實國家“精準扶貧”政策，計劃在對口幫扶的貧困縣種植甲、乙兩種火龍果共100畝．根據市場調查，甲、乙兩種火龍果每畝的種植成本分別為0.9萬元、1.1萬元，每畝的銷售額分別為2萬元、2.5萬元．如果要求種植成本不少于98萬元，但不超過100萬元，且所有火龍果能全部售出，則該縣在此項目中獲得的最大利潤是
萬元．（利潤=銷售額－種植成本）
{答案}125
{解析}設種植甲種火龍果x畝，則種植乙種火龍果(100－x)畝．根據“甲、乙兩種火龍果每畝的種植成本分別為0.9萬元、1.1萬元”得甲、乙兩種火龍果的種植成本分別為0.9x萬元、1.1(100－x)萬元，結合已知條件“要求種植成本不少于98萬元，但不超過100萬元”可得不等式組98≤0.9x＋1.1(100－x)≤100，解得50≤x≤60．根據“每畝的銷售額分別為2萬元、2.5萬元，且所有火龍果能全部售出．”可知利潤為w＝(2－0.9)x＋(2.5－1.1)(100－x)＝－0.3x＋140，∵－0.3＜0，∴w隨x的增大而減小，故當x＝50時w最大值為－0.3×50＋140＝125（萬元）．故答案為125萬元．
(2020·南充）14.筆記本5元/本，鋼筆7元/支，某同學購買筆記本和鋼筆恰好用去100元，那么最多可以購買鋼筆
支.
{答案}10
{解析}設購買了筆記本x本，鋼筆y支，由題意得：5x+7y=100.所以≥0.解得.所以y可以取14，13，12，11，10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0.又因為x，y要取整數，所以y取5的倍數即10，5.而最大的是10.所以鋼筆最多買10支.
14.
（2020·攀枝花）
世紀公園的門票是每人5元；一次購門票滿40張，每張門票可少收1元.
若少于40人時，一個團隊至少要有
人進公園，買40張門票反而合算.
{答案}33
{解析}設x人進公園，若購滿40張票則需要：40×（5-1）=40×4=160（元），故5x＞160時，解得：x＞32，則當有32人時，購買32張票和40張票的價格相同，則再多1人時買40張票較合算；32+1=33（人）．則至少要有33人去世紀公園，買40張票反而合算．
15．
（2020?寧夏）《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著某興趣小組閱讀四大名著的人數，同時滿足以下三個條件：
（1）閱讀過《西游記》的人數多于閱讀過《水滸傳》的人數；
（2）閱讀過《水滸傳》的人數多于閱讀過《三國演義》的人數；
（3）閱讀過《三國演義》的人數的2倍多于閱讀過《西游記》的人數．
若閱讀過《三國演義》的人數為4，則閱讀過《水滸傳》的人數的最大值為　6　．
【解析】設閱讀過《西游記》的人數是a，閱讀過《水滸傳》的人數是b（a，b均為整數），
依題意，得：，
∵a，b均為整數
∴4＜b＜7，
∴b最大可以取6．
故答案為：6．
三、解答題
22．（2020·遵義）為倡導健康環保，自帶水杯已成為一種好習慣，某超市銷售甲，乙兩種型號水杯，進價和售價均保持不變，其中甲種型號水杯進價為25元/個，乙種型號水杯進價為45元/個，下表是前兩月兩種型號水杯的銷售情況:
時間
銷售數量(個)
銷售收入(元)
(銷售收入＝售價×銷售數量)
甲種型號
乙種型號
第一月
22
8
1100
第二月
38
24
2460
(1)求甲、乙兩種型號水杯的售價:
(2)第三月超市計劃再購進甲、乙兩種型號水杯共80個這批水杯進貨的預算成本不超過2600元，且甲種型號水杯最多購進55個，在80個水杯全部售完的情況下設購進甲種號水杯a個，利潤為w元，寫出w與a的函數關系式，并求出第三月的最大利潤．
{解析}本題考查二元一次方程組、一元一次不等式、一次函數的實際應用.（１）由題中的等量關系：甲種型號銷售收入＋乙種型號銷售收入＝總銷售收入列解方程組即可得解；（2）由“第三月超市計劃再購進甲、乙兩種型號水杯共80個這批水杯進貨的預算成本不超過2600元，且甲種型號水杯最多購進55個”列不等式組，求出甲種型號水杯a的取值范圍，再由總利潤w＝甲種型號水杯的利潤+乙種型號水杯的利潤列出關于w與a的函數關系式，根據一次函數的性質得到第三月的最大利潤．
{答案}解:
(1)設甲種型號水杯售價為x元，乙種型號水杯售價為y元，
根據題意，得解得答:甲種型號水杯售價為30元，乙種型號水杯售價為55元．
(2)
由題意得解得50≤a≤55．
w＝(30－25)a＋(55－45)(80－a)＝－5a＋800．
∵－5<0，
∴w隨a的增大而減小．∴當a＝50時，w有最大值，最大為550.
答:第三月的最大利潤為550元．
25．（2020·哈爾濱）昌云中學計劃為地理興趣小組購買大、小兩種地球儀.若購買1個大地球儀和3個小地球儀需用136元；若購買2個大地球儀和1個小地球儀需用132元.
（1）求每個大地球儀和每個小地球儀各多少元；
（2）昌云中學決定購買以上兩種地球儀共30個，總費用不超過960元，那么昌云中學最多可購買多少個大地球儀？
{解析}本題考查了二元一次方程組，一元一次不等式的應用；能夠通過已知條件列出準確的方程組和不等式是解題的關鍵，（1）設每個大地球儀x元，每個小地球儀y元，根據題意得：，求解即可；（2）設設昌云中學可以購買m個大地球儀,則購買小地球儀(30－m)個，根據題意不超過是≤，所以列式得：52m＋28(30－m)≤960，即可求解．
{答案}解：(1)解:設每個大地球儀x元，每個小地球儀y元
根據題意得
解得∴每個大地球儀52元，每個小地球儀28元
(2)解:設昌云中學可以購買m個大地球儀,則購買小地球儀(30－m)個.
根據題意得52m＋28(30－m)≤960解得m≤5∴昌云中學最多可以購買5個大地球儀.
21.
（2020·蘇州）如圖，“開心”農場準備用的護欄圍成一塊靠墻的矩形花園，設矩形花園的長為，寬為.
（1）當時，求的值；
（2）受場地條件的限制，的取值范圍為，求的取值范圍.
{解析}（1）根據a，b關系列代數式，求時代數式的值；（2）根據的取值范圍列一元一次不等式組求解．
{答案}解：（1）由題意得：，當時，.解得.
（2）∵，，∴解這個不等式組，得.
答：矩形花園寬的取值范圍為.
20．（2020·福建）某公司經營甲、乙兩種特產，其中甲特產每噸成本價為10萬元，銷售價為10.5萬元；乙特產每噸成本價為1萬元，銷售價為1.2萬元.由于受有關條件限制，該公司每月這兩種特產的銷售量之和都是100噸，且甲特產的銷售量都不超過20噸.
（1）若該公司某月銷售甲、乙兩種特產的總成本為235萬元，問這個月該公司分別銷售甲、乙兩種特產各多少噸？
（2）求該公司一個月銷售這兩種特產所能獲得的最大總利潤.
{答案}解：（1）設這個月該公司銷售甲特產噸，則銷售乙特產噸.
依題意，得，
解得，則.
經檢驗符合題意.
所以，這個月該公司銷售甲特產15噸，乙特產85噸.
（2）設一個月銷售甲特產噸，則銷售乙特產噸，且.
公司獲得的總利潤.
因為，所以隨著的增大而增大.
又因為，
所以當時，公司獲得的總利潤的最大值為26萬元.
故該公司一個月銷售這兩種特產能獲得的最大總利潤為26萬元.
（2020·濟寧）20.(8分)為加快復工復產，某企業需運輸批物資．據調查得知，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱．
（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸多少箱物資；
（2）計劃用兩種貨車共12輛運輸這批物資，每輛大貨車一次需費用5000元，每輛小貨車一次需費用3000元．若運輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元．請你列出所有運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少．最少費用是多少？
{解析}（1）設1輛大貨車一次運輸x箱物資，1輛小貨車一次運輸y箱物資，由“2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱”，可列方程組，即可求解；
（2）設有a輛大貨車，（12﹣a）輛小貨車，由“運輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元”可列不等式組，可求整數a的值，即可求解．
{答案}解：（1）設1輛大貨車一次運輸x箱物資，1輛小貨車一次運輸y箱物資，
由題意可得：，
解得：，
答：1輛大貨車一次運輸150箱物資，1輛小貨車一次運輸100箱物資，
（2）設有a輛大貨車，（12﹣a）輛小貨車，
由題意可得：，
∴6≤a＜9，
∴整數a＝6，7，8；
當有6輛大貨車，6輛小貨車時，費用＝5000×6+3000×6＝48000元，
當有7輛大貨車，5輛小貨車時，費用＝5000×7+3000×5＝50000元，
當有8輛大貨車，4輛小貨車時，費用＝5000×8+3000×4＝52000元，
∵48000＜50000＜52000，
∴當有6輛大貨車，6輛小貨車時，費用最小，最小費用為48000元．
（2020·德州）23.（12分）小剛去超市買畫筆，第一次花60元買了若干支A型畫筆，第二次超市推薦了B型畫筆，但B型畫筆比A型畫筆的單價貴2元，他又花100元買了相同支數的B型畫筆.
（1）超市B型畫筆單價多少元？
（2）小剛使用兩種畫筆后，決定以后使用B型畫筆，但感覺其價格稍貴，和超市溝通后，超市給出以下優惠方案：一次性購買不超過20支，則每支B型畫筆打九折；若一次購買超過20支，則前20支打九折，超過的部分打八折，設小剛購買的B型畫筆x支，購買費用為y元，請寫出y關于x的函數關系式.
（3）在（2）的優惠方案下，若小剛計劃用270元購買B型畫筆，則能購買多少支B型畫筆？
{解析}（1）設超市B型畫筆單價為未知數，根據等量關系列方程求出未知數的值.
（2）分別求出B型畫筆支數x≤20和x＞20時的函數關系.
{答案}解：（1）設超市B型畫筆單價a元，則A型畫筆單價為（a-2）元，
由題意列方程，得，
解得，.
經檢驗是原分式方程的根.
答：超市B型畫筆單價是5元.
（2）由題意知，
當小剛購買的B型畫筆支數x≤20時，費用為y=0.9×5x=4.5x；
當小剛購買的B型畫筆支數x＞20時，費用為y=20×0.9+（x-20）×0.8×5=4x+10.
所以，其中x為正整數.
（3）當4.5x=270（x≤20）時，解得x=60，因為60＞20不符合題意，舍去.
當4x+10=270（x＞20）時，解得x=65.
答：小剛能購買65支B型畫筆.
22.（2020·湖北孝感）某電商積極響應市政府號召，在線銷售甲、乙、丙三種農產品，己知1kg乙產品的售價比1kg甲產品的售價多5元，1kg
內產品的售價是1kg甲產品售價的3倍，用270元購買丙產品的數量是用60元購買乙產品數量的3倍.
(1)求甲、乙、丙三種農產品每千克的售價分別是多少元?
(2)電商推出如下銷售方案:甲、乙、丙三種農產品搭配銷售共40kg，其中乙產品的數量是丙產品數量的2倍，且甲、丙兩種產品數重之和不超過乙產品數量的3倍.請你幫忙計算，按此方案購買40kge農產品最少要花費多少元?
{解析}本題考查列方程解應用題和用一次函數求實際問題中的最值.
根據題意找到相等關系用270元購買丙產品的數量是購買乙產品數量的3倍，分別用含未知數的代數表示這個相等關系就可得到方程.解出方程可得甲乙丙三種產品的售價.
用函數關系表示出購買40千克農產品的費用，再根據取值范圍求出最值即可.
{答案}解：設1kg甲產品的售價為元，則1kg乙產品的售價為（+5）元，1kg丙產品的售價為3元，由題意得：，
解得：,經檢驗，既符合方程也符合題意.∴+5＝10，3＝15.
所以甲乙丙三種農產品每千克的售價分別為5元，10元，15元.
設40kg農產品中有丙產品kg，則有乙產品2kg,甲產品有（40－3）kg,
∴40－3+≤2×3
，解得：≥5.
設按此方案購買農產品40kg所需費用為元，由題意，得：
＝20+200.
∵隨的增大而增大，∴當＝5時，取最小值，且.
所以，按此方案購買40kg農產品最少需要花費300元.
22.（2020·達州）某家具商場計劃購進某種餐桌、餐椅進行銷售，有關信息如下表：
原進價（元張）
零售價（元張）
成套售價（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅
a﹣140
160
已知用元購進的餐椅數量與用1300元購進的餐桌數量相同．
（1）求表中的值；
（2）該商場計劃購進餐椅的數量是餐桌數量的倍還多張，且餐桌和餐椅的總數量不超過張．若將一半的餐桌成套（一張餐桌和四張餐椅配成一套）銷售，其余餐桌、餐椅以零售方式銷售，請問怎樣進貨，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
{解析}（1）由等量關系“600元購進的餐椅數量與用1300元購進的餐桌數量相同”列方程即可解得a的值；（2）根據題中的不等關系列出不等式求得餐桌、餐椅的數量所滿足的關系，再根據題意列出利潤關于餐桌、餐椅的函數關系式，利用函數的性質求最值即可.
{答案}（1）由題意得，
解得a=260，
經檢驗：a=260是原方程的解，且符合實際意義.
答：a的值為260.
（2）設商場獲得的利潤為W，購進餐桌x張，則購進的餐椅數量為（5x＋20）張，
由題意得x＋5x＋20≤200，
解得x≤30，
W=【940－260－4×（260－140）】＋（380－260）＋（5x＋20－）（160－260＋140）
整理得：W=280x＋800
∵280＞0，x≤30，
∴W隨x的增大而增大，且當x=30時，W取最大值，W最大=280×30＋800=9200（元）
當x=30時，5x＋20=170，
答：當購進30張餐桌，170張餐椅時，獲得的利潤最大，最大利潤為9200元.
24．（2020·常州）(8分)某水果店銷售蘋果和梨，購買1千克蘋果和3千克梨共需26元，購買
2千克蘋果和1千克梨共需22元．
（1）求每千克蘋果和每千克梨的售價；
（2）如果購買蘋果和梨共15千克，且總價不超過100元，那么最多購買多少千克蘋果？
{答案}解：（1）1千克蘋果x元，1千克梨y元；
所列方程組為，
解得
答：1千克蘋果8元，1千克梨6元.
（2）設購買蘋果a千克，則購買梨（15－a）千克
8a＋6(15－a)≤100
a≤5
答：最多買5千克蘋果．
{解析}考查列二元一次方程組及列一元一次不等式解決實際問題；（1）根據兩個總價得到相應的關系式是解決本題的關鍵．關系式為：1千克蘋果與2千克梨的總價＝13；2千克蘋果與1千克梨的總價＝14，把相關數值代入即可．（2）根據總價不超過100元列不等式．
25．（2020·天水）天水市某商店準備購進A、B兩種商品，A種商品每件的進價比B種商品每件的進價多20元，用2000元購進A種商品和用1200元購進B種商品的數量相同．商店將A種商品每件的售價定為80元，B種商品每件的售價定為45元．
（1）A種商品每件的進價和B種商品每件的進價各是多少元？
（2）商店計劃用不超過1560元的資金購進A、B兩種商品共40件，其中A種商品的數量不低于B種商品數量的一半，該商店有幾種進貨方案？
（3）“五一”期間，商店開展優惠促銷活動，決定對每件A種商品售價優惠m（10＜m＜20）元，B種商品售價不變，在（2）的條件下，請設計出m的不同取值范圍內，銷售這40件商品獲得總利潤最大的進貨方案．
{解析}（1）設A種商品每件的進價是x元，根據用2000元購進A種商品和用1200元購進B種商品的數量相同，列分式方程，解出可得結論；
（2）設購買A種商品a件，根據用不超過1560元的資金購進A、B兩種商品共40件，A種商品的數量不低于B種商品數量的一半，列不等式組，求出正整數解可得結論；
（3）設銷售A、B兩種商品總獲利y元，根據y＝A商品的利潤＋B商品的利潤，根據m的值及一次函數的增減性可得結論．
{答案}解：（1）設A種商品每件的進價為x元，B種商品每件的進價為(x－20)元．
依題意得＝，解得x＝50，經檢驗x＝50是原方程的解且符合題意．
當x＝50時，x－20＝30．
答：A種商品每件的進價為50元，B種商品每件的進價為30元．
（2）設購進A種商品a件，購進B種商品(40－a)件，
依題意得解得≤a≤18，
∵a為整數，∴a＝14，15，16，17，18．
∴該商店有5種進貨方案．
（3）設銷售A、B兩種商品總獲利y元，則
y＝(80－50－m)a＋(45－30)(40－a)＝(15－m)a＋600．
①當m＝15時，15－m＝0，y與a的取值無關，即（2）中的五種方案都獲利600元；
②當10＜m＜15時，15－m＞0，y隨a的增大而增大，∴當a＝18時，獲利最大，
即在（2）的條件下，購進A種商品18件，購進B種商品22件，獲利最大；
③當15＜m＜20時，15－m＜0，y隨a的增大而減小，∴當a＝14時，獲利最大，
即在（2）的條件下，購進A種商品14件，購進B種商品26件，獲利最大．
21．（2020·深圳）端午節前夕，某商鋪用620元購進50個肉粽和30個蜜棗粽，肉粽的進貨單價比蜜棗粽的進貨單價多6元．
（1）肉粽和蜜棗粽的進貨單價分別是多少元？
（2）由于粽子暢銷，商鋪決定再購進這兩種粽子共300個，其中肉粽數量不多于蜜棗粽數量的2倍，且每種粽子的進貨單價保持不變．若肉粽的銷售單價為14元，蜜棗粽的銷售單價為6元，試問第二批購進肉粽多少個時，全部售完后，第二批粽子獲得利潤最大？第二批粽子的最大利潤是多少元？
{解析}（1）本題可以列一元一次方程或二元一次方程組解決，抓住相等關系“50個肉粽的進價＋30個蜜棗粽的進價＝620元”；
（2）設第二批購進肉粽y個，根據肉粽數量不多于蜜棗粽數量的2倍，求得y的取值范圍；再設獲得利潤為W元，根據W＝肉粽的銷售利潤＋蜜棗粽的銷售利潤，得到W關于y的一次函數，再根據一次函數的性質可得結論．
{答案}解：（1）設蜜棗粽的進貨單價為x元，則肉粽的進貨單價是（x＋6）元．
由題意知，50（x＋6）＋30x＝620，
解得x＝4，
∴x＋6＝10．
答：肉粽的進貨單價為10元，蜜棗粽的進貨單價為4元．
（2）設第二批購進肉粽y個，則蜜棗粽購進（300－y）個，共獲得利潤為W元．
由題意知，W＝（14－10）y＋（6－4）（300－y）＝2y＋600．
∵2＞0，∴W隨y的增大而增大．
∵y≤2（300－y），∴y≤200．
∴當y＝200時，W取最大值，W最大＝1000元．
答：購進肉粽200個時，總利潤最大，最大利潤為1000元．
24.
(2020·湘潭)習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然之氣”．某校為提高學生的閱讀品味，現決定購買獲得第十屆矛盾文學獎的《北上》（徐則臣著）和《牽風記》（徐懷中著）兩種書共50本．已知購買2本《北上》和1本《牽風記》需100元；購買6本《北上》與購買7本《牽風記》的價格相同．
（1）求這兩種書的單價；
（2）若購買《北上》的數量不少于所購買《牽風記》數量的一半，且購買兩種書的總價不超過1600元．請問有哪幾種購買方案？哪種購買方案的費用最低？最低費用為多少元？
{解析}（1）設購買《北上》和《牽風記》的單價分別為x、y，根據“購買2本《北上》和1本《牽風記》需100元”和“
購買2本《北上》和1本《牽風記》需100元”建立方程組求解即可；
（2）設購買《北上》的數量n本，則購買《牽風記》的數量為50-n，根據“購買《北上》的數量不少于所購買《牽風記》數量的一半”和“購買兩種書的總價不超過1600元”兩個不等關系列不等式組解答并確定整數解即可．
{答案}解：（1）設購買《北上》和《牽風記》的單價分別為x、y
由題意得：
解得
答：兩種書的單價分別為35元和30元；
（2）設購買《北上》的數量n本，則購買《牽風記》的數量為50-n
根據題意得解得：
則n可以取17、18、19、20，
當n=17時，50－n=33，共花費17×35+33×30=1585元；
當n=18時，50－n=32，共花費17×35+33×30=1590元；
當n=19時，50－n=31，共花費17×35+33×30=1595元；
當n=20時，50－n=30，共花費17×35+33×30=1600元；
所以，共有4種購買方案分別為：購買《北上》和《牽風記》的數量分別為17本和33本，購買《北上》和《牽風記》的數量分別為18本和32本，購買《北上》和《牽風記》的數量分別為19本和31本，購買《北上》和《牽風記》的數量分別為20本和30本；其中購買《北上》和《牽風記》的數量分別為17本和33本費用最低，最低費用為1585元．
22．（2020·長沙）今年6月以來，我國多地遭遇強降雨，引發洪澇災害，人民的生活受到了極大的影響，“一方有難，八方支援”，某市籌集了大量的生活物資，用A,B兩種型號的貨車，分兩批運往受災嚴重的地區，具體運算情況如下：
第一批
第二批
A型貨車的輛數（單位：輛）
1
2
B型貨車的輛數（單位：輛）
3
5
累計運送貨物的頓數（單位：噸）
28
50
備注：第一批、第二批每輛貨車均滿載
（1）求A,B兩種型號貨車每輛滿載分別能運多少噸生活物資？
（2）該市后續又籌集了62.4噸生活物資，現已聯系了3輛A型號貨車，試問至少還需聯系多少輛B型號貨車才能一次性將這批生活物資運往目的地？
{解析}本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）設A種型號貨車每輛滿載能運x噸生活物資，B種型號貨車每輛滿載能運y噸生活物資，根據前兩批具體運算情況數據表中累計噸數，即可得出關于二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設還需聯系m輛B種型號貨車才能一次性將這批生活物資運往目的地，根據要求一次性至少運送62.4噸生活物資，即可得出關于m的一元一次不等式，最后要注意m一定是整數，所以解后取其中最小的整數值即為結論．
{答案}解：（1）設A種型號貨車每輛滿載能運x噸生活物資，
B種型號貨車每輛滿載能運y噸生活物資，
依題意，得：，解得：．
答：
A種型號貨車每輛滿載能運10噸生活物資，
B種型號貨車每輛滿載能運6噸生活物資．
（2）設還需聯系m輛B種型號貨車才能一次性將這批生活物資運往目的地，
依題意，得：3×10＋6m≥62.4，解得：m≥5.4，
又∵m為正整數，∴m的最小值為6．
答：至少還需聯系6輛B種型號貨車才能一次性將這批生活物資運往目的地．
（2020·包頭）23、某商店銷售A、B兩種商品，A種商品的銷售單價比B種商品的銷售單價少40元，2件A種商品和3件B種商品的銷售總額為820元．
（1）求A種商品和B種商品的銷售單價分別為多少元？
（2）該商店計劃購進A、B兩種商品共60件，且A、B兩種商品的進價總額不超過7800元，已知A種商品和B種商品的每件進價分別為110元和140元，應如何進貨才能使這兩種商品全部售出后總獲利最多？
{解析}（1）（1）設A和B的銷售單價分別是x和y，根據題意列出二元一次方程組即可求解；
（2）設A進貨m件，根據題意可得出關于m的一元一次不等式，解不等式即可得到結果．
{答案}（1）設A種商品和B種商品的銷售單價分別為x元和y元，
根據題意可得，
解得，
∴A種商品和B種商品的銷售單價分別為140元和180元．
（2）設購進A商品m件，則購進B商品件，
根據題意可得：，
解得：，
令總利潤為w，則，
，
∴當時，獲得利潤最大，此時，
∴A進20件，B進40件時獲得利潤最大．
19．（2020·宜昌）紅光中學學生乘汽車從學校去研學旅行基地，以75千米/小時的平均速度，用時2小時到達.由于天氣原因，原路返回時汽車平均速度控制在不低于50千米/小時且不高于60千米/小時的范圍內，這樣需要用t小時到達.求t的取值范圍.
{解析}本題考查了不等式組的應用．設時間t為未知數，由75千米/小時的速度用時2小時到達可知路程為150千米．原路返回的汽車平均速度控制在不低于50千米/小時且不高于60千米/小時的范圍內可以得出兩個不等關系，列出不等式組即可得出時間t的范圍．
{答案}解：方法一：,
,
,
∴t的取值范圍2.5≤t≤3
方法二:
,解①得
t≤3
解②得t≥2.5
,
∴t的取值范圍2.5≤t≤3
22．（2020·恩施）某校足球隊需購買、兩種品牌的足球．已知品牌足球的單價比品牌足球的單價高20元，且用900元購買品牌足球的數量用720元購買品牌足球的數量相等．
（1）求、兩種品牌足球的單價；
（2）若足球隊計劃購買、兩種品牌的足球共90個，且品牌足球的數量不小于品牌足球數量的2倍，購買兩種品牌足球的總費用不超過8500元．設購買品牌足球個，總費用為元，則該隊共有幾種購買方案？采用哪一種購買方案可使總費用最低？最低費用是多少元？
{解析}（1）設購買A品牌足球的單價為x元，則購買B品牌足球的單價為（x-20）元，根據用900元購買品牌足球的數量用720元購買品牌足球的數量相等，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；
（2）設購買m個A品牌足球，則購買（90?m）個B品牌足球，根據總價＝單價×數量結合總價不超過8500元，以及品牌足球的數量不小于品牌足球數量的2倍，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之取其中的最小整數值即可得出結論．
{答案}解：（1）設購買A品牌足球的單價為x元，則購買B品牌足球的單價為（x-20）元，根據題意，得
解得：x=100
經檢驗x=100是原方程的解
x-20=80
答：購買A品牌足球的單價為100元，則購買B品牌足球的單價為80元．
（2）設購買m個A品牌足球，則購買（90?m）個B品牌足球，則
W=100m+80(90-m)=20m+7200
∵品牌足球的數量不小于品牌足球數量的2倍，購買兩種品牌足球的總費用不超過8500元．
∴
解不等式組得：60≤m≤65
所以，m的值為：60,61,62,63,64,65
即該隊共有6種購買方案，
當m=60時，W最小
m=60時，W=20×60+7200=8400(元)
答：該隊共有6種購買方案，購買60個A品牌30個B
品牌的總費用最低，最低費用是8400元．
23．（2020·婁底）為了預防新冠肺炎疫情的發生，學校免費為師生提供防疫物品。某校花7200元購進洗手液與84消毒液共400瓶，已知洗手液的價格是25元/瓶，84消毒液的價格是15元/瓶.
求：（1）該校購進洗手液和84消毒液各多少瓶？
（2）若購買洗手液和84消毒液共150瓶，總費用不超過2500元，請問最多能購買洗手液多少瓶？
{解析}本題考查了一元一次方程與不等式的應用，（1）設購進洗手液x瓶，則購進84消毒液為瓶，根據題意得到一元一次方程，故可求解；
（2）設最多能購買洗手液a瓶，根據題意得到不等式，故可求解．
{答案}解：（1）設購進洗手液x瓶，則購進84消毒液為瓶，依題意得：
，解得
，
，答：該校購進洗手液120瓶，購進84消毒液280瓶．
（2）設最多能購買洗手液a瓶，
，解得
，答：最多能買洗手液25瓶。
24．（2020·通遼）某服裝專賣店計劃購進A，B兩種型號的精品服裝．已知2件A型服裝
和3件B型服裝共需4600元；1件A型服裝和2件B型服裝共需2800元．
（1）求A，B型服裝的單價；
（2）專賣店要購進A，B兩種型號服裝60件，其中A型件數不少于B型件數的2倍，如果B型打七五折，那么該專賣店至少需要準備多少貨款？
{解析}（1）列二元一次方程組求出A，B型服裝的單價；（2）設購進A型服裝x件，專賣店準備的貨款為y元，根據題意列出關于A型服裝件數的不等式，求出x的取值范圍，列出y關于x的函數關系，利用函數的單調性求最值．
{答案}解：（1）設1件A型服裝x元，1件B型服裝y元，則
，得：．
答：1件A型服裝800元，1件B型服裝1000元．
（2）設購進A型服裝x件，B型服裝（60－x）件，專賣店準備的貨款為y元，則
，得40≤x＜60，
∵y=800x+1000×0.75×（60－x）=50x+45000，
∴k=50＞0，
∴y隨x的增大而增大，
∴當x=40時，ymin=50×40+45000=47000元．
答：該專賣店至少需要準備47000元貨款．
23．（2020·東營）2020年初，新冠肺炎疫情爆發，市場上防疫口罩熱銷，某醫藥每月生產甲、乙兩種型號的防疫口罩共20萬只，且所有口罩當月全部售出，其中成本、售價如下表：
（1）若該公司三月份的銷售收入為300萬元，求生產甲、乙兩種型號的防疫口罩分別是多少萬只？
（2）如果公司四月份投入成本不超過216萬元，應怎樣安排甲、乙兩種型號防疫口罩的產量，可使該月公司所獲利潤最大？并求出最大利潤．
甲
乙
成本
12
4
售價
18
6
{解析}（1）根據等量關系“該公司三月份的銷售收入為300萬元”列一元一次方程組求解．
（2）根據“公司四月份投入成本不超過216萬元”列出不等式求得自變量取值范圍，由“甲兩種型號防疫口罩的利潤+乙兩種型號防疫口罩的利潤＝該月公司所獲利潤”列出一次函數解析式，由一次函數的性質可得答案．
{答案}解：(1)設甲種型號口罩的產量是萬只,則乙種型號口罩的產量是萬只.
根據題意得:
,
解得:
,
則,
則甲,乙兩種型號口罩的產量分別為15萬只和5萬只;
(2)設甲種型號口罩的產量是萬只,則乙種型號口罩的產量是萬只.
根據題意得:12y+40(20-y)≤216
,
解得:
y≤17.
設所獲利潤為萬元,則,
由于,所以隨的增大而增大,即當=17時,
最大,此時=4×17+40=108.
從而安排生產甲種型號的口罩17萬只,乙種型號的口罩3萬只時,獲得最大利潤,最大利潤為108萬元.
24．（2020·畢節）某學校擬購進甲、乙兩種規格的書柜放置新購買的圖書．已知每個甲種書柜的進價比每個乙種書柜的進價高20%，用5400元購進的甲種書柜的數量比用6300元購進乙種書柜的數量少6個．
（2）若該校擬購進這兩種規格的書柜共60個，其中乙種書柜的數量不大于甲種書柜數量的2倍．該校應如何進貨使得購進書柜所需費用最少?
{解析}本題考查分式方程的實際應用，一次函數的實際應用．（1）根據題中的等量關系“每個甲種書柜的進價比每個乙種書柜的進價高20%”“用5400元購進的甲種書柜的數量比用6300元購進乙種書柜的數量少6個”列出方程，解方程可得；
（2）根據等量關系“購進書柜所需費用＝購進甲種書柜所需費用+購進乙種書柜所需費用”列出關系式，再根據不等量關系“乙種書柜的數量不大于甲種書柜數量的2倍”作出判斷．
{答案}解：（1）設每個乙種書柜的進價是x元，則每個甲種書柜的進價是（1+20%）x元
．
根據題意，得＝－6．
解得x＝300．
經檢驗x＝300是原方程的解．
當x＝300時，（1+20%）x＝360．
所以每個乙種書柜的進價是300元，每個甲種書柜的進價是360元
．
（2）設購進乙種書柜a個，則購進甲種書柜（60－a）個．設購進書柜所需費用w元．
根據題意，得w＝360（60－a）＋300a＝－60＋21600．
∵2（60－a）≥a，∴a≤40．
所以該校應購進乙種書柜40個，購進甲種書柜20個時，購進書柜所需費用最少．
22.（2020·郴州）為支援抗疫前線，某省紅十字會采購甲、乙兩種抗疫物資共540噸，甲物資單價為3萬元/噸，乙物資單價為2萬元噸，采購兩種物資共花費1380萬元.
（1）求甲、乙兩種物資各采購了多少噸?
（2）現在計劃安排兩種不同規格的卡車共50輛來運輸這批物資.甲物資7噸和乙物資3噸可裝滿一輛A型卡車；甲物資5噸和乙物資7噸可裝滿一輛B型卡車.按此要求安排A、B兩型卡車的數量，請問有哪幾種運輸方案?
{解析}（1）設甲物資采購了x噸，乙物質采購了y噸，根據“某省紅十字會采購甲、乙兩種抗疫物資共540噸，且采購兩種物資共花費1380萬元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設安排A型卡車m輛，則安排B型卡車（50－m）輛，根據安排的這50輛車一次可運輸300噸甲物質及240噸乙物質，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合m為正整數即可得出各運輸方案．
{答案}（1）設甲物資采購了x噸，乙物質采購了y噸，
依題意，得：，解得：．
答：甲物資采購了300噸，乙物質采購了240噸．
（2）設安排A型卡車m輛，則安排B型卡車（50－m）輛，
依題意，得：，
解得：25≤m≤27．
∵m為正整數，
∴m可以為25，26，27，
∴共有3種運輸方案，方案1：安排25輛A型卡車，25輛B型卡車；方案2：安排26輛A型卡車，24輛B型卡車；方案3：安排27輛A型卡車，23輛B型卡車．
23.（2020·永州）某藥店在今年3月份，購進了一批口罩，這批口罩包括有一次性醫用外科口罩和N95口罩，且兩種口罩的只數相同．其中購進一次性醫用外科口罩花費1600元，N95口罩花費9600元．已知購進一次性醫用外科口罩的單價比N95口罩的單價少10元．
（1）求該藥店購進的一次性醫用外科口罩和N95口罩的單價各是多少元？
（2）該藥店計劃再次購進兩種口罩共2000只，預算購進的總費用不超過1萬元，問至少購進一次性醫用外科口罩多少只？
解：（1）設一次性醫用口罩單價為x元，則N95口罩的單價為元
由題意可知，，
解方程
得．
經檢驗是原方程的解，
當時，．
答：一次性醫用口罩和N95口單價分別是2元，12元．
（2）設購進一次性醫用口罩y只
根據題意得，
解不等式得．
答：藥店購進一次性醫用口罩至少1400只．
24．（2020·邵陽）2020年5月，全國“兩會”召開以來，應勢復蘇的“地攤經濟”帶來
了市場新活力，小丹準備購進A，B兩種類型的便攜式風扇到地攤一條街出售。已知2臺A型風
扇和5臺B型風扇進價共100元，3臺A型風扇和2臺B型風扇進價共62元.
(1)求A型風扇，B型風扇進貨的單價各是多少元？
(2)小丹準備購進這兩種風扇共100臺，根據市場調查發現，A型風扇銷售情況比B型風扇好，小
丹準備多購進A型風扇，但數量不超過B型風扇數量的3倍，購進A,B兩種風扇的總金額不超過
1170元，根據以上信息，小丹共有哪些進貨方案？
解：（1）設A型風扇、B型風扇進貨的單價各是x元和y元
由題意得：
，解得
答：A型風扇、B型風扇進貨的單價各是10元和16元；
（2）設購進A型風扇a臺、則B型風扇購進（100-a）臺
有題意得，解得：
∴a可以取72、73、74、75
∴小丹4種進貨方案分別是：①進A型風扇72臺，B型風扇28臺；②進A型風扇73臺，B型風扇27臺；③進A型風扇74臺，B型風扇26臺；①進A型風扇75臺，B型風扇24臺．
24．（2020·廣西北部灣經濟區）倡導垃圾分類，共享綠色生活．為了對回收的垃圾進行更精準的分類，某機器人公司研發出A型和B型兩款垃圾分揀機器人，已知2臺A型機器人和5臺B型機器人同時工作2h共分揀垃圾3.6噸，3臺A型機器人和2臺B型機器人同時工作5h共分揀垃圾8噸．
（1）1臺A型機器人和1臺B型機器人每小時各分揀垃圾多少噸？
（2）某垃圾處理廠計劃向機器人公司購進一批A型和B型垃圾分揀機器人，這批機器人每小時一共能分揀垃圾20噸．設購買A型機器人a臺（10≤a≤45），B型機器人b臺，請用含a的代數式表示b；
（3）機器人公司的報價如下表：
型號
原價
購買數量少于30臺
購買數量不少于30臺
A型
20萬元/臺
原價購買
打九折
B型
12萬元/臺
原價購買
打八折
在（2）的條件下，設購買總費用為w萬元，問如何購買使得總費用w最少？請說明理由．
解：（1）1臺A型機器人和1臺B型機器人每小時各分揀垃圾x噸和y噸，
由題意可知：，
解得：，
答：1臺A型機器人和1臺B型機器人每小時各分揀垃圾0.4噸和0.2噸．
（2）由題意可知：0.4a+0.2b＝20，
∴b＝100﹣2a（10≤a≤45）．
（3）當10≤a＜30時，
此時40≤b≤80，
∴w＝20×a+0.8×12（100﹣2a）＝0.8a+960，
當a＝10時，此時w有最小值，w＝968萬元，
當30≤a≤35時，
此時30≤b≤40，
∴w＝0.9×20a+0.8×12（100﹣2a）＝﹣1.2a+960，
當a＝35時，此時w有最小值，w＝918萬元，
當35＜a≤45時，
此時10≤b＜30，
∴w＝0.9×20a+12（100﹣2a）＝﹣6a+1200
當a＝45時，
w有最小值，此時w＝930，
答：選購A型號機器人35臺時，總費用w最少，此時需要918萬元．
20．（2020?寧夏）在“抗擊疫情”期間，某學校工會號召廣大教師積極開展了“獻愛心捐款”活動，學校擬用這筆捐款購買A、B兩種防疫物品．如果購買A種物品60件，B種物品45件，共需1140元；如果購買A種物品45件，B種物品30件，共需840元．
（1）求A、B兩種防疫物品每件各多少元；
（2）現要購買A、B兩種防疫物品共600件，總費用不超過7000元，那么A種防疫物品最多購買多少件？
解：（1）設A種防疫物品每件x元，B種防疫物品每件y元，
依題意，得：，
解得：．
答：A種防疫物品每件16元，B種防疫物品每件4元．
（2）設購買A種防疫物品m件，則購買B種防疫物品（600﹣m）件，
依題意，得：16m+4（600﹣m）≤7000，
解得：m≤383，
又∵m為正整數，
∴m的最大值為383．
答：A種防疫物品最多購買383件．

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