資源簡介

方案設計題
1．（2020·齊齊哈爾）母親節來臨，小明去花店為媽媽準備節日禮物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明將30元錢全部用于購買這兩種花（兩種花都買），小明的購買方案共有（　　）
A．3種
B．4種
C．5種
D．6種
{答案}
B
{解析}
設可以購買x支康乃馨，y支百合，根據總價＝單價×數量，即可得出關于x，y的二元一次方程，結合x，y均為正整數即可得出小明有4種購買方案．
設可以購買x支康乃馨，y支百合，依題意，得：2x+3y＝30，∴y＝10﹣x．
∵x，y均為正整數，∴，，，，∴小明有4種購買方案．
故選：B．
2．（2020·嘉興）為了測量一條兩岸平行的河流寬度，三個數學研究小組設計了不同的方案，他們在河南岸的點A處測得河北岸的樹H恰好在A的正北方向．測量方案與數據如下表：
課題
測量河流寬度
測量工具
測量角度的儀器，皮尺等
測量小組
第一小組
第二小組
第三小組
測量方案示意圖
說明
點B，C在點A的正東方向
點B，D在點A的正東方向
點B在點A的正東方向，點C在點A的正西方向．
測量數據
BC＝60m，
∠ABH＝70°，
∠ACH＝35°．
BD＝20m，
∠ABH＝70°，
∠BCD＝35°．
BC＝101m，
∠ABH＝70°，
∠ACH＝35°．
（1）哪個小組的數據無法計算出河寬？
（2）請選擇其中一個方案及其數據求出河寬（精確到0.1m）．（參考數據：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）
{解析}本題考查了解直角三角形的應用，（1）第二小組無法計算出河寬，△ABH和△BDC建立不起聯系．（2）由∠ACH＝35°，∠ABH＝70°，可知∠BHC＝35°，從而HB＝BC＝60，在Rt△ABH中，sin∠ABH＝,所以AH＝BH×0.94=56.4
{答案}解：
（1）第二個小組的數據無法計算河寬．
（2）第一個小組的解法：∵∠ABH＝∠ACH+∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，
∴∠BHC＝∠BCH＝35°，∴BC＝BH＝60m，∴AH＝BH?sin70°＝60×0.94≈56.4（m）．
第二個小組的解法：設AH＝xm，則CA＝，AB＝，∵CA+AB＝CB，
∴＝101，解得x≈56.4．答：河寬為56.4m．
3．（2020湖州）某企業承接了27000件產品的生產任務，計劃安排甲、乙兩個車間的共50名工人，合作生產20天完成．已知甲、乙兩個車間利用現有設備，工人的工作效率為：甲車間每人每天生產25件，乙車間每人每天生產30件．
（1）求甲、乙兩個車間各有多少名工人參與生產？
（2）為了提前完成生產任務，該企業設計了兩種方案：
方案一
甲車間租用先進生產設備，工人的工作效率可提高20%，乙車間維持不變．
方案二
乙車間再臨時招聘若干名工人（工作效率與原工人相同），甲車間維持不變．
設計的這兩種方案，企業完成生產任務的時間相同．
①求乙車間需臨時招聘的工人數；
②若甲車間租用設備的租金每天900元，租用期間另需一次性支付運輸等費用1500元；乙車間需支付臨時招聘的工人每人每天200元．問：從新增加的費用考慮，應選擇哪種方案能更節省開支？請說明理由．
【分析】（1）設甲車間有x名工人參與生產，乙車間各有y名工人參與生產，由題意得關于x和y的方程組，求解即可．
（2）①設方案二中乙車間需臨時招聘m名工人，由題意，以企業完成生產任務的時間為等量關系，列出關于m的分式方程，求解并檢驗即可；②用生產任務數量27000除以方案一中甲和乙完成的生產任務之和可得企業完成生產任務的時間，然后分別按方案一和方案二計算費用并比較大小即可．
【解答】解：（1）設甲車間有x名工人參與生產，乙車間各有y名工人參與生產，由題意得：
，解得．∴甲車間有30名工人參與生產，乙車間各有20名工人參與生產．
（2）①設方案二中乙車間需臨時招聘m名工人，由題意得：，
解得m＝5．經檢驗，m＝5是原方程的解，且符合題意．∴乙車間需臨時招聘5名工人．
②企業完成生產任務所需的時間為：18（天）．
∴選擇方案一需增加的費用為900×18+1500＝17700（元）．選擇方案二需增加的費用為5×18×200＝18000（元）．∵17700＜18000，∴選擇方案一能更節省開支．
4．(2020自貢)甲、乙兩家商場平時以同樣價格出售相同的商品．新冠疫情期間，為了減少庫存，甲、乙兩家商場打折促銷．甲商場所有商品按9折出售，乙商場對一次購物中超過100元后的價格部分打8折．
（1）以x（單位：元）表示商品原價，y（單位：元）表示實際購物金額，分別就兩家商場的讓利方式寫出y關于x的函數解析式；
（2）新冠疫情期間如何選擇這兩家商場去購物更省錢？
{解析}解：（1）由題意可得，y甲＝0.9x，當0≤x≤100時，y乙＝x，
當x＞100時，y乙＝100+（x﹣100）×0.8＝0.8x+20，
由上可得，y乙；
（2）當0.9x＜0.8x+20時，得x＜200，即此時選擇甲商場購物更省錢；
當0.9x＝0.8x+20時，得x＝200，即此時兩家商場購物一樣；
當0.9x＞0.8x+200時，得x＞200，即此時選擇乙商場購物更省錢．
5.（2020·濟寧）(8分)為加快復工復產，某企業需運輸批物資．據調查得知，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱．
（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運輸多少箱物資；
（2）計劃用兩種貨車共12輛運輸這批物資，每輛大貨車一次需費用5000元，每輛小貨車一次需費用3000元．若運輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元．請你列出所有運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少．最少費用是多少？
{解析}（1）設1輛大貨車一次運輸x箱物資，1輛小貨車一次運輸y箱物資，由“2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運輸600箱；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱”，可列方程組，即可求解；
（2）設有a輛大貨車，（12﹣a）輛小貨車，由“運輸物資不少于1500箱，且總費用小于54000元”可列不等式組，可求整數a的值，即可求解．
{答案}解：（1）設1輛大貨車一次運輸x箱物資，1輛小貨車一次運輸y箱物資，
由題意可得：，
解得：，
答：1輛大貨車一次運輸150箱物資，1輛小貨車一次運輸100箱物資，
（2）設有a輛大貨車，（12﹣a）輛小貨車，
由題意可得：，
∴6≤a＜9，
∴整數a＝6，7，8；
當有6輛大貨車，6輛小貨車時，費用＝5000×6+3000×6＝48000元，
當有7輛大貨車，5輛小貨車時，費用＝5000×7+3000×5＝50000元，
當有8輛大貨車，4輛小貨車時，費用＝5000×8+3000×4＝52000元，
∵48000＜50000＜52000，
∴當有6輛大貨車，6輛小貨車時，費用最小，最小費用為48000元．
6．（2020·青島）實際問題：某商場為鼓勵消費，設計了抽獎活動，方案如下：根據不同的消費金額，每次抽獎時可以從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎券中(面值為整數)一次任意抽取2張、3張、4張、…等若干張獎券，獎券的面值金額之和即為優惠金額.某顧客獲得了次抽取5張獎券的機會，小明想知道該顧客共有多少種不同的優惠金額？
問題建模：從1，2，3，…，n(n為整數，且n≥3)這n個整數中任取a(1橫型探究：我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進，從中找出解決問題的方法.
探究一：(1)從1，2，3這3個整數中任取2個整數，這2個整數之和共有多少種不同的結果？
如表①，所取的2個整數之和可以為3，4，5，也就是從3到5的連續整數，其中最小是3，最大是5，所以共有3種不同的結果.
(2)從1，2，3，4這4個整數中任取2個整數，這2個整數之和共有多少種不同的結果？
如表②，所取的2個整數之和可以為3，4，5，6，7，也就是從3到7的連續整數，其中最小是3，最大是7，所以共有5種不同的結果.
(3)從1，2，3，4，5這5個整數中任取2個整數，這2個整數之和共有
種不同的結果.
(4)從1，2，3，…，n(n為整數，且n=3)這n個整數中任取2個整數，這2個整數之和共有
種不同的結果.
探究二：(1)從1，2，3，4這4個整數中任取3個整數，這3個整數之和共有
種不同的結果.
(2)從1，2，3，…，n(n為整數，且n≥4)這n個整數中任取3個整數，這3個整數之和共有
種不同的結果.
探究三：從1，2，3，…，n(n為整數，且n≥5)這n個整數中任取4個整數，這4個整數之和共有
種不同的結果.
歸納結論：從1，2，3，…，n(n為整數，且n≥3)這n個整數中任取a(1種不同的結果.
問題解決：從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎券中(面值為整數)，一次任意抽
取5張獎券，共有
種不同的優惠金額.
拓展延伸：(1)從1，2，3，…，36這36個整數中任取多少個整數，使得取出的這些整數之和共有204種不同的結果？(寫出解答過程)
(2)從3，4，5，…，n+3(n為整數，且n≥2)這(n+1)個整數中任取a(1種不同的結果.
{答案}解：探究一：（3）從1，2，3，4，5這5個整數中任取2個整數，所取的2個整數之和可以為3，4，5，6，7，8，9，也就是從3到9的連續整數，其中最小是3，最大是9，所以共有7種不同的結果.
答案：7
（4）從1，2，3，…，n(n為整數，且n=3)這n個整數中任取2個整數，所取的2個整數之和可以為3，4，5，6，7，8，n+n-1=2n-1，也就是從3到2n-1的連續整數，其中最小是3，最大是2n-1，所以共有2n-1-2=2n-3（種）不同的結果.
答案：2n-3
探究二：(1)從1，2，3，4這4個整數中任取3個整數，所取的3個整數之和可以為6，7，8，9，也就是從6到9的連續整數，其中最小是6，最大是9，所以共有4種不同的結果.
答案：4
(2)從1，2，3，…，n(n為整數，且n=3)這n個整數中任取3個整數，所取的3個整數之和可以為6，7，8，…，n+n-1+n-2=3n-3，也就是從6到3n-3的連續整數，其中最小是6，最大是3n-3，所以共有3n-3-8=3n-8（種）不同的結果.
答案：3n-8
探究三：從1，2，3，…，n(n為整數，且n≥5)這n個整數中任取4個整數，這4個整數之和共有
種不同的結果.
從1，2，3，…，n(n為整數，且n=3)這n個整數中任取4個整數，所取的4個整數之和可以為10，11，12，…，n+n-1+n-2+n-3=4n-6，也就是從10到4n-6的連續整數，其中最小是10，最大是4n-6，所以共有4n-6-9=4n-15（種）不同的結果.
答案：4n-15
歸納結論：從1，2，3，…，n(n為整數，且n≥3)這n個整數中任取a(1答案：
問題解決：從100張面值分別為1元、2元、3元、…、100元的獎券中(面值為整數)，一次任意抽
取5張獎券，共有不同優惠金額的種類為：=476（種）.
答案：476
拓展延伸：(1)設從1，2，3，…，36這36個整數中任取a個整數，使得取出的這些整數之和共有204種不同的結果，則，即，∴a=7或29.
答：從1，2，3，…，36這36個整數中任取7個或29個整數，可以使得取出的這些整數之和共有204種不同的結果.
(2)從3，4，5，…，n+3(n為整數，且n≥2)這(n+1)個整數中任取a(1最大是n+3+n+2+n+1+…+[n+3-（a-1)]=，所以共有不同的結果數為：=
===
==.
答案：
7.
(2020·湘潭)習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然之氣”．某校為提高學生的閱讀品味，現決定購買獲得第十屆矛盾文學獎的《北上》（徐則臣著）和《牽風記》（徐懷中著）兩種書共50本．已知購買2本《北上》和1本《牽風記》需100元；購買6本《北上》與購買7本《牽風記》的價格相同．
（1）求這兩種書的單價；
（2）若購買《北上》的數量不少于所購買《牽風記》數量的一半，且購買兩種書的總價不超過1600元．請問有哪幾種購買方案？哪種購買方案的費用最低？最低費用為多少元？
{解析}（1）設購買《北上》和《牽風記》的單價分別為x、y，根據“購買2本《北上》和1本《牽風記》需100元”和“
購買2本《北上》和1本《牽風記》需100元”建立方程組求解即可；
（2）設購買《北上》的數量n本，則購買《牽風記》的數量為50-n，根據“購買《北上》的數量不少于所購買《牽風記》數量的一半”和“購買兩種書的總價不超過1600元”兩個不等關系列不等式組解答并確定整數解即可．
{答案}解：（1）設購買《北上》和《牽風記》的單價分別為x、y
由題意得：
解得
答：兩種書的單價分別為35元和30元；
（2）設購買《北上》的數量n本，則購買《牽風記》的數量為50-n
根據題意得解得：
則n可以取17、18、19、20，
當n=17時，50－n=33，共花費17×35+33×30=1585元；
當n=18時，50－n=32，共花費17×35+33×30=1590元；
當n=19時，50－n=31，共花費17×35+33×30=1595元；
當n=20時，50－n=30，共花費17×35+33×30=1600元；
所以，共有4種購買方案分別為：購買《北上》和《牽風記》的數量分別為17本和33本，購買《北上》和《牽風記》的數量分別為18本和32本，購買《北上》和《牽風記》的數量分別為19本和31本，購買《北上》和《牽風記》的數量分別為20本和30本；其中購買《北上》和《牽風記》的數量分別為17本和33本費用最低，最低費用為1585元．

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