資源簡介

高中數學必修一教材分析
高中數學必修一教材分析 高中數學必修一教材分析<<隱藏
窗體頂端
窗體底端
李濤 陜西師大附中 710061
作為新課程高中數學的起始模塊—必修一，它是由“第一章集合、第二章函數、第三章指數函 數和對數函數、第四章函數應用”四部分內容組成. 盡管“集合、函數、指數函數和對數函數”這 三部分內容屬于我國高中數學課程的傳統內容，但和《全日制普通高級中學數學教學大綱（2002 年 頒布） 》版教材（下稱《大綱》版教材）相比,《高中數學課程標準》版教材（由于我省各地市使用 的數學教材均為北師大版,所以,下邊的討論均以北師大版教材為基礎,并簡稱其為《標準》版教材） 以《高中數學課程標準》為基礎對其所涉及的相當一部分內容作了新的處理，在要求上也有了一定 程度的變化.“第四章函數應用”內容包括“函數與方程、實際問題的函數建模”兩部分，這是新課 程中增加的新內容， 旨在突出 “函數與方程” 的數學思想、 強調數學的實際應用.下邊為了便于討論， 我們分章對于教材作一分析.
1 集合
集合是近代數學中的一個重要概念，集合概念及其基本理論又是近代數學的一個重要的基礎， 它不僅與高中數學的許多內容有著聯系，而且已經滲透到自然科學的眾多領域，應用十分廣泛。中 學數學所研究的各種對象都可以看作集合或集合中的元素，用集合語言可以簡明地表述數學概念， 準確、簡捷地進行數學推理.
本章內容以集合的含義與表示、集合的基本關系、集合的基本運算為邏輯鏈條統領全章，這種 安排與以往的教材的處理有很大的區別.例如，§2 集合的基本關系，是將集合的包含和相等關系放 在一起，并給出自集的概念；§3 集合的基本運算，是將集合的交、并、補放在這一節，并給出全 集的概念，這樣安排給學生展現出知識間的聯系，便于學生學習.
1.1 課程標準要求
（1）集合的含義與表示
① 通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系.
② 能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集 合語言的意義和作用.
（2）集合間的基本關系
① 理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.
② 在具體情境中，了解全集與空集的含義.
（3）集合的基本運算
① 理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集.
② 理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集.
③ 能使用 Venn 圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.
1.2 教學目標
集合語言是現代數學的基本語言.使用集合語言，可以簡潔、準確地表達數學的一些內容（集合 的初步知識與其他內容有著密切的聯系，是學習、掌握和使用數學語言的基礎），因此高中數學課 程中只是將集合作為一種語言來學習。 1.2.1 知識與技能
⑴了解集合的含義，明確元素與集合的“屬于”關系.掌握描寫某些數集的專用符號。
⑵理解集合的表示法，能用集合語言對事物進行準確，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言 （列舉法或描述法）描述不同的具體問題.
⑶理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.培養分析、比較、歸納的邏輯思維 能力.
⑷了解全集與空集的含義.
⑸理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集.
⑹理解在給定集合中，一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集.
⑺能使用 Venn 圖表達集合的關系及運算.
1.2.2 過程與方法
⑴從學生比較熟悉的實例入手，通過列舉豐富的實例，了解集合的含義，理解并掌握集合間的 基本關系及集合的基本運算.
⑵創設使學生運用集合語言進行表達和交流的情景和機會，以便學生在實際應用中逐漸熟悉自 然語言、圖形語言、集合語言各自的特點，進行相互轉換并掌握集合語言.
⑶借助幾何直觀，運用 Venn 圖和數軸表示集合的關系及集合的基本運算，從直觀上幫助學生理 解并運用集合語言處理問題，體現數形結合的思想. 情感、態度、
1.2.3 情感、態度、價值觀
⑴在運用集合語言解決問題的過程中，逐步養成事實求是，扎實嚴謹的科學態度，學會用數學 思維方法解決問題.
⑵通過直觀感知，類比聯想和抽象概括，讓學生體會數學上的規定要講邏輯順序，培養學生有 條理地思考的習慣和積極探索創新的意識. 知識結構與教學安排
1.3 知識結構與教學安排
1.3.1 知識結構
1.3.2 教學順序
1.3.2 課時安排
§1集合的含義與表示 約 1 課時
§2 集合的基本關系約 約 1 課時
§3.1 交集與并集 約 1 課時
§3.2 全集與補集 約 1 課時
復習小結 約 1 課時
1.4 教學重點和難點
1.4.1 教學重點
（1）集合的概念與表示.
（2）集合間的包含與相等關系，子集與真子集的概念.
（3）交集與并集、全集與補集的概念.
1.4.2 教學難點
（1）運用集合的兩種常用表示法—列舉法與描述法正確表示一些簡單的集合. （2）屬于關系與包含關系的區別.
（3）交集與并集的概念的理解，交集與并集的符號之間的區別與聯系.
1.5 教學建議
1.5.1 把握課標、教材的定位，明確教學目標
●集合作為一種數學語言來學習，盡管集合是數學的一個重要概念，但教材中給出的集合的概 念只是一個描述性的說明，在教學中注意通過實例使學生對集合的概念有一個初步認識
●不摳概念，只要求能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具 體問題
1.5.2 充分利用幾何直觀
●注重圖形（Venn 圖和數軸）的直觀作用。利用圖形幫助學生理解集合的有關概念，并能夠用 圖形直觀地認識集合的運算性質（這些性質不予證明） 。 集合教學 教學中
1.5.3 集合教學中要注意的問題
●用學生熟悉的例子學習集合，不引入陌生問題
●熟練準確地運用集合語言，是要靠長期積累的，這里只是初步掌握，將在后面學習中提高， 切忌“一步到位”
●不強調細枝末節，如集合的“三性” （確定性，無序性，互異性）
2 函數
20世紀初，在英國數學家貝利和德國數學家克萊因等人的大力倡導和推動下，函數進入了中學 數學。克萊因提出了一個重要的思想——以函數概念和思想統一數學教育的內容，他認為：“函數 概念，應該成為數學教育的靈魂。以函數概念為中心，將全部數學教材集中在它周圍，進行充分地 綜合。”在高中課程中，函數與方程、數列、不等式、線性規劃、算法、導數及其應用，包括概率 統計中的隨機變量等， 以及選修系列3、 4中的大部分專題內容， 都與函數有著密切的聯系。 用函數(映 射)的思想去理解這些內容，是非常重要的一個出發點。反過來，通過這些內容的學習，可以加深對 于函數思想的認識。實際上，在整個高中數學課程中，都需要不斷地體會、理解“函數思想”給我 們帶來的“好處”。
函數各章除三角函數外，基本集中在必修 1 中，分為第二章、第三章、第四章。本章是第二章， 不僅把函數看成變量之間的依賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數，將函數的思想方法貫 串于初中學的幾種基本函數的再認識過程；而在第三章將學習指數函數、對數函數等具體的基本初 等函數，具體體會兩種函數模型的知識和研究規律；第四章結合實際問題，感受運用函數概念建立 模型的過程和方法，體會函數在數學和其他學科中的重要性，初步運用函數思想理解和處理現實生 活和社會中的簡單問題。學生還將學習利用函數的性質求方程的近似解，體會函數與方程的有機聯 系。
顯然，本章是整個函數體系的根部，其函數概念是高中數學的核心概念，是函數體系生成的種 子；其三要素問題，會成為把握各種函數（如指數函數、對數函數）內涵的基點；其表示法為各種 函數（如指數函數、對數函數）的運用示范了三種常見形態，且引出的分段函數是進一步理解函數 概念、進而提高各種函數（如指數函數、對數函數）運用能力的絕好材料；而映射的學習，強調了 函數概念的動態性和在兩個集合間進行信息溝通的功能，有利于函數的理論研究，從而推動各種函 數（如指數函數、對數函數）的理論學習和研究，這顯然彌補了變量觀點下函數概念的不足；函數 單調性在各種函數研究中有著特殊的地位，本章在初中函數值變化的基礎上，進行了數式刻畫，就 嚴格的概念、判斷、證明等進行專門學習和訓練，隨后還學習了奇偶性及其判斷，為各種函數（如 指數函數、對數函數）的運用做好準備；本章還專門設置了“二次函數再認識”一節，既是為各種 函數（如指數函數、對數函數）走向綜合運用作進一步的知識準備，也是由函數新的理論層面（概 念、表示、性質）來重新理解和描述已學函數模型的一個較為完整的過程，為下一章指數函數、對 數函數的研究提供方法上的示范，隨后還滲透了冪函數，使下一章集中更多精力研究指數函數和對 數函數。
本章第一節著重聯系函數與生活的關系，并展現生活中變量關系的豐富性，把函數作為變量關 系的特殊化；函數概念的展開過程把函數作為描述客觀世界變化規律的重要數學模型來處理，強調 結合實際問題，使學生感受運用函數概念建立模型的過程與方法.這些處理，實際上在有效地發展著 學生對實際問題的抽象意識和對變量數學的認識，從而為發展學生的函數意識和函數建模能力作必 要的分解和鋪墊；這種意識層的鋪墊，加上本章以一次函數、二次函數、反比例函數、分段函數為 模的建模滲透，以及下一章以指數函數、對數函數為模的建模滲透，即可促成第四章中通性意義上 的函數建模訓練及三個分解步驟的展開。
總之，本章是函數的核心部位，也是必修 1 的核心部位。前面學習的集合為本章“函數的再認 識”提供了背景；而本章著重研究了函數的一般性知識，為后面進行的具體函數理論研究作了基礎 性和工具性的準備，同時，也為后面進行實際應用作了理論和意識層的準備，也為建模訓練作了感 性積累。
2.1 課程標準要求
① 通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學 習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素， 會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念。
② 在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數。
③ 通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用。
④ 通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性、最大（小）值及其幾何意義；結合 具體函數，了解奇偶性的含義。
⑤ 學會運用函數圖象理解和研究函數的性質。
⑥通過實例，了解冪函數的概念；結合函數 y=x, y=x , y=x , y=1/x, y=x / 的圖象，了解它們的變 化情況。
2.2 教學目標
2.2.1 知識與技能
⑴了解函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型.
⑵能用集合與對應的語言刻畫函數概念.
⑶了解構成函數的三要素，會求一些簡單函數的定義域和值域.
⑷能根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數.
⑸了解簡單的分段函數，并能簡單應用.
⑹了解映射的概念.
⑺了解增函數、減函數的概念，理解函數的單調性，能利用單調性的定義判斷函數的單調性.
⑻理解二次函數的圖象變換，掌握二次函數的性質，并會利用二次函數的圖象和性質求最值.
⑼了解冪函數的概念，結合函數 y = x, y = x , y = x , y = x﹣ , y = x 的圖象，了解冪函數的圖象的變化情況.
⑽了解函數奇偶性的含義，會判斷函數的奇偶性，能根據函數的奇偶性解決有關問題.
⑾能運用函數的圖象理解和研究函數的性質.
2.2.2 過程與方法
⑴在復習初中函數定義的基礎上，從貼近學生實際出發，結合具體的實例理解函數的定義，會 求簡單函數的定義域和值域，并會用集合、區間、不等式表示它們.
⑵通過學習函數常用的三種表示方法及相關實例進一步理解函數的概念.同時在學習映射概念 的基礎上明確兩者之間的區別與聯系——函數是特殊的映射，映射是函數的推廣.
⑶在作二次函數圖象的過程中，學會體會圖象之間的變換規律，理解二次函數圖象與 a, b, c 的 關系.
⑷先給出幾個特殊函數的圖象，通過圖象直觀獲得函數奇偶性的認識，然后利用表格探究數量 變化特征，通過代數運算，驗證發現的數量特征對定義域中的“任意”值都成立.在此基礎上建立奇 偶函數的概念.
2.2.3 情感、態度、價值觀
⑴引導學生從集合、對應出發來理解抽象的函數概念，學會函數的表示方法.從眾多現實問題中 抽象出本質屬性，培養學生的嚴謹意識及分析問題、處理問題的能力.
⑵通過實例，感受函數概念在客觀實際中的重要意義，進一步體會數形結合的重要性.
⑶從圖象的變化過程，學會認識事物由簡單到復雜，由具體到抽象的變化規律.
⑷通過研究奇偶函數的性質體會函數圖象的對稱性與函數解析式的關系. 函數的奇偶性將這兩 者緊緊聯系起來，體現了數學上的對稱美及數與形的完美結合，并從中提高分析問題、解決問題的 能力.
2.3 知識結構與教學安排
2.3.1 知識結構與教學順序
2.3.2 課時安排
本章教學時間約 9 課時。
§1生活中的變量關系 1 課時
§2 對函數的進一步認識 1 課時
§2.1 函數概念 1 課時
§2.2 函數的表示法 1 課時
§2.3 映射 1 課時
§3函數的單調性 1 課時
§4二次函數性質的再研究 2 課時
§5 簡單的冪函數 1 課時
小結與復習 1 課時
2.4 教學重點和難點
2.4.1 教學重點
（1）理解函數的模型化思想，用集合與對應的語言來刻畫函數.
（2）函數的概念，函數的表示法.
（3）函數單調性的概念，判斷和證明函數的單調性.
（4）二次函數圖象的平移變換規律及應用；二次函數解析式的配方以及二次函數在給定區間上 的值域問題；含參數的二次函數在給定區間上的值域問題. （5）冪函數的概念、奇偶函數的概念.
2.4.2 教學難點
（1）對抽象符號 f ( x ) 的理解，分段函數的表示及圖像.
（2）應用定義證明單調性的代數推理論證能力的培養與提高.
（3）含參數的二次函數在給定區間上的值域問題.
（4）利用數學本質正確判斷函數的奇偶性.
2.5 教學建議
2.5.1 緊扣教材特點
“親和力” ：以生動活潑的呈現方式，激發興趣和美感，引發學習激情；
“問題性” ：以恰時恰點的問題引導數學活動，培養問題意識，孕育創新精神；
“科學性”與“思想性” ：通過不同數學內容的聯系與啟發，強調類比，推廣，特殊化，化歸等 思想方法的運用，學習數學地思考問題的方式，提高數學思維能力，培育理性精神；
“時代性”與“應用性” ：以具有時代性和現實感的素材創設情境，加強數學活動，發展應用意 識.
2.5.2教材的整體把握與分點處理建議
本章是函數的起始和核心單元，重點、難點密集.許多知識點運用廣泛，且稍加變化就衍生出靈 活的題型，如果不加拓展，學生解題實踐中往往對常見的問題也很困難。也許正因為如此，過去和 現在的所有教材，對概念部分都只涉及函數的皮毛，對最內核的理解和運用慎之又慎，特別是三要 素的求解。因此本章內容的處理要特別的瑾慎.
1.函數“對應”本質的把握，應該成為本章教學的重要原則
“§1 生活中的變量關系”給出了變量間的多種對應關系， “2.1 函數概念”中的定義卻淘汰了 其它對應，把關注點抽象到函數對應的特定內涵上；至“2.2 函數的表示法” ，函數的外形（即對應 法則 f ）發生很大的變化（生活、表格、圖示、分段、絕對值等） ，但統領它的仍是不變的函數對應 特征；接下來的“映射”“生活中的映射（閱讀材料），是在非空數集 A 和 B 泛化為“非空集合” 、 ” 后，函數的對應特征在應用層面的一種擴張；到“§3 函數的單調性”將顯示函數具有一一對應特 征時的巨大應用優勢，到“§4 二次函數的再研究”將顯示非一一對應的函數復雜之一斑，此時圖 示函數將成為化難為易的法寶；這兩種對應特殊化就出現了“§5 簡單的冪函數” ，圖示后，成為奇 偶性概念產生的契機；而最后， “函數概念的發展（閱讀材料） ”的副標題“從解析式到對應關系” 則對全章作了總結，將“函數”本質定格在“對應”層面.
由此可見，如果我們在處理本章知識時，能從“對應”的層面著眼，手中就有了一根主線，它 時時切中各點的本質，使我們考慮問題時易于把握相互的輕重關系，作出合理的安排.
2.理論研究的必要性與應用意識的結合
“§1 生活中的變量關系” ，及“2.1 函數概念”中的概念例釋和例題都是實際或物理學背景， 構成最大膽也是最獨特的設計方案，這種從實際到實際、再到實際的極端處理,對于彰顯函數意識和 應用意識這一新課標理念，效果是顯著的。但從實現這一理念的操作環節來看，是否可以來得緩一 點呢？因為函數概念的理性認識過淺，可能會嚴重妨礙后續具體函數的理論研究。因此，我們的建 議是，仍然遵循從實際到理論、再由理論回到實際的程序，即：在函數各種概念建立之前，可提供 充分的精典實例，讓學生感知概念的實際意義，但概念建立后，主要還是從函數自身的理論體系上 加以梳理和研究，訓練鞏固以后，再作為工具回到實際問題中展現數學的力量.
3.重視圖像作用的發揮 在教學中，要重視圖形在數學學習中的作用，挖掘函數圖形對函數概念和性質的理解，對數學 理解、數學思考的功能。我們可以經常提出這樣一些問題：從函數圖象中你“看到了”什么？發現 了什么？有什么聯想？等等。當然，我們也要注意幾何直觀的局限性，以及用幾何直觀代替邏輯證 明的錯誤做法.
4.難點部位避免搞一次到位，采用立足初中、分步提高的辦法
本章許多點需要螺旋式上升，不能一次到位，如函數三要素的求解等。這樣的知識點一定要遵 從課標，但是否要遵從教材就要視學生的情況而定。對基礎較好的學校或班級，建議補充課時若干， 突破這些重難點，教學的原則是分散難點，突出重點，削枝強干.
2.5.3關于信息技術整合的建議
必要性：信息技術應為數學的學與教服務，教學中不應為用信息技術而用，尤其是上公開課、 研究課等，絕大部分都用信息技術，但是否每節課都需要呢 是不是計算機用得越多就越好呢 答案 都應是否定，是否真的需要，要看信息技術能否在課堂上為教學目標服務，起到傳統方法達不到的 效果.
整體性：一節課要用信息技術，到底什么地方用，用多少，如何用，要從這節課的整體考慮， 計算機作為有效的輔助認知工具是為教學服務的，要把它用得恰到好處。傳統教學的優勢應該保留， 如教師示范作用、教師與學生之間富于人情味的及時交流，教師組織起來的探討問題的活躍氛圍等 等。理想的教學應該是把教師與計算機的優勢同時充分發揮出來，把計算機輔助教學與傳統教學完 美地結合在一起。為此就需要教師全新的教學設計。教學設計應遵循的原則，我們認為應該是“優 勢互補”的原則，既發揮計算機的優勢，又發揮教師的主導作用。一句話能說明白的，一個教具能 演示清楚的，不一定非用計算機演示。全新的教學設計并不是和傳統的教學對立起來，而是把幾方 面的優勢更好地結合起來.
2.5.4 關于必修內容與選修內容銜接問題的建議
函數是貫穿于高中數學課程的主線之一，也是高中數學最基本的研究內容之一.在本章，學生將 在義務教育階段函數學習的基礎上對函數概念有進一步的認識，并研究函數的性質。在必修 1 和必 修 4 中學生還將繼續學習一些常用的函數模型，如指數函數、對數函數、冪函數和三角函數等，而 選修 2-1 和選修 2-2 中學生還將學習導數及其應用。導數及其應用這部分內容將在必修數學的基礎 上，提供一種函數研究的新工具.
在必修內容教學中，如何處理好與選修內容的銜接呢？
1.重視概念教學，突出形數結合，為選學內容中概念理解作好準備
函數選學中的核心概念是導數的概念，掌握它的關鍵是理解函數的導數是函數單調性的更高級 別的抽象。 這里面的邏輯演變可以是： y = f ( x) 的單調性， y 增加與 x 增加的方向間關系 → y 增 即 量與 x 增量的比值，即 y = f ( x ) 的平均變化率 → x 增量趨于零時， y = f ( x ) 平均變化率有極限， 即瞬時變化率，即 y = f ( x ) 的導數. 這里的“極限”并不作嚴格的概念處理，但須突出其實際背景和幾何意義.因此，如果不能將 y=f(x)的單調性及其幾何意義理解到位，顯然不能理解好導數概念的.事實上，由此點可對其它概念 的教學作一遷移思考.
2.重視基本初等函數的技能訓練和思維訓練，為導數求法作好準備
選學中有若干函數的求導公式，常用的原函數涉及到三次函數、指數函數、對數函數、冪函數、 三角函數等，他們的導函數將集中在二次函數等初等函數模型上。因此要解好相關導函數的運用問 題，關鍵在必修課中要解決好這些初等函數相關基本技能的訓練。
3.注意把握好研究單調性或最值時的初等方法和導數方法的度及分工。
當導數方法納入高中數學主體結構后，用單調性定義討論和證明函數單調性（即初等方法）的 要求就大為降低，新課標更明確了這一點。由于導函數一般會較之原函數（特別是整式函數）簡單， 因而導數方法往往顯得更為簡捷。但這僅限于可導函數而已。因此，必修內容中函數單調性的研究 仍要重視，但一般函數（大多可導）的單調性討論不必討論過深，一次函數、二次函數或反比例函 數即可，主要掌握原理和步驟以及單調性的理解和判斷，而同時應關注一些常見的不可導函數的單 調性的問題，如離散函數的單調性. 對于函數的值域（最值）的研究也有類似的問題，它與單調性問題構成兩類最重要的基本問題。
3 指數函數和對數函數
函數是貫穿中學數學的核心內容,本章繼第二章學習完函數概念和基本性質后,較為系統地研究 最重要的兩個基本初等函數:指數函數和對數函數.通過這些函數的研究,使學生進一步認識到函數 是刻畫現實世界變化規律的重要模型,是一種通過某一事物的變化信息可推知另一事物信息的對應 關系的數學模型.并要求結合實際問題,感受運用函數概念建立模型的過程與方法.
3.1 課程標準要求
（1）指數函數
① 通過具體實例 （如細胞的分裂， 考古中所用的 14C 的衰減， 藥物在人體內殘留量的變化等） ， 了解指數函數模型的實際背景。
② 理解有理指數冪的含義，通過具體實例了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算。
③ 理解指數函數的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數函數的圖象，探索并理 解指數函數的單調性與特殊點。
④ 在解決簡單實際問題的過程中，體會指數函數是一類重要的函數模型（參見例 2）
（2）對數函數
① 理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對 數；通過閱讀材料，了解對數的發現歷史以及對簡化運算的作用.
② 通過具體實例，直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，體 會對數函數是一類重要的函數模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數函數的圖象，探索并了解 對數函數的單調性與特殊點.
③ 知道指數函數 y=ax 與對數函數 y=loga x 互為反函數（a > 0, a≠1）. 1.2 教學目標
1.2.1 知識與技能
⑴理解有理指數冪的含義，了解無理指數冪及實數指數冪的意義,掌握冪的運算.
⑵了解指數函數模型的實際背景.
⑶理解指數函數的概念和意義,能借助計算器或計算機畫出具體指數函數的圖象,探索并理解指 數函數的單調性和特殊點.
⑷在解決實際問題的過程中,體會指數函數是一類重要的函數模型.
⑸理解對數的概念及其性質,知道能用換底公式將一般對數轉化為自然對數或常用對數.
⑹了解對數的發展歷史以及簡化運算的作用.
⑺了解對數函數模型所刻畫的數量關系,初步理解對數函數的概念,體會對數函數是一類重要的 函數模型.
⑻能夠畫出具體的對數函數的圖象,了解對數函數的單調性與特殊點.
⑼了解反函數的定義,知道指數函數 y = ax 與對數函數 y = log a x( a > 0, a ≠ 1) 互為反函數.
⑽掌握冪函數、指數函數和對數函數的變化特點，會區別它們變化的速度的不同.
1.2.2 過程與方法
⑴在回顧整數指數冪的概念及其運算性質的基礎上，結合具體實例，引入有理指數冪及其運算 性質，進一步體會用“有理數逼近有理數”的思想，并且可以讓學生利用計算器或計算機進行實際 操作，感受“逼近”過程.
⑵通過具體的指數函數圖象，由特殊到一般地研究指數函數的性質.
⑶通過對數與指數之間的關系，理解對數概念，并根據指數與對數的關系及指數的運算性質推 出對數的運算性質.
⑷通過具體實例引入一類新的基本函數——對數函數，并由對數函數的圖象研究對數函數的性 質，并通過類比指數函數，加深對對數函數的理解.
⑸借助函數圖象，研究直線上升、指數增長以及對數增長與實際生活的聯系.
1.2.3 情感、態度、價值觀
⑴在從整數指數冪到有理數指數冪再到實數指數冪的推廣過程中，以及指數函數和對數函數等 內容的學習過程中，體會事物從特殊到一般，從低級到高級的發展規律，樹立辨證唯物主義觀念， 養成實事求是的科學態度，培養科學的思維方式.
⑵在利用本章知識在解決實際問題的過程中，認識到知識來源于生活并最終服務于生活，提高 學習數學的興趣，樹立學生學好數學的信心.
⑶本章內容蘊涵了許多數學思想方法，如歸納的思想、數形結合的思想、類比的思想等，通過 這些思想方法在具體問題中的運用，體會這些數學思想方法，培養學生更加開闊的數學視野，逐步 認識數學的科學價值、應用價值和文化價值，形成批判性的思維習慣，崇尚數學的理性精神，體會 數學的美學意義.
⑷通過實例，提高解決實際問題的能力，發揮個人的能力，構建數學模型，養成獨立思考問題 的能力. 知識結構與教學安排
1.3 知識結構與教學安排
1.3.1 知識結構與教學順序
1.3.2 課時安排
本章教學時間約需要 14 課時，具體分配如下：
§1 正整數指數函數 1 課時
§2 指數擴充及其運算性質 3 課時
2．1 指數概念的擴充
2．2 指數運算的性質
§3 指數函數 3 課時
3．1 指數函數的概念
3．2 指數函數的圖像和性質
3．3 指數函數的圖像和性質
§4 對數 2課時
4．1 對數及其運算
4．2 換底公式
§5 對數函數 3 課時
5．1 對數函數的概念
5．2 y = log 2 x 的圖像和性質
5．3 對數函數的圖像和性質
§6 指數函數、冪函數、對數函數增長的比較 1 課時
小結與復習 1 課時
1.4 教學重點和難點教學重點
1.4.1 教學重點
（1）分數指數冪的概念、指數的運算性質.
（2）對數的概念和運算性質.
（3）指數函數和對數函數的圖象和性質.
1.4.2 教學難點
（1）分數指數冪的概念.
（2）底數 a 對指數函數與對數函數的函數值變化的影響.
（3）指數函數、對數函數以及冪函數增長的比較. 1.5 教學建議注意與初中內容及選修內容 及選修內容的銜接
1.5.1 注意與初中內容及選修內容的銜接
●與初中內容的銜接
本章內容是與初中數學最近的結合點。如果初中的內容沒有學習好或遺忘的過多，學習本章就 有障礙。本章很多內容都是在初中的基礎上講授的，如函數的概念、函數圖象的描繪；又如指數概 念的擴充，如果沒有正整數指數冪、零指數冪、負整數指數冪的基礎知識，有理數指數冪就無法給 出，運算性質也是如此，因此在本章教學中要注意與初中所學的有關內容的聯系，做好初、高中數 學的銜接和過渡工作。
●與選修的銜接
必修 1 是對函數概念的再認識階段，即用集合、映射的思想理解函數的一般定義，加深對函數 概念的理解，在此基礎上研究了指數函數、對數函數，從而使學生獲得較為系統的函數知識，并初 步培養了函數的應用意識，為今后必修 4 學習三角函數、必修 5 學習數列選修中學習導數及其應用， 概率 ，坐標系與參數方程，打下良好的基礎,這些內容是函數及其應用研究的深化和提高，也是進 一步學習、參加生產和實際生活中需要具備的基礎知識．總體上，函數的學習經歷了一個不斷螺旋 上升的過程。因此，要注意必修與選修的的聯系，也要注意聯系物理、化學等學科的知識內容來豐 富和鞏固本章的內容。
1.5.2 準確把握教學要求
與以往教材比較，本章在內容、要求以及處理方式上都發生了許多變化，歸納起來有如下幾點：
●以往教材要求掌握有理指數冪的運算性質，不要求學生了解無理指數冪，不要求用有理指數 冪逼近無理指數冪；本章要求通過具體實例了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算，并體會“用有 理數逼近無理數”的思想。
●以往教材在對數換底公式上沒有要求；這里要求學生知道用換底公式能將一般對數轉化成自 然對數或常用對數。
●以往教材要求掌握指數函數、對數函數的概念、圖象和性質；這里要求能借助計算器或計算 機畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點。
●以往教材要求了解反函數的概念及互為反函數的函數圖象間的關系，會求一些簡單函數的反 函數；這里對反函數的處理，只要求以具體函數為例進行解釋和直觀理解，只通過比較同底的指數 函數和對數函數， 說明指數函數和對數函數 ( a > 0, a ≠ 1) 互為反函數， 不要求一般 地討論形式化的反函數定義，也不要求求已知函數的反函數。
●以往教材對指數函數與對數函數的應用沒有給出明確的要求；這里要求學生在解決簡單實際 問題的過程中，體會指數函數是一類重要的函數模型，體驗指數函數、對數函數等函數與現實世界 的密切聯系及其在刻畫現實問題中的作用。
教學中要切實關注上述變化，把主要精力用在讓學生通過具體實例了解指數函數模型、對數 函數模型的實際背景，通過實例體會、認識直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型的增長 含義，以及了解這些函數模型的廣泛應用上，而不要過分地追求那些細枝末節（如求定義域、值域， 討論復合函數的單調性、奇偶性等）。
1.5.3 突出指數與對數函數是現實世界中的重要數學模型，強調它們的實際背景和應用價值
把指數函數、對數函數等作為描述客觀世界變化規律的重要數學模型來學習，要求結合實際問 題，感受運用函數概念建立模型的過程與方法，強調指數函數、對數函數、冪函數是三類不同的函 數增長模型，這是本章學習要求的重要變化。因此，要加強讓學生通過具體實例了解指數函數、對 數函數模型實際背景的教學；要利用適當的事例，讓學生體會、認識直線上升、指數爆炸、對數增 長等不同函數類型的增長含義；另外，還可以要求學生通過收集現實生活中普遍使用的函數模型實 例，去了解這些函數模型的廣泛應用。
1.5.4 引導學生體會數學知識結構的嚴謹性
本章中，指數冪概念及其運算性質的拓展內涵了數學研究中對數學知識發展的邏輯合理性、嚴 謹性的要求，教學中要引導學生認真體會。指數冪的運算性質，是在整數指數冪的基礎上，先將整 數指數冪的運算性質推廣到有理指數冪的運算性質；然后在有理指數冪逼近無理指數冪的思想指導 下，再將有理指數冪的運算性質推廣到了實數范圍。可以讓學生利用計算器或計算機進行實際操作， 感受“逼近”過程。指數冪的運算性質的每一次推廣，都需要考慮嚴謹性的要求。
1.5.5 充分發揮函數圖象的幾何直觀作用，加強數形結合思想教學
數形結合、幾何直觀等數學思想方法是本章學習中的重要思想方法，它們對于理解本章的幾個 基本初等函數的性質（例如增長模式）是十分重要的，同時信息技術又使得函數作圖變得方便、快 捷，并且可以構建一種動態環境，為學生利用圖象直觀研究函數性質提供了有力工具。因此，本章 內容是學習數形結合、 幾何直觀等數學思想方法很好的數學載體.教學中應充分注意發揮函數圖象的 作用，讓學生自己作出函數圖像，通過觀察圖象變化規律來研究函數的性質。
1.5.6 恰當使用信息技術
教科書雖然沒有明確提示利用信息技術研究指數函數、對數函數和冪函數的圖象與性質，但本 章中有許多內容適合使用信息技術，例如指數、對數值的計算；借助計算工具，比較指數函數、對 數函數與冪函數增長的差異；借助計算器或計算機畫出具體的指數函數、對數函數的圖象，探索并 理解它們的單調性與特殊點，等等。都體現了加強與信息技術整合的要求．因此，只要條件允許， 教學中就應當充分使用信息技術。
1.5.7 加強學科聯系，體現學科綜合優勢
當前數學課程改革的思路之一是課程設置應注重學生對社會的適應性，并將培養學生創新精神 和實踐能力擺到突出地位。 “數學的應用價值和思維價值正在相互交融。數學對少數人有用的時代已 經過去，它正在成為今日社會的一張‘通行證’。很明顯，教材在這一單元內容的選擇上非常注重 ” 貼近生活實際和和與其他學科間的溝通，如生物，物理、化學、考古、社會等大量的實際案例。這 是因為，綜合能力的培養是建立在學科知識綜合基礎上進行的，是建立在與其他學科相關知識聯系 的基礎上進行的。因此，首先就要求教師有這種綜合意識，并努力挖掘與本學科有關的其他學科的 知識，啟發引導學生主動參與這種遷移學習活動，并加強“綜合實踐活動”課的力度。
4 函數應用
函數是高中數學的起始課程，函數的重要性主要表現在兩個方面：一是函數思想的價值；二是 函數的應用價值.為了充分體現《普通高中數學課程標準》的精神，有效地落實《普通高中數學課程 標準》的目標，在北師大版高中數學教材中單獨設立了“函數應用”一章.在本章里，將從兩個方面 學習函數的應用，一是函數與其它數學內容的聯系：再一個是函數與實際的聯系.力圖在理念、方法 和能力上為高中階段的學習奠定基礎.
1.1 課程標準要求
（1）函數與方程
① 結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與 方程根的聯系.
② 根據具體函數的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法.
（2）函數模型及其應用
① 利用計算工具，比較指數函數、對數函數以及冪函數增長差異；結合實例體會直線上升、 指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義.
② 收集一些社會生活中普遍使用的函數模型（指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等） 的實例，了解函數模型的廣泛應用.
1.2 教學目標
函數是應用廣泛的數學模型.它非常有用，主要表現在兩個方面：一方面，在數學中，函數是基 本的研究對象，與其它研究對象有著密切聯系；另一方面，在日常生活中，函數可有效地描述、刻 畫、反映客觀規律，一旦將客觀現象用函數表示出來，就可以對現象給予分析和解釋，明確現象的 規律和特征.通過本章的學習，將促進學生對函數的全面理解，加強應用數學的意識.
1.2.1 知識與技能
⑴結合二次函數的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，從而了解函數的零點與方 程根的聯系.
⑵根據具體函數的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解，了解二分法是求方程 近似解的常用方法.
⑶能利用計算工具，比較指數函數、對數函數以及冪函數間的增長差異；結合實例體會直線上 升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義.
1.2.2 過程與方法
⑴在用函數的過程中進一步理解函數是刻畫日常生活規律的重要模型，理解函數的概念、性質 和函數思想方法.
⑵在用數學解決問題的實踐中，了解數學建模的意義，提高學生分析問題解決問題的能力，感 受數學應用的層次，發展應用意識，體驗數學建模的過程與步驟.
1.2.3 情感、態度、價值觀
⑴通過本章的學習，激發學習數學的興趣和問題意識，在集中嘗試用數學解決實際問題中，增 強解決問題的自信心.
⑵通過本章的學習，在用數學的眼光觀察生活、社會與自然的過程中，更加熱愛生活，使生活 更加有情趣.
1.3 知識結構與教學安排
1.3.1 知識結構
1.3.2 教學順序與課時安排
§1 函數與方程
§1.1 利用函數性質判定方程解的存在 約 1 課時
§1.2 利用二分法求方程的近似解 約 1 課時
§2 實際問題的函數建模
§2.1 實際問題的函數刻畫 約 1 課時
§2.2 用函數模型解決實際問題 約 1 課時
§2.3 函數建模案例 約 1 課時
復習小結約 約 1 課時
1.4 教學重點和難點
1.4.1 教學重點
（1）函數與方程的關系、函數與方程思想的滲透.
（2）二分法求方程的近似解.
（3）函數建模.
1.4.2 教學難點
（1）函數與方程的關系、函數與方程思想的滲透.
（2）函數建模.
.5 教學建議從兩個方面展開數學應用，
1.5.1 從兩個方面展開數學應用，突出用數學知識解決問題
●一是函數與其它數學知識的有機聯系，在本章中集中研究的是從函數特征判定方程實數解的 存在性及求方程的近似解；二是函數與實際問題的聯系，用函數解決實際問題。
●對學生來講，函數與方程的關系容易接受，理解求方程實數解的問題就是求函數的零點問題 不會有太大的困難。但當遇到實際問題的時候，學生往往顯得沒有信心，甚至束手無策，在教學中， 先引導學生解決一些簡單問題，再去面對需要數學建模全過程的實際問題。 適時滲透數學思想，
1.5.2 適時滲透數學思想，準確把握尺度
●在本章的第一節“函數與方程”的教學中，是滲透“函數與方程思想”“數形結合思想”的 、 最 好 機 會 。 方 程 f ( x ) = 0 的 解 ” “ 函 數 y = f ( x) 的 圖 象 與 x 軸 交 點的 橫 坐 標 ” “ 方程 “ ； f ( x) = g ( x) 的解” “函數 y = f ( x) 的圖象與 y = g ( x) 的圖象交點的橫坐標” 。這正是“函數與方程思想”的本質，應作為這一部分內容教學的重點。
●同時，本章的教學還與以下四個詞有聯系：連續、近似、逼近、模型。它們是數學的四個基 本概念，也是重要的數學思想，但在高中階段，只是在教學中適當滲透，不必去解詞析義，而是通 過設計適當的教學環節使學生適當有所感受即可。
[參考文獻]
[1]嚴士健，張奠宙.王尚志.《普通高中數學課程標準解讀》.江蘇教育出版社，2004 年 4 月第 1 版.
[2]嚴士健，王尚志.嚴士健，李延林.《數學 1》 （必修）.北京師范大學出版社，2003 年 3 月第 3 版.
[3] 嚴士健，李延林. 《數學 1》 （必修）教師教學用書. 北京師范大學出版社，2007 年 6 月第 4 版

展開更多......

收起↑