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導(dǎo)數(shù)取點(diǎn)賦值基本定理
取點(diǎn)賦值的基本定理
設(shè)函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增,且存在一個(gè)零點(diǎn)
已知該零點(diǎn)無(wú)法通過(guò)代數(shù)方法解出,則為
證明該函數(shù)在定義域上有零點(diǎn),我們需要找到合適的上下界,證明函數(shù)值在兩個(gè)界點(diǎn)處異號(hào)
為了尋找一個(gè)點(diǎn)
作為區(qū)間左端點(diǎn),使f(x1)<0,我們需要找到一個(gè)函數(shù)g(x),設(shè)置如下要求
g(x)>f(x),且g(x)的零點(diǎn)x=x1可以通過(guò)代數(shù)方法解出.那么,當(dāng)x=x1時(shí),必有x1同理,如果我們要找到一個(gè)點(diǎn)x=x2作為區(qū)間右端點(diǎn),使f(x2)>0,也需要找到一個(gè)函數(shù)h(x),其中
h(x)且f(x2)>0
函數(shù)∫(x)在定義域上單調(diào)遞減的情況同理
我們可以通過(guò)示意圖來(lái)直觀地理解這個(gè)原理.(僅繪出f(x)單調(diào)遞增的示意圖圖象表示的是原函數(shù)零
點(diǎn)附近的大致走勢(shì),并非全局的單調(diào)性
取點(diǎn)賦值的基本技能:優(yōu)先原則
(1)常數(shù)優(yōu)先
值點(diǎn)優(yōu)先
簡(jiǎn)單運(yùn)算優(yōu)先:運(yùn)用指對(duì)性質(zhì),將式
對(duì)數(shù)與常數(shù)合并,與指數(shù)
合的轉(zhuǎn)移到指數(shù)位置,然后借助指對(duì)不等
對(duì)數(shù)化:x
)指數(shù)化
放縮是重點(diǎn),也是難點(diǎn):切線放縮是核心
e≥x+1
c≥y兩邊乘以e
1代
兩邊除以e
x≥lnx+
兩邊減1
以ex代x
類型一常數(shù)優(yōu)先原則
例1.(19全國(guó)2)已知函數(shù)f(x)
(1)討論f(x)的單
并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)
(2)略
(1)函數(shù)f(X)的定義域?yàn)?br/>因f(x)的定義域?yàn)?0,1)
即
即f(X)在(0,1)和
遞增;目
(0
顯
)當(dāng)X∈(0,1),函數(shù)f(×)有零點(diǎn)
數(shù)f(x)在X∈(0,1)上單調(diào)遞
(0,1)時(shí),函數(shù)f(x)有
零
因?yàn)閒(e)·f(e2)<0,所以函數(shù)f(x)在(e,e)必有一零點(diǎn),而函數(shù)f(x)在
1+∞)上是單調(diào)遞增,故當(dāng)X∈(1
函數(shù)f(x)有唯一的零
所述,函數(shù)f(×)的定義域
(1+∞)內(nèi)有2個(gè)零
(2)略
例2.已知函數(shù)
r)存在唯一極大值
有且僅
零點(diǎn)
)函數(shù)f(x)
函數(shù)
調(diào)遞減,又
存在
當(dāng)x∈(0,x)時(shí),g(x)
f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x3,x)時(shí),g
函數(shù)f(x)單調(diào)遞減
數(shù)f(x)
在唯一極大值點(diǎn)x
)可知,函數(shù)
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)
在區(qū)間(
存在一個(gè)零點(diǎn),在區(qū)間(x3,z)
零點(diǎn)
時(shí),設(shè)
則h(
)在(r,+∞)上單調(diào)遞減
時(shí),f(x)<0,無(wú)零點(diǎn)
+∞)時(shí),f(x)<0,無(wú)零
函數(shù)f(x)在區(qū)間(x,+∞)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)
函數(shù)f(x)有且僅有2個(gè)零
類型
極(最)值點(diǎn)優(yōu)先
例3(19全國(guó)2)已知函數(shù)f(
存
極值點(diǎn)
僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)
【解】(1)由題意可得,f(×)的定義域?yàn)?0,+∞)
1,得f'(x)

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