資源簡介

解直角三角形及其應(yīng)用
一、選擇題
1．（2020·溫州）如圖，在離鐵塔150米的A處，用測傾儀測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑴y傾儀高AD為1.5米，則鐵塔的高BC為
A．(1.5＋150tan)米
B．(1.5＋)米
C．(1.5＋150sin)米
D．(1.5＋)米
{答案}A
{解析}本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，過點A作AE⊥BC，垂足為E，由題意
AE＝CD＝150，在Rt△ABE中，tanα＝,∴，∴BC＝BE＋CE＝1.5＋150tanα，因此本題選A．
2．（2020·黔西南州）如圖，某停車場入口的欄桿AB，從水平位置繞點O旋轉(zhuǎn)到A′B′的位置，已知AO的長為4米．若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝α，則欄桿A端升高的高度為（　?。?br/>A．米
B．4sinα米
C．米
D．4cosα米
{答案}B
{解析}本題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．如答圖，過點A′作A′C⊥AB于點C．在Rt△OCA′中，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由題意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本題選B．
3．（2020·安徽）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，則BD的長度為（?。?br/>A．
B．
C．
D．4{答案}C
{解析}在Rt△ABC中，cosA＝＝，則AB＝AC＝5，∴BC＝＝3.在Rt△BCD中，cos∠DBC＝＝，cos∠DBC＝cosA，∴BD＝BC＝×3＝.
4．（2020·重慶A卷）如圖，在距某居民樓AB樓底B點左側(cè)水平距離60m的C點處有一個山坡，山坡的CD坡度（或坡比）
i=1:0.75，山坡坡底C點到坡頂D點的距離CD=45m，在坡頂D點處測得居民樓樓頂A點的仰角為28°，居民樓AB與山坡CD的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓的高度約為（
）
（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
A．76.9m
B．82.1m
C．94.8m
D．112.6m
{答案}B{解析}如圖，過點D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延長線于點F，則四邊形DFBF是矩形.在Rt△DCF中，∵CD的坡度為1:0.75，∴.設(shè)DF=4k，CF=3k，則CD=5k.∵CD=45，∴k=9，DF=36,CF=27，∴BE=36，DE=BF=27+60=87.在Rt△ADE中，
AE=DE·tan∠ADQ=87×0.53=46.11，∴AB=46.11+36≈82.1（m）．
5.（2020·蘇州）如圖，小明想要測量學校操場上旗桿的高度，他作了如下操作：（1）在點處放置測角儀，測得旗桿頂?shù)难鼋?；?）量得測角儀的高度；（3）量得測角儀到旗桿的水平距離.利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識，旗桿的高度可表示為（
）
A.
B.
C.
D.
{答案}A{解析}本題考查了利用三角函數(shù)計算物體高度，作CF⊥AB于F，由題意得CF=DB=b，∵tan∠ACF=AF:CF,∴AF=tan∠ACF×CF=，∴AB=AF+FB=AF+CD=,因此本題選A.
6．（2020·聊城）如圖，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，將Rt△ABC繞點A
轉(zhuǎn)得到Rt△AB′C′，使點B的對應(yīng)點B′落在AC上，在B′C′上取點D，使B′D＝2，那么，點D到BC的距離等于（　　）
A．2(＋1)
B．＋1
C．－1
D．＋1
{答案}D{解析}本題可直接通過解直角三角形解答．如圖，設(shè)DE⊥BC于點E，交AC于點F，則∠B′DF＝∠C＝30°，∴DF＝2B′F．在Rt△B′DF中，設(shè)B′F＝x，根據(jù)勾股定理，得x2＋22＝(2x)2，解得x＝，∴DF＝．由旋轉(zhuǎn)知AB′＝AB＝2．在Rt△ABC中，∠C＝30°，∴AC＝2AB＝4，∴B′C＝4－2＝2，∴CF＝B′C－B′F＝2－，∴EF＝CF＝1－．∴DE＝DF＋EF＝＋1－＝＋1．
7．（2020·重慶B卷）如圖垂直于水平面的5G信號塔
建在垂直與水平面的懸崖邊B點處，某測量員從山腳C點出發(fā)沿水平方向前行78米到D點（點A,B,C在同一條直線上），再沿斜坡DE方向前行78米到E點（點A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)），在點E處測得5G信號塔頂端A的仰角為43°，懸崖BC的高為144.5米，斜坡的坡度（或坡比）i=1:2.4，則信號塔AB的高度約為（
）
（參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A．23米
B．24米
C．24.5米
D．25米
{答案}D
{解析}本題考查了銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用，如圖，過點E作EF⊥AC于E，作EG⊥CD交CD的延長線于點G，則四邊形EFCG是矩形.在Rt△DEG中，∵DE的坡度為1:2.4，∴.設(shè)EG=5k，DG=12k，則DE=13k.∵DE=78，∴k=6，EG=30,DG=72，∴CF=30，EF=CG=72+78=150.在Rt△AEF中，
AF=EF·tan∠AEF=150×0.93=139.5，∴AC=139.5+30=169.5（m），∴AB=169.5-144.5=25（m），因此本題選D．
8．（2020·天水）如圖所示，某校數(shù)學興趣小組利用標桿BE測量建筑物的高度，已知標桿BE高1.5m，測得AB＝1.2m，BC＝12.8m，則建筑物CD的高是（　　）
A．17.5m
B．17m
C．16.5m
D．18m
{答案}A
{解析}由題意得EB⊥AC，DC⊥AC，從而EB∥DC，所以△AEB∽△ADC，從而得到＝，即＝，解得CD＝17.5（cm）．因此本題選A．
9．（2020·深圳）如圖，為了測量一條河流的寬度，一測量員在河岸邊相距200米的P、Q兩點分別測定對岸一棵樹T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏東70°方向，則河寬（PT的長）可以表示為（　　）
A．200tan70°米
B．米
C．200sin70°米
D．米
{答案}B
{解析}在Rt△PQT中，利用∠PQT的度數(shù)，得到∠PTQ的度數(shù)，進而由PQ的長根據(jù)三角函數(shù)即可求得PT的長．在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°－70°＝20°，∴∠PTQ＝70°，∴tan70°＝，∴PT＝＝，即河寬米，此本題選B．
10．（2020·長沙）從一艘船上測得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角是30度，船離燈塔的水平距離為
（　　）
A．米
B．米
C．21米
D．42米
{答案}A
{解析}本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用——仰俯角問題，如圖水平距離＝42÷tan30°＝42÷＝，因此本題選A．
二、填空題
1．（2020·溫州）如圖，在河對岸有一矩形場地ABCD，為了估測場地大小，在筆直的河岸l上依次取點E，F(xiàn)，N，使AE⊥l，BF⊥l，點N，A，B在同一直線上．在F點觀測A點后，沿FN方向走到M點，觀測C點發(fā)現(xiàn)∠1＝∠2．測得EF＝15米，F(xiàn)M＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，則場地的邊AB為
米，BC為
米．
{答案}15，20
{解析}本題考查了解直角三角形，根據(jù)題意可知EN＝15+2+8＝25，又∠ANE＝45°，得到AN＝25，AE＝25.又因為FN＝10，所以BN＝10，所以AB＝AN－BN＝15；延長CB交l于點Q，顯然△BQF≌△BNF，QF＝BF＝10，BQ＝10，在Rt△CPQ中，PQ＝CP，由∠1＝∠2，所以tan∠1＝,所以CP＝30，所以CQ＝30，所以BC＝20.
因此本題答案為15，20．
2．（2020·黔西南州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，則BD的長度為________．
{答案}
{解析}本題考查了解直角三角形，含30°角的直角三角形的性質(zhì)（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）．因為∠C＝90°，∠ADC＝60°，所以∠DAC＝30°，所以CD＝AD．因為∠B＝30°，∠ADC＝60°，所以∠BAD＝30°，所以BD＝AD，所以BD＝2CD．因為BC＝，所以CD＋2CD＝，所以CD＝，所以DB＝，因此本題答案為．
3．（2020·新疆）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC上一動點，則2AD＋DC的最小值為___________．
{答案}6
{解析}本題考查了含30°的直角三角形，垂線段最短．如答圖，作∠BCE＝30°，CE與AC在BC兩側(cè)，過點D作DF⊥CE于F．過點A作AH⊥CE于點H．在Rt△CDF中，因為∠BCE＝30°，所以DF＝CD，則由“垂線段最短”可知，AD＋DF的最小值為線段AH的長，即AD＋CD的最小值為線段AH的長．在Rt△ABC，因為∠B＝60°，所以∠ACB＝30°，因為AB＝2，所以BC＝4，AC＝．在Rt△ACH中，∠ACH＝∠ACB＋∠BCE＝30°＋30°＝60°，所以∠CAH＝30°，所以CH＝AC＝×＝，AH＝CH＝×＝3，所以AD＋CD的最小值為3，因為2AD＋DC＝2(AD＋CD)，所以2AD＋DC的最小值為6．
4．（2020·棗莊）人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具（如圖）．若AB，AC的長都為2m，當α＝50°時，人字梯頂端離地面的高度AD是____m．（結(jié)果精確到0.1m，參考依據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
{答案}1.5{解析}直接利用正弦求解．在Rt△ADC中，AC＝2，∠α＝50°，
則sin50°＝，∴AD＝AC·sin50°＝2×0.77≈1.5．
5．(2020自貢)如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABCD，DC∥AB．BC長6米，坡角β為45°，AD的坡角α為30°，則AD長為　
　米（結(jié)果保留根號）．
{答案}故答案為：6．
{解析}本題考查了解直角三角形的知識，通過構(gòu)造直角三角形，解直角三角形，從而解決問題．
解：過點D作DE⊥AB于E，過點C作CF⊥AB于F．
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE＝CF，在Rt△CFB中，CF＝BC?sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2DE＝6（米），
因此本題答案為：6．
6．（2020·泰安）如圖，某校教學樓后面緊鄰著一個山坡，坡上面是一塊平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB長26m，斜坡AB的坡比為12：5．為了減緩坡面，防止山體滑坡，學校決定對該斜坡進行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當坡角不超過50°時，可確保山體不滑坡，如果改造時保持坡腳A不動，則坡頂B沿BC至少向右移___________m時，才能確保山體不滑坡．（取tan50°﹦1.2）
{答案}10
{解析}本題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，因為斜坡AB的坡比為12：5，即BE:AE=12：5．設(shè)BE=12k，則AE=5k，AB=13k.因為斜坡AB長26m，所以13k=26，所以k=2，即：BE=24
m，則AE=10
m，設(shè)坡頂B沿BC至少向右移至點G處，過點G作GH⊥AD，垂足為點H，且設(shè)BG=x，則GH：AH≤tan50°，即24：AH≤1.2，所以AH≥20，因為AE=10，所以EH≥10，即坡頂B沿BC至少向右移10
m時，才能確保山體不滑坡．，因此本題答案為10．
7．（2020·樂山）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯示意圖．自動扶梯AB的傾斜角為30°，在自動扶梯下方地面C處測得扶梯頂端B的仰角為60°，A、C之間的距離為4m，則自動扶梯的垂直高度BD＝________m．（結(jié)果保留根號）
{答案}2
{解析}先由三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的判定，得到BC＝AC＝4，再解直角三角形BCD求BD．∵∠BAC＋∠ABC＝∠BCD＝60°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝4，在Rt△BCD中，BD＝BCsin60°＝4×＝2．
8．（2020·樂山）把兩個含30°角的直角三角板按如圖所示拼接在一起，點E為AD的中點，連接BE交AC于點F，則＝________．
{答案}
{解析}連接CE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，得到CE＝AD＝AE，從而∠ECA＝∠CAE＝∠BAC，從而CE∥AB，所以△ABF∽△CEF，因而＝；設(shè)AC＝2x，則AB＝ACcos30°＝x，AD＝＝x，從而CE＝x，因此＝＝，進而求得＝．
9.如圖，小明在距離地面30米的P處測得A處的俯角為15°，?B處的俯角為60°.若斜面坡度為1：,則斜坡AB的長是__________米.
{答案}
{解析}由題意得：∠APB=60°-15°=45°，PH=30，
∵在P處測得?B處的俯角為60°，∴∠PBH=60°，
又∵斜面AB坡度為1：,∴，
∴∠ABC=30°，∴∠ABP=90°，
∴△ABP是等腰直角三角形，∴AB=PB.
由sin∠PBH=，∴PB=,
∴AB=（米）.
10.（2020·達州）小明為測量校園里一顆大樹AB的高度，在樹底部B所在的水平面內(nèi)，將測角儀CD豎直放在與B相距8m的位置，在D處測得樹頂A的仰角為52°.若測角儀的高度是1m，則大樹AB的高度約為
.（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28)
{答案}11米
{解析}AB=1＋8tan52°=1＋8×1.28=11.24≈11（米）．
11．（2020·南通）測高儀CD距離建筑物AB底部5
m，測高儀D處觀測建筑物頂端的仰角為50°，測高儀高度為1.5
m，則建筑物AB的高度為
▲
m．（精確到0.1m，sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.19）
{答案}7.5
{解析}過點D作AB的垂線，得矩形BCDE和Rt△AED，可得BE，DE的長，在Rt△AED中求出AE的長，求出AB＝AE＋BE．
過點D作DE⊥AB于點E，
由題意可得：BE＝DC＝1.5m，DE＝BC＝5m，
在Rt△AED中，，
∴，
∴AB＝AE＋BE＝1.5＋5.95≈7.5（m）．
12．（2020·咸寧）如圖，海上有一燈塔P，位于小島A北偏東60°方向上，一艘輪船從北小島A出發(fā)，由西向東航行到達B處，這時測得燈塔P在北偏東30°方向上，如果輪船不改變航向繼續(xù)向東航行，當輪船到達燈塔P的正南方，此時輪船與燈塔P的距離是________．（結(jié)果保留一位小數(shù)，）
{答案}20.8
{解析}本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，如圖，過P作PD⊥AB于D，∵AB=24，∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，∴∠BPD=30°，∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，∴AB=BP=24，在直角△PBD中，PD=BP?sin∠PBD=24×=≈20.8，因此本題填20.8．
13．（2020·天門仙桃潛江）如圖，海中有個小島A，一艘輪船由西向東航行，在點B處測得小島
A
位于它的東北方向，此時輪船與小島相距20海里，繼續(xù)航行至點D處，測得小島
A
在它的北偏西
60°
方向，此時輪船與小島的距離AD為
海里．
(
（第
13
題圖）
A
D
B
45
°
60
°
北
東
)
{答案}
{解析}過點A作AC⊥BD于點C，∵在B點測得小島A在東北方向上,
時輪船與小島相距20海里,
D處，測得小島
A
在它的北偏西
60°
方向，
(
（第
13
題圖）
A
D
B
45
°
60
°
北
東
C
)
∴∠ABC=45?,AB=20海里,∠ADC=30°，
∴在Rt△ABC中,AC=BC，AC=20×sin45°=
∴Rt△ADC中AD=2AC=
(海里)
答：此時輪船與小島A的距離AD為海里。因此本題答案為.
三、解答題
1．（2020·紹興）如圖，點E是□ABCD的邊CD的中點，連結(jié)AE并延長，交BC的延長線于點F．
（1）若AD的長為2．求CF的長．
（2）若∠BAF=90°，試添加一個條件，并寫出∠F的度數(shù)．
{解析}本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形中的三角函數(shù)或是兩銳角互余．在第（1）小題中，由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥CF，則∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，由點E是CD的中點，得出DE＝CE，由AAS證得△ADE≌△FCE，即可得出結(jié)果；在第（2）小題中，若添加邊的條件，如AB=BC，可以利用三角函數(shù)求出∠F的度數(shù)．
{答案}解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CF，∴∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE，
∵點E是CD的中點，∴DE=CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF=AD=2.
（2）添加一個條件：如當AB=BC時，∵CF=AD=BC，AB=BC，∴AB=BC=CF，又∵∠BAF=90°，∴sinF=，∴∠F=30°（答案不唯一）．
2．(2020·紹興)如圖1為搭建在地面上的遮陽棚，圖2、圖3是遮陽棚支架的示意圖．遮陽棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構(gòu)成，滑塊E，H可分別沿等長的立柱AB，DC上下移動，AF＝EF＝FG＝1m．
（1）若移動滑塊使AE＝EF，求∠AFE的度數(shù)和棚寬BC的長．
（2）當∠AFE由60°變?yōu)?4°時，問棚寬BC是增加還是減少？增加或減少了多少？
（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
{解析}本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形．在第（1）小題中，可求出等邊三角形AFE的高，進而可得菱形較長的一條對角線是這一高線的2倍，BC長是較長對角線的4倍，從而得解；第（2）小題中，在等腰△AFE中，求出底邊AE上的高，類比于上一題的解法求出BC長，通過比較得出結(jié)論．
{答案}解：（1）∵AE=EF=AF=1，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AFE=60°，
延長菱形對角線MF交AE于點K，則FM=2FK，∵△AEF是等邊三角形，
∴AK=，∴FK=，∴FM=2FK=，∴BC=4FM=4≈6.92≈6.9（m）；
（2）∵∠AFE=74°，∴∠AFK=37°，∴KF=AF?cos37°≈0.80，∴FM=2FK=1.60，
∴BC=4FM=6.40＜6.92，6.92﹣6.40=0.5.
答：當∠AFE由60°變?yōu)?4°時，棚寬BC是減少了，減少了0.5m．
3.(2020·寧波)圖1是一種三角車位鎖，其主體部分是由兩條長度相等的鋼條組成.當位于頂端的小掛鎖打開時，鋼條可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此時汽車可以進入車位；當車位鎖上鎖后，鋼條按圖1的方式立在地面上，以阻止底盤高度低于車位鎖高度的汽車進入車位.圖2是其示意圖，經(jīng)測量，鋼條AB＝AC＝50　cm，∠ABC＝47°.
（1）求車位鎖的底盒長BC．
（2）若一輛汽車的底盤高度為30　cm，當車位鎖上鎖時，問這輛汽車能否進入該車位？(參考數(shù)據(jù)：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈l.07)
{解析}本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用．
（1）作AH⊥BC于點H，根據(jù)三角函數(shù)計算BH，進而求得BC；
（2）由三角函數(shù)計算AH的長，從而作出判斷．
{答案}19.解：（1）過點A作AH⊥BC于點H，∵AB＝AC，
∴BH＝HC，在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，
∴BH＝AB·cosB＝50cos47°＝50×0.68＝34，
∴BC＝2BH＝68cm.
（2）在Rt△ABH中，AH＝AB·sinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5(cm)，
∵36.5>30，
∴當車位鎖上鎖時，這輛汽車不能進入該車位.
4．（2020湖州）有一種升降熨燙臺如圖1所示，其原理是通過改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來調(diào)整熨燙臺的高度．圖2是這種升降熨燙臺的平面示意圖．AB和CD是兩根相同長度的活動支撐桿，點O是它們的連接點，OA＝OC，h（cm）表示熨燙臺的高度．
（1）如圖2﹣1．若AB＝CD＝110cm，∠AOC＝120°，求h的值；
（2）愛動腦筋的小明發(fā)現(xiàn)，當家里這種升降熨燙臺的高度為120cm時，兩根支撐桿的夾角∠AOC是74°（如圖2﹣2）．求該熨燙臺支撐桿AB的長度（結(jié)果精確到1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
【分析】（1）過點B作BE⊥AC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC＝∠OCA30°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（2）過點B作BE⊥AC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）過點B作BE⊥AC于E，∵OA＝OC，∠AOC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA30°，∴h＝BE＝AB?sin30°＝11055；
（2）過點B作BE⊥AC于E，∵OA＝OC，∠AOC＝74°，
∴∠OAC＝∠OCA53°，∴AB＝BE÷sin53°＝120÷0.8＝150（cm），
即該熨燙臺支撐桿AB的長度約為150cm．
5．（2020臺州）人字折疊梯完全打開后如圖1所示，B，C是折疊梯的兩個著地點，D是折疊梯最高級踏板的固定點．圖2是它的示意圖，AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，求點D離地面的高度DE．（結(jié)果精確到0.1cm；參考數(shù)據(jù)sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）
【分析】過點A作AF⊥BC于點F，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)得∠BAF的度數(shù)，進而得∠BDE的度數(shù)，再解直角三角形得結(jié)果．
【解答】解：過點A作AF⊥BC于點F，則AF∥DE，
∴∠BDE＝∠BAF，∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠BDE＝∠BAF＝20°，
∴DE＝BD?cos20°≈140×0.94＝131.6（cm）．
答：點D離地面的高度DE約為131.6cm．
6．（2020·銅仁）如圖，一艘船由西向東航行，在A處測得北偏東60°方向上有一座燈塔C，再向東繼續(xù)航行60km到達B處，這時測得燈塔C在北偏東30°方向上，已知在燈塔C的周圍47km內(nèi)有暗礁，問這艘船繼續(xù)向東航行是否安全？
{解析}探究這艘船繼續(xù)向東航行是否安全，只要判斷它到燈塔C的距離與47
km的大小即可。因此考慮過C作CD⊥AB于點D構(gòu)造直角三角形，然后通過解Rt△BCD求出CD，與47
km比較大小即可解決問題．
{答案}解：如圖所示：過點C作CD⊥AB，垂足為D．
根據(jù)題意可知∠BAC＝90°﹣30°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ACB，∴BC＝AB＝60
km.
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝，
∴sin60°＝，∴CD＝60×sin60°＝60×＝30（km）＞47km，∴這艘船繼續(xù)向東航行安全．
7．（2020·新疆）如圖，為測量建筑物CD的高度，在A點測得建筑物頂部D的仰角為22°，再向建筑物CD前進30米到達B點，測得建筑物頂部D的仰角為58°（A、B、C三點在一條直線上），求建筑物CD的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
{解析}本題考查了用銳角三角函數(shù)解決實際問題．設(shè)CD的高度為x米，先利用直角三角形的邊角關(guān)系表示出BC和AC的長，再列方程求解．
{答案}解：設(shè)CD＝x米.在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，∴BC＝＝≈＝x．在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，∴AC＝≈＝x．∵AC－BC＝AB，∴x－x＝30，解得x＝16．答：建筑物CD的高度16米．
8．（2020·遵義）某校為檢測師生體溫，在校門安裝了某型號測溫門．如圖為該測溫門截面示意圖，已知測溫門AD的頂部A處距地面高為2.2m，為了解自己的有效測溫區(qū)間身高1.6m的小聰做了如下實驗:當他在地面N處時測溫門開始顯示額頭溫度，此時在額頭B處測得A的仰角為18°;在地面M處時，測溫門停止顯示額頭溫度，此時在額頭C處測得A的仰角為60°．求小聰在地面的有效測溫區(qū)間MN的長度．(額頭到地面的距離以身高計計算精確到0．1m，
sin18°≈0.31，
cos18°≈0.95，
tan18°≈0.32)
{解析}本題考查銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義及MN＝BC＝BE－EC列方程求解即可．解題時要注意牢記特殊三角函數(shù)值，按要求取近似數(shù)．
{答案}解:延長BC交AD于點E，則AE＝AD－DE＝0.6m．根據(jù)題意，得MN＝BC＝BE－EC，
即MN＝－＝1.875－0.346≈1．529≈1.5（m）
答:小聰在地面的有效距離MN的長度約為1.5m．
9．（2020·常德）如圖1是自動卸貨汽車卸貨時的狀態(tài)圖，圖2是其示意圖．汽車的車廂采用液壓機構(gòu)、車廂的支撐頂桿BC的底部支撐點B在水平線AD的下方，AB與水平線AD之間的夾角是，卸貨時，車廂與水平線AD成，此時AB與支撐頂桿BC的夾角為，若米，求BC的長度．結(jié)果保留一位小數(shù)
參考數(shù)據(jù)：，，，，，，
{解析}本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．直接過點C作于點F，構(gòu)造直角三角形（構(gòu)造直角三角形時不要破壞特殊角），利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CF的長，進而求出BC的長．
{答案}解：方法一：解：如圖1，過點C作于點F，
在中，，，
在中，，，，
答：所求BC的長度約為米．
方法二：解：如圖2，過點A作于點E，在中，，
，即，，
即，又在中，，，
，
答：所求BC的長度約為米．
10．（2020·安徽）如圖，山頂上有一個信號塔AC，已知信號塔高AC＝15米，在山腳下點B處測得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔頂A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（點A，C，D在同一條豎直線上）.
（參考數(shù)據(jù)：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90.）
{解析}在Rt△ABD和Rt△BCD中，由正切
的定義分別用BD表示出AD與CD的長，進而求解.
{答案}解:由題意，在Rt△ABD與Rt△CBD中，AD＝BD·tan∠ABD≈0.9BD，CD＝BD·tan∠CBD≈0.75BD.
于是AC＝AD－CD＝0.15BD.因為AC＝15(米)，所以BD＝100(米).所以山高CD＝0.75BD＝75(米).
11．(2020·綏化)如圖8，熱氣球位于觀測塔P的北偏西50°方向，距離觀測塔100km的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于觀測塔P的南偏西37°方向的B處，這時，B處距離觀測塔P有多遠？
(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．)
(
北
P
C
A
B
圖
8
50
°
37
°
)
{解析}由AB∥南北線，求得∠A，∠B．然后利用正弦先求出PC，再求出PB．
{答案}解：由已知，得∠A＝50°，∠B＝37°，PA＝100．
在Rt△PAC中，∵sinA＝，∴PC＝PA·sin50°≈77．在Rt△PBC中，∵sinB＝，∴PB＝≈128(千米)．答：這時，B處距離觀測塔約為128千米．
12.（2020·江蘇徐州）小紅和爸爸繞著小區(qū)廣場鍛煉.在矩形廣場ABCD邊AB的中點M處有一座雕塑.在某一時刻，小紅到達點P處，爸爸到達點Q處，此時雕塑在小紅的南偏東45?方向，爸爸在小紅的北偏東60?方向，若小紅到雕塑的距離PM=30m，求小紅與爸爸的距離PQ.
（結(jié)果精確到1m，參數(shù)數(shù)據(jù)，，）
（第25題）
{解析}先解直角三角形PAM求出AM的長，再求出AB的長，然后構(gòu)造以PQ為邊的直角三角形，然后解這個三角形可得PQ的長，最后再進行精確計算.
{答案}解：在Rt△PAM，∵PM=30m，∴AM=PM×sin45?=30×=15（m）,
∴AB=2AM=30m.過點P作PH⊥BC，得矩形PABH，∴PH=AB=30m,
∵∠DPQ=60?，∴∠QPH=30?,在Rt△PHQ中，PQ=49（m）.
答：小紅與爸爸的距離PQ約為49m.
13．（2020·聊城）如圖，小瑩在數(shù)學綜合實踐活動中，利用所學的數(shù)學知識對某小區(qū)居民樓AB的高度進行測量．先測得居民樓AB與CD之間的距離AC為35m，后站在M點處測得居民樓CD的頂端D的仰角為45°．居民樓AB的頂端B的仰角為55°．已知居民樓CD的高度為16.6m，小瑩的觀測點N距地面1.6m．求居民樓AB的高度（精確到1m）．
（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
(
55°
45°
A
B
C
D
M
N
)
{解析}過點N作出平行于AC的直線，即可構(gòu)造兩個直角三角形，通過解直角三角形求解，均屬于“已知一邊一角”解直角三角形類型．
{答案}解：過點N作EF∥AC交AB于點E，交CD于點F．
則AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，
則DF＝CD－CF＝16.6－1.6＝15．在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15．
∴EN＝EF－NF＝35－15＝20．在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，
∴BE＝EN·tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6°．∴AB＝BE＋AE＝28.6＋1.6≈30．
答：居民樓AB的高度約為30m．
(
55°
45°
A
B
C
D
M
N
E
F
)
14．（2020·宿遷）如圖，在一筆直的海岸線上有A，B兩個觀測站，A在B的正西方向，AB＝2
km，從觀測站A測得船C在北偏東45°的方向，從觀測站A測得船C在北偏西30°的方向．求船C離觀測站A的距離．
{解析}過點C作CD⊥AB于點D，設(shè)AD＝CD＝x
km，從而AC＝x
km，在Rt△BCD中，由正切函數(shù)得到x的方程求解即可．
{答案}解：如答圖，過點C作CD⊥AB于點D，則∠CAD＝∠ACD＝45°，從而AD＝CD＝x
km，AC＝x
km，DB＝(2－x)km，∠CBD＝60°．
在Rt△BCD中，由tan∠CBD＝，得tan60°＝，即＝，解得x＝3－，經(jīng)檢驗，x＝3－是原方程的根，從而AC＝x
km＝?(3－)＝(3－)
km．答：船C離觀測站A的距離為(3－)
km．
15．（2020·河南）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化遺產(chǎn)之一.某校數(shù)學社團的同學們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度.如圖所示，他們在地面一條水平步道MP上架設(shè)測角儀，先在點M處測得觀星臺最高點A的仰角為22°，然后沿MP方向前進16
m到達點N處，測得點A的仰角為45°.測角儀的高度為1.6
m.
(1)求觀星臺最高點A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1
m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；
(2)“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6
m.請計算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議.
{解析}本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．(1)過A點作AE⊥BC，交BC的延長線于點E，交MP于點F，設(shè)AE=
m,從而構(gòu)建出兩個直角三角形.在Rt△ACE利用∠ACE=45°，表示出BE=x+16；在Rt△ABE中，利用tan∠ABE建立方程，求出x的值，再加上測角儀的高度即是觀景臺的高度；（2）可采用多次測量求平均值來減小誤差.
{答案}解：(1)過A點作AE⊥BC，交BC延長線于點E，交MP于點F，設(shè)AE=.
在Rt△ACE中，∠ACE=
45°，∴AE=CE=，∵BC=16，∴BE=+16；
在Rt△ABE中，∠ABE=
22°，∴tan22°=，
，解得:x≈10.67，
由題意，易知四邊形BEFM為矩形，∴EF=BM=1.6，
∴AF=10.67+1.6=12.27≈12.3().
答：觀景臺的高度約為12.3m.
(2)本次測量的誤差為:12.6－12.3=0.3()，宜多測量幾次，取這幾次計算結(jié)果的平均數(shù)，可以盡可能地減小誤差.
16．（2020·衡陽）小華同學將筆記本電腦水平放置在桌子上，當顯示屏的邊緣線OB與底板的邊緣線OA所在水平線的夾角為120°時感覺最舒適(如圖①).側(cè)面示意圖為圖②；使用時為了散熱，他在底板下面墊入散熱架，如圖③，點B、O、C在同一直線上，OA=OB?=24cm，BC⊥AC，∠OAC=30°.
求OC的長；
如圖④，墊入散熱架后，要使顯示屏的邊緣線OB'與水平線的夾角仍保持120°，求點B'到AC的距離.
(結(jié)果保留根號)
{解析}本題考查了解直角三角形的應(yīng)用與相似三角形，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．（1）如圖3中，解直角三角形求出CO即可．（2）如圖④，過B
'作B
'
D⊥AC交AC的延長線于D，延長B'O交AC于E，在Rt△OCE中先根據(jù)三角函數(shù)的定義求OE，從而求得B
'
E，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例或解直角三角形求B
'
D．
{答案}解：（1）如圖3中，∵BC⊥AC，垂足為C，∠OAC=30°，
∵sin∠OAC
，∴OC＝OA?sin∠OAC＝24?sin30°＝12（cm）；
（2）如圖④，過B
'作B
'
D⊥AC交AC的延長線于D，延長B'O交AC于E.則
∠B
'
EA＝∠BOA＝120°，∠B
'
DE＝∠OCA＝90°
，O
B
'=OB?=24cm，∵∠B
'
EA=∠OCA+∠COE，∴∠COE＝∠B
'
EA﹣∠OCA＝120°﹣90°＝30°，在Rt△OCE中，cos∠COE
=，∴OE=cm，∴B
'
E=B
'
O+
OE=+24，
∵∠B
'
DE＝∠OCA，∴OC∥B
'
D，∴，∴，解得B
'
E=12+，點B'到AC的距離為（12+）cm．
17．（2020·貴陽）（8分）脫貧攻堅工作讓老百姓過上了幸福的生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側(cè)面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線，為了測量房屋的高度，在地面上C點測得屋頂A的仰角為35°，此時地面上C點、屋檐上E點、屋頂上A點三點恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走8m到達點D時，又測得屋檐E點的仰角為60°，房屋的頂層橫梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于點G（點C，D，B在同一水平線上）．（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，1.7）
（1）求屋頂?shù)綑M梁的距離AG；
（2）求房屋的高AB（結(jié)果精確到1m）．
{解析}本題考查了．
{答案}解：（1）∵房屋的側(cè)面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高AB所在的直線，EF∥BC，∴AG⊥EF，EG∠AEG＝∠ACB＝35°，
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，∵tan∠AEG＝tan35°，EG＝6，
∴AG＝6×0.7＝4.2（米）；答：屋頂?shù)綑M梁的距離AG為4.2米；
（2）過E作EH⊥CB于H，設(shè)EH＝x，在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，
∵tan∠EDH，∴DH，在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，
∵tan∠ECH，∴CH，∵CH﹣DH＝CD＝8，∴8，
解得：x≈9.52，∴AB＝AG+BG＝13.72≈14（米），答：房屋的高AB為14米．
18．（2020·陜西）如圖所示，小明家與小華家住在同一棟樓的同一單元，他倆想測量對面商業(yè)大廈的高度MN．他倆在小明家的窗臺B處，測得商業(yè)大廈頂部N的仰角∠1的度數(shù)，由于樓下植物的遮擋，不能在B處測得商業(yè)大廈底部M的俯角的度數(shù)．于是，他倆上樓來到小華家，在窗臺C處測得商業(yè)大廈底部M的俯角∠2的度數(shù)，竟然發(fā)現(xiàn)∠1與∠2恰好相等．已知A、B、C三點共線，CA⊥AM，MN⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，試求商業(yè)大廈的高MN．
第20題圖
{解析}如答圖，過點C作CE⊥MN，垂足為E，過點B作BF⊥MN，垂足為F．證四邊形AMEC和四邊形AMFB均為矩形以及△BFN≌△CEM，根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可以求出MN的長．
{答案}解：如答圖所示，過點C作CE⊥MN，垂足為E，過點B作BF⊥MN，垂足為F．
∴∠CEF＝∠BFE＝90°．∵CA⊥AM，NM⊥AM，∴四邊形AMEC和四邊形AMFB均為矩形．
∴CE＝BF，ME＝AC．又知∠1＝∠2，∴△BFN≌△CEM．∴NF＝ME＝31+18＝49．
由矩形性質(zhì)，易得EF＝CB＝18，∴MN＝NF+EM－EF＝49+49－18＝80（m）．
∴商業(yè)大廈的高MN為80m．
第18題圖
19．（2020·南京）如圖，在港口A處的正東方向有兩個相距6km的觀測點B、C.一艘輪船從A處出發(fā)，沿北偏東26°方向航行至D處，在B、C處分別測得∠ABD＝45°，∠C＝37°.
求輪船航行的距離AD.(參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).
{解析}過點D作AC的高線DH，構(gòu)造Rt△ADH、Rt△BDH和Rt△DCH，運用三角函數(shù)關(guān)系用DH表示BH、CH，由CH－BH的值求出DH.在Rt△ADH中由余弦的定義求AD的長.
{答案}解：如圖，過點D作DH⊥AC，垂足為H.
在Rt△DCH中，∠C＝37°.
∵tan37°＝，
∴CH＝.
在Rt△DBH中，∠DBH＝45°.
∵tan45°＝，
∴BH＝.
∵BC＝CH－BH，
∴－＝6，解得：DH≈18.
在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，
∵cos26°＝，
∴AD＝≈20.
因此，輪船航行的距離AD約為20km.
20．熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看大樓BC頂部C的仰角為30°，看大樓底部B的俯角為45°，熱氣球與該樓的水平距離AD為60米，求大樓BC的高度．
(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù):
≈1.73)
{解析}本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用．根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，可以分別求得BD和CD的長，從而可以求得BC的長.
{答案}解：在Rt△ADB中，∵∠BAD＝45°，AD＝60，∴BD＝60．
在Rt△ADC中，∵∠CAD＝30°，AD＝60，
∴DC＝AD·tan30°＝60×＝20≈35(米)．
∴大樓BC的高度約為60+35=95米．
21.
(2020·連云港)
(本題滿分12分)筒車是我國古代利用水力驅(qū)動的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道:“水能利物，輪乃曲成”.如圖，半徑為3
m的筒車⊙O按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)圈，筒車與水面分別交于點A、B，筒車的軸心O距離水面的高度OC長為2.2
m.筒車上均勻分布著
若干個盛水筒.若以某個盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間。
(1)經(jīng)過多長時間，盛水筒P首次到達最高點?
(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距離水面多高?
(3)若接水槽MN所在直線是⊙O的切線，且與直線AB交于點M，MO=8
m.求盛水筒P從最高點開始，至少經(jīng)過多長時間恰好在直線MN上.
(參考數(shù)據(jù):cos43°=
sin47°≈，sinl6°=
cos74°≈，sin22°=
cos68°≈）
{答案}(1)如圖1，由題意得，筒車每秒旋轉(zhuǎn)360°=
5°.
連接OA，在Rt△ACO中，cos∠AOC=，所以∠AOC=43°.
所以=27.4(秒).
答:盛水簡P首次到達最高點所需的時間為27.4秒.
...................4分
(第25題圖1）
(第25題圖2）
(第25題圖3）
(2)如圖2，盛水簡P浮出水面3.4秒后，此時∠AOP=3.4×5°=17°.
所以∠POC=∠A0C+∠AOP=
43°+17°=
60°.
過點P作PD⊥OC，垂足為D，在Rt△POD中，OD=OP·cos60°=3×=1.5.
2.2-
1.5=0.7.
答:此時盛水簡P距離水面的高度0.7m.
(3)如圖3，因為點P在O上，且MN與O相切，
所以當P在直線MN上時，此時P是切點.
連接OP，所以O(shè)P⊥MN.
在Rt△OPM中，cos∠POM
=所以∠POM=68°.
在Rt△OCM中，cos∠COM
=.所以∠COM=74°，
所以∠POH=
180°-∠POM-∠COM=180°
-
68°-74°=
38°.
所以需要的時間為=7.6(秒).
答:從最高點開始運動，7.6秒后盛水簡P恰好在直線MN上.
22.（2020·淮安）（本小題滿分8分）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點分別為A、B、C，測得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8千米，求A、B兩點間的距離．（參考數(shù)據(jù)：1.4，1.7，結(jié)果精確到1千米）．
{解析}過點C作CD⊥AB于點D，在Rt△ACD中，通過解直角三角形可求出AD，CD的長，在Rt△BCD中，由∠BDC＝90°，∠CBD＝45°可得出BD＝CD，再結(jié)合AB＝AD+BD即可求出A、B兩點間的距離．
{答案}解：過點C作CD⊥AB于點D，如圖所示．
在Rt△ACD中，AC＝8千米，∠CAD＝30°，∠CAD＝90°，
∴CD＝AC?sin∠CAD＝4千米，AD＝AC?cos∠CAD＝4千米≈6.8千米．
在Rt△BCD中，CD＝4千米，∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝4千米，
∴AB＝AD+BD＝6.8+4≈11千米．
答：A、B兩點間的距離約為11千米．
23.如圖1是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機放置在托板上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，量得托板長，支撐板長，底座長，托板固定在支撐板頂端點處，且，托板可繞點轉(zhuǎn)動，支撐板可繞點轉(zhuǎn)動.（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）
（1）若，，求點到直線的距離；
（2）為了觀看舒適，在（1）的情況下，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點落在直線上即可，求旋轉(zhuǎn)的角度.
（參考數(shù)據(jù)：，,,
,）
【解析】（1）如圖1，過點C作CH⊥DE于點H.
∵CD80，∠CDE=60°，∴sin60°=，
∴
作AM⊥DE于點M，CN⊥AM于點N.∴MN=CH=，∠NCD=∠CDE=60°
∵∠DCB=80°，∴∠ACN=180°-80°-60°=40°.
∵sin∠ACN=∴AN=80sin40°≈80×0.643≈51.44.
∴AM=AN+NM≈51.44+69.28≈120.7mm.
（2）解法一：
∵AB繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)10°，∴∠DCB=90°.如圖2，連接BD.
∵DC=80，CB=40.∴tan∠CDB==0.5.
∴∠CDB≈26.6°.∴∠BDE≈60°-26.6°=33.4°
答：CD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)約為33.4°
解法二：
當點B落在DE上時，如圖3
在Rt△BCD中，BC=40，CD=80（∠DCB=90°，同解法一）
∴tan∠CDB==0.5.∴∠CDB≈26.6
∴∠=∠-∠BDC=60°-26.6°=33.4°
答：CD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)約為33.4°
24..（2020·鹽城）
如圖，在中，的平分線交于點.求的長？
20．解析：本題考查的是解直角三角形的知識，正確掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．第一步在Rt△ABC利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出∠A和∠ABC，第二步在Rt△BCD中求利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BC的長，第三步在Rt△ABC利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出AB的長．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
又∵CD＝，
∴
，
在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A＝30°
∴.
25.（2020·襄陽）（6分）襄陽東站的建成運營標志著我市正式進入高鐵時代，鄭萬高速鐵路襄陽至萬州段的建設(shè)也正在推進中．如圖，工程隊擬沿AC方向開山修路，為加快施工進度，需在小山的另一邊點E處同時施工．要使A，C，E三點在一條直線上，工程隊從AC上的一點B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°，那么點E與點D間的距離是多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
{解析}本題考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是合理地選擇銳角三角函數(shù)公式．
{答案}∵∠ABD＝140°，
∴∠EBD＝40°．
又∵∠D＝50°，
∴∠E＝90°．
在Rt△BDE中，cosD＝，
∴DE＝BD?cosD＝560×0.64＝358.4（米）．
∴點E與點D間的距離是358.4米．
26.．（2020·青島）如圖，在東西方向的海岸上有兩個相距6海里的碼頭B，D，某海島上的觀測塔A距離海岸5海里，在A處測得B位于南偏西22°方向.一艘漁船從D出發(fā)，沿正北方向航行至C處，此時在A處測得C位于南偏東67°方向.求此時觀測塔A與漁船C之間的距離(結(jié)果精確到0.1海里).
(參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）
解：如圖所示，作AE⊥BD于E，CF⊥AE于F，
由題意得AE=5，BD=6，∠BAE=22°，∠CAF=67°，∠AED=∠AEB=∠CFA=∠CFE=∠CDE=90°，
∴四邊形CDEF是矩形，∴CF=DE=BD-BE=6-BE.
在Rt△ABE中，∵，∴BE=2，∴CF=6-BE6-2=4.
在Rt△ACF中，∵，∴AC=≈4.3.
答：此時觀測塔A與漁船C之間的距離約為4.3海里.
27.（10分）如圖，無人機在離地面60米的C處，觀測樓房頂部B的俯角為30°，觀測樓房底部A的俯角為60°，求樓房的高度.
{解析}添加輔助線，構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，利用銳角三角函數(shù)解答.
{答案}解：過點B作BE⊥CD交CD于點E，由題意得，
∠CBE=30°,∠CAD=60°.
在Rt△ACD中，tan∠CAD=tan60°=,
∴,
∴.
在Rt△BCE中，tan∠CBE=tan30°=,
∴,
∴ED=CD-CE=60-20=40,
∴AB=ED=40(米).
答：這棟樓房的高度為40米.
28.．（2020·岳陽）共抓長江大保護，建設(shè)水墨丹青新岳陽，推進市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項目，需要從如圖A,B兩地向C地新建AC，BC兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測得C地在A地北偏東45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距離為7km，求新建管道的總長度.（結(jié)果精確到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.
93，tan22°≈0.40，≈1.41）
{解析}本題考查解直角三角形的應(yīng)用.
過點C作CD垂直于AB于D，由此得到兩個直角三角形.
假設(shè)CD=x
km，利用三角函數(shù)表示出AD和BD，利用AB長度為7
km，從而解出x，進而求出AC，BC以及它們的和.
{答案}解:
如圖，過點C作于點D.
由題意得：∠CAD=45°，∠CBD=22°.
設(shè)CD=x
km.
∴，AD=CD.
∵AB=AD+BD，
∴.
解得x=2.
∴km.
答：新建管道的總長度約為8.2
km．
29.（2020·菏澤）某興趣小組為了測量大樓CD的高度，先沿著斜坡AB走了52米到達坡頂點B處，然后在點B處測得大樓頂點C的仰角為53°，已知斜坡AB的坡度為i＝1∶2.4，點A到大樓的距離AD為72米，求大樓的高度CD．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，sin53°≈，tan53°≈）
(
53°
A
B
C
D
)
{解析}為利用已知條件坡度與仰角，構(gòu)造兩個直角三角形與矩形求解．
{答案}解：如圖，過點B作BE⊥AD于點E，作BF⊥CD于點F．
在Rt△ABE中，AB=52，∵i＝1∶2.4，
∴tan∠BAE==，∴AE=2.4BE，
又∵BE2+AE2=AB2，∴BE2+(2.4BE)2=522，
解得BE=20，∴AE=2.4BE=48．
∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，
∴四邊形BEDF是矩形，
∴FD=BE=20，BF=ED=AD－AE=72－48=24．
在Rt△BCF中，
tan∠CBF=，即tan53°==，
∴CF=BF=32，
∴CD=CF+FD=32+20=52．
答：大樓的高度CD為52米．
(
E
F
53°
A
B
C
D
)
30．(2020·荊門)如圖12，海島B在海島A的北偏東30°方向，且與海島A相距20海里．一艘漁船從海島B出發(fā)，以5海里/時的速度沿北偏東75°方向航行，同時一艘快艇從海島A出發(fā)，向正東方向航行．2小時后，快艇到達C處，此時漁船恰好到達快艇正北方向的E處．
(1)求∠ABE的度數(shù)；
(2)求快艇的速度及C，E之間的距離．
(參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73)
{解析}(1)過點B作AC的垂線，垂足為D，則∠ABE＝∠ABD＋∠DBE；
(2)過點B作CE的垂線，垂足為F，則所作輔助線把四邊形ABEC分割成兩個直角三角形和一個矩形，分別解兩個直角三角形即可．
{答案}解：(1)如圖#，過點B作BD⊥AC于點D，作BF⊥CE于點E．由題意得：
∠NAB＝30°，∠GBE＝75°．
∵AN∥BD，∴∠ABD＝∠NAB＝30°．
而∠DBE＝180°－∠GBE＝180°－75°＝105°．
∴∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝30°＋105°＝135°．
(2)BE＝5×2＝10(海里)．
在Rt△BEF中，∠EBF＝90°－75°＝15°．
EF＝BE╳sin15°≈10×0.26＝2.6(海里)．
BF＝BE╳cos15°≈10×0.97＝9.7(海里)．
在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，
AD＝AB×sin30°＝20×＝10(海里)．
BD＝AB×cos30°＝20×＝10≈10×1.73＝17.3．
∵BD⊥AC，BF⊥EC，CE⊥AC，∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°．
∴四邊形BDCF為矩形．
∴DC＝BF＝9.7，F(xiàn)C＝BD＝17.3．
∴AC＝AD＋DC＝10＋9.7＝19.7．
CE＝EF＋CF＝2.6＋17.3＝19.9．
設(shè)快艇的速度為v海里/時，則v＝＝9.85(海里/時)．
答：快艇的速度為9.85海里/時，C，E之間的距離為19.9海里．
31．（2020·隨州）如圖，某樓房AB頂部有一根天線BE，為了測量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點C，D，A，在點C處測得天線頂端E的仰角為60°，從點C走到點D，測得CD=5米，從點D測得天線底端B的仰角為45°，已知A，B，E在同一條垂直于地面的直線上，AB=25米.
(1)求A與C之間的距離；
(2)求天線BE的高度.(參考數(shù)據(jù)：√5≈=1.73,結(jié)果保留整數(shù))
{解析}本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用．
（1）由∠ADB=45°，得到AD=AB=25米.再由CD=5米，可以求得A，C之間的距離為30米；
（2）在Rt△ACE中，利用∠ACE=60°，AC=30米，可以求得AE=30·tan60°=30（米），再用AE減去AB即可得到BE=(30-25)米，最后按精確度求出近似值，即可得到答案.
{答案}解：(1)依題意可得，在Rt△ABD中，∠ADB=45°，∴AD=AB=25米.……2分
∵CD=5米，∴AC=AD+CD=25+5=30（米）.即A，C之間的距離為30米.………4分
(2)在Rt△ACE中，∠ACE=60°，AC=30米，∴AE=30·tan60°=30（米），…6分
∵AB=25米，∴BE=AE-AB=(30-25)米.……7分
由≈1.73，并精確到整數(shù)可得BE≈27米.即天線BE的高度約為27米.……8分
32．（2020·泰州）我市在鳳城河風景區(qū)舉辦了端午節(jié)賽龍舟活動，小亮在河畔的一幢樓上看到一艘龍舟迎面駛來，他在高出水面15
m的A處測得在處的龍舟俯角為；他登高到正上方的處測得駛至處的龍舟俯角為，問兩次觀測期間龍舟前進了多少？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）
{解析}若直角頂點記為點E，分別在Rt△BDE和Rt△ACE中，求出CD和DE的長，兩條線段相減即可得到CD的長．
{答案}解：如圖，由題意，∠ACE＝23°，∠BDE＝50°，AE＝15，AB＝6．
在Rt△BDE中，DE＝＝≈17.647
在Rt△ACE中，CE＝＝≈35.714
∴CD＝35.714－17.647≈18（m）
答：兩次觀測期間龍舟前進了18米．
33.（2020·鎮(zhèn)江）（本小題滿分6分）
如圖，點
與樹
的根部點
、建筑物
的底部點
在一條直線上，
．小明站在點
處觀測樹頂
的仰角為
，他從點
出發(fā)沿
方向前進
到點
時，觀測樹頂
的仰角為
，此時恰好看不到建筑物
的頂部
（
三點在一條直線上）．已知小明的眼睛離地面
，求建筑物
的高度（結(jié)果精確到
）．
參考數(shù)據(jù)：
．
{解析}本題考查了解直角三角形，根據(jù)題意作輔助線，構(gòu)造出含特殊角的直角三角形是解題的關(guān)鍵．
{答案}解：過點H作HM⊥AB于M，并延長交CD于點N，則HN⊥CD．
由題意可知，EG＝FH＝6，MN＝AC＝10，∠BFM＝30°，
在Rt△
BMH中，∠BHM＝45°，
設(shè)BM＝MH＝a
在Rt△
FMB中，∠BFM＝30°，tan∠BFM＝
∴
tan30°＝
∴
a＋b＝
∴
在Rt△
DNH中，∠DHN＝45°，
∴
DN＝NH＝NM＋MH＝
．
∴
CD＝DN＋NC＝
答：建筑物的高度約為19．8米．
34.．圖①是某車站的一組智能通道閘機，當行人通過時智能閘機會自動識別行人身份，識別成功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會收回到兩側(cè)閘機箱內(nèi)，這時行人即可通過，圖②是兩圓弧翼展開時的截面圖，扇形ABC和DEF是閘機的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，BC
和EF均垂直于地面，扇形的圓心角∠ABC＝∠DEF＝28°，半徑BA＝ED＝60cm，點A與點D在同一水平線上，且它們之間的距離為10cm．
（1）求閘機通道的寬度，即BC與EF之間的距離（參考數(shù)據(jù):
sin28°≈0.47，
cos28°≈0.88，
tan28°≈0.53）;
（2）經(jīng)實踐調(diào)查，一個智能閘機的平均檢票速度是一個人工檢票口平均檢票速度的2倍，
180人的團隊通過一個智能閘機口比通過一個人工檢票口可節(jié)約3分鐘，求一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)．
第21題圖
{解析}本題考查銳角三角函數(shù)的實際應(yīng)用和分式方程的應(yīng)用．
（1）適當添加輔助線得MN的長度就是BC與EF之間的距離，由軸對稱可得AM=
DN，利用銳角三角函數(shù)的邊角關(guān)系求得AM，由MN＝AM＋DN＋AD得解；
（2）根據(jù)“一個智能閘機的平均檢票速度是一個人工檢票口平均檢票速度的2倍”“180人的團隊通過一個智能閘機口比通過一個人工檢票口可節(jié)約3分鐘”列分式方程，求解即可．
{答案}解:（1）連接AD，并向兩方延長，分別交BC，EF于點M，N．）
由點A與點D在同－水平線上，BC，EF均垂直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF，
所以MN的長度就是BC與EF之間的距離．
同時，由兩圓弧翼成軸對稱可得AM=
DN．
在Rt△ABM中，∠AMB
=90°，∠ABM=28°，AB=60,
∵sin∠ABM
=．
∴AM＝AB·sin∠ABM＝60×sin28°≈60
×0.47
＝28.2．
∴MN＝AM＋DN＋AD＝2AM＋AD＝28.2×2＋10＝66.4．
∴BC與EF之間的距離為66.4cm．
（2）解法一:設(shè)一個人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人．
根據(jù)題意，得－3＝.
解，得x＝30．
經(jīng)檢驗x＝30是原方程的解．
當x＝30時，2x＝60．
答:一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人．
解法二:設(shè)一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為x人.
根據(jù)題意，得＋3＝.
解，得x＝60．
經(jīng)檢驗x＝60是原方程的解．
答:一個智能閘機平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為60人.
35．（2020·天水）為了維護國家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖所示，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時40海里的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行30分鐘后到達B處，此時測得燈塔P在北偏東45°方向上．
（1）求∠APB的度數(shù)；
（2）已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）
{解析}（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度數(shù)即可解決問題；
（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定；
{答案}解：（1）在△ABP中，∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBA＝90°＋45°＝135°，
∴∠APB＝180°－∠PAB－∠PBA＝180°－30°－135°＝15°；
（2）作PH⊥AB交AB的延長線于點H，設(shè)PH＝x海里，
則BH＝PH＝x海里，AB＝40×＝20海里，
在Rt△APH中，tan30°＝，∴＝，
解得：x＝10＋10≈27.32＞25．
∴海監(jiān)船繼續(xù)向東方向航行安全．
36．（2020·鄂州）鄂州市某校數(shù)學興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機在A處測得正前方河流的左岸C處的俯角為，無人機沿水平線方向繼續(xù)飛行50米至B處，測得正前方河流右岸D處的俯角為30°．線段的長為無人機距地面的鉛直高度，點M、C、D在同一條直線上．其中米．
（1）求無人機的飛行高度；（結(jié)果保留根號）
（2）求河流的寬度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）
{解析}此題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知解直角三角形的方法．
（1）根據(jù)正切的定義即可求出AM的長；
（2）過點B作BH⊥MD，根據(jù)三角函數(shù)求出DH的長，利用CD＝DH-CH即可求解．
{答案}解：（1）由題意可得AF∥MD
∴∠ACM＝∠FAC＝
在Rt△ACM中，AM＝CMtan∠ACM＝CM(米);
（2）如圖，過點B作BH⊥MD，
在Rt△BDH中，∠BDH＝∠FBD＝30°，BH＝
∴DH＝BH÷tan30°＝÷＝300米，
∵AM⊥DM，AM⊥AF
∴四邊形ABHM是矩形
∴MH＝AB＝50米
∴CH＝CM-MH＝-50(米)
∴CD＝DH-CH＝300-（-50）＝350-≈263（米）
故河流的寬度為263米．
37.（2020?湘西州）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．
小李同學探究此問題的方法是：延長FC到G，使CG＝AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFG≌△BFE，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是　
　；
探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)．它的兩邊分別交AD、DC于E、F，上述結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由；
探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)．它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；
實際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處．艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處．且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°．試求此時兩艦艇之間的距離．
（第25題圖）
{解析}本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AEF≌△AGF是解題的關(guān)鍵．易得他的結(jié)論就是AE+CF=EF；（探究延伸2）如答圖1，延長DC到點H．使CH＝AE，連結(jié)BH，即可證明△BCH≌△BAE，可得BE＝HB，再證△HBF≌△EBF，可得EF＝HF，即可得到結(jié)論；（實際應(yīng)用）如答圖2，連接EF，延長AE、BF相交于點G，先驗證的是否符合“探究延伸2”的條件，然后利用（探究延伸2）結(jié)論求此時兩艦艇之間的距離即可．
{答案}解：他的結(jié)論就是AE+CF=EF；探究延伸1：上述結(jié)論仍然成立；
（第25題答圖1）
（第25題答圖2）
探究延伸2：上述結(jié)論仍然成立．
證明如下：如答圖1，延長DC到點H．使CH＝AE，連結(jié)BH．
∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠BCH＝∠BAD，
∵BA＝BC，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE，
∴BE＝HB，∠ABE＝∠HBC，∴∠HBE=∠ABC，
∵∠ABC＝2∠MBN，∴∠HBE＝2∠MBN，∵BF＝BF，
∴△HBF≌△EBF，∴EF＝HF，∴AE+CF=EF；
實際應(yīng)用：如答圖2，連接EF，延長AE、BF相交于點G，∵艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處．艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，∴∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∵指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°，∴∠EOF＝70°，∴∠AOB=
2∠EOF，又∵OA＝OB，∠A＝60°，∠B＝120°，∴∠A+∠B＝180°∴符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF＝AE+BF成立，由題意得AE=
75×1.2=90（海里），
BF=100×1.2=120（海里），∴EF＝90+120＝210海里．答：此時兩艦艇之間的距離是210海里
38.．（2020·懷化）如圖，某數(shù)學興趣小組為測量一棵古樹的高度，在距離古樹A點處測得古樹頂端D的仰角為30°，然后向古樹底端C步行20米到達點B處，測得古樹頂端D的仰角為45°，且點A、B、C在同一直線上求古樹CD的高度．（已知：1.414，1.732，結(jié)果保留整數(shù)）
{答案}解：由題意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CB＝CD，
設(shè)CD＝x，則BC＝x，AC＝20+x，
在Rt△ACD中，
tan30°，
解得x＝1010≈10×1.732+10＝27.32≈27，
∴CD＝27，
答：CD的高度為27米．
39.
(2020·湘潭)為了學生的安全，某校決定把一段如圖所示的步梯路段進行改造．已知四邊形為矩形，，其坡度為，將步梯改造為斜坡，其坡度為，求斜坡的長度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）
{解析}先由DE的坡度計算DC的長度，根據(jù)矩形性質(zhì)得AB長度，再由AF的坡度得出BF的長度，根據(jù)勾股定理計算出AF的長度．
{答案}∵，其坡度為，
∴在中，
∴解得
∵四邊形ABCD為矩形
∴
∵斜坡的坡度為
∴
∴
在中，（m）
∴斜坡的長度為20.61米．
40.
（2020·張家界）“南天一柱”是張家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遺產(chǎn)武陵源風景名勝區(qū)袁家界景區(qū)南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名為《阿凡達》的“哈利路亞山”．如圖，航拍無人機以的速度在空中向正東方向飛行，拍攝云海中的“南天一柱”美景．在A處測得“南天一柱”底部C的俯角為，繼續(xù)飛行到達B處，這時測得“南天一柱”底部C的俯角為，已知“南天一柱”的高為，問這架航拍無人機繼續(xù)向正東飛行是否安全？（參考數(shù)據(jù)：，，）
{解析}本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學會用構(gòu)建方程的思想思考問題．設(shè)無人機距地面xm，直線AB與南天一柱相交于點D，根據(jù)AD-BD=AB列方程求出x的值，與南天一柱的高度比較即可．
{答案}解：設(shè)無人機距地面xm，直線AB與南天一柱相交于點D，由題意得∠CAD=37°，∠CBD=45°．
在Rt△ACD中，
∵tan∠CAD=，
∴AD=．
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=，
∴BD=．
∵AD-BD=AB，
∴-=9×6，
∴x=162，
∵162>150，
∴這架航拍無人機繼續(xù)向正東飛行安全．

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